Треугольники, виды треугольников, свойства треугольников — студенческий портал

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

По величине углов

1. Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
2. Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
3. Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

1. Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
2. Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

• В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
• если α > β, тогда a > b
• если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c b + c > a c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
2. a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α
3. b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β
4. c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ

• Для остроугольного треугольника:
• a = b cos γ + c cos β
• b = a cos γ + c cos α
• c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

1. a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2
2. b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2
3. c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

   AOOD = BOOE = COOF = 21

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

   • S∆ABD = S∆ACD
   • S∆BEA = S∆BEC
   • S∆CBF = S∆CAF

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

   S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

1. ma = 12√2b2+2c2-a2
2. mb = 12√2a2+2c2-b2
3. mc = 12√2a2+2b2-c2

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

   AEAB = ECBC

3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

   Угол между lc и lc' = 90°

4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

• la = 2√bcp(p — a)b + c
• lb = 2√acp(p — b)a + c
• lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

1. la = 2bc cos α2b + c
2. lb = 2ac cos β2a + c
3. lc = 2ab cos γ2a + b

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

• внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
• совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
• проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

• ha = b sin γ = c sin β
• hb = c sin α = a sin γ
• hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

1. ha = 2Sa
2. hb = 2Sb
3. hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

• ha = bc2R
• hb = ac2R
• hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

1. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к уго сторонам.
2. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

3. Свойства углов
4. Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь: Радиус описанной окружности через площадь и три угла: Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

• S∆MBN = 14 S∆ABC
• S∆MAK = 14 S∆ABC
• S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

1. ∆MBN ∼ ∆ABC
2. ∆AMK ∼ ∆ABC
3. ∆KNC ∼ ∆ABC
4. ∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

   S = 12a · ha S = 12b · hb S = 12c · hc

2. Формула площади треугольника по трем сторонам

   S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

   где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

   S = 12a · b · sin γ S = 12b · c · sin α S = 12a · c · sin β

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Треугольник. Виды треугольников и их свойства

Треугольник

Треугольник— это замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев, и часть плоскости, ею ограниченная.

• В дальнейшем используются следующие обозначения:
• a ,b, c — длины сторон DC, AC, AB треугольника ABC соответственно;
•  — полупериметр треугольника ABC;
• Неравенство треугольника — в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны: a + b c, b +c a, a + c b
• Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Пусть c — наибольшая из трех сторон треугольника, тогда: если c² a² + b² , то треугольник остроугольный; если, c² = a² +b², то треугольник прямоугольный; если c² a² +b² , то треугольник тупоугольный.

Теорема. Сумма углов треугольника равна : .

Следствие: В треугольнике не может быть более одного тупого или прямого угла.

Внешний угол — угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника.

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Теорема синусов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла для данного треугольника есть величина постоянная и равная диаметру описанной около треугольника окружности: 

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: .

Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: , .

Высота— это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Длины высот находятся по следующим формулам: , .

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Теорема. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.

Верно и обратное утверждение: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, описанной вокруг треугольника.

Если треугольник остроугольный, центр описанной окружности лежит строго внутри треугольника. Если треугольник прямоугольный, центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Если треугольник тупоугольный, центр описанной окружности лежит вне треугольника.

1. Радиус описанной окружности может быть найден по формулам: , .
2. Биссектриса треугольника
3. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части.
4. Биссектрисой угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.
5. Теоремы:
6.  Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.
7.  Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: .
8.  Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: .

•  Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: 
• Медиана треугольника
• Медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой ее противоположной стороны.
• Теоремы:
•  Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит его на два равновеликих: .
•  Медианы пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника, и точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.
•  Отрезки медиан, соединяющие вершины с центроидом, делят треугольник на три равновеликих: .
•  Пересекаясь, медианы делят треугольник на шесть равновеликих: .
•  Длина медианы, проведенной к стороне  равна: .
• Признаки равенства треугольников

Признаки равенства и подобия треугольников

Теорема (первый признак равенства треугольников).Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (второй признак равенства треугольников).Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема (третий признак равенства треугольников).Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. Признаки подобия треугольников
2. Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: , , где  — коэффициент подобия.

I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

• Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .
• Равносторонний треугольник и его свойства
• Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны: .
• Теоремы:

• Все углы равностороннего треугольника равны : .
• Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны :.
• Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности: .
• Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: .
• Площадь равностороннего треугольника: .

Равнобедренный треугольник и его свойства

Равнобедренный треугольник— треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.

