Перпендикулярные прямые — студенческий портал

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  a  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  b  произвольную точку  B  (рис. 1).

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

•       Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP', , сторона   BС  — общая). Следовательно,
• СP = СP',
• откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.
•       Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
•       Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

1. Рис.2
2.       С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым параллельные прямым   a,   b   и   c  .
3.       По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
4.       Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Рисунок	Свойство
	Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка   O   — основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α,  то длину отрезка   PO   называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Свойство:Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O — основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.

Свойство:Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

Свойство:Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

Свойство:Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Свойство:Если плоскости   α   и   β   перпендикулярны, а точка   P   лежит на плоскости   β,   то и перпендикуляр   PO,   опущенный из точки   P   на плоскость   α ,   также лежит в плоскости   β.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolvesh.htm

Презентация на тему: Перпендикулярные прямые на плоскости

Презентация на тему: Перпендикулярные прямые на плоскости

Скачать эту презентацию

Получить код Наши баннеры

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые на плоскости

№ слайда 2

Описание слайда:

Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными

№ слайда 3

Описание слайда:

Построение перпендикулярных прямых

№ слайда 4

Описание слайда:

Построение перпендикулярных прямых

№ слайда 5

Описание слайда:

Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками

№ слайда 6

Описание слайда:

Параллельные прямые на плоскости

№ слайда 7

Описание слайда:

Пересекаются ли прямые?

№ слайда 8

Описание слайда:

Пересекаются ли прямые?

№ слайда 9

Описание слайда:

Пересекаются ли прямые?

№ слайда 10

Описание слайда:

Пересекаются ли прямые?

№ слайда 11

Описание слайда:

Определение Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными

№ слайда 12

Описание слайда:

Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками (лучами).

№ слайда 13

Описание слайда:

Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называются параллельными отрезками (лучами).

№ слайда 14

Описание слайда:

Историческая справка Впервые термин «Параллельные прямые» возник в книге «Начала», автором которой является древнегреческий математик Евклид.

№ слайда 15

Описание слайда:

Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

№ слайда 16

Описание слайда:

Построение параллельных прямых

№ слайда 17

Описание слайда:

Параллельные прямые вокруг нас

№ слайда 18

Описание слайда:

Какое высказывание верно: Две непересекающиеся линии называются параллельными прямыми. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Две прямые на плоскости, не имеющие общих точек, называются параллельными.

№ слайда 19

Описание слайда:

Проверьте свои знания по изученной теме Вставьте пропущенные слова: Две прямые … называются параллельными, если они …. 2) Укажите параллельные прямые:

Скачать эту презентацию

Скачивание материала начнется через 60 сек. А пока Вы ожидаете, предлагаем ознакомиться с курсами видеолекций для учителей от центра дополнительного образования «Профессионал-Р» (Лицензия на осуществление образовательной деятельности

№3715 от 13.11.2013).

Получить доступ

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/perpendikuljarnye-prjamye-na-ploskosti.html

Перпендикулярность прямых и плоскостей

• Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними составляет .
• При этом прямые могут пересекаться,
• 
• а могут быть скрещивающимися:

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая  называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

1). Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

2). Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

3). Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой

Перпендикулярность плоскостей

Пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Свойство перпендикулярных плоскостей

Если прямая лежит в одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярна линии их пересечения, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

 

Источник: https://egemaximum.ru/perpendikulyarnost-pryamyx-i-ploskostej/

Перпендикулярные прямые — основные свойства, признаки и правила построения

Основные свойства

При рассмотрении того, какие прямые называют перпендикулярными, нужно уделить внимание свойствам. Они выглядят следующим образом:

1. Через одну точку А можно провести только одну перпендикулярную линию основному отрезку, остальные линии будут наклонными и могут скрещиваться.
2. Несколько перпендикуляров никогда не будут между собой пересекаться.

Для обозначения перпендикуляра применяется знак «⊥». В подобном случае угол составляет 90°. На чертеже пересечение обозначается своеобразным квадратом, которые рисуется от двух пересекающихся линий.

