Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений — студенческий портал

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал
  • Ответ: 3000

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал
  3. Ответ: 1035

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал
  • Ответ: 1026

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Показать решение

  1. Решение:
  2. Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал
  3. Ответ: 40

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал
  • Ответ: 1510

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 25670

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 80030

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 67950

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 503100

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 35700

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 154700

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 9100

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 820

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 200

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 1197

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 9440

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 1,1

Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 1

Показать ответ Показать решение

  • Решение:
  • Ответ: 1100

Показать ответ Показать решение

  1. Решение:
  2. Ответ: 285

© 2017-2019 Математушка

Источник: https://matematushka.ru/Zadachi_Ege/B4

Решение задачи линейного программирования графически

Определение. Любое решение системы ограничений называется допустимым решением ЗЛП. Определение. Допустимое решение, в котором целевая функция достигает максимального или минимального значения, называется оптимальным решением.

В силу этих определений задача ЛП может быть сформулирована следующим образом: среди всех точек выпуклой области, являющейся решением системы ограничений, выбрать такую, координаты которой минимизируют (максимизируют) линейную функцию F = с1x +  с2y. Заметим, что переменные x, y в ЗЛП принимают, как правило, неотрицательные значения (x≥ 0, y ≥ 0), поэтому область расположена в I четверти координатной плоскости.

Рассмотрим линейную функцию F = с1x + с2y и зафиксируем какое-нибудь ее значение F. Пусть, к примеру, F = 0, т.е. с1x + с2y  =  0. Графиком этого уравнения будет прямая, проходящая через начало координат (0;0) (рис.).

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок При изменении этого фиксированного значения F = d, прямая с1x+ с2y = d будет смещаться параллельно и «зачертит» всю плоскость. Пусть D – многоугольник – область решения системы ограничений. При изменении d прямая с1x + с2y =  d, при некотором значении d = d 1 достигнет многоугольника D, назовем эту точку А «точкой входа», и затем, пройдя многоугольник, при некотором значении d =  d2 будем иметь с ним последнюю общую точку В, назовем В «точкой выхода». Очевидно, что своего наименьшего и наибольшего значения целевая функция F=с1x + с2y достигнет в точках «входа» А и «выхода» В. Учитывая, что оптимальное значение на множестве допустимых решений целевая функция принимает в вершинах области D, можно предложить следующий план решения ЗЛП:

  1. построить область решений системы ограничений;
  2. построить прямую, соответствующую целевой функции, и параллельным переносом этой прямой найти точку «входа» или «выхода» (в зависимости от требования минимизировать или максимизировать целевую функцию);
  3. определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции.

Заметим, что вектор (с1, с2), перпендикулярный прямой, показывает направление роста целевой функции.

  • При графическом решении ЗЛП возможны два случая, которые требуют особого обсуждения.
  • Случай 1

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок 6 При перемещении прямой с1xс2y= d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с1х с2у =  d . В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно – любая точка отрезка АВ. Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D.

Случай 2 Рассмотрим случай, когда область допустимых значений неограниченна.

В случае неограниченной области целевая функция может быть задана таким образом, что соответствующая ей прямая не имеет точки «выхода» (или «входа»). Тогда максимальное значение функции (минимальное) не достигается никогда – говорят, что функция не ограничена.

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталРешение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max , при системе ограничений Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами.

  1. x + y = 18
  2. 0,5x + y = 12 x =  12 – параллельна оси OY ; y =  9 – параллельна оси OX ; x =  0 – ось OY ; y =  0 – ось OX; x≥ 0 – полуплоскость правее оси OY; y ≥ 0 – полуплоскость выше оси OX; y ≤ 9 – полуплоскость ниже y =  9; x≤ 12 – полуплоскость левее x  =  12; 0,5x + y≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y = 12; x + y≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x +  y =  18.

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок Пересечением всех этих полуплоскостей является очевидно, пятиугольник ОАВСД, с вершинами в точках О(0; 0), А(0; 9), В(6; 9), С(12; 6), Д(12; 0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Рассмотрим целевую функцию задачи F  =  4x +  6y → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0 : 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом.

Из всего семейства прямых 4x+ 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6). Именно в ней F =  4x +  6y достигнет своего максимального значения.

Значит, при x =  12, y =  6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84.

