Медианы, биссектрисы, высоты треугольника — студенческий портал

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок (AC) называется перпендикуляром, проведённым из точки (A) прямой (a), если прямые (AC) и (a) перпендикулярны.

Точка (C) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 

  

• Докажем, что от точки (A), не лежащей на прямой (BC), можно провести перпендикуляр к этой прямой.
• Допустим, что дан угол ∡ABC.
• Отложим от луча (BC) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне (BC)).
• Сторона (BA) совместится со стороной BA1.
• При этом точка (A) наложится на некоторую точку A1.
• Следовательно, совмещается угол ∡ACB с ∡A1CB.
• Но углы ∡ACB и ∡A1CB — смежные, значит, каждый из них прямой.
• Прямая AA1 перпендикулярна прямой (BC), а отрезок (AC) является перпендикуляром от точки (A) к прямой (BC).

Если допустить, что через точку (A) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой (BC), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA1. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:1. найти середину стороны;

2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:1.

построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);2.

найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:1.

провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);2.

из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

(AB = BC) — боковые стороны , (AC) — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда к углу напротив основания провести биссектрису (BD).

Пусть (BD) — биссектриса треугольника (ABC). ΔABD=ΔCBD по первому признаку равенства треугольников ((AB = BC) по условию, (BD) — общая сторона, ∡ABD=∡CBD, так как (BD) — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. ∡A=∡C — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. (AD = DC) — доказано, что биссектриса является медианой.

3. ∡ADB=∡CDB — так как смежные углы, сумма которых 180°, равны, то каждый из них равен 90°, то есть медиана является высотой.

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/treugolniki-9112/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika-9481/re-56c524c8-9727-48db-9926-95988d203d40

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

Инфоурок › Геометрия ›Презентации›Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Медианы, биссектрисы, высоты Треугольника Работу выполнила Учитель математики: Нарейко Е.Г.

2 слайд Описание слайда:

A C B M Медианой треугольника, проведённой из данной вершины , называется отрезок , соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

3 слайд Описание слайда:

Медианы в треугольнике В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. Точку пересечения медиан (в физике) принято называть центром тяжести.

4 слайд Описание слайда:

Медиана – обезьяна, У которой зоркий глаз. Прыгнет точно в середину Стороны против вершины, Где находится сейчас.

5 слайд Описание слайда:

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника, A

6 слайд Описание слайда:

Биссектрисы в треугольнике В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр вписанной в треугольник окружности.

7 слайд Описание слайда:

Биссектриса — это крыса. Которая бегает по углам И делит угол пополам.

8 слайд Описание слайда:

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону называется высотой треугольника

9 слайд Описание слайда:

Высоты в треугольнике

10 слайд Описание слайда:

Высота похожа на кота. Который, выгнув спину И под прямым углом Соединит вершину И сторону хвостом,

11 слайд Описание слайда:

Зовусь я треугольник, Со мной хлопот не оберётся школьник По – разному всегда я называюсь, Бываю я равносторонним, когда все стороны равны. Когда ж все разные даны, то я зовусь разносторонним. И если, наконец, равны две стороны, То равнобедренным я величаюсь.

12 слайд Описание слайда:

Треугольник называет равнобедренным, если у него две стороны равны АС и ВС – боковые стороны АВ – основание А и ےВ – углы при основании С – вершина треугольник С – угол при вершине B A C АС = ВС

13 слайд Описание слайда:

Проверен экспертом

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/mediany-bissektrisy-vysoty-treugolnika-4056694.html

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

На этом уроке мы продолжим рассмотрение элементов треугольника – медиан, биссектрис и высот треугольника. Вначале дадим определение медианы треугольника и рассмотрим три медианы треугольника.

Дадим определение биссектрисы треугольника и рассмотрим три биссектрисы треугольника. Дадим определение высоты треугольника и рассмотрим высоты в произвольном треугольнике и в тупом треугольнике.

Далее решим ряд задач с использованием этих элементов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Рис. 1. Медианы треугольника

• А, В, С – вершины треугольника.
•  – середины сторон треугольника. 
•   – медианы треугольника.

У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.

Рис. 2. Биссектрисы треугольника

C, D, E – вершины треугольника.

Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Рис. 3. Высоты остроугольного треугольника

А, В, С – вершины треугольника. 

Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:

Рис. 4. Высоты тупоугольного треугольника

Перпендикуляр, опущенный с вершины С на прямую ВА, это перпендикуляр , который является высотой треугольника.  – это перпендикуляр, опущенный с вершины В на прямую СА, которая содержит сторону АС.  – это вторая высота треугольника. – третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.

Пример 1: Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

1.  Докажите, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

1. Дано: BD = CD, AD = ED.
2. Доказать: ∆ABD = ∆ECD.
3. Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

• треугольник ABD = треугольнику ECD по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
• Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .
• Найти: ∠АСЕ.
• Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник ABD = треугольнику ECD. Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

1. Ответ: ∠ACE = .
2. Пример 2: треугольник АВС =  треугольнику .
3. Доказать: медианы ВМ и  равны.
4. Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис.7. Чертеж к примеру 2

1 способ:

. 

Отсюда следует, что треугольник АВМ = треугольнику . А из равенства треугольников следует, что ВМ = , что и требовалось доказать.

2 способ: совмещение треугольников АВС и . При этом точка В перейдет в точку , а точка М в точку . Значит, отрезки ВМ и  совместятся. ВМ = .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника. С этими важными элементами мы будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы рассмотрим равнобедренный треугольник и его свойства.

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).

2. Прямая линия, отрезок (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

2. На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что периметры треугольников АВК и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + АК = 30 см.

3. Какие элементы (части) треугольника совпадут при перегибании его по биссектрисе?

4. *Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, равен сумме двух других углов. 

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/treugolnikib/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika

Медиана, высота и биссектриса треугольника

  Медиана треугольника

Медиана — это отрезок BM, соединяющий вершину треугольника B и середину противоположной стороны AM=MC. Из этого следует вывод, что медиана делит стороны пополам.

BM — медиана

Формула длины медианы треугольника:

• Свойство медианы треугольника
• В треугольнике три медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1.
  
  BM, KC, AL — медианы треугольника
  Здесь точка O — центр тяжести треугольника
• Высота треугольника
• Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника B к основанию AC.

BF — высота

Формула длины высоты треугольника:

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника называется отрезок BD, который соединяет вершину B треугольника с точкой противоположной стороны и лежит на луче, разделяющей данный угол пополам. По сути, биссектриса делит угол пополам, ∠ABD=∠DBC

BD — биссектриса

Формула длины биссектрисы треугольника:

где

Свойство биссектрисы треугольника

1. AD относится к DC, как AB к BC

2. В треугольнике три биссектрисы пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности в треугольник.

В треугольнике медианы пересекаются в одной точке, это также относится и к высоте и биссектрисе.

Источник: https://www.matematicus.ru/geometriya/planimetriya/mediana-vysota-i-bissektrisa-treugolnika

Презентация на тему: Медиана биссектриса и высота треугольника

Презентация на тему: Медиана биссектриса и высота треугольника

Скачать эту презентацию

Получить код Наши баннеры

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

Описание слайда:

900igr.net

№ слайда 2

Описание слайда:

отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны Биссектриса треугольника Медиана треугольника Высота треугольника

№ слайда 3

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 4

Описание слайда:

Молодец!

№ слайда 5

Описание слайда:

отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны Медиана треугольника Высота треугольника Биссектриса треугольника

№ слайда 6

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 7

Описание слайда:

Молодец!

№ слайда 8

Описание слайда:

отрезок, проведённый из вершины треугольника к противолежащей стороне под прямым углом Биссектриса треугольника Высота треугольника Медиана треугольника

№ слайда 9

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 10

Описание слайда:

Молодец!

№ слайда 11

Описание слайда:

На каком рисунке изображена медиана треугольника? 1 2 3

№ слайда 12

Описание слайда:

Правильно!

№ слайда 13

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 14

Описание слайда:

На каком рисунке изображена высота? 1 2 3

№ слайда 15

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 16

Описание слайда:

Правильно!

№ слайда 17

Описание слайда:

На каком рисунке изображена биссектриса? 1 2 3

№ слайда 18

Описание слайда:

Подумай ещё!

№ слайда 19

Описание слайда:

Правильно!

Скачать эту презентацию

Скачивание материала начнется через 60 сек. А пока Вы ожидаете, предлагаем ознакомиться с курсами видеолекций для учителей от центра дополнительного образования «Профессионал-Р» (Лицензия на осуществление образовательной деятельности

№3715 от 13.11.2013).