Доказательство взаимного расположения

Рассматриваемый термин получил широкое распространение, он фигурирует практически в каждой геометрической задаче. В некоторых случаях о взаимном расположении известно, в других это нужно доказать. Задача доказательства заключается в определении прямого угла между двумя прямыми или плоскостями. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности заключается в теореме:

1. Прямые взаимно перпендикулярны в случае, если направляющие векторы прямых перпендикулярны.
2. Доказательство связано с определением направления векторов, любой должен быть перпендикулярен.

Для определения расположения плоскостей или отрезков относительно друг друга следует провести геометрическое построение. Проходить отрезки должны в одной точке.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Рассматривая определение перпендикулярных прямых следует учитывать, что подобное свойство применимо к плоскости. Основной признак заключается в перпендикулярности отрезка к любому другому, который находится в плоскости. Перпендикулярность прямых в пространстве указывается определенным знаком.

Доказать перпендикулярность можно проведя геометрические построения. Признаки расположения плоскости и прямой под углом 90° заключаются в следующем:

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то в ней можно отложить другую прямую, лежащую под углом 90°.
2. В одной точке под прямым углом может пересекаться только две линии, значит, будет лежать только одна плоскость.

Отрезки могут быть также параллельными. В этом случае нет точки, в которой будут они пересекаться.

Построение перпендикуляра

Выдержать угловой коэффициент можно различным образом. В большинстве случаев для этого нужно иметь при себе циркуль. Построить перпендикуляр можно следующим образом:

1. С помощью циркуля проводится построение полуокружности с центром в точке Х. На основном отрезке в результате этого получается две точки А и В. Для отображения полуокружности применяется другой цвет, полученная линия вспомогательная, поэтому не выделяется жирным.
2. С точки А и В проводится откладывание двух полуокружностей, пересекающихся в двух местах по касательной. Данные точки (P и Q) используются для откладывания линии, которая может пересечь их и основной отрезок с ранее отложенными точками А и В.

Существенно упростить задачу можно путем применения специального чертежного инструмента, к примеру, любого прямоугольного треугольника. Он может называться угольником, основной его признак заключается в наличии двух перпендикулярных плоскостей. Построение проводится следующим образом:

1. Одна из сторон, смежная с прямым углом, прикладывается к проведенному отрезку. На этом этапе главное — правильно совместить поверхность инструмента с ранее отложенной линией. Незначительное отклонение может привести к изменению угла.
2. Проводится откладывание вертикального отрезка.

В геометрии чаще всего применяется именно второй способ. Однако первый урок позволяет начертить два взаимно перпендикулярных отрезка с высокой точностью. Недостаток применения циркуля заключается в наличии вспомогательных линий, которые стереть сложно. Написать о взаимном расположении линий можно в описательной записке.

Трехмерное пространство

В начертательной геометрии линии всегда находятся в двухмерном пространстве. В специальных программах можно начертить отрезки в трехмерном пространстве. Подобное взаимное расположение может выглядеть следующим образом:

1. Два отрезка перпендикулярны относительно друг друга в случае, если они параллельны другим взаимно перпендикулярным линиям, лежащим в одной плоскости.
2. Показать правильное взаимное расположение можно путем обозначения угла. Для этого применяются различные способы.
3. Если две линии лежат в одной плоскости, то они взаимно перпендикулярны при образовании четырех прямых углов.

В жизни подобное расположение прямых встречается крайне часто. Проверить угол можно при применении специальных инструментов.

Четырехмерная система координат и лемма

Некоторые программы работают с четырехмерным пространством. Взаимное расположение плоскостей под прямым углом в этом случае имеет два смысла: они могут быть перпендикулярны в трехмерном смысле при образовании двугранного угла 90°.

Рассматриваться взаимное расположение плоскостей может и в 4-мерном смысле. Условия выглядят следующим образом:

1. Они должны пересекаться в точке.
2. Любые две линии, проведенные в плоскостях через точку пересечения также могут быть перпендикулярными.

Условия четырехмерного пространства определяют то, что через одну точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей. Определять их взаимное расположение можно несколькими различными способами.

