Луч и угол, измерение и сравнение углов — студенческий портал

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение угла

Определение 1

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Определение 2

Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.

Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Определение 3

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Определение 4

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.

Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .

Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной — ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Определение 5

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение смежных и вертикальных углов

Определение 6

Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Определение 7

Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Сравнение углов

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус.

Определение 8

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Стандартное обозначение градуса идет при помощи «°», тогда один градус – 1° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.

Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .

Определение 9

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Определение 10

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают «'», а секунды «''». Имеет место обозначение:

1°=60'=3600'', 1'=(160)°, 1'=60'', 1''=(160)'=(13600)° ,

а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17°3'59'' .

Определение 11

Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.

Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17°3'59'' . Запись имеет еще один вид 17+360+593600=172393600.

Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠AOB и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠AOB=110° , которая читается «Угол АОВ равен 110градусам».

В геометрии используется мера угла из интервала (0,180], а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.

Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так:∠AOB=∠AOC+∠DOB=45°+30°+60°=135° .

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны.

Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол АОВ и СОD – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов АОВ и ВОС, СОD и ВОС считают смежными.

В таком случает равенство∠AOB+∠BOC=180° вместе с ∠COD+∠BOC=180° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠AOB=∠COD . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Определение 12

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы ОА и ОВ. По определению данный треугольник AOB является равносторонним, значит длина дуги AB равна длинам радиусов ОВ и ОА.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Обозначение углов на чертеже

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/geometricheskaja-figura-ugol/

Урок 2. луч и угол — Геометрия — 7 класс — Российская электронная школа

• Геометрия
• 7 класс
• Урок № 2
• Луч и угол
• Перечень рассматриваемых вопросов:

• Угол.
• Луч.
• Внутренняя и внешняя часть угла.
• Развёрнутый угол.

1. Тезаурус:
2. Луч – часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.
3. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

4. Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
5. Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.
6. Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.

Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились с некоторыми геометрическими понятиями: прямая, точка, отрезок. Сегодня мы рассмотрим ещё два понятия, часто встречающиеся в геометрии – это луч и угол.

Для начала, вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведём прямую а, отметим на ней точкуО, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч принято обозначать как одной малой латинской буквой, например, а.

Или двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая– это любая точка на луче.

• Теперь рассмотрим понятие угол.
• Начнём с определения.
• Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
• Лучи – это стороны угла.
• В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон, в данном случае О – это вершина угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk,

так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее введём понятия, связанные с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развёрнутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развёрнутый.

1. В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развёрнутого.
2. Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
3. Во-вторых, плоскость, на которой изображён любой угол, кроме развёрнутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю.

В развёрнутом углу, любая часть считается внутренней.

Решим задачу.

На рисунке изображён угол. Какие из точек лежат внутри угла и вне его?

• Решение:
• Внутри угла лежат точки: М, Е, К.
• Вне угла лежат точки: Р, D, N.
• Отметим, что точкиВ и С лежат на сторонах углаО.
• Продолжая изучать углы, отметим, что если внутри угла из его вершины провести луч, то он разделит угол на два угла.
• Например, луч ОС делит ∠АОВ на два угла – ∠ВОС и ∠АОС.

1. Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.
2. Материал для углубленного изучения
3. Двугранный угол.

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но как отмечалось ранее, у геометрии есть ещё один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур–двугранный угол.

Дадим ему определение: двугранный угол – пространственнаягеометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ.

Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

Тренировочные задания.

№ 1. Какие из точек лежат на стороне угла?

Решение:

Посмотрите на рисунок. На нём изображён угол ВОС, соответственно точки B и C лежат на сторонах угла, других точек нет.

Ответ: B и C.

№ 2. Сколько углов изображено на рисунке?

Решение. Перечислим все углы, изображённые на рисунке.

СОВ, ВОА, АОD, DОС и развёрнутые углы СОА и DОВ. Получается 8 углов.

