Как найти длину вектора — студенческий портал

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов.

Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению.

Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой.

В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Правильное решение и ответ.

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

• Решение.
• Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:
• Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности .

Решение.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов).

Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня.

То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

1. Решение.
2. Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Векторы: определения и действия над векторами

Продолжение темы «Векторы»

Линейная зависимость векторов Базис системы векторов. Аффинные координаты Векторное и смешанное произведение векторов

Источник: https://function-x.ru/vectors_cosinus.html

Контрольная Работа РУ — все по-шаговые математические калькуляторы в одном месте. Вы можете задать любой вопрос!

Итак, сервисы:

• Скалярное произведение векторов
• Сумма векторов (сложение векторов)
• Длина вектора
• Умножение вектора на число
• Угол между векторами
• Перпендикулярный вектора
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Середина отрезка
• Расстояние между точками

Сервис работы с векторами позволяет выполнить действия над векторами. Если у Вас стоит задача выполнить более сложное преобразование, то этим сервисом стоит пользоваться как конструктором.

Пример. Даны вектора a и b, надо найти вектор с = a + 3*b,

Умножение векторов (Скалярное произведение)

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести первый сомножитель вектор a
• Ввести второй сомножитель вектор b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Скалярное произведение векторов» →

Сумма векторов

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести первое слагаемое вектор a
• Ввести второе слагаемое вектор b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Сложение векторов» →

Длина вектора

Это он-лайн сервис в два шага:

• Ввести вектор a, для которого нужно найти длину вектора
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Длина вектора» →

Умножение вектора на число

Это он-лайн сервис в в три шага:

• Ввести первый сомножитель вектор a
• Ввести второй сомножитель число q
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Умножение вектора на число» →

Вычитание векторов

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести первый вектор a, который вычитают
• Ввести второй вектор b, из которого вычитают
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Вычитание векторов» →

Угол между векторами

Это он-лайн сервис в три шага:

• Ввести первый вектор a
• Ввести второй вектор b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Угол между векторами» →

Перпендикулярный вектора

Это он-лайн сервис в два шага:

• Ввести вектор a, для которого нужно найти единичный вектор, перпендикулярный к данному
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Перпендикулярный вектор» →

Векторное произведение векторов

Это он-лайн сервис в в три шага:

• Ввести первый сомножитель вектор a
• Ввести второй сомножитель вектор b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Векторное произведение векторов» →

Смешанное произведение векторов

Это он-лайн сервис в четыре шага:

• Ввести первый сомножитель вектор a
• Ввести второй сомножитель вектор b
• Ввести третий сомножитель вектор с
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Смешанное произведение векторов» →

Координаты середины отрезка

Это он-лайн сервис в три шага:

• Введите координаты первой точки a
• Ввести координаты второй точки b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн сервис «Координаты середины отрезка» →

Расстояние между двумя точками

Это он-лайн сервис в три шага:

• Введите координаты первой точки a
• Ввести координаты второй точки b
• Указать e-mail, куда отправить решение

Перейти: Онлайн калькулятор «Расстояние между двумя точками» →

Источник: https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/vector/

Векторы и координаты. Базовые задачи

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2013-04-04

Главная » СТАТЬИ » 03 Задание (2016) » Векторы и координаты. Базовые задачи. Задание В3 (2013)

Векторы и координаты. Базовые задачи.

Эта статья является продолжением статьи «Векторы. Действия с векторами», и в ней мы рассмотрим базовые задачи на векторы и координаты:

• Как находить координаты вектора по координатам его начала и конца
• Как находить длину вектора, если известны его координаты
• Как находить координаты вектора суммы и вектора разности  двух векторов
• Как находить координаты середины отрезка
• Что такое скалярное произведение векторов
• Как находить угол между векторами

Действия с векторами и координатами в пространстве совершаются абсолютно по тем же правилам,

что и с векторами на плоскости. Только добавляется третья координата. Поэтому информацию, которая содержится в этой статье можно с успехом применять при решении задач на нахождение расстояний и углов в пространстве из Задания С2 ЕГЭ по математике.

