Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби — студенческий портал

10 февраля 2012

Помните, как в самом первом уроке про десятичные дроби я говорил, что существуют числовые дроби, не представимые в виде десятичных (см. урок «Десятичные дроби»)? Мы еще учились раскладывать знаменатели дробей на множители, чтобы проверить, нет ли там чисел, отличных от 2 и 5.

Так вот: я наврал. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью.

Периодическая десятичная дробь — это любая десятичная дробь, у которой:

  1. Значащая часть состоит из бесконечного количества цифр;
  2. Через определенные интервалы цифры в значащей части повторяются.

Набор повторяющихся цифр, из которых состоит значащая часть, называется периодической частью дроби, а количество цифр в этом наборе — периодом дроби. Остальной отрезок значащей части, который не повторяется, называется непериодической частью.

Поскольку определений много, стоит подробно рассмотреть несколько таких дробей:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Эта дробь встречается в задачах чаще всего. Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 3; длина периода: 1.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Непериодическая часть: 0,58; периодическая часть: 3; длина периода: снова 1.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Непериодическая часть: 1; периодическая часть: 54; длина периода: 2.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Непериодическая часть: 0; периодическая часть: 641025; длина периода: 6. Для удобства повторяющиеся части отделены друг от друга пробелом — в настоящем решении так делать не обязательно.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Непериодическая часть: 3066; периодическая часть: 6; длина периода: 1.

Как видите, определение периодической дроби основано на понятии значащей части числа. Поэтому если вы забыли что это такое, рекомендую повторить — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей».

Переход к периодической десятичной дроби

Рассмотрим обыкновенную дробь вида a/b. Разложим ее знаменатель на простые множители. Возможны два варианта:

  1. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Эти дроби легко приводятся к десятичным — см. урок «Десятичные дроби». Такие нас не интересуют;
  2. В разложении присутствует что-то еще, кроме 2 и 5. В этом случае дробь непредставима в виде десятичной, зато из нее можно сделать периодическую десятичную дробь.

Чтобы задать периодическую десятичную дробь, надо найти ее периодическую и непериодическую часть. Как? Переведите дробь в неправильную, а затем разделите числитель на знаменатель «уголком».

При этом будет происходить следующее:

  1. Сначала разделится целая часть, если она есть;
  2. Возможно, будет несколько чисел после десятичной точки;
  3. Через некоторое время цифры начнут повторяться.

Вот и все! Повторяющиеся цифры после десятичной точки обозначаем периодической частью, а то, что стоит спереди — непериодической.

Задача. Переведите обыкновенные дроби в периодические десятичные:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Все дроби без целой части, поэтому просто делим числитель на знаменатель «уголком»:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Как видим, остатки повторяются. Запишем дробь в «правильном» виде: 1,733 … = 1,7(3).

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

В итоге получается дробь: 0,5833 … = 0,58(3).

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Записываем в нормальном виде: 4,0909 … = 4,(09).

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Получаем дробь: 0,4141 … = 0,(41).

Переход от периодической десятичной дроби к обыкновенной

Рассмотрим периодическую десятичную дробь X = abc(a1b1c1). Требуется перевести ее в классическую «двухэтажную». Для этого выполним четыре простых шага:

  1. Найдите период дроби, т.е. подсчитайте, сколько цифр находится в периодической части. Пусть это будет число k;
  2. Найдите значение выражения X · 10k. Это равносильно сдвигу десятичной точки на полный период вправо — см. урок «Умножение и деление десятичных дробей»;
  3. Из полученного числа надо вычесть исходное выражение. При этом периодическая часть «сжигается», и остается обычная дробь;
  4. В полученном уравнении найти X. Все десятичные дроби переводим в обыкновенные.

Задача. Приведите к обыкновенной неправильной дроби числа:

  • 9,(6);
  • 32,(39);
  • 0,30(5);
  • 0,(2475).

Работаем с первой дробью: X = 9,(6) = 9,666 …

В скобках содержится лишь одна цифра, поэтому период k = 1. Далее умножаем эту дробь на 10k = 101 = 10. Имеем:

10X = 10 · 9,6666 … = 96,666 …

Вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

10X − X = 96,666 … − 9,666 … = 96 − 9 = 87; 9X = 87; X = 87/9 = 29/3.

Теперь разберемся со второй дробью. Итак, X = 32,(39) = 32,393939 …

Период k = 2, поэтому умножаем все на 10k = 102 = 100:

100X = 100 · 32,393939 … = 3239,3939 …

Снова вычитаем исходную дробь и решаем уравнение:

100X − X = 3239,3939 … − 32,3939 … = 3239 − 32 = 3207; 99X = 3207; X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаем к третьей дроби: X = 0,30(5) = 0,30555 … Схема та же самая, поэтому я просто приведу выкладки:

Период k = 1 ⇒ умножаем все на 10k = 101 = 10;

10X = 10 · 0,30555 … = 3,05555 … 10X − X = 3,0555 … − 0,305555 … = 2,75 = 11/4; 9X = 11/4; X = (11/4) : 9 = 11/36.

