Арифметический корень натуральной степени — студенческий портал

ПЛАН-КОНСПЕКТ ЗАНЯТИЯ

Корень n-й степени и его свойства

  • ФИО (полностью)
  • Кривова Галина Валерьевна
  • Место работы

ГБОУ СПО «Электростальский колледж» г.о. Электросталь, Московской области

  1. Должность
  2. Преподаватель
  3. Предмет
  4. Математика
  5. Курс
  6. 1
  7. Тема занятия

Корень n-й степени и его свойства

Базовые учебник, сборник задач

Мордкович А.Г., Денищева Л.О. и др. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для учащихся (профильный уровень). Москва, Мнемозина. 2009 г.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра и начала математического анализа. Задачник для учащихся (профильный уровень). Москва, Мнемозина, 2009 г.

  1. Тип занятия: практическое занятие

  2. Цель занятия: обучить решению заданий на нахождение корня п-ой степени.

  • Образовательная задача: сформировать умение применять определение и свойства корней при решении заданий, используя графики функций и таблицу степеней; способствовать индивидуализации и дифференциации обучения с помощью применения разноуровневых задач и информационно-коммуникационных технологий
  • Развивающая задача: развитие умений анализировать, обобщать изучаемые факты, развитие навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самостоятельной работы
  • Воспитательная задача:воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.
  • 10. Формируемые УУД:
  • осуществление информационного поиска,
  • выявление существенной информации, выдвижение гипотезы, её проверка,
  • построение логической цепочки рассуждений,
  • анализ ситуации, моделирование, использование знаково-символических действий.
  1. Технология: групповая

  2. Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая

  3. Оборудование: опорный план на доске, презентация к уроку, раздаточный материал: карточки с заданием для индивидуальной работы.

  1. СТРУКТУРА И ХОД ЗАНЯТИЯ
  2. Этап
  3. Используемые специальные средства, ЭОР
  4. Деятельность учителя
  5. (с указанием действий со специальными средствами, например, демонстрация)
  6. Деятельность ученика
  7. Формируемые
  8. УУД СУД
  9. 1
  10. 2
  11. 3
  12. 5
  13. 6
  14. 7
  15. 1
  16. Орг.момент
  17. Конспекты, сообщения и презентации

Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы познакомимся со следующими понятиями: корень n-ой степени, арифметический корень n-ой степени из числа, с решениями уравнений вида хn=a.

Сейчас ребята, познакомят вас с историей возникновения квадратного корня, термина “радикал”, т.е. корень, и напомнят определение квадратного корня.

  • (Доклад – читает учащийся).
  • Записывают в тетрадях цели на данное занятие и выступают с сообщениями и презентациями.
  • Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной форме.
  • 2
  • Исторические справки
  • (приложение 1)
  • Выслушивает выступления учащихся
  • Умение высказывать свои мысли перед сверстниками
  • Развитие познавательных интересов и инициативы студентов
  • 3
  • Актуализация знаний проводится в форме фронтального опроса.
  • презентация
  • (приложение 2)

Аналогично определим корень n-ой степени. Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.

Примеры:

Корень третьей степени из числа 27 равен 3, т.к. 33=27.

Корень шестой степени из числа 64 равен 2 и (-2), т.к. 26=64 и (-2)6=64.

Согласно данному определению, корень n-ой степени из числа а – это решение уравнения хn=а. Число корней данного уравнения зависит от n и а.

  1. Рассмотрим функцию f(x)=xn. Эта функция при любом n возрастает на промежутке от нуля до бесконечности и
  2. принимает все значения из этого промежутка.
  3. Учащиеся отвечают на вопросы, обосновывают ответы.
  4. Умение строить речевое высказывание умение сравнивать и анализировать.
  5. -моделирование
  6. -сравнение, анализ
  7. -обсуждение проблемы
  8. -поиск путей решения проблемы
  9. -сравнение предметов, объектов
  10. -работа с моделями
  11. -сотрудничество с учителем и сверстниками,
  12. -умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации
  13. -соблюдать простейшие нормы речевого элемента
  14. -вести диалог
  15. -участвовать в коллективном обсуждении проблемы
  16. Развитие познавательных интересов и инициативы студентов.
  17. Разминка: Устный счет. Задаваемые вопросы ученикам:
  18. Вычислить:
    1. 23