Точка с координатами (12; 6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F*  =  84 (оптимальное значение будем обозначать «*»). Задача решена. Итак, необходимо выпустить 12 изделий I вида и 6 изделий II вида, при этом прибыль составит 84 тыс. руб.

Графический метод применяется для решения задач, которые имели в системе ограничений только две переменные. Этот метод может применяться и для систем неравенств, имеющих три переменных.

Геометрически ситуация будет иная, роль прямых будут играть плоскости в трехмерном пространстве, а решением неравенства от трех переменных будет являться полупространство, находящееся по одну сторону от плоскости.

Роль областей будут играть многогранники, являющиеся пересечением полупространств.

Пример №2. Шахта разрабатывает два пласта. Выход штыба по первому пласту составляет а1 %; по второму — а2 %. Максимальная производительность очистного забоя по первому пласту составляет В1 тыс.тонн в год, по второму пласту — В2 тыс.тонн в год.

По технологии работ добыча со второго пласта не может превышать добычу с первого пласта. Выход штыба по шахте не должен превышать С1 тыс.тонн в год. Общая нагрузка по двум пластам за год должна быть не меньше С2 тыс.тонн в год.

Составить математическую модель и построить множество допустимых значений нагрузки по первому и второму пластам за год.

Пример №3. Магазин продает 2 вида безалкогольных напитков : Колу и лимонад. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, тогда как доход от одной банки лимонада 7 центов. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков.

Несмотря на то, что колу выпускает известная торговая марка, покупатели предпочитают лимонад, поскольку он значительно дешевле. Подсчитано, что объем продаж колы и лимонада должны соотноситься не менее 2:1 кроме того , известно что магазин продает не менее 100 банок колы в день.

Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в начале рабочего дня для максимизации дохода?

Читайте также:  Критика доказательства бытия божьего и. кантом - студенческий портал

Пример №4. Решить задачу линейного программирования приближенно графическим способом с последующим вычислением точного значения и мах(min) значения целевой функции.

Пример №5. Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки 40000 у.е.

Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е. Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъёмность была максимальной.

Решить задачу графическим методом.

Пример №6. Используя графический метод, найдите оптимальный производственный план в задаче, заданной таблицей.

Пример №7. Решить графическим методом задачу линейного программирования, подвергнув систему ограничений задачи преобразованиям Жордано-Гаусса.

Система ограничений задачи имеет вид: a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + a15x5 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 + a25x5 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 + a35x5 = b3 Методические рекомендации.

Преобразования Жордано-Гаусса можно выполнить с помощью этого сервиса или через исследование СЛАУ.

Пример №8. Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых используется сырье трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а1, а2, а3 кг соответственно, а для единицы изделия В — в1, в2, в3 кг.

Производство обеспечено сырьем каждого вида в количестве Р1, Р2, Р3 кг, соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет С1 руб., а единицы изделия В — С2 руб.

Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции.

Пример №2. Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 4x + 6y → max, при системе ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого выбираем количество ограничений равное 4 (рисунок 1).

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок 1

Затем заполняем коэффициенты при переменных и сами ограничения (рисунок 2).

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок 2 Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Рисунок 3 x =  12 – параллельна оси OY; y =  9 – параллельна оси OX; x> =  0 – ось OY y =  0 – ось OX; x≥ 0 – полуплоскость правее оси OY; y≥0 – полуплоскость выше оси OX; y ≤ 9 – полуплоскость ниже y = 9; x≤ 12 – полуплоскость левее x =  12; 0,5x + y≤ 12 – полуплоскость ниже прямой 0,5x + y =  12; x + y≤ 18 – полуплоскость ниже прямой x +  y =  18.

Пересечением всех этих полуплоскостей является пятиугольник ABCDE, с вершинами в точках A(0; 0), B(0;9), C(6; 9), D(12;6), E(12;0). Этот пятиугольник и образует область допустимых решений задачи.

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Рассмотрим целевую функцию задачи F  =  4x +  6y → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0 : 4x + 6y = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом.

Из всего семейства прямых 4x + 6y = const последней вершиной, через которую пройдет прямая при выходе за границу многоугольника, будет вершина С (12; 6).

Именно в ней F =  4x +  6y достигнет своего максимального значения.

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

Значит, при x =  12, y =  6 функция F достигает своего максимального значения F = 4 ∙ 12 + 6 ∙ 6 = 84, равного 84. Точка с координатами (12;6) удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений, и в ней значение целевой функции оптимально F* =  84.