Ответ: 8 углов.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/7283/conspect/

Методическая разработка "Измерение углов"

Измерение углов

7 класс

• Проверочная работа
• ­II вариант
• I вариант

• На прямой m отмечены точки А , В и С так, что АС = 12 см, АВ = 8 см. Какой может быть длина отрезка ВС ?

• На прямой b отмечены точки С , D и Е так, что СD = 6 см, DЕ = 8 см. Какой может быть длина отрезка СЕ ?

• Точка М – середина отрезка АВ ; МВ = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах.

• Точка Р – середина отрезка MN . Найдите длину отрезка PN в метрах, если MN = 14 дм.

1. Ответ: 14 см или 2 см
2. Ответ: 20 см или 4 см
3. Ответ: 0,7 м
4. Ответ: 860 мм
5. Проверяем!

• Измерение углов
• Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения.
• Градус – угол, равный части развернутого угла.

1. Измерение углов
2. Вспомним, как строятся и измеряются углы с помощью транспортира
3. Нам понадобятся…

• Измерение углов
• Построим
• В
• О
• А

1. Измерение углов
2. Измерим величину угла АОВ
3. А
4. 125°
5. О
6. В

• Измерение углов
• Единицы измерения угла:
• 1 минута (1') – часть градуса
• 1 секунда (1'') – часть минуты

Измерение углов

Свойства углов:

• равные углы имеют равные градусные меры;
• меньший угол имеет меньшую градусную меру;
• развернутый угол равен 180°; неразвернутый угол меньше 180°;
• когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Выполните практические задания №№ 41, 42, 43

1. Измерение углов
2. Задача № 46 На рисунке изображены лучи с общим началом в точке О.
3. а) Найдите градусные меры углов АОХ, ВОХ, АОВ, СОВ, DОХ;
4. б) назовите углы равные 20°;
5. в) назовите все углы со стороной ОА
6. и найдите их градусные меры.

• Виды углов
• Введем понятия острого, прямого и тупого углов
• Острый угол:
• 0°
• Тупой угол:
• 90°
• Прямой угол:
• = 90°

1. Измерение углов
2. Задача № 51
3. На рисунке угол АОD прямой ,
4. ∠ АОВ = ∠ВОС = ∠COD.
5. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОВ и COD

Измерение углов

Задача № 52

На рисунке луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU – биссектрисой угла XOY. Найдите ∠XOZ, если ∠UOV = 80°.

• Решение задач по готовым чертежам
• Задача 1
• ­Задача 2
• Найти: ∠NQR
• Найти: ∠АОВ
• Ответ: 73°
• Ответ: 70°
• А
• Р
• С
• N
• 77°
• 29°
• 44°
• О
• 147°
• Q
• В
• R

1. Решение задач по готовым чертежам
2. Задача 3
3. ­Задача 4
4. Найти: ∠РQN и ∠NQR,
5. Найти: ∠АОС и ∠СОВ, если ∠АОВ = 80°
6. Ответ: 35° и 45°
7. Ответ: 18° и 72°
8. А
9. С
10. Р
11. N
12. ?
13. ?
14. на 10° больше
15. О
16. в 4 раза больше
17. В
18. Q
19. R

Решение задач

Задача № 47(б), №48

Дома: § 5 (п.9-10), ответить на вопросы 14–16 на с. 25–26;

№№ 44; 47(а), 49, 50

Источник: https://videouroki.net/razrabotki/mietodichieskaia-razrabotka-izmierieniie-ughlov.html

Луч и угол — урок. Геометрия, 7 класс

Точка, которая лежит на прямой, разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из этой точки, а саму точку называют началом каждого из лучей.

• Точка (A) разделяет прямую (a) на два луча. Так как в задании важно понять, который из лучей рассматривать,
• поставим на прямой ещё две точки (B) и (C) и назовём лучи:
• луч (AB) и луч (AC).

Обрати внимание!

Первой точкой всегда называют начальную точку луча.

На этом рисунке любая из точек может быть начальной точкой некоторого луча, который нарисован. Из каждой точки исходят два луча в противоположных направлениях и так же, как прямая, продолжаются бесконечно.

Обрати внимание!