Теоремы:

• Углы при основании равны: .
• Медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой: .
• Площадь равнобедренного треугольника: .

1. Прямоугольный треугольник и его свойства
2. Теорема Пифагора: .
3. Решение прямоугольного треугольника:
4. ;
5. ;
6. .
7. Теоремы:

 Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

•  Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .
•  Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику
•  Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .

 Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .

1.  Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: .
2.  Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:  или вычисляется по любой из формул для вычисления площади произвольного треугольника.
3.  Площадь треугольника равна: . 
4.  Площадь треугольника равна: . 
5.  Формула Герона: . 
6.  Площадь треугольника равна: . 
7.  Площадь треугольника равна: . 
8. Если в треугольнике одну из сторон изменить в  раз, а другую в  раз, оставив без изменения угол между ними, то площадь получившегося треугольника изменится в  раз. 
9. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения длин сторон, заключающих равные углы.

Формулы для вычисления площади треугольника

Источник: https://urokidoma.org/courses/matiematika-2016/lesson/trieughol-nik-vidy-trieughol-nikov-i-ikh-svoistva/

Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм. 

Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.

Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников

• Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий. 
• Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:

 

1. Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.
2. Общие признаки:

• 3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;
• сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.

Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:

1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.

2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр. 3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).

Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.

Равносторонний треугольник

«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.

Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.

 

Разносторонний треугольник

 

Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.

Уникальных отличий не имеет, только общие:

• все параметры имеют разные значения;
• совпадений между вспомогательными линиями нет.

Равнобедренный остроугольный треугольник

Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.

Особенности:

• проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;
• вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.

Равнобедренный тупоугольный треугольник

• Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.
• Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.

Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.

В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/ostrougolnyy-treugolnik.html

Виды треугольников

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

• остроугольные
• прямоугольные
• тупоугольные

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

• равносторонние
• равнобедренные
• разносторонние

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

• Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
• Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.
• Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

разносторонний треугольник

равносторонний треугольник

равнобедренный треугольник

Источник: http://www.treugolniki.ru/vidy-treugolnikov/

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.  / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников. Меню Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Для инженера это еще и единственная «жесткая» плоская фигура на свете. Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°. Обозначения в треугольнике. Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c). Виды треугольников: (по величине углов) Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС). Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°. (по числу равных сторон) (по соотношению сторон) Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны. (Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным). Рассмотрим рис. ниже. Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника. Угол Θ — называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ (а+с+b) — периметр треугольника. Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол) Основные свойства треугольников. В любом треугольнике: Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.) Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °). Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:  a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b. Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника. Признаки равенства треугольников: 1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника. Признаки равенства прямоугольных треугольников: Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: 1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет. Подобные треугольники. Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е. (р/а)=(q/b)=(r/c). Признаки подобия треугольников: Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника. Свойства подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия]. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны. Подобие в прямоугольных треугольниках. Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит: 1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу. 2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности: Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне. Биссектриса Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Высота треугольника Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны. Срединный перпендикуляр Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC). В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике. 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника. Средняя линия Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Формулы площади треугольника 1.Произвольный треугольник — формулы площади a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a. S=(1/2)*(a* ha) — по стороне и высоте. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними — по длинам сторон — формула площади Герона S=p*r — через периметр и радиус вписанной окружности S=(a*b*c) / (4R) — через длины сторон и радиус описанной оружности a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c. 1. S=(1/2)*a*b 2. S=(1/2)*c*hc S=(a2*√3)/4 — Синус α — это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе) — Косинус α — это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе) — Тангенс α — это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему) — Котангенс α — это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: https://tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

• 3) Подобие треугольников
• Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
  и
• Обозначение:
• 4) Признаки подобия двух треугольников
• 1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Коротко: если , то
• 2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
• Коротко: если и , то
• 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
• Коротко: если , то
• 5) Свойства подобных треугольников
• если , то
• , где
• и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
• и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
• и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
• 6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
• Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
• 7) Свойство медиан в треугольнике.
• Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
• Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
• То есть
• Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
• 8) Свойство биссектрис в треугольнике
  Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
• То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

1. 10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

   Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

2. То есть
3. 11) Средняя линия треугольника
4. Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
5. То есть и
6. 12) Теорема синусов и теорема косинусов
7. Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
8. То есть
9. Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
10. 13) Теорема Менелая

    Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

11. То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

• 14) Теорема Чевы
• Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
• То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2010/09/30/formuly-teoremy-i-svojstva-elementov-treugolnika-spravochnik-repetitora-po-matematike/