Наконец, последняя дробь: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 … Опять же, для удобства периодические части отделены друг от друга пробелами. Имеем:

k = 4 ⇒ 10k = 104 = 10 000; 10 000X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475 … 10 000X − X = 2475,2475 … − 0,2475 2475 … = 2475; 9999X = 2475; X = 2475 : 9999 = 25/101.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/circulator/

Периодические дроби

  • Существуют дроби, у которых в дробной части некоторые цифры бесконечно повторяются. Выглядят эти дроби следующим образом:
  • 0,66666666666666…
  • 0,33333333333333…
  • 0,68181818181818…

Дроби такого вида называют периодическими. В данном уроке мы попробуем разобраться, что это за дроби и как с ними работать.

Получаем периодическую дробь

Попробуем разделить 1 на 3. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Этот момент подробно описан в уроке действия с десятичными дробями, в теме деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.

Итак, делим 1 на 3

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Видно, что мы постоянно получаем остаток 1, далее приписываем к нему 0 и делим 10 на 3. И это повторяется вновь и вновь. В результате в дробной части каждый раз получается цифра 3. Деление 1 на 3 будет выполняться бесконечно, поэтому разýмнее будет остановиться на достигнутом.

Такие дроби называют периодическими, поскольку у них присутствует период цифр, который бесконечно повторяется. Период цифр может состоять из нескольких цифр, а может состоять из одной как в нашем примере.

В примере, который мы рассмотрели выше, период в дроби 0,33333 это цифра 3. Обычно такие дроби записывают сокращённо. Сначала записывают цéлую часть, затем ставят запятую и в скобках указывают период (цифру, которая повторяется).

  1. В нашем примере повторяется цифра 3, она является периодом в дроби 0,33333. Поэтому сокращённая запись будет выглядеть так:
  2. 0, (3)
  3. Читается как «ноль целых и три в периоде»
  4. Пример 2. Разделить 5 на 11

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Это тоже периодическая дробь. Период данной дроби это цифры 4 и 5, эти цифры повторяются бесконечно. Сокращённая запись будет выглядеть так:

  • 0, (45)
  • Читается как «ноль целых и сорок пять в периоде»
  • Пример 3. Разделить 15 на 13

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Здесь период состоит из нескольких цифр, а именно из цифр 153846. Для наглядности период отделён синей линией. Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:

  1. 1, (153846)
  2. Читается как: «одна целая сто пятьдесят три тысячи восемьсот сорок шесть в периоде».
  3. Пример 4. Разделить 471 на 900

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

  • В этом примере период начинается не сразу, а после цифр 5 и 2.  Сокращённая запись для данной периодической дроби будет выглядеть так:
  • 0, 52 (3)
  • Читается как: «ноль целых пятьдесят две сотых и три в периоде».

Виды периодических дробей

  1. Периодические дроби бывают двух видов: чистые и смéшанные.
  2. Если в периодической дроби период начинается сразу после запятой, то такую периодическую дробь называют чистой.

    Например, следующие периодические дроби являются чистыми:

  3. 0, (3)
  4. 0, (6)
  5. 0, (5)
  6. Видно, что в этих дробях период начинается сразу после запятой.

  7. Если же в периодической дроби период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр, то такую периодическую дробь называют смéшанной.

    Например, следующие периодические дроби являются смéшанными:

  8. 0,52 (3)
  9. 0,16 (5)
  10. 0,31 (6)
  11. Видно, что в этих дробях период начинается не сразу, а после некоторого количества не повторяющихся цифр.

Избавляемся от хвоста

Подобно тому, как ящерица избавляется от хвоста, мы можем избавить периодическую дробь от повторяющегося периода. Для этого достаточно округлить эту периодическую дробь до нýжного разряда.

Например, округлим периодическую дробь 0, (3) до разряда сотых. Чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру, временно запишем дробь 0, (3) не в сокращённом виде, а в полном:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

  • Значит периодическая дробь 0, (3) при округлении до сотых обращается в дробь 0,33
  • 0, (3) ≈ 0,33
  • Округлим периодическую дробь 6,31 (6) до разряда тысячных.
  • Запишем эту дробь в полном виде, чтобы увидеть сохраняемую и отбрасываемую цифру:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Вспоминаем правило округления. Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит периодическая дробь 6,31 (6) при округлении до тысячных обращается в дробь 6,317

6,31 (6) ≈ 6,317

Перевод чистой периодической дроби в обыкновенную дробь

Перевод периодической дроби в обыкновенную это операция, которую мы будем применять довольно редко. Тем не менее, для общего развития желательно изучить и этот момент. А начнём мы с перевода чистой периодической дроби в обыкновенную дробь.

Мы уже говорили, что если период в периодической дроби начинается сразу после запятой, то такую дробь называют чистой.

Чтобы перевести чистую периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числитель обыкновенной дроби записать период периодической дроби, а в знаменатель обыкновенной дроби записать некоторое количество девяток. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби.

В качестве примера, рассмотрим чистую периодическую дробь 0, (3) — ноль целых и три в периоде. Попробуем перевести её в обыкновенную дробь.

  1. Правило гласит, что в первую очередь в числитель обыкновенной дроби нужно записать период периодической дроби.
  2. Итак, записываем в числителе период дроби 0, (3) то есть тройку:

А в знаменатель нужно записать некоторое количество девяток. При этом,  количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (3).

  • В периодической дроби 0, (3) период состоит из одной цифры 3. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем одну девятку:
  • Полученную дробь можно сократить на 3, тогда получим следующее:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Получили обыкновенную дробь  .

