Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника?

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Сумма соседних углов параллелограмма 1800.

Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Признаки параллелограмма

  • Если в четырехугольнике две противоположные стоны равны и параллельны, то это параллелограмм.
  • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
  • Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то это параллелограмм.
  • Периметр параллелограмма
  • Площадь параллелограмма

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырех сторон.
  2. Ромб
  3. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
  4. Свойства ромба
  5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  6. Диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов.
  7. Высоты ромба равны.
  8. В ромб можно вписать окружность
  9. .
  10. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Признаки ромба
  • Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.
  • Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
  • Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.
  • Площадь ромба
  • Прямоугольник
  • Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
  • Свойства прямоугольника
  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Около прямоугольника можно описать окружность.
  • Прямоугольник обладаю всеми свойствами параллелограмма.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Признаки прямоугольника
  2. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
  3. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.
  4. Если в четырехугольнике три угла прямые, то это прямоугольник.
  5. Площадь прямоугольника
  6. Квадрат
  7. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб с прямыми углами).
  8. Квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.
  9. Квадрат – правильный четырехугольник.
Читайте также:  Философия духа Гегеля - развитие, эволюция абсолютной идеи, некоторые аспекты жизни

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Площадь квадрата

Трапеция

alt

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Оценим за полчаса!

Элементы трапеции

  • BС и CD – верхние и нижние основания,
  • AB и CD – боковые стороны,
  • АС и BD – диагонали,
  • MN – средняя линия,
  • MN =.
  • Высота трапеции ВВ1 –расстояние между прямыми оснований.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Площадь трапеции
  2. Неравенство для сторон трапеции
  3. Неравенство для диагоналей трапеции
  4. Свойства треугольников в трапеции.
  5. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Равнобокая трапеция
  • Равнобокой (равнобедренной) называется трапеция с равными боковыми сторонами.
  • Свойства равнобокой трапеции
  • Диагонали равнобокой трапеции равны .
  • Углы при одном основании равнобокой трапеции равны.

Только около равнобокой трапеции можно описать окружность; она совпадает с окружностью, описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Её центр лежит на серединном перпендикуляре к основанию трапеции.

Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Окружность
  2. Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра окружности).
  3. Отрезки в окружности
  4. Для любой точке М окружности с центром О выполняется равенство: ОМ=R (отрезок ОМ – радиусокружности).
  5. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
  6. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности (D).
  7. D=2R
Читайте также:  Кризис 3 лет у ребенка - причины и характер течения

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Длина окружности
  • Дуга окружности
  • Часть окружности, заключенная между ее двумя точками, называется дугой.

Две любые точки М и N определяют на ней две дуги: и . Любую из этих дуг стягивает хорда MN.

  1. Равные дуги стягиваются равными хордами.
  2. Длина дуги
  3. , где — величина угла АОВ в радианах;
  4. , где — величина угла АОВ в градусах.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Круг

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Для всех точек N круга выполняется неравенство: ОNR.

  • Площадь круга
  • С – длина окружности,
  • D = 2R – диаметр.
  • Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, называется сектором круга.
  • Любые два радиуса задают два сектора.
  • Площадь сектора
  • ;
  • ( радиан )
  • Часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой, называется сегментом.
  • Любая хорда делит круг на два сегмента.
  • Сегмент, задаваемый диаметром, называется полукругом.
  • Площадь сегмента
  • радианная мера дугиили
  • (соответственно для сегментов или ).
  • Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.
  • Если две хорды АВ и СD имеют общую точку М , то .
  • Для данной точки М внутри окружности произведение отрезков хорды, на которое делит ее данная точка, есть величина постоянная и равная .
  • Прямая и окружность
  • Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности; прямая, имеющая с окружностью две общие точки, — секущей.
  • Прямая касается окружности тогда и только тогда, когда диаметр, проходящий через общую точку прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.
  • Если окружность касается сторон данного угла, то:
  • центр окружности лежит на биссектрисе угла;
  • отрезки касательных равны между собой.
  1. Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
  2. Произведения длин отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны.
  3. Углы в окружности
  4. Центральным углом в окружности называется угол между двумя ее радиусами.
  5. Радиусная мера центрального угла равна радиусной мере дуги, которую он опирается (измеряется дугой, на которую он опирается).
  6. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.
  7. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
  8. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
  9. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  10. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 1800.
  11. Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.
  12. Вписанная окружность
  13. Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Её центр должен принадлежать всем биссектрисам внутренних углов этого многоугольника. Её радиус можно вычислить по формуле , где S – площадь, а р – полупериметр многоугольника.

  • Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
  • В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, а радиус может быть вычислен по формулам:
  • где S – площадь треугольника,
  • а r – его полупериметр.
  • В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
  • Описанная окружность

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Её центр лежит на всех серединных перпендикулярах сторон (и диагоналей) этого многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника.

  1. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Её центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника, а радиус вычисляется по формулам:
  2. a,b,c – длины сторон треугольника,
  3. S – его площадь.
  4. Около треугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 1800.
  5. Правильные многоугольники

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

  • Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.
  • Любой правильный многоугольник является вписанным и описанным, центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром многоугольника (точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон, биссектрис углов).
  • — сторона,
  • — радиус вписанной окружности,
  • — периметр,
  • — площадь.
  • Формулы для правильных многоугольников

Источник: https://infourok.ru/geometriya-chast-3-parallelogramm-romb-kvadrat-trapeciya-pryamaya-i-okruzhnost-4149081.html

5.1.2 Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат

Один подраздел многоугольников мы изучили в прошлом вопросе, сейчас же перейдем к изучению четырехугольников – это многоугольники, у которых 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В школьном курсе геометрии изучают несколько основных типов четырехугольников – это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапецию. В этом же вопросы мы рассмотрим все, кроме трапеции, поскольку все первые 4 типа многоугольников имеют некоторые похожие черты – у них противолежащая пара сторон параллельна.

Отличительная особенность всех четырехугольников – это то, что сумма всех углом равна 360 градусов.

Параллелограмм

Исходя из названия, можно судить, что у данного четырехугольника что-то параллельное. Это совершенно верно, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Все четырехугольники характеризуются своими свойствами, поэтому давайте ознакомимся со свойствами параллелограмма:

  • Параллельные стороны параллелограмма попарно равны между собой

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Противолежащие углы параллелограмма также равны

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Диагонали параллелограмма пересекаются в точке, которая делит из пополам

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Если у четырехугольника присутствуют перечисленные свойства, то он является параллелограммом:

  • Какой — то Один признак выполнен
  • Все свойства параллелограмма можно использовать

Для любого параллелограмма справедлива следующая формула, по которой ясно, что сумма квадратов сторон диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Данное свойство вытекает из теоремы Пифагора для двух прямоугольных треугольников.

Любую сторону можно найти по известным величинам диагоналей и углов между ними:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Найти стороны параллелограмма можно не только через диагонали, но и через высоты и площади:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Одними из наиболее важных формул являются формулы для нахождения диагоналей найти их можно по известным сторонам и углу между ними:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Но на самом деле самыми важными формулами являются формулы для нахождения площадей:
  2. Квадрат
  3. Свойства квадрата:

Правильный четырехугольник – это квадрат. Как известно, у всех правильных фигур равны стороны и равны углы. Квадрат можно назвать частным случаем параллелограмма, поскольку все свойства и признаки параллелограмма видны и у квадрата.

  • Все стороны равны.
  • Все углы равны 90 градусам.
  • Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения делит их пополам.

Отличительной особенностью диагонали квадрата является то, что она есть гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными сторонам квадрата, а гипотенузой равной диагонали. Именно поэтому из теоремы Пифагора диагональ квадрата всегда в раз больше его стороны.

  • Так как у квадрата все стороны равны, то найти периметр и площадь этой фигуры не составляет ни малейшего труда:
  • Прямоугольник
  • Эта фигура характеризуется тем, что все её углы прямые, то есть по 90 градусов.
  • Свойства прямоугольника:
  • У прямоугольника все противолежащие стороны параллельны и равны между собой.
  • Все углы прямые.
  • Точка пересечения диагоналей делит их на равные части.
  1. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон:
  2. Как можно было понять, данная формула была выведена из теоремы Пифагора, поскольку в основе прямоугольника лежат 2 прямоугольных треугольника.
  3. Формулы нахождения сторон по известным величинам диагоналей, а также площадей:

Формулы сторон прямоугольника

  • Формулы периметра прямоугольника
  • Формулы площадей
  1. Ромб
  2. И наконец-то мы подошли к последнему из параллелограммов, который называется ромбом.
  3. У ромба, как и у квадрата, все стороны равно, но, как и у любого параллелограмма, его стороны попарно параллельны.
  4. Отличительной особенностью ромба считается то, что его диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся пополам.
  5. Не имеет смысла перечислять все свойства ромба, поскольку они аналогичны свойствам параллелограмма, а так же квадрата.
  6. У ромба так же существует связь между длинами диагоналей и его сторон. Поскольку в основании ромба лежат 4 прямоугольных треугольника, то можно было вывести формулу связи диагоналей и сторон через теорему Пифагора:
  7. Формулы для сторон ромба
  8. Формулы площадей ромба

Источник: https://cknow.ru/knowbase/710-512-parallelogramm-pryamougolnik-romb-kvadrat.html

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонамS = √p(p — a)(p — b)(p — c)
  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, h — высота треугольника, γ — угол между сторонами a и b, r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности,
    p = a + b + c   — полупериметр треугольника.
    2

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.S = a · b · sin α
  3. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними. где S — Площадь параллелограмма, a, b — длины сторон параллелограмма, h — длина высоты параллелограмма, d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма, α — угол между сторонами параллелограмма, γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.S = a · h
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.S = a2 · sin α
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей. где S — Площадь ромба, a — длина стороны ромба, h — длина высоты ромба, α — угол между сторонами ромба, d1, d2 — длины диагоналей.
Читайте также:  Дизельный двигатель - как работает устройство и популярные производители

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула Герона для трапеции
    S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)
    |a — b|
  2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту где S — площадь трапеции, a, b — длины основ трапеции, c, d — длины боковых сторон трапеции,
    p = a + b + c + d   — полупериметр трапеции.
    2

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними: где S — площадь четырехугольника, d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника, α — угол между диагоналями четырехугольника.
  2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности) Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружностиS = p · r
  3. Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных угловS = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos2θ

    где S — площадь четырехугольника,

    • a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
    • p = a + b + c + d2  — полупериметр четырехугольника,
    • θ = α + β2  — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
  4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружностьS = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. Формула площади круга через радиус Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.S = π r2
  2. Формула площади круга через диаметр Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи. где S — Площадь круга, r — длина радиуса круга, d — длина диаметра круга.

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/area/

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота (BE), проведённая между длинными сторонами, короче высоты (BF), проведённой между короткими сторонами.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: (BE = BF).

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Проведём высоты из двух вершин (B) и (C) к стороне (AD) .
  • Прямоугольные треугольники (ABE) и (DCF) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).
  • Параллелограмм (ABCD) и прямоугольник (EBCF) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:
  • SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.
  • Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:
  • SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.
  • Если обозначить сторону через (a), высоту — через (h), то:
  • Sп−гр=a⋅h.
  • Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.
  2. Формула определения площади ромба:
  3. Sромба=d1⋅d22.
  4. Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.
  5. Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:
  6. Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Sтреуг=aha2, где (h) — высота (на рисунке — (BE)), проведённая к стороне (a) (на рисунке — (AD)).
  • Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.
  • Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.
  • — формула Герона, где (a), (b) и (c) — стороны треугольника, (p) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

  1. Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:
  2. S=a⋅b2, где (a) и (b) — катеты.
  3. Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами (17) см, (39) см, (44) см.

  • Решение:
  • p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.
  • Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны (15) см, (13) см, (4) см.

  1. Решение:
  2. используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.
  3. Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому (a =) (15) см.
  4. SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.
  5. Составляем уравнение:
  6. 15⋅h2=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами (17) см и (39) см, длина диагонали равна (44) см. Вычислим площадь параллелограмма.

  • Решение:
  • диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:
  • Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  1. SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.
  2. Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через (a) и (b), высоту через (h), то:
  3. Sтрап=a+b2⋅h.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/ploshchadi-figur-9235/ploshchad-parallelogramma-treugolnika-i-trapetcii-9238/re-5498cfac-2fcc-49e0-a4ac-23cf5dabe20d

Многоугольники

Многоугольник – это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, не имеющей самопересечений.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а её вершины – вершинами многоугольника.

Углами многоугольника называются внутренние углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу его вершин и сторон.