    2. 32

    3. 33

    4. 42

  • 4
  • Обобщение знаний о корне с использованием презентации
  • Телевизор, презентация, слайды
  • Выслушивает ответы учащихся и корректирует их.
  • Учащиеся зачитывают информацию на слайдах.
  • Соблюдать простейшие нормы речевого этикета; умение высказывать свои мысли перед сверстниками.
  • Развитие познавательных интересов и инициативы студентов
  • 5
  • Решение задач
  • Контролирует и оценивает выступления учащихся.
  • Выступление трёх учащихся, приготовивших решение задач с применением корней.
  • Остальные – участвуют в обсуждении задачи, конспектируют.
  • Обсуждение проблемы, построение логической цепи рассуждений, умение точно выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями, умение высказывать свои мысли перед сверстниками.
  • Развитие познавательных интересов и инициативы студентов
  • 6
  • Практическая работа в группах
  • (Приложение 3)
  • Дает консультации по группам, если они необходимы.
  • По группам решают задачи (приложение)
  • планирование работы в группе и с учителем
  • -моделировать ситуацию поведения
  • корректировать способы действия
  • умение осуществлять действия по образцу, по алгоритму
  • — умение сохранять заданную цель
  • -строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей
  • — подведение под понятия,
  • -умение видеть указанную ошибку и исправлять её
  • -умение ценить взаимопомощь
  • -развитие познавательных интересов и инициативы студентов
  • 7
  • Подведение итогов работы в группах
  • Контролирует и оценивает выступления учащихся.

Выступление представителей каждой группы с решенными задачами. Все остальные, кратко записывают решения задач.

  1. 8
  2. Подведение итогов занятия
  3. Преподаватель подводит итоги занятия вместе со студентами
  4. Заключение.

Хотелось бы сказать, что хорошее математическое образование и развитие математических способностей необходимы не только тому, кто впоследствии займется научными исследованиями в области математики, физики, астрономии или инженерного дела, но и тому, кто станет экономистом, агрономом и просто квалифицированным рабочим. Математический стиль мышления нужен также будущим юристам, историкам, биологам, врачам и лингвистам.

  • Слушают и комментируют итоги вместе с преподавателем
  • Развитие познавательных интересов и инициативы студентов
  • 9
  • Домашнее задание
  • (приложение 4)
  • Преподаватель комментирует домашнее задание на карточке
  • (приложение 2)
  • Получают карточку с домашней работой по вариантам
  • Развитие познавательных интересов самостоятельности студентов
  • ПРИЛОЖЕНИЕ 1
  • Историческая справка о корнях
  • Начало формы
  • Конец формы
  • Вступление.
Читайте также:  Объединение северо-восточной руси вокруг москвы - студенческий портал

Датский физик Нильс Бор говорил, что математика является значительно большим, чем наука, поскольку она является языком науки. Математика превратилась в необходимое орудие познания, без которого многие естествоиспытатели не мыслят себе саму возможность развития их областей знания.

Впервые взглянув на такие выражения:

, , ( , думаешь:

« Как же их решать?! С чего начать? И какой же будет здесь ответ – положительный или отрицательный, простое число или десятичная дробь?» но стоит только вникнуть в тему, все становится понятным, нет ничего сложного…

Историческая справка

Название «радикал» происходит от латинских слов radix- «корень», radicalis- «коренной». Начиная с ΙΙΙ века европейские математики обозначали корень этим словом, или, сокращенно, r. В 1525 г. В книге К.

Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс» появилось обозначение V для знака квадратного корня, корень кубический обозначался там как VVV. В 1626 году голландский математик А. Жирар ввел обозначение , и т. д.

, которое стало быстро вытеснять знак r; при этом над покоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Тогда писали V x + у вместо современного .

Современное обозначение корня впервые появилось в книге Р. Декарта «Геометрия», изданной в 1637 г. Приближенное значение квадратных корней из целых чисел умели находить ещё в Древнем Вавилоне около 4 тыс. лет назад.

При этом вавилонские учёные пользовались следующим методом: число а представляли в виде суммы в²+с, где с мало по сравнению с в², и полагали = в + с /2в.

Например: = Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал=Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал=40+=41 (пример взят из вавилонской клинописной таблички). Для сравнения укажем более точное значение корня =41,23105. Заметим, что такой способ приближенного извлечения квадратного корня часто называют вавилонским методом извлечения квадратного корня.

  1. ПРИЛОЖЕНИЕ 2
  2. Начало формы
  3. Конец формы
  4. Определение корня n-ой степени.