Лемма, касающаяся перпендикулярности, связана с определением параллельности. Если одна из параллельных линий расположена под прямым углом относительно плоскости или отрезка, то вторая также перпендикулярна. Ответ на многие задачи связан с доказательством леммы:

1. Даны два параллельных отрезка а и b, а также с. Задача заключается в доказательстве b ⊥ c при условии, что a ⊥ c.
2. Через произвольную точку М проводится третий и четвертый отрезок, которые параллельны прямой а и с. Образующийся угол АМС равен 90°.
3. Параллельны b и a при условии, что третий дополнительный отрезок параллелен отрезку а. В этом случае он будет параллелен и b.

При соблюдении условий полученный угол будет являться прямым. С учетом проведенных построений можно сформулировать определение перпендикулярности параллельных отрезков.

Применение термина

Как ранее было отмечено, встречается большое количество примеров применения рассматриваемого термина. На основе теоремы и доказательства были созданы различные формулы, позволяющие определить протяженность одного из сторон геометрической фигуры.

В средних и старших классах встречается большое количество задач, связанных с определением угла и протяженности сторон построенной фигуры. В некоторых случаях проводится построение диагонали, которая делит 90° на две равные части.

В жизни взаимное перпендикулярное расположение плоскостей встречается крайне часто. Примером служат несущие элементы различных сооружений. Подобное расположение позволяет правильно распределить оказываемую нагрузку. Править наклон можно путем применения специальных измерительных инструментов.

Многие геометрические фигуры построены на основе перпендикулярного расположения отрезков. Наиболее распространен параллелограмм или квадрат, треугольник. За счет выдерживания правильного угла обеспечивается также взаимное параллельное расположение сторон.

Приведенная выше информация указывает на то, что определение угла, под которым расположены плоскости, проводится в самых различных сферах. Инженеры и строители должны с высокой точностью контролировать этот показатель.

Источник: https://nauka.club/matematika/perpendikulyarnye-pryamye.html

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых, что такое перпендикуляр

В статье рассматривается вопрос о перпендикулярных прямых на плоскости и трехмерном пространстве.  Определение перпендикулярных прямых и их обозначения с приведенными примерами подробно разберем. Рассмотрим условия применения необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух прямых и подробно рассмотрим на примере.

Перпендикулярные прямые – основные сведения

Угол между пересекающимися прямыми в пространстве может быть прямым. Тогда говорят, что данные прямые перпендикулярные. Когда угол между скрещивающимися прямыми прямой, тогда прямые также являются перпендикулярными. Отсюда следует, что перпендикулярные прямые на плоскости пересекающиеся, а перпендикулярные прямые пространства могут быть пересекающимися и скрещивающимися.

То есть понятия «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» считаются равноправными.  Отсюда и взялось понятие взаимно перпендикулярные прямые. Обобщив вышесказанное, рассмотрим определение.

Определение 1

Перпендикулярность обозначается «⊥», а запись принимает вид a⊥b, что значит, прямая a перпендикулярна прямой b. 

Например, перпендикулярными прямыми на плоскости могут быть стороны квадрата с общей вершиной.  В трехмерном пространстве прямые Ox, Oz, Oy перпендикулярны попарно: Ox и Oz, Ox и Oy, Oy и Oz.

Перпендикулярность прямых – условия перпендикулярности

Свойства перпендикулярности необходимо знать, так как большинство задач сводится к его проверке для последующего решения. Бывают случаи, когда о перпендикулярности идет речь еще в условии задания или когда необходимо пользоваться доказательством. Для того, чтобы доказать перпендикулярность достаточно, чтобы угол между прямыми был прямым.

Для того, чтобы определить их перпендикулярность при известных уравнениях прямоугольной системы координат, необходимо применить необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. Рассмотрим формулировку.

Теорема 1

Для того, чтобы прямые a и b были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой обладал перпендикулярностью относительно направляющего вектора заданной прямой b.

Само доказательство основывается на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярности прямых.

Доказательство 1

Пусть введена прямоугольная декартова система координат Оху с заданными уравнениями прямой на плоскости, которые определяют прямые a и b. Направляющие векторы прямых a и b обозначим a→ и b→.  Из уравнения прямых a и b необходимым и достаточным условием является перпендикулярность векторов a→ и b→.