Многоугольникам даются названия по количеству сторон. Многоугольник с наименьшим количеством сторон называется треугольником, он имеет всего три стороны. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырёхугольником, с пятью – пятиугольником и т. д.

Обозначение многоугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку (по часовой или против часовой стрелки). Например, говорят или пишут: пятиугольник ABCDE:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

В пятиугольнике ABCDE точки A, B, C, D и E – это вершины пятиугольника, а отрезки AB, BC, CD, DE и EA – стороны пятиугольника.

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из его сторон, продолженная до прямой линии, его не пересекает. В обратном случае многоугольник называется вогнутым:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Периметр

Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром.

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Периметр многоугольника ABCDE равен:

AB + BC+ CD + DE + EA

Если у многоугольника равны все стороны и все углы, то его называют правильным. Правильными многоугольниками могут быть только выпуклые многоугольники.

Диагональ многоугольника – это отрезок, соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD является диагональю:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника - Студенческий портал

  • Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:
  • t = n — 2
  • где t – это количество треугольников, а n – количество сторон.
  • Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить.

Источник: https://naobumium.info/planimetriya/mnogougolniki.php

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника

Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всœех ᴇᴦο сторон. В статье, на примере задач, мы приведем формулы нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.

Периметр квадрата

Понятие 1

Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит ᴎɜ четырех равных сторон, всœе углы которой прямые (рис. 1).

Пример 1

  • Найти периметр квадрата, если ᴇᴦο сторона равняется α .
  • Решение.
  • Так как всœе 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим
  • P=α+α+α+α=4α

Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину ᴇᴦο стоны умножить на 4.

Периметр прямоугольника

Понятие 2

Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит ᴎɜ четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, всœе углы которой прямые (рис. 2).

Пример 2

  1. Найти периметр прямоугольника, если ᴇᴦο смежные стороны равняются α и β .
  2. Решение.
  3. Так как противоположные стороны равняются между собой, то
  4. P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)

Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин ᴇᴦο смежных сторон умножить на 2.

Периметр параллелограмма

Понятие 3

Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит ᴎɜ четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).

Пример 3

  • Найти периметр параллелограмма, если ᴇᴦο смежные стороны равняются α и β .
  • Решение.
  • Так как противоположные стороны равняются между собой, то
  • P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)

Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин ᴇᴦο смежных сторон умножить на 2.

Периметр трапеции

Понятие 4

Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит ᴎɜ четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).

Пример 4

  1. Найти периметр трапеции, если ᴇᴦο стороны равняются α , β , γ и δ .
  2. Решение.
  3. По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
  4. P=α+β+γ+δ

Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить всœе длины ᴇᴦο сторон.

Периметр ромба

Понятие 5

Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого всœе стороны равны между собой (рис. 5).

Пример 5

  • Найти периметр ромба, если ᴇᴦο сторона равняется α .
  • Решение.
  • Так как всœе 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим
  • P=α+α+α+α=4α

Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину ᴇᴦο стоны умножить на 4.

Периметр многоугольника

Отметим, что всœе фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. По϶тому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.

Понятие 6

n -угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит ᴎɜ n непересекающихся сторон и n углов. (рис. 6).

Пример 6

  1. Найти периметр n -угольника, если ᴇᴦο стороны равняются α_1 , α_2 ,…, α_n .
  2. Решение.
  3. По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
  4. P=α_1+α_2+⋯+ α_n

Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить всœе длины ᴇᴦο сторон.

Здесь можно выделить периметр правильного n -угольника, то есть n -угольника, у которого всœе стороны равняются между собой.

Пример 7

  • Найти периметр правильного n -угольника, если ᴇᴦο сторона равняется α .
  • Решение.
  • Так как всœе n сторон правильного n -угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим
  • P=α+α+⋯+α+α — n раз.
  • Отсюда следует, что
  • P=nα

Вывод: Для нахождения периметра правильного n -угольника надо длину ᴇᴦο стороны умножить на n

Периметр эллипса

Здесь просто введем формулу, вычисления периметра (или ещё иначе длины) эллипса. Пусть дан эллипс, как на рисунке 7.

  1. Тогда периметр эллипса равняется
  2. P=4frac{πab+a-b}{a+b}

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/507_heshirovanie

Ссылка на основную публикацию