Радикалом (или знаком корня) называют знак , применяемый для обозначения операции извлечения корня n-ой степени из некоторого числа, корень n-ой степени из числа a обозначается . При n2 показатель корня опускают и пишут вместо .

Корень второй степени обычно называют квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем. При извлечении корня четной степени из неотрицательного числа а запись обозначает арифметический корень из числа а (т. е. такое неотрицательное число в, что =а).

При четном n существует два корня n-ой степени из любого положительного числа а; корень n-ой степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует.

При нечетных значениях n функция возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел.

Применяя теорему о корне, находим, что уравнение, =а имеет один корень при любом а и, в частности, при а0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают .

  • Итак, при нечетном n существует корень n-ой степени
  • из любого числа а, и при том только один.
  • Для корней нечетной степени справедливо равенство: =-.
  • Степенью числа а0 с рациональным показателем r= , где — целое число, а n — натуральное (n), называется число .
  • Свойства корня -ой степени.
  • Для любого натурального n, целого и любых неотрицательных чисел а и в выполнено равенство:
  • 1)  =
  • 2)  = (причем в
  • 3)  = (k
  • 4)  = (k
  • 5) = ( (если k 0, то а0)
  • ТАБЛИЦА СТЕПЕНЕЙ ЧИСЕЛ

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

  1. Примеры
  2. 1)  Найдите значения выражений:
  3. ; ; .
  4. По определению степени с рациональным показателем и свойствами корней, имеем:
  5. = = 2, = = ( = = 27,
  6. = =( = = = .
  7. 2)  Сравним числа : и .
  8. = = = ;
  9. = = = ,

Т. к. 625729, то , значит Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Работа по группам

  • Вариант I
  • Вариант II
  • Вариант I I I
  • Обязательный уровень (с выбором ответа)
  • А1. Вычислить:
  • 1) 81; 2) 9; 3) 3;
  • А1. Вычислить:
  • 1) 1; 2) 2; 3) 20;
  • А1. Вычислить:
  • 1) 1; 2) 2; 3) 20;
  • А2. Вычислить: -2
  • 1) -8; 2) 4; 3) -4;
  • А2. Вычислить
  • 1) 100; 2) 10; 3) 1;
  • А2. Вычислить
  • 1) 25; 2) 5; 3) 125;
  • А3. Вычислить:
  • 1) 50; 2) 25; 3) 5;
  • А3. Вычислить: -6
  • 1) — 24; 2) – 12; 3) 12;
  • А3. Вычислить: -2
  • 1) — 24; 2) – 4; 3) 12;
  • А4. Решить уравнение: х6=64
  • 1) 2; 2) -4; 4 3) -2; 2
  • А4. Решить уравнение: х5=32
  • 1) -2; 2) 2; 3) -2; 2
  • А4. Решить уравнение: х5=243
  • 1) -2; 2) 3; 3) -2; 2
  • Обязательный уровень (указать ответ)
  • А5. Вычислить:
  • =
  • Ответ:
  • А5. Вычислить:
  • Ответ:
  • А5. Вычислить:

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

  1. Ответ:
  2. А6. Преобразовать выражение:
  3. =
  4. Ответ:
  5. А6. Преобразовать выражение:
  6. Ответ:
  7. А6. Преобразовать выражение:
  8. Ответ:
  • ПРИЛОЖЕНИЕ 4
  • Домашнее задание
  • Домашняя работа

Корень n – ой степени. В. 1.

Домашняя работа

Корень n – ой степени. В. 2.

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

  1. Сравните числа:

  1. 4. а) Внесите множитель под знак корня:
  2. б) Вынесите множитель
  3. из – под знака корня:

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

  1. Сравните числа:

  • 4. а) Внесите множитель под знак корня:
  • б) Вынесите множитель
  • из – под знака корня:
Читайте также:  Анализ валового дохода - студенческий портал

Источник: https://infourok.ru/plankonspekt-uroka-po-teme-koren-poy-stepeni-dlya-studentov-kursa-spo-431801.html

math4school.ru

  • Арифметический корень
  • Свойства корней
  • Значения некоторых корней n-й степени
  • Таблица квадратных корней натуральных чисел от 1 до 99
  • Таблица кубических корней натуральных чисел от 1 до 99

Арифметический корень

Арифметическим корнем  n-й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число b,  n-я степень которого равна a.

Записывается так: 

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

Эта запись означает, что bn = a, где b и a – неотрицательные числа.