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (3) в обыкновенную дробь получается

 Пример 2. Перевести периодическую дробь 0, (45) в обыкновенную дробь.

Здесь период составляет две цифры 4 и 5. Записываем эти две цифры в числитель обыкновенной дроби:

А в знаменатель записываем некоторое количество девяток. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0, (45).

  1. В периодической дроби 0, (45) период состоит из двух цифр 4 и 5. Значит в знаменателе обыкновенной дроби записываем две девятки:
  2. Полученную дробь    можно сократить эту дробь на 9, тогда получим следующее:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Таким образом, при переводе периодической дроби 0, (45) в обыкновенную дробь получается 

Перевод смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, нужно в числителе записать разность в которой уменьшаемое это цифры, стоящие после запятой в периодической дроби, а вычитаемое — цифры, стоящие между запятой и первым периодом периодической дроби.

В знаменателе же нужно записать некоторое количество девяток и нулей. При этом, количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби, а количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

Например, переведём смешанную периодическую дробь 0,31 (6) в обыкновенную дробь.

Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Итак, записываем в числителе разность:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

  • А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,31 (6)
  • В дроби 0,31 (6) период состоит из одной цифры. Значит в знаменатель дроби записываем одну девятку:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,31 (6) между запятой и периодом располагается две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

  1. Получили выражение, которое вычисляется легко:
  2. Получили ответ 
  3. Таким образом, при переводе периодической дроби 0,31 (6) в обыкновенную дробь, получается
  4. Пример 2. Перевести смешанную периодическую дробь 0,72 (62) в обыкновенную дробь
  5. Сначала запишем в числителе разность. Уменьшаемым будут все цифры, стоящие после запятой (включая и период), а вычитаемым будут цифры, стоящие между запятой и периодом:
  6. Итак, записываем в числителе разность:
  7. А в знаменателе запишем некоторое количество девяток и нулей. Количество девяток должно быть равно количеству цифр в периоде периодической дроби 0,72 (62)
  8. В дроби 0,72 (62) период состоит из двух цифр. Значит в знаменатель дроби записываем две девятки:

Теперь дописываем количество нулей. Количество нулей должно быть равно количеству цифр между запятой и периодом периодической дроби.

В дроби 0,72 (62) между запятой и периодом располагаются две цифры. Значит в знаменателе дроби должно быть два нуля. Дописываем их:

  • Получили выражение, которое вычисляется легко:
  • Получили ответ  
  • Значит при переводе периодической дроби 0,72 (62) в обыкновенную дробь, получается 

Источник: http://spacemath.xyz/periodicheskie_drobi/

Составление системы уравнений

  • Часть  третья.
  • ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.
  • Глава шестнадцатая.

Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Периодические дроби.

§ 114. Обращение обыкновенной дроби в десятичную.§ 115. Понятие о периодической дроби.§ 116. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями

§ 114. Обращение обыкновенной дроби в десятичную.

Обратить обыкновенную дробь в десятичную — это значит найти такую десятичную дробь, которая была бы равна данной обыкновенной дроби. При обращении обыкновенных дробей в десятичные мы встретимся с двумя случаями:

1) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные точно;

2) когда обыкновенные дроби могут быть обращены в десятичные лишь приближённо. Рассмотрим эти случаи последовательно.

1. Как обратить обыкновенную несократимую дробь в десятичную, или, иными словами, как заменить обыкновенную дробь равной ей десятичной?

В случае, когда обыкновенные дроби могут быть точно обращены в десятичные, существует два способа такого обращения.

Вспомним, как заменить одну дробь другой, равной первой, или как перейти от одной дроби к другой, не изменяя величины первой. Этим мы занимались, когда приводили дроби к общему знаменателю (§86).

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, то поступаем следующим образом: находим общий знаменатель для данных дробей, вычисляем для каждой дроби дополнительный множитель и потом умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель.

Заметив это, возьмём несократимую дробь 3/20 и попробуем обратить её в десятичную. Знаменатель данной дроби равен 20, а нужно привести её к другому знаменателю, который изображался бы единицей с нулями. Мы будем искать наименьший из знаменателей, выражающихся единицей с последующими нулями.

Первый способ обращения обыкновенной дроби в десятичную основан на разложении знаменателя на простые множители.

Необходимо узнать, на какое число следует умножить 20, чтобы произведение выразилось единицей с нулями. Чтобы это узнать, нужно сначала вспомнить, на какие простые множители разлагаются числа, изображаемые единицей с нулями. Вот эти разложения:

10 = 2 • 5,100 = 2 • 2 • 5 . 5, 1 000 = 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5, 10 000 = 2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5 • 5 • 5.

Мы видим, что число, изображаемое единицей с нулями, разлагается только на двойки и пятёрки, а иных множителей в разложении нет. Кроме того, двойки и пятёрки входят в разложение в одинаковом числе. И, наконец, число тех и других множителей в отдельности равно числу нулей, стоящих после единицы в изображении данного числа.

Посмотрим теперь, как разлагается 20 на простые множители: 20 = 2 • 2 • 5. Из этого видно, что двоек в разложении числа 20 две, а пятёрок одна.