см. также Решение задачи линейного программирования графически online

Источник: https://math.semestr.ru/lp/gr.php

Презентация, доклад Методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин. (задания для учащихся 8-9 классов, углубленное изуч

Слайд 1Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Методы решения задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин. (задания для учащихся 8-9 классов, углубленное изучение математики) Чупрова О.С. Комсомольск-на-Амуре МБОУ лицей №1 2012 год

Слайд 2Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Алгоритм изучения темы Знакомство с понятиями прикладных задач математики. Схема решения оптимизационных задач. Теоремы, применяемые при решении таких задач. Методы решения оптимизационных задач: применение некоторых теорем; использование свойств квадратного трехчлена; применение неравенства Коши.

Слайд 3Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Знакомство с понятиями прикладных задач математики. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений какой-либо величины, часто применяемые в практической деятельности, называются оптимизационными. Для правильного решения таких задач необходимо выполнить их переформулировку, стремясь формализировать условия, первоначально заданные в описательной форме.

Слайд 4Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Схема решения оптимизационных задач Проанализировав условие задачи, определить, наибольшее или наименьшее значение какой величины требуется найти (т.е. какую величину нужно оптимизировать).

Принять за независимую переменную одну из неизвестных величин и обозначить её буквой x. Определить её границы изменения. Задать функцию y=f(x). Найти средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения х.

Интерпретировать результат для рассматриваемой задачи.

Слайд 5Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Пример решения оптимизационных задач. Число 36 записать в виде произведения двух натуральных чисел, сумма которых наименьшая.

Пусть х – первый множитель, тогда – второй множитель, где 0, где у= +х принимает наибольшее значение. Т.к. х =b²(не зависит от х). Отсюда min S будет при х=b, т.е.ВД=а. Т.о.

наибольшее значение площади будет тогда и только тогда, когда ∆EAC и ∆ДАВ равнобедренные и прямоугольные.

Слайд 10Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий порталОписание слайда:

Теорема об использовании свойств квадратного трехчлена Преобразуем квадратичную функцию y=аx²+bx+c = а(x²+ ) +с = а(x²+ 2х + — )+с = а(х+ ² + . Отсюда следует теорема: а) если а>0, то функция y=аx²+bx+c при х=- принимает наименьшее значение, равное б)если а0; б) наибольшее значение функции у= ( ответ: а) при х=2 =4 ; б) max y=1 при х=1)

Слайд 16Описание слайда:

Используемая литература. И.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ для 9 класса. М. Просвещение. 1983. В.В. Мельников и др. Начала анализа. М. Наука. 1990. Н.И. Зильберберг. Алгебра и начала анализа в 10 классе. Для углубленного изучения математики. Псков. 1994.

Источник: https://presentacii.ru/presentation/1503982958

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал 2012-05-20

Главная » СТАТЬИ » 12 Задание (2016) » Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

  • 2. Находим  производную функции
  • 3. Приравниваем производную  к нулю
  • 4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:
  • Если на промежутке I производная функции , то функция возрастает на этом  промежутке.
  • Если на промежутке I производная функции , то функция убывает на этом промежутке.
Читайте также:  Платформы и равнины - студенческий портал

5. Находим точки максимума и минимума функции.

  1. В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.
  2. В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».
  3. 6. Находим значение функции в концах отрезка,
  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции
  • Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.
  • Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:
  • В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.
  • 1. Рассмотрим функцию на отрезке
  • Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее — в левом: .
  • 2. Рассмотрим функцию на отрезке
  • Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения и и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  — множество действительных чисел.

  1. 2. 
  2. 3. , если  или
  3. Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:
  4. Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике
  5. 1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

  • 1. Функция определена при всех действительных значениях х
  • 2.
  • 3. 

Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

  1. y(0)=5
  2. Ответ: 5.
  3. 2. Задание B15 (№ 26702)
  4. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке [].
  5. 1. ОДЗ функции  
  6. 2. 
  7. Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:
  8. , следовательно, , значит, , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при .
  9. Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:
  10. у(0)=5
  11. Ответ: 5.
  12. 3. Задание B15 (№ 26708)
  13. Найдите наименьшее значение функции   на отрезке [].
  14. 1.  ОДЗ функции :
  15. 2. 
  16. 3.
  17. Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.
  18. Промежутку  принадлежат два числа:  и 

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: . При переходе через точки  и  производная меняет знак.