Число n называется показателем степени корня, число а – подкоренным выражением, b – значением арифметического корня n-й степени. Операция нахождения значения корня называется извлечением корня.

  1. Корней чётной степени из отрицательных чисел не существует.
  2. Корнем нечётной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число b, которое при его возведении в эту нечётную степень равно числу а.
  3. Для корней нечётной степени справедливо равенство:

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

Свойства корней

Для положительных а и b, натуральных n и k (n ≥ 2, k ≥ 2), целого m выполняются следующие соотношения.

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий порталКроме того, для любого числа а верно:

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

Значения некоторых корней n-й степени

 3√8 = 2  4√16 = 2  5√32 = 2  6√64 = 2  7√128 = 2  8√256 = 2  9√512 = 2  10√1024 = 2
 3√27 = 3  4√81 = 3  5√243 = 3  6√729 = 3  7√2187 = 3  8√6561 = 3  9√19683 = 3  10√59049 = 3
 3√64 = 4  4√256 = 4  5√1024 = 4  6√4096 = 4  7√16384 = 4  8√65536 = 4  9√262144 = 4  10√1048576 = 4
 3√125 = 5  4√625 = 5  5√3125 = 5  6√15625 = 5  7√78125 = 5  8√390625 = 5  9√1953125 = 5  10√9765625 = 5
 3√216 = 6  4√1296 = 6  5√7776 = 6  6√46656 = 6  7√279936 = 6  8√1679616 = 6  9√10077696 = 6  10√60466176 = 6
 3√343 = 7  4√2401 = 7  5√16807 = 7  6√117649 = 7  7√823543 = 7  8√5764801 = 7  9√40353607 = 7  10√282475249 = 7

Источник: http://math4school.ru/arifmeticheskij_koren.html

Урок 16. арифметический корень натуральной степени — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс — Российская электронная школа

  • Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
  • Урок №16 Название темы: Арифметический корень натуральной степени.
  • Перечень тем, рассматриваемых на уроке:
  • преобразование и вычисление арифметических корней,
  • свойства арифметического корня натуральной степени,
  • корень нечетной степени из отрицательного числа,
  • какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени.

Глоссарий

  1. Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
  2. Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.
  3. Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.
  4. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
  5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n ≥ 2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

  1. Сканави М. И., Зайцев В. В., Рыжков В. В. «Элементарная математика». – Книга по требованию, 2012.
  2. Семенова А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 3000 задач с ответами, математика под редакцией Москва, 2017.
  3. Ященко И. В. ЕГЭ 3300 задач с ответами, математика профильный уровень под редакцией Москва, 2017.
  1. Объяснение темы «Арифметический корень натуральной степени»
  2. Решим задачу.
  3. Площадь квадрата S=16 м².
  4. Обозначим сторону квадрата а, м.

Арифметический корень натуральной степени - Студенческий портал

  • Тогда, а² = 16.
  • Решим данное уравнение:
  • a=4 и а= –4.
  • Проверим решение:
  • 4² = 16;
  • (–4)² = 16.
  • Ответ: длина стороны квадрата равна 4 м.
  • Определение:
  • Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого будет равен a.
  • Определение:
  • Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Определение:

Кубический корень из а— это такое число, которое при возведении в третью степень дает число а.

Например:

  1. На основании определений квадратного и кубического корней, можно сформулировать определения корня n-ой степени и арифметического корня n-ой степени.
  2. Определение:
  3. Корнем n-ой степени из числа a называют такое число, n-ая степень которого будет равна a.
  4. Определение:
  5. Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.
  6. Обозначение: – корень n-й степени, где
  7. n–степень арифметического корня;
  8. а– подкоренное выражение.
  • Мы знаем, что (–3)5 = –243, следовательно, .
  • На основании этих примеров, можно сделать вывод:
  • , при условии, что n –нечетное число.
  • Свойства арифметического корня натуральной степени:
  • Если а ≥ 0, b ≥ 0 и n, m – натуральные числа, причем n ≥ 2, m ≥ 2, то справедливо следующее:
  1. .
  1. Примеры:
  2. .
  3. .
  1. .
  • Примеры:
  • .
  • .
  1. .

Пример:

.

  1. .

Пример:

.

  1. Для любогоа справедливо равенство:
  1. Пример:
  2. Найдите значение выражения , при 3 3;

    =|x – 6|=6 – x, т.к. х

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5498/conspect/

Арифметические корни натуральной степени: корни 1, 2, 3, n-степени. Определение, примеры, теоремы

Определение 1

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если его возвести во вторую степень (в квадрат).