Значит, если к этим множителям мы добавим одну пятёрку, то получим число, изображаемое единицей с нулями.

Иными словами, для того, чтобы в знаменателе вместо числа 20 получилось число, изображаемое единицей с нулями, нужно 20 умножить на 5, а чтобы величина дроби не изменилась, нужно умножить на 5 и её числитель, т. е.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

  1. Таким образом, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно знаменатель этой обыкновенной дроби разложить на простые множители и затем уравнять в нём число двоек и пятёрок, введя в него (и, конечно, в числитель) недостающие множители в  необходимом  числе.
  2. Применим этот вывод к некоторым дробям.
  3. Обратить в десятичную дробь 3/50. Знаменатель этой дроби разлагается так:
  4. 50 = 2 • 5 • 5,
  5. значит, в нём недостаёт одной двойки. Добавим её:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Обратить в десятичную дробь 7/40.

Знаменатель этой дроби разлагается так: 40 = 2 • 2 • 2•5, т. е.  в нём недостаёт двух   пятёрок. Введём их в числитель и знаменатель в качестве множителей:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Из того, что изложено, нетрудно сделать вывод, какие обыкновенные дроби обращаются точно в десятичные.

Совершенно очевидно, что несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой не содержит никаких иных простых множителей, кроме 2 и 5, обращается точно в десятичную.

Десятичная дробь, которая получается от обращения некоторой обыкновенной, будет иметь столько десятичных знаков, сколько раз в состав знаменателя обыкновенной дроби после её сокращения входит численно преобладающий множитель 2 или 5.

Если мы возьмём дробь 9/40, то, во-первых, она обратится в десятичную, потому что в состав её знаменателя входят множители 2 • 2 • 2 • 5, во-вторых, полученная десятичная дробь будет иметь 3 десятичных знака, потому что численно преобладающий множитель 2 входит в разложение три раза. В самом деле:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Второй   способ (посредством деления числителя на знаменатель).

Пусть требуется обратить в десятичную дробь 3/4. Мы знаем, что 3/4  есть частное от деления 3 на 4. Это частное мы можем найти, разделив 3 на 4. Сделаем это:

  • Таким образом, 3/4 = 0,75.
  • Ещё пример: обратить в десятичную дробь 5/8.
  • Таким образом,5/8 = 0,625.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Итак, чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, достаточно разделить числитель обыкновенной дроби на её знаменатель.

2. Рассмотрим теперь второй из указанных в начале параграфа случаев, т. е. тот случай, когда обыкновенная дробь не может быть обращена в точную десятичную.

Обыкновенная несократимая дробь, знаменатель которой содержит какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5, не может обратиться точно в десятичную. В самом деле, например, дробь 8/15 не может обратиться в десятичную, так как её знаменатель 15 разлагается на два множителя: 3 и 5.

Мы не можем исключить тройку из знаменателя и не можем подобрать такого целого числа, чтобы после умножения на него данного знаменателя произведение выразилось единицей с нулями.

В таких случаях можно говорить только о приближённом обращении обыкновенных дробей в десятичные.

Как это делается? Это делается посредством деления числителя обыкновенной дроби на знаменатель, т. е. в этом случае применяют второй способ обращения обыкновенной дроби в десятичную. Значит, этот способ применяется и при точном обращении и при приближённом.

Если обыкновенная дробь обращается точно в десятичную, то от деления получается конечная десятичная дробь.

Если обыкновенная дробь не обращается в точную десятичную, то от деления получается бесконечная десятичная дробь.

Так как мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-нибудь десятичном знаке, т. е. сделать приближённое деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, т. е.

ограничиться десятыми долями; в случае надобности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, получив сотые доли, и т. д. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь.

Округление делается с той точностью, какая при решении данной задачи необходима.

§ 115. Понятие о периодической дроби.

Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью.  Например:

0,33333333…;  1,12121212…; 3,234234234…

Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Период первой из написанных выше дробей есть 3, период второй дроби 12, период третьей дроби 234. Значит, период может состоять из нескольких цифр — из одной, из двух, из трёх и т. д. Первая совокупность повторяющихся цифр называется первым периодом,  вторая совокупность — вторым периодом и т.  д.,  т.   е.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Периодическая дробь называется чистой, если её период начинается тотчас после запятой. Значит, написанные выше периодические дроби будут чистыми. Напротив, периодическая дробь называется смешанной, если у неё между запятой и первым периодом имеется одна или несколько неповторяющихся цифр, например:

2,5333333…; 4,1232323232…; 0,2345345345345… 160

Для сокращения письма можно цифры периода писать один раз в скобках и не ставить после скобок многоточия, т. е. вместо 0,33… можно писать 0,(3); вместо 2,515151… можно писать 2,(51); вместо 0,2333… можно писать 0,2(3); вместо 0,8333… можно писать 0,8(3).

  1. Читаются периодические дроби так:
  2. 0,(3) — 0 целых, 3 в периоде.
  3. 7,2(3) — 7 целых, 2 до периода, 3 в периоде.
  4. 5,00(17) — 5 целых, два нуля до периода, 17 в периоде.

Как возникают периодические дроби? Мы уже видели, что при обращении обыкновенных дробей в десятичные может быть два случая.

Во-первых, знаменатель обыкновенной несократимой дроби не содержит никаких иных множителей, кроме 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь обращается в конечную десятичную.