  • Изобразим смену знаков производной функции  на координатной прямой:
  • Очевидно, что точка  является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции  на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .
  • Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а  таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции 
  • Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Источник: https://ege-ok.ru/2012/05/20/nahozhdenie-naibolshego-i-naimenshego-znacheniya-funktsii-na-otrezke-zadanie-v14

    Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин — урок. Алгебра, 10 класс

    прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса (R), чтобы её прочность была наибольшей?

    Решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений - Студенческий портал

    Решение. Первый этап. Составление математической модели.

    1. Оптимизируемая величина (О. В.) — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда прочность балки будет наибольшей. Обозначим О. В. буквой (y).

    2. Прочность зависит от ширины и высоты прямоугольника, служащего осевым сечением балки. Объявим независимой переменной (Н. П.) ширину балки, обозначим её буквой (x). Поскольку осевое сечение представляет собой прямоугольник, вписанный в окружность радиуса (R) (см. рис.), то (0 < x < 2R) — таковы реальные границы изменения независимой переменной.

    3. Высота (h) прямоугольника связана с его шириной соотношением x2+h2=4R2 (по теореме Пифагора). Значит, h2=4R2−x2.

    Прочность балки (y) пропорциональна произведению xh2, т. е. y=kxh2 (где коэффициент (k) — некоторое положительное число).Значит,

    • y=kx(4R2−x2),x∈0;2R.
    • Математическая модель задачи составлена.

    Второй этап. Работа с составленной моделью.

    На этом этапе для функции y=kx(4R2−x2),x∈0;2R, надо найти yнаиб.

    1. Имеем:
    2. y=4kxR2−kx3;y′=4kR2−3kx2.

    Критических точек нет. Найдём стационарные точки. Приравняв производную к нулю, получим:

    • 4kR2−3kx2=0;x1=2R3;x2=−2R3.
    • Заданному интервалу ((0; 2R)) принадлежит лишь точка x1, и причём x1=2R3 — точка максимума функции. Значит, по теореме из пункта (1)
    • yнаиб=f(x1)=f2R3=16kR333.

    Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

    В задаче спрашивается, какое сечение должна иметь балка наибольшей прочности. Мы выяснили, что ширина (x) прямоугольника, служащего осевым сечением наиболее прочной балки, равна 2R3. Найдём высоту:

    h2=4R2−4R23=8R23;h=2R23⇒hx=2.

    Ответ: сечением балки должен служить прямоугольник, у которого отношение высоты к ширине равно 2.

    Замечание. Квалифицированные мастера приходят к такому же результату, опираясь на свой опыт, но, разумеется, они принимают указанное отношение равным (1,4) (2≈1.4).

    Источник: https://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/proizvodnaia-9147/primenenie-proizvodnoi-dlia-otyskaniia-naibolshikh-i-naimenshikh-velichin-11228/re-f790f5b4-46b8-4a8d-af81-51e68b144ca2

    Решу егэ

    Задание 17 № 511894

    В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м3 меньше, чем первая (0 

    Решение.

    Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили бассейна. Тогда время наполнения бассейна

    Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению

    Читайте также:  Афины и спарта v - iv вв. до н.э. афинская демократия и спартанская олигархия - студенческий портал

    Ответ:

    Примечание.

    В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

    • Решим уравнение используя равносильность
    1. Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.
    2. Приведем другое решение.

    Пусть объем бассейна равен A м3. Первая и вторая трубы, работая вместе t1 ч, налили м3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t2 ч, налили м3 бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

    • Известно, что для любых двух положительных чисел t1 и t2 верно неравенство (неравенство Коши).
    • Рассмотрим произведение
    1. Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке А это значит: имеет наименьшее значение в точке (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение также будет иметь аналогичное значение в той же точке При этом:

    Итак, при получим А это значит, что в точке выражение t1 + t2 также примет наименьшее значение.

    Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

    Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор, Задачи на оптимальный выбор

    Источник: https://ege.sdamgia.ru/test?theme=247

    Нахождение наибольших (наименьших) значений, экстремумов функций. (задача В14 открытого банка задач ЕГЭ). г. Мурманск МБОУ гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна. — презентация

    1 Нахождение наибольших (наименьших) значений, экстремумов функций. (задача В14 открытого банка задач ЕГЭ). г. Мурманск МБОУ гимназия 3 Шахова Татьяна Александровна.