Это возможно только при скалярном произведении векторов a→=(ax, ay) и b→=(bx, by) равном нулю, а запись имеет вид a→, b→=ax·bx+ay·by=0.

Получим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых a и b, находящихся в прямоугольной системе координат Оху на плоскости, является a→, b→=ax·bx+ay·by=0, где a→=(ax, ay) и b→=bx, by — это направляющие векторы прямых a и b.

Пример 1

Заданы три точки A (8, 6), B(6, 3), C(2, 10) в прямоугольной системе координат Оху. Определить, прямые АВ и АС перпендикулярны или нет.

Решение

Прямые АВ и АС имеют направляющие векторы AB→ и AC→ соответственно. Для начала вычислим AB→=(-2, -3),  AC→=(-6, 4). Получим, что векторы AB→ и AC→ перпендикулярны из свойства о скалярном произведении векторов, равном нулю.

• AB→, AC→=(-2)·(-6)+(-3)·4=0
• Очевидно, что необходимое и достаточное условие выполнимо, значит, АВ и АС перпендикулярны.
• Ответ: прямые перпендикулярны.

Пример 2

1. Определить, заданные прямые x-12=y-73 и x=1+λy=2-2·λ перпендикулярны или нет.
2. Решение
3. a→=(2, 3) является направляющим вектором заданной прямой x-12=y-73,
4. b→=(1, -2) является направляющим вектором прямой x=1+λy=2-2·λ.
5. Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a→ и b→.  Выражение будет записано:
6. a→,b→=2·1+3·-2=2-6≠0
7. Результат произведения не равен нулю, можно сделать вывод, что векторы не перпендикулярны, значит и прямые также не перпендикулярны.
8. Ответ: прямые не перпендикулярны.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b применяется для трехмерного пространства, записывается  в виде a→, b→=ax·bx+ay·by+az·bz=0, где a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) являются направляющими векторами прямых a и b.

Пример 3

Проверить перпендикулярность прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, заданные уравнениями x2=y-1=z+10 и x=λy=1+2·λz=4·λ

Решение

Знаменатели из канонических уравнений прямых считаются координатами направляющего вектора прямой. Координаты направляющего вектора из параметрического уравнения – коэффициенты. Отсюда следует, что a→=(2, -1, 0) и b→=(1, 2, 4) являются направляющими векторами заданных прямых. Для выявления их перпендикулярности найдем скалярное произведение векторов.

Выражение примет вид a→,b→=2·1+(-1)·2+0·4=0. 

Векторы перпендикулярны, так как произведение равно нулю. Необходимое и достаточное условие выполнено, значит прямые также перпендикулярны.

Ответ: прямые перпендикулярны.

Проверка перпендикулярности может проводится, исходя из других необходимых и достаточных условий перпендикулярности.

Теорема 2

Прямые a и b на плоскости считаются перпендикулярными при перпендикулярности нормального вектора прямой a  с вектором b, это и есть необходимое и достаточное условие.

Доказательство 2

Данное условие применимо, когда уравнения прямых дают быстрое нахождение координат нормальных векторов заданных прямых.  То есть при наличии общего уравнения прямой вида  Ax+By+C=0, уравнения прямой в отрезках  вида xa+yb=1, уравнения прямой с угловым коэффициентом вида y=kx+b координаты векторов возможно найти.

Пример 4

Выяснить, перпендикулярны ли прямые 3x-y+2=0 и x32+y12=1.

Решение

Упростим уравнение x32+y12=1 до вида 23x+2y-1=0. Теперь четко видны координаты нормального вектора, которые запишем  в такой форме nb→=23, 2.

Векторы na→=(3, -1) и nb→=23, 2 будут перпендикулярными, так как их скалярное произведение даст в итоге значение равное 0. Получим na→, nb→=3·23+(-1)·2=0.

Необходимое и достаточное условие было выполнено. 

Ответ: прямые перпендикулярны.