Получить доступ

Источник: https://ppt4web.ru/geometrija/mediana-bissektrisa-i-vysota-treugolnika3.html

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника (урок для 7 класса)

• «Информационно-коммуникационное сопровождение обучения математике»
• Геометрия 7 класс урок  по теме
• «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»
• Урок геометрии в 7 классе №1
• По теме: «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника».
• Цели:  
•   Обучающие — ввести понятия медианы, биссектрисы и высоты 
•                             треугольника;
•                           — научить строить медианы, биссектрисы и высоты в
•                             остроугольном, прямоугольном и тупоугольном
•                             треугольниках;
•                           — познакомить учащихся со свойствами медиан,
•                              биссектрис и высот треугольника;
•                           — способствовать развитию умения решать задачи и работе
•                              с чертёжными инструментами.
• Развивающие — способствовать развитию культуры устной речи;
•                              — развитию мышления через обучение;
•                              — развитию любознательности учащихся, их
•                                познавательного интереса;
•                              — развитию творческих способностей.
•  Воспитательные  — воспитание ответственности, самостоятельности;
•                                   -воспитание культуры общения, чувства взаимопомощи,
•                                    самоконтроля.
• Оборудование: доска, мел, чертёжные инструменты, мультимедийное оборудование (ПК, проектор, экран), презентационный материал (компьютерная презентация в формате Microsoft PowerPoint), раздаточный материал (по количеству обучающихся), учебник, тетрадь.
• Формы работы: беседа — диалог, беседа — размышление, ситуативный практикум.

Предварительная подготовка:  Д.З.- повторить стр. 25 вопросы 3,4,5,9,11,    

                                                         п.16,чертёжные инструменты.

Основные компоненты урока.

1. Организационный — организация класса в течение всего урока, готовность учащихся к уроку, порядок и дисциплина.
2. Целевой — постановка целей учения перед учащимися, как на весь урок, так и на отдельные его этапы.
3. Мотивационный — определение значимости изучаемого материала, как в данной теме, так и во всем курсе.
4. Коммуникативный — уровень общения учителя с классом.
5. Содержательный — подбор материала для изучения, закрепления, повторения, самостоятельной работы и т.п.
6. Технологический — выбор форм, методов и приемов обучения, оптимальных для данного типа урока, для данной темы, для данного

   класса и т.п.

7. Контрольно—оценочный — использование оценки деятельности ученика на уроке для стимулирования его активности и развития познавательного интереса.
8. Аналитический —  подведение итогов урока, анализ деятельности учащихся на уроке, анализ результатов собственной деятельности по организации урока.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1. Перпендикуляр к прямой
2. Отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а , если:
3. А
4. а
5. Н

• Построение перпендикуляра к прямой
• а
• в

1. Теорема
2. Из точки, не лежащей на прямой, можно
3. провести перпендикуляр к этой прямой
4. и при том только один.

Дано: ВС – прямая, т. А  ВС.

Доказать: 1. Можно провести перпендикуляр.

2. Он единственный.

• Доказательство
• А
• С
• В
• Н
• 
• M
• А 1

1. Медиана треугольника —
2. это отрезок, соединяющий вершину треугольника
3. с серединой противоположной стороны .
4. А
5. АМ — медиана
6. АВС,
7. если ВМ = МС,
8. где М  ВС
9. М
10. С
11. В

• Биссектриса
• Задают вопрос Борису
• Что такое биссектриса?
• Математик – виртуоз
• Так ответил на вопрос:
• Делит угол пополам
• Он выходит на века
• Из вершины уголка.

1. Биссектриса треугольника —
2. это отрезок биссектрисы угла треугольника,
3. соединяющий вершину треугольника с точкой
4. противоположной стороны.
5. A
6. BL – биссектриса АВС,
7. если  АВ L=  CBL,
8. где L  AC.
9. L
10. B
11. C

• Высота треугольника — это
• перпендикуляр, проведённый из вершины
• треугольника к прямой, содержащей
• противоположную сторону.
• А
• Н
• ВН – высота АВС,
• если ВН  АС, Н  АС
• С
• В

Задача № 1

Задача № 2

Тест

• Дано: АО – медиана АВС, АО = ОК, АВ = 6,3 см,

1. ВС = 6,5 см, АС = 6,7 см.
2. Найти: С К.
3. В
4. К
5. О
6. а) 6,4 см; в) 6,5 см;
7. б) 6,7 см; г) 6,3 см.
8. С
9. А
10. 2. Дано: О Н и O N – высоты МОК и EOF, OH = ON,

EN = 7,8 см, ОЕ= 8,6 см, НМ = 6,3 см. Найти: МК.