Во-вторых, знаменатель обыкновенной несократимой дроби содержит в себе какие-либо простые множители, отличные от 2 и 5; в этом случае обыкновенная дробь не обращается в конечную десятичную. В этом последнем случае при попытке обратить обыкновенную дробь в десятичную посредством деления числителя на  знаменатель  получается  бесконечная  дробь,   которая  всегда будет периодической.

Чтобы в этом убедиться, рассмотрим какой-нибудь пример. Попробуем обратить дробь-18/7  в десятичную.

Мы, конечно, заранее знаем, что дробь с таким знаменателем не может обратиться в конечную десятичную, и ведём речь только о приближённом обращении. Разделим числитель 18 на знаменатель 7.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Мы получили в частном восемь десятичных знаков. Нет надобности продолжать деление дальше, потому что оно всё равно не окончится.

Но отсюда понятно, что деление можно продолжать бесконечно долго и, таким образом, получать в частном новые цифры.

Эти новые цифры будут возникать потому, что у нас всё время будут получаться остатки; но никакой остаток не может быть больше делителя, который у нас равен 7.

Посмотрим, какие у нас были остатки: 4; 5; 1; 3; 2; б, т. е. это были числа, меньшие 7.

Очевидно, их не может быть больше шести, и при дальнейшем продолжении деления они должны будут повторяться, а вслед за ними будут повторяться и цифры   частного.

 Приведённый выше пример подтверждает эту мысль: десятичные знаки в частном идут в таком порядке: 571428, а после этого снова появились цифры 57. Значит, у нас окончился первый период и начинается второй.

Таким образом, бесконечная десятичная дробь, получающаяся при обращении обыкновенной дроби, всегда будет периодической.

Если периодическая дробь встречается при решении какой-нибудь задачи, то она берётся с той точностью, какая требуется условием задачи (до десятой, до сотой, до тысячной и т. д.).

§ 116. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.

При решении различных задач мы встретимся с такими случаями, когда в задачу входят и обыкновенные,   и десятичные дроби.

В этих случаях можно идти различными путями.

1. Обратить все дроби в десятичные. Это удобно потому, что вычисления над десятичными дробями легче, чем над обыкновенными. Например,

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Обратим дроби 3/4 и   11/5  в десятичные:

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

2. Обратить все дроби в обыкновенные. Так чаще всего поступают в тех случаях, когда встречаются обыкновенные дроби, не обращающиеся в конечные десятичные.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Обратим десятичные дроби в обыкновенные:

3. Вычисления ведут без обращения одних дробей в другие.

  • Это особенно удобно в тех случаях, когда в пример  входят только умножение и деление.  Например,
  • Перепишем  пример так:

4. В некоторых случаях обращают все обыкновенные дроби в десятичные (даже те, которые обращаются в периодические) и находят приближённый  результат.   Например,

  1. Обратим 2/3 в десятичную дробь, ограничившись тысячными долями:
  2. 0,667 + 0,125 + 0,234 = 1,026.

Источник: http://oldskola1.narod.ru/Shev03/ArifSh0303.htm

Периодическая дробь

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную Найти репетитора Поддержать сайт

Не все обыкновенные дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Например, если делить 2 на 3, то сначала получим ноль целых, потом шесть десятых, а затем при делении всё время будет повторяться остаток 2, а в частном — цифра 6.

Такое деление закончить без остатка невозможно и поэтому дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал Запомните!

Если в записи десятичной дроби одна цифра или группа цифр начинают повторяться бесконечно много раз, такую дробь называют периодической дробью.

В краткой записи периодической дроби повторяющуюся цифру (или группу цифр) пишут в скобках. Эту цифру (или группу цифр) называют периодом дроби.

Вместо 0,666… пишут 0,(6) и читают «ноль целых и шесть в периоде».

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Периодическую бесконечную десятичную дробь можно перевести в обыкновенную дробь.

Рассмотрим периодическую дробь 10,0219(37)

  • Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву «k». У нас «k = 2».
  • Считаем количество цифр, стоящих после запятой, но до периода десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву m. У нас «m = 4».
  • Записываем все цифры после запятой (включая цифры из периода) в виде натурального числа.Если вначале, до первой значащей цифры, идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой «a». a = 021937 = 21 937
  • Теперь записываем все цифры, стоящие после запятой, но до периода, в виде натурального числа. Если вначале до первой значащей цифры идут нули, то отбрасываем их. Обозначаем полученное число буквой «b». b = 0219 = 219
  • Подставляем найденные значения в формулу, где «Y» — целая часть бесконечной периодической дроби. У нас «Y = 10». Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Итак, подставляем все найденные значения в формулу выше и получаем обыкновенную дробь. Полученный ответ всегда можно проверить на обычном калькуляторе.

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/circulating_decimal/circulating_decimal.php

Обращение десятичной дроби в простую и обратно

Обращение периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби - Студенческий портал

Известно, что десятичные дроби используются чрезвычайно широко, причем в самых различных сферах человеческой деятельности будь то научные и прикладные вычисления, разработка и эксплуатация различной техники, экономический расчёт и так далее. В виду разного рода причин нередко приходится осуществлять обращение десятичной дроби, равно как и процесс, обратный ей. Следует заметить, что подобные преобразования производятся относительно легко, причем в соответствии с определенными правилами и методиками, существующими в математике уже на протяжении многих сотен лет.