Когда прямая a на плоскости определена при помощи уравнения с угловым коэффициентом y=k1x+b1, а прямая b — y=k2x+b2, отсюда следует, что нормальные векторы будут иметь координаты (k1, -1) и (k2, -1). Само условие перпендикулярности сводится к k1·k2+(-1)·(-1)=0⇔k1·k2=-1. 

Пример 5

• Выяснить, перпендикулярны ли прямые y=-37x и y=73x-12.
• Решение
• Прямая y=-37x имеет угловой коэффициент, равный -37, а прямая y=73x-12-  73.
• Произведение угловых коэффициентов дает значение -1, -37·73=-1, то есть прямые являются перпендикулярными.
• Ответ: заданные прямые перпендикулярны.

Имеется еще одно условие, используемое для определения перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема 3

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимым и достаточным условием является коллинеарность  направляющего вектора одной из прямых с нормальным вектором второй прямой.

Доказательство 3

Условие применимо, когда есть возможность нахождения направляющего вектора одной прямой и координат нормального вектора другой. Иначе говоря, одна прямая задается каноническим или параметрическим уравнением, а другая общим уравнением прямой, уравнением в отрезках или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример 6

1. Определить, являются ли заданные прямые x-y-1=0 и x0=y-42 перпендикулярными.
2. Решение
3. Получаем, что нормальный вектор прямой x-y-1=0 имеет координаты na→=(1, -1), а b→=(0, 2) — направляющий вектор прямой x0=y-42.

Отсюда видно, что векторы na→=(1, -1) и b→=(0, 2) не коллинеарны, потому что условие коллинеарности не выполняется. Не существует такого числа t, чтобы выполнялось равенство na→=t·b→. Отсюда вывод, что прямые не являются перпендикулярными.

Ответ: прямые не перпендикулярны.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/perpendikuljarnye-prjamye-uslovie-perpendikuljarno/

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между прямыми

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. 

• Если уравнения прямой заданы в общем виде
• A1x + B1y + C1 = 0,         
• A2x + B2y + C2 = 0,     (6)
• угол между ними определяется по формуле

     (7)

1. 4. Условия параллельности двух прямых:
2. а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
3. k1 = k2.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

Условием перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями

1.

служит соотношение

т.е. две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, и не перпендикулярны, если оно не равно -1.

Пример 1.

Прямые

перпендикулярны, так как

4.

Пример 2.

Прямые

не перпендикулярны, так как

6.

Если две прямые представлены уравнениями

7.	A1 x+ B1 y+ C1= 0A1 x+ B1 y+ C1= 0

то условие их перпендикулярности есть

или в другом обозначении (определитель второго порядка) Пример 3.

Прямые

10.

перпендикулярны. Здесь

11.	А1= 2, А2= 5, В1= 5, В2=−2,

значит,

12.	А1 А2+ В1 В2= 10 – 10= 0

Пример 4.

Прямые

13.

• не перпендикулярны, так как здесь
• Угол между прямыми.
• Пусть две неперпендикулярные прямые L1, L2 (взятые в данном порядке) представляются уравнениями

1.

Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле

Угол между двумя прямыми

то выражение стоящее в знаменателе, обращается в нуль

и частное перестает существовать. Одновременно перестает существовать («обращается в бесконечность») tg(θ). Формула (2), понимаемая буквально, теряет смысл, но в этом случае ее нужно понимать условно. Именно, всякий раз, как в знаменателе появляется нуль, угол θ надо считать равным ±90° (как поворот на +90°, так и поворот на -90° совмещает любую из перпендикулярных прямых с другой).

1. то формула (2) вовсе неприменима, ибо тогда одну из прямых (или обе) нельзя представить уравнением вида (1).
2. В этом случае угол θ определяется следующим образом:
3. а) когда прямая L2 параллельная оси OY, а L1 не параллельна, применяем формулу
4. б) когда прямая L1 параллельна оси OY, а L2 не параллельна, применяем формулу
5. в) когда обе прямые параллельны оси OY, они параллельны и между собой, так что

Источник: http://studentmtuci.blogspot.com/2015/01/blog-post_28.html