• N
• F
• E
• а) 13,9 см; в) 14,9 см;
• б) 14,1 см; г) 16,4 см.
• O
• К
• М

Домашнее задание

• § 16 – 17, ответить устно

1. вопросы 5 – 9 .
2. 2. Решить задачи № 105 (а), № 106 (а),
3. № 100.

3. Дополнительная задача.

• Дано:  ADB =  CDB,
• AD = DC.
• Доказать :  BAC =  BCA,
• BD  AC. 
• B
• D
• A
• C

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/miediany-bissiektrisy-i-vysoty-trieughol-nika-urok-dlia-7-klassa

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника — презентация, доклад, проект

Слайд 1Описание слайда:

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника Урок 15.

Слайд 2Описание слайда:

Цели урока: Ввести понятие перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Доказать теорему о перпендикуляре Научить строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Слайд 3Описание слайда:

Ход урока. огр. момент Проверка домашнего задания. Повторение. Анализ самостоятельной работы. Изучение нового материала.

Слайд 4Описание слайда:

Практическое задание Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на прямой

Слайд 5Описание слайда:

Практическое задание Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой а. Точку пересечения обозначьте Н.

Слайд 6Описание слайда:

Отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, если: Отрезок АН – перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а, если: АН  a A Пa, НОa

Слайд 7Описание слайда:

Дано: а – прямая, A Оa Дано: а – прямая, A Оa Доказать: из точки А к прямой а можно провести перпендикуляр; из точки А к прямой а можно провести единственный перпендикуляр;

Слайд 8Описание слайда:

Практическое задание Постройте треугольник АВС, соедините вершину А с серединой противолежащей стороны М

Слайд 9Описание слайда:

АМ – медиана АВС, если ВМ = СМ, АМ – медиана АВС, если ВМ = СМ, где М ОВС.

Слайд 10Описание слайда:

Практическое задание Начертите MNK и постройте его медианы МВ, КА, NС МВ, КА, NС – медианы MNK. МВ ЗКА ЗNС = О

Слайд 11Описание слайда:

Практическое задание Постройте треугольник АВС, Проведите биссектрису угла В, точку пересечения биссектрисы с противолежащей стороны обозначьте L.

Слайд 12Описание слайда:

BL – биссектриса АВС, РAВL = LBС, BL – биссектриса АВС, РAВL = LBС, где L ОAС.

Слайд 13Описание слайда:

Практическое задание Начертите DEF и постройте его биссектрисы DN, EK, FM DN, EК, FM – биссектрисы DEF. DN ЗEK ЗFM= О

Слайд 14Описание слайда:

Практическое задание Постройте треугольник АВС, Проведите перпендикуляр АН из точки А к стороне ВС.

Слайд 15Описание слайда:

АН – высота АВС, АН – высота АВС, если АН  ВС, Н О ВС

Слайд 16Описание слайда:

Практическое задание Начертите АВС и постройте его высоты АН, ВР, СХ АН, ВР, СХ – биссектрисы DEF. АН ЗВР ЗСХ= О

Слайд 17Описание слайда:

Постройте высоты прямоугольного и тупоугольного треугольников. Постройте высоты прямоугольного и тупоугольного треугольников.

Слайд 18Описание слайда:

Решение задач Устно решите № 60 (а) № 63 из рабочей тетради

Слайд 19Описание слайда:

Письменно решите № 105 (б)

Слайд 20Описание слайда:

№ 105 (б)

Слайд 21Описание слайда:

№ 106 (б)

Слайд 22Описание слайда:

Домашнее задание П. 16, 17 1 уровень — № 61, 62 из рабчей тетради, № 105(а) из учебника 2 уровень — № 64, 65 из рабочей тетради, № 106(а), 100 из учебника

Источник: https://myslide.ru/presentation/mediany—bissektrisy-i-vysoty-treugolnika

В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны

• Задача
• В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8.
• Найти стороны треугольника ABC.