Луч (BC) — тот же луч (BA), но луч (BC) oтличается от луча (AC). Эти лучи имеют некоторую общую часть.

Угол — геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи называют сторонами  угла, а их общее начало  — вершиной угла.

Угол обозначают большими латинскими буквами ∡KMN или малыми греческими буквами, например, α.

Обрати внимание!

Угол ∡KMN можно назвать также ∡NMK, но буква вершины всегда пишется посередине.

Иногда угол можно обозначить только одной большой латинской буквой вершины,

цифрой или названиями лучей — малыми латинскими буквами, например, ∡M, ∡1 или ∡mn.

Лучи (n) и (m) с общим началом в точке (M) делят плоскость на две части — внутренняя область угла и внешняя область угла.

Углом можно называть также лучи с общим началом вместе с внутренней областью. Тогда точки (A) и (B) не принадлежат углу ∡M, а точки (C), (D) и (E) принадлежат углу ∡M.

Если нарисовать два луча, исходящих из одной точки, то внутренняя область образует один угол, а внешняя область образует другой угол.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, угол называют развёрнутым.

У развёрнутого угла любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью.

Если во внутренней области угла провести луч с началом в вершине данного угла, то этот луч делит данный угол на два угла.

В таком случае очень важно следить за названиями углов, так как мы имеем данный угол и две его части. Например, не совсем понятно, какой угол мы подразумеваем, если пишем ∡A. Лучше использовать три большие буквы, тогда названия углов будут понятны: ∡CAB, ∡CAD, ∡DAB.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniia-14930/luch-i-ugol-9658/re-ac00706b-b905-490e-9e79-4d4c1566de6a

Сравнение углов

Мы знаем, что геометрические фигуры можно сравнивать методом наложения, а угол — это геометрическая фигура, следовательно, сравнить углы мы можем, наложив один угол на другой.

Рассмотрим два неразвёрнутых угла LOK и BAC

Совместим их вершины (точка O и точка A).

Затем повернём BAC так, чтобы сторона AC совпала со стороной OK, при этом стороны OL и AB должны быть по одну сторону от совпавших сторон.

• Мы видим, что BAC составляет только часть LOK, следовательно, LOK > BAC.
• Если LOB = BOK, то луч OB называется биссектрисой угла.
• Теперь сравним LOK и TNS.
• Совместим их вершины (точка O и точка N).
• Затем повернём TNS так, чтобы сторона NS совпала со стороной OK, при этом стороны OL и NT должны быть по одну сторону от совпавших сторон.
• Мы видим, что стороны OL и NT также совпали, следовательно, LOK = TNS.
• Неразвёрнутый угол всегда составляет часть развёрнутого угла, следовательно, развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла.
• Пример:
• DXJ — развёрнутый угол, HXJ, RXJ, HXD, RXD, HXR — неразвёрнутые углы, и все они составляют лишь часть DXJ и все они меньше его.
• Очевидно, что любые два развёрнутых угла равны друг другу.

• Угол, который составляет часть другого угла, считается меньшим.
• Если при наложении одного угла на другой, совпадают обе стороны данных углов, то они равны.
• Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.
• Развёрнутый угол больше любого неразвёрнутого угла.
• Любые два развёрнутых угла равны друг другу.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

1. Точки, прямые, отрезки
2. Провешивание прямой на местности
3. Луч
4. Угол
5. Равенство геометрических фигур
6. Сравнение отрезков
7. Длина отрезка
8. Единицы измерения длины, расстояний
9. Градусная мера угла
10. Измерение углов на местности
11. Смежные углы
12. Вертикальные углы
13. Перпендикулярные прямые
14. Построение прямых углов на местности
15. Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 46, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 11, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 212, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 233, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 345, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 358, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 619, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 677, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 821, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 823, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. © budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3302

Геометрическая фигура угол — определение угла, измерение углов, обозначения и примеры

Векторы, действия с векторами

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла.

После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже.

Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Определение угла

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча.

В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость.

Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a. Пусть O – некоторая точка прямой a. Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом, а точка О называется началом луча. Еще можно услышать, что луч называют полупрямой.

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла, общее начало сторон угла называют вершиной угла.

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым.

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k, а другая h), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA, а вторая сторона угла OB), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1, 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла, а другую – внешней областью угла. Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая — внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент.

Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом.

Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

К началу страницы

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными.

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными, причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

К началу страницы

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков.

Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла.

Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз.

Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

• Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .
• Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.
• Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют углами поворота). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом.

Угол меньший 90 градусов называется острым углом. Угол больший девяноста градусов называется тупым углом. Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90), мера тупого угла – числом из интервала (90, 180), прямой угол равен девяноста градусам.

Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ, который составляют углы АОС, СОD и DОВ, при этом .

Из этого утверждения следует, что вертикальные углы равны. Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС — смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом. Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Угол в один радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB) равна длине дуги AB, поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять перевод градусов в радианы и радианов в градусы. В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

К началу страницы

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

1. Некогда разбираться?
2. Закажите решение
3. К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/vectors/angle.html

Урок геометрии в 7 классе. «Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение и измерение отрезков и углов». план-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему

Тема урока

«Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение и  измерение отрезков

• и углов».
• Тип: комбинированный, с применением компьютерных технологий.
• Приложение 1.
• Цели и задачи: Образовательные 
•  познакомить учащихся с историей возникновения и развития геометрии;

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме: «Прямая и отрезок. Луч и угол. Сравнение измерение отрезков и углов».

1. Развивающие 
2.  развивать фантазию, творческую и мыслительную деятельность учащихся посредством выполнения информационного проекта «История геометрии»;
3.  с помощью решения задач исследовательского характера развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, антикомформизм мышления, способность к оценочным действиям, обобщению, быстрому переключению; способствовать формированию навыков коллективной и самостоятельной работы; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать геометрическую интуицию. 
4.  Воспитательные 
5.  прививать учащимся интерес к предмету с помощью изучения истории и развития науки, применения информационных технологий (с использованием компьютера);
6.  формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.
7. Ход урока.

                                     I.      Организация начала урока.     

II         Проверка домашнего задания.

 4 творческие группы, в течение одной недели готовили информационные проекты по одной из тем:

               1.  Вступление. Древний Египет.

               2.  Древняя Греция.

               3.  Школа Евклида.

               4. Лобачевский и его геометрия. Заключение.

•  Защита  длится не более 3-5 минут.
• Учитель: В начале 20 века великий французский архитектор Ле Корбюзье сказал:
• « Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили

в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия».

Эти слова очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.  Великий немецкий математик Вильгельм Лейбниц сказал:

1. «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого,
2. тот никогда её не поймёт».
3. Заглянем в прошлое.
4. ( Выступает 1 группа).
5. Приложение 2.
6. Вступление.   

     Геометрия — одна из самых, а может, самая древняя наука, ее возраст исчисляется тысячелетиями. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Это своего рода «автографы», оставленные учеными своим потомкам.   Они вечны, так как на них запечатлены великие идеи,   не проходящие идеи.    

      Древний Египет считается первым государством, оставившим самые ранние математические тексты. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян.

Геродот писал: «Египетские жрецы говорили, что царь разделил землю  между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же река отнимала что-нибудь, то царь посылал людей, которые должны измерить участок и уменьшить налог».

Первой книгой, содержащей геометрические задачи, считается папирус   Райнда, который датируется IXX веком до нашей эры. Что умели древние египтяне:

1) Умели точно находить площадь поля прямоугольной, треугольной, трапециевидной формы.

1. Умели строить прямоугольный треугольник при помощи веревки,  разделенной узлами на 12 равных частей.
2. Знали, что отношение длины окружности к диаметру — число постоянное, приближенное значение этого числа — .
3. Среди пространственных тел самым египетским можно считать пирамиду, ведь именно такую форму имеют знаменитые усыпальницы фараонов, хотя довольно близко они знакомы с кубом, параллелепипедом,    призмой и цилиндром, умели вычислять объем этих фигур.