Пример 1

  • 82=8×8=64 — число 8 — это корень второй степени из 64
  • 0,62=0,6×0,6=0,36 — число 0,6 — это корень второй степени из 0,36
  • 12=1×1=1 — число 1 — это корень второй степени из числа 1

Не забудем упомянуть, что есть числа, для которых невозможно найти равный этому числу квадрат, который являлся бы действительным числом. Проще говоря, не для всех чисел можно найти действительное число, квадрат которого был бы равен данному числу. 

Замечание 1

Для любого числа a, a=b2 при отрицательном показателе a не является верным, поскольку a=b2 не может иметь отрицательное значение при любом показателе b.  Отсюда следует вывод: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа.

Поскольку 02=0×0=0, то нуль и есть квадратный корень числа «нуль».

Определение 2

Арифметический корень второй степени числа a (a≥0) — неотрицательное число, которое становится равным a, если возвести его в квадрат.

Арифметический корень второй степени из числа a имеет следующее обозначение: a. Однако встречается и такое обозначение: a2, но двойку (показатель корня) не нужно прописывать.

Знак арифметического корня «» также имеет название «радикал». Следует запомнить, что «корень» и «радикал» являются полными синонимами (имеют абсолютно одинаковое значение и употребляются и в том, и в том варианте).

Число, стоящее под знаком корня, — это подкоренное число. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его принято называть подкоренным выражением, соответственно.

Определение 3

  1. Глядя на определение понятия «арифметический корень», можно вывести следующую формулу:
  2. Для любого a≥0:
  3. (a)2=a,a≥0.
  4. Слово «арифметический» при чтении записи 9 можно опустить.

Далее мы рассмотрим исключительно арифметические корни из неотрицательных чисел и выражений. 

Кубический корень

Определение 4

Арифметический корень третьей степени (кубический корень) — неотрицательное число, которое при условии возведении его в куб, станет равным a. Обозначается как a3.

Число 3 в данной записи — показатель корня. Число или выражение, стоящее под знаком корня — подкоренное.

Опять же, слово «арифметический» чаще всего не используют, а просто говорят: «корень третьей степени из числа a». 

Пример 2

3,53- арифметический корень 3-й степени из 3,5 или кубический корень из 3,5;

x+53- арифметический корень 3-й степени из x+5 или кубический корень из x+5.

Арифметический корень n-ной степени

Определение 5

Арифметический корень n-ной степени из числа a≥0 — неотрицательное число, которое, при условии возведения в степень, становится равным числу a и обозначается: an, где a — подкоренное число или выражение, а n — показатель корня.

Арифметический корень можно записать при помощи следующих символов: 

(an)n=a.

Пример 3

1,29 — арифметический корень седьмой степени из числа 1,2, где 1,2 — подкоренное число, а 9 — показатель корня.

y2+66 — арифметический корень из y2+6 где y2+6 — подкоренное выражение, а 6 — показатель корня.

  • Исходя из определения арифметического корня n-ной степени, подкоренным выражением должно являться неотрицательное число или выражение. Если в равенстве (an)n=a обе части умножить на -1, то получатся две равносильные части равенства: -(an)n=-a
  • Из этого следует, что для нечетных показателей арифметического корня записывают следующее равенство:
  • -an=-an

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/korni/arifmeticheskie-korni-naturalnoj-stepeni/

Корни и степени

  • Степенью называется выражение вида .
  • Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

  1. .
  2. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.
  3. .
  4. Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

  • Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.
  • По определению,
  • .

Это верно для . Выражение 00 не определено.

  1. Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.
  2. Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.
  3. Например,
  4. Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

  • Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

  1. Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .
  2. Например, , так как ;
  3. , так как ;
  4. , так как .

  5. Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
  6. Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

  • Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .
  • Например,
  • Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.
  • Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

  1. По определению,
  2. в общем случае .
  3. Сразу договоримся, что основание степени больше 0.
  4. Например,
  5. Выражение по определению равно .
  6. При этом также выполняется условие, что больше 0.
  7. Например,
  8. Запомним правила действий со степенями:
  9. — при перемножении степеней показатели складываются
  10. — при делении степени на степень показатели вычитаются
  11. — при возведении степени в степень показатели перемножаются
  12. Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:
  13. 1.
  14. Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.
  15. 2.
  16. 3.
  17. Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/korni-i-stepeni/

Ссылка на основную публикацию