1. AD — медиана, BE — биссектриса,
2. AD=BE=8, AD⊥BE
3. Найти: AB, BC, AC
4. Решение:
5. 1) Пусть AD∩BE=K.

Так как в треугольнике ABD BK — биссектриса и высота, то ΔABC — равнобедренный с основанием AD (по признаку равнобедренного треугольника). Значит, AB=BD. Следовательно, BC=2AB.

• По свойству равнобедренного треугольника BK — медиана и AK=KD=4.
• 3) По свойству биссектрисы треугольника в ΔABC
•    
• 3) Проведём через точку A прямую, параллельную BC и продлим BE до пересечения с этой прямой в точке F.
• Рассмотрим треугольники BEC и FEA.
• ∠AFB=∠CBF (как внутренние накрест лежащие при BC || AF и секущей BF).
• ∠BEC=∠FEA (как вертикальные).
• Значит треугольники BEC и FEA подобны (по двум углам).
• Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
•    
•    
• Таким образом, треугольник ABF — равнобедренный с основанием BF, а значит, его высота AK является также медианой и BK=KF.
•    
• BF=BE+FE=12, BK=KF=6.
• 4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. По теореме Пифагора
•    
•    
•    
• 5) Рассмотрим прямоугольный треугольник AKE.
• KE=BE-BK=8-6=2. По теореме Пифагора
•    
• Ответ:
• II способ
• 1) Пусть AD∩BE=K.

Так как в треугольнике ABD BK — биссектриса и высота, то ΔABC — равнобедренный с основанием AD (по признаку равнобедренного треугольника). Значит, AB=BD.

1. Следовательно, BC=2AB.
2. По свойству равнобедренного треугольника BK — медиана и AK=KD=4.
3. 2) Отложим на луче BE с другой стороны от точки K отрезок KF, KF=BK.
4. Проведём отрезки DF и CF.

Четырёхугольники AFDB и AFCD — параллелограммы (по признаку параллелограмма). Тогда AF=BD, DF=AB, FC=AD (по свойству параллелограмма), а так как AB=BD, то ABCD — ромб.

AC∩DF=O. По свойству параллелограмма O — середина DF. Значит E — точка пересечения медиан треугольника AFD. По свойству медиан FE:EK=2:1. Следовательно

• 3) Из треугольника ABK по теореме Пифагора
• 4) Так как сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, в параллелограмме AFCD

Источник: http://www.treugolniki.ru/bissektrisa-i-mediana-perpendikulyarny/

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника— отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу С4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника АВС ( в котором угол С равен 90°) пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольник АВМ.

∠ АВМ = ∠ АВС, тогда ∠ АМВ = 180° — ∠ МАВ — ∠ АВМ = 180° — (∠ АВС + ∠ ВАС).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен φ.

Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 90°.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

• Пусть СН — высота, проведенная из вершины прямого угла С, СК — биссектриса угла С.
• Тогда ∠ АСН = ∠ АВС = 61°, ∠ АСК = 90° : 2 = 45°.
• Угол между высотой и биссектрисой — это угол КСН.
• ∠ КСН = ∠ АСН — ∠ АСК = 61° — 45° = 16°
• Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58º и 72º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника АВН (угол Н — прямой) найдем угол ВАН. Он равен 18°.

Из треугольника АВК (угол К — прямой) найдем угол АВК. Он равен 32°.

1. В треугольнике АОВ известны два угла. Найдем третий, то есть угол АОВ, который и является тупым углом между высотами треугольника АВС:
2. ∠ АОВ = 180° — 18° — 32° = 130°.
3. Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен А, угол АВС равен В.

Рассмотрим треугольник АОВ.

∠ АВО = ∠ В, тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В). Из треугольника АВС получим, что ∠ А + ∠ В = 180° — 58° = 122°.

Ответ: 119°.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60º, угол B равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол АСВ. Он равен 38°.

Из треугольника АСF найдем угол AFC. Он равен 101°.

Рассмотрим треугольник АОF.

Ответ: 49.

6. В треугольнике АВС СD — медиана, угол ACB равен 90º, угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/16_111539_elementi-treugolnika-visoti-mediani-bissektrisi.html