    2 2 Необходимые умения и навыки. 1) Уметь использовать формулы и правила дифференцирования для нахождения производных функций ) Владеть алгоритмом нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на промежутке. 3) Владеть алгоритмом нахождения точек экстремума. 4) Уметь решать простейшие тригонометрические и алгебраические уравнения.

    3 Формулы дифференцирования Правила дифференцирования

    4 Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке. 1)Найти стационарные и критические точки, принадлежащие отрезку. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у=0. 2)Найти значение функции в полученных точках и на краях отрезка. 3)Сравнить полученные значения и записать ответ, соответствующий вопросу задачи.

    5 Алгоритм нахождения экстремумов функции. 1)Найти стационарные и критические точки. Для этого – найти производную функции и решить уравнение у=0. 2)Определить знаки производной на полученных Числовых промежутках. 3) Внутренняя точка области определения, в которой производная меняет знак с «+» на «-» ( с «-» на «+») является точкой максимума ( минимума ).

    6 Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрических функций.

    7 Прототип 1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) Экстремумов нет. Найдем значение функции на краях отрезка. 2) Ø ФормулыАлгоритм

    8 Прототип 2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) Экстремумов нет. Найдем значение функции на краях отрезка. 2) Ø ФормулыАлгоритм

    9 Прототип 3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

    10 Прототип 4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1)В указанный отрезок входят числа. Найдем значение функции в этих точках и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

    11 Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций.

    12 Прототип 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число -1. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

    13 Прототип 6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) В указанный отрезок входит число 4. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. 2) ФормулыАлгоритм

    14 2) Прототип 7. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 1) Эти числа являются краями отрезка. Найдем значение функции в этих точках. ФормулыАлгоритм

    15 2) Прототип 8. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 1) Это число принадлежит указанному отрезку. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм

    16 Прототип 9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. 2) 1) Указанному отрезку принадлежит число 6. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм

    17 Прототип 10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 4) 1) Указанному отрезку принадлежит число -3. Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм Это рациональный способ работы. Но ты можешь, просто, аккуратно и внимательно раскрыть скобки. Тогда далее решаешь традиционное квадратное уравнение.

    18 Прототип 11. Найдите наибольшее значение функции на отрезке. 2) 1) Найдем значение функции в этой точке и на краях отрезка. ФормулыАлгоритм Ø Указанному отрезку принадлежит число -2. Очевидно, что это значение намного меньше двух предыдущих. Оно не может являться ответом и можно не выполнять эти неудобные вычисления.

    19 Задачи открытого банка. Нахождение точек экстремумов функций.

    20 Прототип 12. Найдите точку максимума функции 3) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

    21 Прототип 13. Найдите точку минимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

    22 Прототип 14. Найдите точку максимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученные точки на числовой прямой.

    23 Прототип 15. Найдите точку максимума функции 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Отметим полученную точку на числовой прямой.

    24 Прототип 16. Найдите точку минимума функции, принадлежащую промежутку. 2) 1) Определим знак производной на каждом промежутке. ФормулыАлгоритм Указанному промежутку принадлежит только точка 0,5. Отметим ее на числовой прямой.

    25 Задачи открытого банка. Нахождение наибольшего (наименьшего) значения алгебраических функций и экстремумов без производной.

    26 В случае, если мы имеем дело со сложной функцией f(g(x)), где f – монотонная функция, то достаточно исследовать функцию g(x). Точки экстремума функция f будет иметь такие же, что и функция g(x) с учетом области определения

    27 Функция возрастает на всей области определения, следовательно ведет себя так же, как подкоренная функция на области определения. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вверх. Подкоренное выражение больше нуля при любом значении х. D(y):R. Прототип 17. Найдите точку минимума функции

    28 Функция возрастает на всей области определения, следовательно принимает наибольшее значение в той же точке, что и подкоренная функция с учетом области определения. Исследуем функцию, находящуюся под знаком корня. График – парабола, ветви направлены вниз. Следовательно Прототип 18. Найдите наибольшее значение функции — условие существования корня.

    29 Еще полезные ресурсы для тренировки:

    Источник: http://www.myshared.ru/slide/392468/

    Ссылка на основную публикацию