Общие свойства функций и построение графиков — студенческий портал

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали.

Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно.

Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты — значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если
  то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота — это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=$frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a — это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а < 0.

Для примера построим три графика: а) y= x2, б) y= x2 + 2, в) y= x2 — 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а < 0.

• Для примера построим три графика: а) y= (x — 2)2, б) y= (x + 1)2.
• Графики наших функций получается из графика функции y= x2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.
• Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x3, б) y= (-x)3.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x3, путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2×2 + 4x — 5.

Решение: 1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y'= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.

3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)2 + 4(-1) — 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5×3 — 3×5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:

y'= 15×2 — 15×4,

y'= 15×2(1 — x2)= 15×2(1 — x)(1 + x),
15×2(1 — x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.

3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.

Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1)3 — 3(-1)5= -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0)3 — 3(0)5= 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1)3 — 3 (1)5= 2

5) Исследуем функцию на четность: y(-x)= 5(-x3) — 3(-x5)= -5×3 + 35= -y(x)
По определению функция нечетная, и график симметричен относительно начало координат.

Итак, функция нечетная.
Наша функция убывает на промежутке равном (-∞;-1).
x= -1 – точка минимума. Функция возрастает на (-1;1).
x= 0 – точка перегиба.

x= 1 – точка максимума. Функция возрастает на (1;+∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

III. Построить график функции: y=$frac{x^2+4}{x^2-4}$.

1. Решение:
   1) Область определения: D(y)= (-∞;-2)U(-2;2)U(2;+∞).
2. 2) Исследуем функцию на четность: y(-x)= $frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=frac{x^2+4}{x^2-4}$= y(x)
3. Найдем горизонтальную асимптоту:
4. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0.
3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

4) Найдем стационарные и критические точки:

Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат.

Задачи на построение графиков функций для самостоятельного решения

1) Построить график функции: $y= (-x)^2 + 4x — 7$.
2) Построить график функции: $y=x^3 — 3x + 2$.
3) Построить график функции: $y= frac{(2x+1)}{(x^2+2)}$.

Источник: https://mathematics-tests.com/postroenie-grafikov-funktsi-algebra-10-klass

Исследование функции и построение графика функции

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале — график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна — график ниже оси абсцисс. 

5. Промежутки возрастания и убывания функции

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна — график функции возрастает, отрицательна — убывает.

6. Выпуклость, вогнутость

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна — график функции выпукл вверх. Отрицательна — график функции выпукл вниз. 

7. Наклонные асимптоты

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №2

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №3

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №4

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №5

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №6

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №7

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

 

Пример исследования функции и построения графика №8

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №9

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №10

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №11

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №12

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №13

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №14

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №15

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №16

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №17

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №18

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №19

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №20

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №21

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №22

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №23

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №24

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №25

1. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Пример исследования функции и построения графика №26

• Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html

Квадратичная функция

• Функция вида  , где  называется квадратичной функцией. 
• График квадратичной функции – парабола. 
• 
• Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

1. , то есть , ,
2. Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
3. 

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

• 
• Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
• 

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При парабола   изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях  ордината    каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

1. А при парабола  «станет шире»  параболы :
2. 
3. Давайте подитожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При  ветви направлены вверх, при — вниз. 

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше  , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: ,   .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

,  . Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы ,  ведь в нашем случае.

1) парабола обязательно пройдет через точку .  Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это .   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (,  ), две (, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох).

В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде

• 1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a

Источник: https://egemaximum.ru/kvadratichnaya-funktsiya/

Построение графиков функций

Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она… мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.

Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».

Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра.

А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту.

И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».

• Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».
• Темы для повторения:
• Понятие функции
• Типы элементарных функций
• Преобразования графиков функций
• Производная функции
• 1. Построим график функции

Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.

1. Упростим формулу функции:
2. при
3. График функции — прямая с выколотой точкой
4. 
5. 2. Построим график функции
6. Выделим в формуле функции целую часть:

Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.

• 3. Построим график функции
• Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали
• 4. Построим график функции
• Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:
• Действуем по порядку:
• 1) График функции y=sinx сдвинем на влево;
• 2) сожмем в 2 раза по горизонтали,
• 3) растянем в 3 раза по вертикали,
• 4) сдвинем на 1 вверх

Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».

1. 5. Построим график функции
2. Область определения функции:
3. Нули функции: и
4. Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)

Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.

Раскроем скобки в формуле функции:

Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.

• 6. Построим график функции
• Это дробно-рациональная функция.
• Область определения функции
• Нули функции: точки — 3, 2, 6.
• Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
• Вертикальные асимптоты:

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.

1. Вот эскиз графика:
2. Еще один интересный прием — сложение графиков.
3. 7. Построим график функции
4. Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте
5. Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:

Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!

• 8. Построим график функции
• Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен
• Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при
• При , значение {cos x} равно единице. Значение функции в этих точках будет равно
• 9. Построим график функции
• Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.
• Нули функции — в точках, где то есть при

Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?

Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».

А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.

10. Построим график функции

Область определения функции — все действительные числа, поскольку

Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.

1. Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.
2. Найдем производную функции
   По формуле производной частного,
3. если или
4. В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.
5. В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.
6. Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.

Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?

• Общая схема построения графика функции: 
• 1. Область определения функции
• 2. Область значений функции
• 3. Четность — нечетность (если есть)
• 4. Периодичность (если есть)
• 5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)

6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).

7. Асимптоты (если есть).

8. Поведение функции в бесконечности

9. Производная функции

10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.

Источник: https://ege-study.ru/postroenie-grafikov-funkcij/