• Сначала несколько  слов о том, что такое координаты вектора.
• Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:
• 
• Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
• 

1. Для произвольного вектора  числа и  в разложении  вектора по базисным векторам называются координатами вектора.
2. Координаты векторов на рисунке выше:

Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем   коэффициент при  i, а на втором месте коэффициент при  j.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты.  Мы видим, что

• Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:
• и
• Если вектор  задан координатами его начала  и конца , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала:
• Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:
• Противоположные векторы имеют противоположные координаты:
• При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число:
• Если , то 
• Если число  k>0, то векторы  и  сонаправлены.
• Если число  k

Источник: https://ege-ok.ru/2013/04/04/vektoryi-i-koordinatyi-bazovyie-zadachi

Векторы

Категория: 9 класс, Векторы, ОГЭ по математике

Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.

Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.

Задача 1. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .

Теперь так же поступим с вектором : пройдем от точки М к D: . Вектор . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору и параллелен ему, но вектор направлен вверх, а вектор – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): , тогда . Теперь записываем весь путь: .

Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .

Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор является суммой векторов и : , ну а – его половина, поэтому .

Выразим вектор : по длине он равен вектору , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор на (-1): . Тогда , или , и аналогично

Теперь нам нужно получить вектор , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда . , а вектор мы уже нашли ранее. Получим:

Векторы и получим из чисто арифметических соображений: ;

Получим векторы . Так как отношение , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: .

• Чтобы получить вектор , пройдем от точки М к С: . , , получаем:
• Чтобы получить вектор , пройдем от точки B к М: . , , получаем:
• Остался последний: вектор . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда или , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут:

Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .

, тогда

Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что .

1. , , .
2. Теперь сложим все три выражения:
3. , или, вынося за скобки дробь ,
4. Но , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому

, ч.т.д.

Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: .

Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .

Так как , а , то , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.

Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .

Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) , ; б) ; ; в) ; ; г) ; .

Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .

Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат.

Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:

Задача 9.  Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.

• a)      Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:
• . Запишем:
• б)  . Тогда:
• Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:
• Корни:
• Ответ: а)
• б) либо
• Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,
• Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая:
• а) Запишем расстояние от точки А до точки N: ,
• .
• Запишем расстояние от точки B до точки N:
• Приравниваем расстояния:
• Таким образом, искомая точка –
• б) Запишем расстояние от точки С до точки N: ,
• .
• Запишем расстояние от точки D до точки N:
• Приравниваем расстояния:
• Таким образом, искомая точка –

Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .

Найдем  координаты векторов сторон такого четырехугольника.  Тогда координаты вектора AB будут: , , .

Найдем координаты вектора DC: , , .

Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: , , .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: , проверим, выполняется ли оно:  – да, условие выполняется.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он  – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: .

Найдем длины векторов  и .

1. Расстояние между двумя точками выражается формулой:
2. , 
3. Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.

Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.

  Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а  второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника.

Координаты вершин треугольника будут: , , , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: , 

• Длина искомой медианы:
• Ответ: .

Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.

Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов.  Координаты вершин треугольника будут: , , .

Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС.

Точка М – середина ВС,  а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: ,  .

Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого и  .

1. Расстояние между двумя точками выражается формулой:
2. Тогда
3. Ответ: .

Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство:

• В треугольнике АМТ  АМ – гипотенуза. Тогда
• В треугольнике CМK  CМ – гипотенуза. Тогда
• Рассмотрим треугольник BMS:
• А гипотенуза треугольника DMT:
• Сложим квадраты:

Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: , ч.т.д.

Источник: https://easy-physic.ru/vektory/

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

• Сумма векторов:
• Разность векторов:
• Произведение вектора на число:
• Скалярное произведение векторов:
• Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

1. Запишем координаты векторов:
2. и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

• Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
• Координаты точек A, B и C найти легко:
• Из прямоугольного треугольника AOS найдем
• Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

1. Найдем координаты векторов и
2. и угол между ними:
3. Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

• Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

1. Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

• Покажем, как это делается.
• Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
• Уравнение плоскости выглядит так:
• Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
• Для точки M:
• То есть A + C + D = 0.
• Для точки N:
• Аналогично для точки K:
• Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

1. Пусть, например, D = −2. Тогда:
2. Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
3. Решив систему, получим:
4. Уравнение плоскости MNK имеет вид:
5. Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
6. Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
8. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

• Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
• Напишем уравнение плоскости AEF.
• Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
• Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

1. Уравнение плоскости AEF:
2. Нормаль к плоскости AEF:
3. Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего.

Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

• Координаты вектора — тоже:
• Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
• Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
• Получим:
• Ответ:
• Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
• Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
• Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

1. Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
2. Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

• Найдем угол между прямой и плоскостью:
• Ответ:
• Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

1. Построим чертеж и выпишем координаты точек:
2. Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
3. Решим эту систему. Выберем
4. Тогда
5. Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
6. Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

Длина вектора

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

• Формула длины вектора на плоскости:
• $$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$
• Формула длины вектора в пространстве:
• $$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$
• Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:
• $$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$
• $$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

Пример 1

Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $

Решение

Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

Длина вектора $|overline{a}| = 5 $

Пример 2

Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $

Решение

Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $

Ответ

Длина вектора $|overline{a}|=6 $

Пример 3

Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $

Решение

Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $

Ответ

$|overline{AB}|=sqrt{13} $

В статье мы ответили на вопрос:»Как найти длину вектора?» с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/dlina-vektora.html

Нахождение длины вектора, примеры и решения

Векторы, действия с векторами

По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка.

Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца.

Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Нахождение длины вектора по координатам

Длину вектора будем обозначать . Аналогичное обозначение имеет модуль числа, и длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА равна длине вектора , следовательно, .

• Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид .
• Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.
• Рассмотрим пример.

Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.

Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :

.

Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.

В этом случае (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА равна искомой длине вектора, следовательно, .

Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, то есть, находится по формуле .

Вычислите длину вектора , где — орты прямоугольной системы координат.

Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .

.

К началу страницы

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле , а формула для нахождения длины вектора по координатам точек и трехмерного пространства имеет вид .

Рассмотрим решения примеров.

Найдите длину вектора , если в прямоугольной декартовой системе координат .

Вторым вариантом решения является определение координат вектора через координаты точек и применение формулы :

.

Определите, при каких значениях длина вектора равна , если .

Длина вектора по координатам точек начала и конца может быть найдена как

Приравняв полученное значение длины вектора к , вычислим искомые :

при .

К началу страницы

Большинство задач на нахождение длины вектора решаются в координатах. Однако, когда координаты вектора не известны приходится искать другие пути решения.

Пусть известны длины двух векторов , и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора или . В этом случае можно по теореме косинусов в треугольнике АВС вычислить длину стороны ВС, которая равна искомой длине вектора.

Разберем решение примера для пояснения сказанного.

Длины векторов и равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен . Вычислите длину вектора .

Длина вектора равна длине стороны ВС в треугольнике АВС. Из условия нам известны длины сторон АВ и АС этого треугольника (они равны длинам соответствующих векторов), а также угол между ними, поэтому нам достаточно данных для применения теоремы косинусов:

Таким образом, .

.

1. Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы или , по координатам точек начала и конца вектора —
2. или ,

в некоторых случаях к результату приводит теорема косинусов.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.

• Некогда разбираться?
• Закажите решение
• К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/vectors/vector_length.html

Длина и направление вектора

Пусть , , ‑ три взаимно перпендикулярные оси в трёхмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки (начало координат), образуют правую тройку (т.е. для наблюдателя, находящегося по направлению оси , кратчайший поворот оси к оси происходит против часовой стрелки).

Для каждой точки пространства существует её радиус-вектор .

Определение 1. Под декартовыми прямоугольными координатами , , точки понимаются проекции её радиус вектора на соответствующие оси координат, т.е. , , . Точка с координатами , , обозначается , где ‑ абсцисса, ‑ ордината, ‑ аппликата.

Для нахождения координат, через точку проводятся три плоскости перпендикулярные осям , , . Тогда на этих осях получатся направленные отрезки (рис.1)

, , ,

• Если обозначить , , ( ) углы, образованные радиус-вектором с координатными осями , , , то
• , , .
• , , называются направляющими косинусами радиус-вектора .
• Так как

то и . Следовательно,

1. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна 1.
2. Определение 2. Если в пространстве задан вектор , то проекции этого вектора на оси координат
3. , ,

называются координатами вектора . При этом вектор записывается так: .

Так как вектор свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора определяются из уравнений

, , ,

т.е.

, , .

Пример. Найти длину и направление вектора .

Решение. , , , .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/12_203341_dlina-i-napravlenie-vektora.html