Преобразование десятичной дроби в дробь «обыкновенную» производится достаточно легко и просто.

Для этого используется следующая методика: в качестве числителя новой дроби берется число, которое располагается справа от десятичной точки исходного числа, в качестве знаменателя используется число десять, в степени, равной количеству разрядов числителя.

Что касается оставшейся целой части, то она сохраняется неизменной. Если же целая часть равна нулю, то после преобразования она просто опускается.

Пример 1

Пятьдесят целых двадцать пять сотых равняется пятьдесят целых и двадцать пять разделить на сто равняется пятьдесят целых одна четвертая.

50,25 = 50 25 100 = 50 1 4

Пример 2

Ноль целых двадцать пять сотых равняется двадцать пять деленное на сто равняется одна четвертая.

Преобразование простой дроби в десятичную, по сути дела, является обратной обращению десятичной дроби в простую.

Её осуществление также не вызывает никаких затруднений и является, по сути дела, довольно простым арифметическим действием.

Для того чтобы обратить простую дробь в десятичную нужно разделить числитель на её знаменатель в соответствии с определенными правилами.

Пример

  • Необходимо осуществить преобразование обычной дроби пять восьмых в десятичную дробь.
  • Решение:
  • При делении пяти на восемь получается десятичная дробь ноль целых шестьсот двадцать пять тысячных.

Следует заметить, что, в отличие от такого процесса, как преобразование десятичной дроби, эта процедура за частую может длиться бесконечно долго. В таких случаях говорят, что результат процедуры обращения обычной дроби в десятичную не может быть точным.

Впрочем, практика показывает, что в подавляющем большинстве получение идеально точного результата и не требуется.

Как правило, процесс деления заканчивается тогда, когда в его ходе уже получены значения тех десятичных долей, которые представляют в каждом конкретном случае практический интерес.

Пример 1

Требуется разрезать кусок масла весом один килограмм на девять одинаковых по своей массе частей. При выполнении этой процедуры оказывается, что масса каждой из них равняется 1 / 9 килограмма. Если по всем правилам осуществлять преобразование этой обычной дроби в дробь десятичную, то получится, что масса каждой из получившихся частей равняется ноль целых и один в периоде килограмма.

Определить массу совершенно точно не представляется возможным, поскольку деление можно осуществлять бесконечно. Для того чтобы его остановить, полученную величину просто округляют до какого-либо знака после запятой (как правило, до второго).

Округление ведется по стандартным правилам, предусмотренным в арифметике: если первая из «отбрасываемых» цифр имеет значение 5 и более, то последняя из значимых увеличивается на единицу. В противном случае она остается неизменной.

Пример 2

  1. Преобразовать обычную дробь одна восьмых в дробь десятичную.
  2. Решение:
  3. При делении единицы на восемь получается ноль целых сто двадцать пять тысячных или округлённо — ноль целых тринадцать сотых.

На практике преобразование десятичной дроби в простую и обратно подчиняется некоторым важным правилам целесообразности. К примеру, даже если тогда, когда простую можно обратить в десятичную абсолютно точно, но с большим количеством знаков после запятой, преобразование обычно заканчивают на некотором значимом для практических целей разряде.

Пример 3

Преобразовать обычную дробь девять тридцать вторых в дробь десятичную.

Решение:

Источник: http://simple-math.ru/arithmetics/converting-decimal.php

Обращение периодических дробей в обыкновенные

0,232323… 0,010101…

Первая дробь содержит: 23 сотых 23 десятитысячных 23 миллионных и т. д.; вторая дробь содержит: 1 сотую 1 десятитысячную 1 миллионную и т.д. Значит, в первой дроби содержится десятичных долей всех этих разрядов в 23 раза более, чем во второй.

Поэтому, если существует обыкновенная дробь, от обращения которой получается периодическая 0,(23), то она должна быть в 23 раза более обыкновенной дроби, от которой происходит 0,(01); но дробь 0,(01) происходит, как мы видели от ; следовательно, дробь 0,(23) должна происходить от. И действительно

Правило. Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно ее период сделать числителем, а знаменателем написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде.

Примеры:

§ 183. Обращение смешанной периодической дроби в обыкновенную. Пусть требуется найти обыкновенную дробь, от которой происходит смешанная периодическая 0,3(52).

Для этого перенесем в последней запятую на одно место вправо: тогда получим чистую периодическую дробь 3,(52), которая происходит от обыкновенной.

Но, перенеся запятую на один знак вправо, мы увеличили дробь в 10 раз; следовательно, дробь будет в 10 раз более той, от которой произошла дробь 0,3(52).

Поэтому, чтобы найти искомую дробь, достаточно разделить на 10. Таким образом,

Можно вывести очень удобное правило для обращения смешанной периодической дроби в обыкновенную; для этого обратим внимание на то, как можно выполнить деление смешанного 52 числа на 10.

Сначала обратим смешанное число в неправильную дробь. Для этого следует 3 умножить на 99 и приложить потом 52. Но, вместо того чтобы умножить 3 на 99, мы можем умножить 3 на 100 и уменьшить результат на 3.