Учитель: Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Одним из первых был Фалес из Милета.

• (Выступает 2 группа).
• Приложение 3.
•  Пожалуй, дату появления геометрии, как науки, можно определить довольно точно — VI век до нашей эры.

Древнегреческий ученый Фалес Милетский считается одним из первых геометров. Он был причислен к семи мудрецам древности, среди которых он первый. Фалес решил следующие задачи.

1. Предложил способ определения расстояния до корабля на море.

1. Вычислил высоту египетской пирамиды Хеопса по длине отбрасываемой тени.

1. Доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника.
2. Ввел понятие движения, в частности поворота.

1. Доказал второй признак равенства треугольников и впервые применял его в задаче.
2. Теорема Фалеса о равных отрезках, отсекаемых параллельными   прямыми на сторонах угла.

Учитель: Первое дошедшее до нас полное научное изложение геометрии содержится в труде, названном «Начала» и составленном древнегреческим учёным Евклидом, жившем в III веке до нашей эры в городе Александрии (Египет). О Евклиде и его знаменитой книге нам расскажет 3 группа.                                                      

(Выступает 3 группа).

Приложение 4.

Евклид Александрийский. О нем известно очень мало.   Вот два эпизода связанные с его именем.

 Рассказывают, что египетский царь Птолемей I пожелал лично познакомиться с прославленным математиком и с его не менее известными сочинениями. Он милостиво выслушал   доказательство двух теорем, но в начале третьей с ужасом воскликнул: «Неужели нет других путей для того, чтобы понять эти вещи?»    На это Евклид с достоинством ответил:   «Нет, в математике даже для царей нет других путей!»

Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике.

Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей.

  Евклид является непревзойденным систематизатором, педагогом и популяризатором науки. Но последующие математики не во всем соглашались с системой аксиом и определений и пытались ее улучшить.

Особенное неудовлетворение всегда вызывал пятый постулат, утверждавший: что через любую точку плоскости можно провести только одну прямую параллельную данной.

Многие считали ее теоремой и пытались ее неудачно доказать.

1.       Всегда ли это верно?  
2.      Ответить на этот вопрос смогли лишь через две тысячи лет.
3. Учитель: Итак, слово 4 группе.
4. Приложение 5.

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) был профессором и ректором Казанского университета. Заинтересовавшись теорией параллельных линий ещё в студенческие годы, он, так же как и его предшественники, пытался доказать пятый постулат от противного.

Однако, не найдя противоречия, Лобачевский сделал вывод о существовании непротиворечивой геометрии, в которой выполняются все аксиомы геометрии Евклида, кроме постулата о параллельных.

    Лобачевский ясно понимал, что геометрические понятия, так же как и понятия арифметики, являются абстракцией от предметов реального мира. «Понятия приобретаются чувствами, – говорил Лобачевский, – врождённым – не должно верить».

•     Датой рождения геометрии Лобачевского считается 23 февраля 1826 года, когда Лобачевский сделал публичный доклад о своём открытии в Казанском университете.
•        Но геометрия Лобачевского — геометрия Вселенной, геометрия бесконечного пространства, таящего в себе множество нераскрытых тайн.
• Но несмотря на то, что возраст геометрии исчисляется тысячелетиями, геометрия и сейчас продолжает бурно развиваться.
•   Заключение.   

       Геометрия — молодая наука.    Ее уникальность в том, что некоторые самые современные достижения геометрической науки доступны школьникам.

Любая решенная в геометрии проблема порождает ряд новых.

Что будет дальше, мы не знаем. Быть может, сейчас седой ученый совершает доказательство очередной теоремы.  А может быть, это кто-нибудь из нас!

III.  Устная работа (рисунки на доске).

1.На прямой отмечены точки А,В,С,Д,Е.а)Какие из данных точек принадлежат отрезку АД, но не принадлежат отрезку СЕ?б)Отметьте точку К так, чтобы выполнялись условия

К

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/03/04/urok-geometrii-v-7-klasse-pryamaya-i-otrezok-luch-i-ugol