Таким образом,

Правило. Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять числителем, а знаменателем написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями, сколько цифр между запятой и периодом.

§ 184. Какие обыкновенные дроби обращаются в чистые периодические и какие — в смешанные. Мы уже знаем, что всякая обыкновенная дробь при обращении в десятичную дает либо конечную, либо периодическую десятичную дробь.

Мы знаем также, в каких случаях получается конечная и в каких периодическая десятичная дробь. Теперь мы выясним, в каких случаях получающаяся периодическая дробь будет чистой и в каких смешанной.

При этом правила, которые мы укажем, будут обоснованы в ближайших параграфах: здесь же мы приводим лишь несколько предварительных соображений, говорящих в пользу этих правил.

1. Обыкновенная дробь, знаменатель которой, после сокращения, не содержит множителей 2 и 5, обращается в чистую периодическую дробь.

Например:

Действительно, во-первых, такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую (§ 180); во-вторых, эта периодическая дробь не может быть смешанной, потому что смешанная периодическая дробь, как мы видели, обращается в такую обыкновенную дробь, знаменатель которой содержит множители 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в чистую периодическую.

2. Обыкновенная дробь, знаменатель которой, после сокращения, вместе с другими множителями содержит множители 2, или 5, или оба, обращается в смешанную периодическую дробь.

Например:

Действительно, во-первых, такая дробь должна обратиться в какую-нибудь периодическую; во-вторых, эта периодическая дробь не может быть чистой, потому что чистая периодическая дробь, как мы видели, происходит от такой обыкновенной, знаменатель которой не содержит множителей 2 и 5. Следовательно, данная дробь должна обратиться в смешанную периодическую дробь.

Источник: https://mthm.ru/arithmetic/fractions-to-ordinary

Методическая разработка по математике (5 класс) на тему: Методическая разработка открытого урока "Обращение обыкновенной дроби в десятичную" | Социальная сеть работников образования

  • Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного педагогического профессионального образования Центр повышения квалификации специалистов Красносельского района Санкт-Петербурга «Информационно-методический Центр»
  • Санкт-Петербургское государственное бюджетное нетиповое образовательное учреждение
  • «Лицей искусств «Санкт-Петербург»
  • ДЕЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ НА НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО
  • Методическая разработка урока математики в 5 классе
  • “Обращение обыкновенной дроби в десятичную”
  • слушатель курсов
  • преподаватель математики
  • Королева Елена Валерьевна
  • Санкт-Петербург
  •  2016 год

УМК: учебник Математика для 5 класса общеобразовательных учреждений Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, и др. – М.: Мнемозина, 2015. 

  1. Тема: «Обращение обыкновенной дроби в десятичную».
  2. Тип урока: урок систематизации, обобщения и сообщения новых знаний.
  3. Цель урока (учителя): закрепить понятие «десятичная дробь», сформировать умения и навыки перевода обыкновенной дроби в десятичную и научить применять полученные знания для решения задач и упражнений.
  4. Цель урока (учащегося): научиться переводить обыкновенную дробь в десятичную.
  5. Задачи:
  6. Содействовать формированию УУД:
  1. Личностных: способствовать формированию полноценного восприятия изучаемого материала, положительного отношения к школе, к изучению математики, уважение к мыслям и настроениям других учащихся, доброжелательное отношение к ним; воспитывать доброту, отзывчивость, стремление прийти на помощь в трудную минуту.
  2. Регулятивных: учить в сотрудничестве с учителем находить варианты решения учебной задачи, умению выполнять учебные действия в устной и письменной форме, адекватно воспринимать оценку своей работы.
  3. Познавательных: развивать способность к познанию, закрепить понятие «десятичная дробь»; организовать работу учащихся по изучению алгоритма перевода обыкновенных дробей в десятичные; проверять, исправлять действия в предлагаемых заданиях, работать с учебником, ориентироваться в нём с помощью значков, понимать и использовать изученные термины; развивать память, мышление, сообразительность.
  4. Коммуникативных: учить детей работать группами, индивидуально; воспринимать мнение других учащихся, понимать необходимость использования правил вежливости, уметь контролировать свои действия в классе.

Планируемые результаты:

  1. Предметные: знать правило записи и чтения десятичных дробей, уметь правильно записывать и читать десятичные дроби, применять вычислительные навыки для перевода обыкновенной дроби в десятичную при решении математических заданий.
  2. Метапредметные: умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации, понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
  3. Личностные: умение правильно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи; инициатива, находчивость, активность при решении математических заданий.

Основные термины и понятия темы:

  • значение дробной черты в записи обыкновенной дроби;
  • деление числителя на знаменатель = обращению в десятичную дробь.

Оборудование, материалы, дидактическое обеспечение урока:

  • индивидуальные задания;
  • задания для работы в паре;
  • карточки с ответами в конверте;
  • раздаточный материал для групповой работы;
  • лист самооценки;
  • мультимедийный проектор, экран или интерактивная доска;
  • презентация PowerPoint.
  • Методы обучения: словесный, наглядный, практический.
  • Формы организации деятельности: индивидуальная, парная, групповая. 
  • Девиз урока: «Недостаточно только получить знания, надо найти им применение».
  • СТРУКТУРА И ХОД УРОКА
Этап урока Формируемые УУД Задачи этапа Деятельность учителя Деятельность учащихся Время в мин.
  1. 1. Организационный этап. Мотивация к учебной деятельности
Обеспечить организацию учебной деятельности,выработать уважительное отношение к одноклассникам. Создать благоприятный психологический настрой на работу.
  1. Приветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, проводит эмоциональный настрой на урок.
  2. Здравствуйте, ребята!
  3. Повернитесь друг к другу, возьмитесь за руки, подарите улыбку своему соседу по парте, поделитесь с ним хорошим настроением.
  4. Прошу занять свои места.
  5. Слушайте меня внимательно,
  6. На вопросы отвечайте,
  7. Всё, ребята, подмечайте,
  8. Ничего не забывайте,
  9. И прошу, не подкачайте.
  10. У вас на партах лежат листы самооценки (Приложение 1), напоминаю, что вы с ними работаете на протяжении всего урока.

Ребята, сегодня на уроке вы должны открыть новое знание, но, как вам известно, каждое новое знание связано с тем, что мы уже изучили. Поэтому, начнём с повторения.

  • Приветствуют учителя,
  • проверяют готовность к уроку,

эмоционально настраиваются на урок.

1
  • Структурирование собственных знаний, контроль и оценка процесса и результа деятельности.
  • Планирование, определение последовательности действий.
  • Самоопределение.
Актуализация опорных знаний и способов действий.
  1. Откройте тетради и запишите сегодняшнее число.
  2. Предлагает учащимся задание для устного счета «Арифметический диктант»
  3. Слайд 2.

Задание 1. Выполните вычисления и выберите ответы из конверта.Задание 2. Каждое из чисел уменьшите в 10 раз и запишите полученный ответ. Выберите ответы из конверта. (Приложение 2)

  • Давайте проверим результаты!
  • Слайд 4.
  • Оцените свою самостоятельную работу.
Открывают тетради, записывают число. Выполняют устно вычисления и записывают в тетради в строчку через «;», затем выбирают ответы из конверта.Каждый полученный ответ уменьшают в 10 раз и записывают ответы через «;» во вторую строчку, затем выбирают ответы из конверта.Сравнивают с ответами на слайде. Слайды 2-4.Оценивают свою самостоятельную работу. 3
  1. 3. Изучение нового материала
  1. Выделение необходимой информации, построение логической цепи рассуждений.
  2. Целеполагание, как постановка учебной задачи,
  3. планирование, определение последовательности действий, оценивание способов достижения цели, самоопределение.
Обеспечение мотивации к учению, принятие учащимися цели урока.
  • Учитель предлагает прочитать числа, представленные на слайде
  • Слайд 5.
  • Что вы можете о них сказать?
  • Что обозначает дробная черта в записи обыкновенной дроби?
  • Давайте попробуем выполнить деление.
  • Какая дробь была, а какая стала?
  • Чем мы будем сегодня заниматься на уроке?
  • Слайд 6.
  • Сформулируйте тему урока.
  • Сформулируйте цель урока.
  • Слайд 7.
Ученики читают числа и отвечают на вопросы. Выполняют деление в столбик. Читают вывод в учебнике на с. 209. 3
4. Закрепление нового материала Структурирование знаний; построение логической цепи рассуждений. Учебное сотрудничество. Самоопределение. Познакомить с заданиями, позволяющими выстроить метапредметную связь, закрепить полученные знания. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных дробей. Расположите полученные числа в порядке возрастания и прочитайте слово, которое вы получили своему соседу. Слайд 8.

  1. Слово «КВАДРАТ».
  2. Слайд 9.
  3. Если у вашего соседа возникли трудности, помогите ему.
  • А что вы знаете о квадрате?
  •  Где в реальной жизни вы сталкивались с квадратами?
  • Какие интересные факты о квадратах вам известны?
  • Слайд 10-11.
  • Приглашает по очереди четырех учащихся с подготовленными докладами.
  • Слайды 12-15.
  • Не забывайте помечать о своих достижениях в листах самооценки.
Каждый учащийся самостоятельно переводит обыкновенные дроби в десятичные, затем располагает их в порядке возрастания и составляет слово «квадрат». Учащиеся за партой обмениваются результатом своей работы, определяют уровень своих достижений и отмечают в листах самооценки.Четверо учащихся представляю свои доклады (один доклад не более 2 минут) по темам:

  • Шахматы. Шахматная доска (Слайд 12)
  • Квадрат Казимира Малевича (Слайд 13)
  • Магический квадрат Альбрехта Дюрера (Слайд 14)
  • Квадрат в индийской культуре (Слайд 15).
13
Смена деятельности, обеспечение эмоциональной разгрузки учащихся Выполняет упражнения вместе с учащимися.Слайд 16. Выполняют упражнения. Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу. 1
6. Практическое применение учащимися знаний Самостоятельное выделение цели, решение проблемы, построение логически обоснованных рассуждений, установление причинно-следственных связей. Планирование способов взаимодействия, самоопределение. Показать многообразие решаемых задач. Учитель организует групповую работу учащихся. Предлагает учащимся объединится в группы по 4-5 человек.

Источник: https://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2017/03/12/metodicheskaya-razrabotka-otkrytogo-uroka-obrashchenie

Ссылка на основную публикацию