Свойства параллельных прямых — студенческий портал

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Геометрические фигуры. Полные уроки

Параллельные прямые. Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b. На
рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка
называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрез­ки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки МN и СD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей(рис. 2,в).

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.

• Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
• накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
• 
• Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство.Пусть при пересечении прямых а и b секущей
АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 4, а).

Покажем,что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай,
когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН
к прямой а (рис. 4, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1 равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1.

Треугольники ОНА и ОН1В
равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 —
прямой (так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны.

Теорема доказана.

Теорема.Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство.Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 5). Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то ∠2=∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1=∠3.
Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема.Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство.Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 5). Так как
углы 3 и 4 — смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне угольника, и проведем прямую b.

Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа и бета, равны.

Еще есть способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.

Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки
параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные
шарниром).

Интересный факт

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых).

Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я.

Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

Аксиома параллельных прямых

Евклид, видимо, первый среди эллинов понял, что ответ на этот вопрос нельзя получить, исходя из прочих свойств прямых и точек – тех, которые он сформулировал в виде аксиом и постулатов. Нужно ввести дополнительный постулат о единственности искомой прямой m – и назвать эту прямую параллельной!

А возможны ли иные формулировки постулата о параллельных прямых – не совместимые с постулатом Евклида? Например, можно предположить существование нескольких разных прямых, не пересекающих данную прямую l и проходящих через общую точку А. Приведет ли такое предположение к логическому противоречию или нет? Если нет, то возможны иные геометрии, кроме евклидовой!

Первую неевклидову геометрию изобрели в 1820-е годы сразу три талантливых математика: немец Карл Гаусс, русский Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Русский математик оказался самым смелым и упорным из троих открывателей.

Он первый опубликовал свою книгу с предсказанием замечательных свойств неевклидовых фигур. Например, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180 градусов.

Она принимает разные значения для разных треугольников; при этом два подобных треугольника обязательно равны!

В конце 19 века геометры Клейн и Пуанкаре изобрели довольно простые модели поверхностей, на которых воплощается геометрия Лобачевского. Еще раньше Риман заметил, что на обычной сфере воплощена третья возможная геометрия (проективная): в ней «параллельных» прямых вовсе нет, а сумма внутренних углов треугольника всегда больше, чем 180 градусов.

До начала 20 века считалось, что неевклидовы геометрии могут быть полезны только внутри математической науки. Но в 1910-е годы Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности: она оказалась четырехмерным воплощением неевклидовой геометрии Лобачевского. С тех пор физики верят, что каждая непротиворечивая математическая конструкция воплощена где-нибудь в Природе. Возможно, что так оно и есть.

Историческая справка

В древние века, буквально 2500 лет назад, в известной школе Пифагора греческое слово «параллелос» начали употреблять, как геометрический термин, хотя определения параллельных прямых в те времена еще не знали. Но исторические факты говорят о том, что древнегреческий ученый Евклид в третьем веке до нашей эры, в своих книгах все же, раскрыл смысл такого понятия, как параллельные прямые.

Как вам уже известно, из пройденного материала в предыдущих классах, термин «параллелос» в переводе с греческого языка обозначает рядом идущий или проведенный друг возле друга.

В математике для обозначения параллельных прямых существует специальный знак. Правда, не всегда знак параллельности имел теперешний вид.

Так, например, древнегреческий математик Папп в третьем веке нашей эры для обозначения параллельности пользовался знаком равно «=».

А вот знак «=» во всеобщее обращение ввел Рекорд и его стали использовать, как знак равенства.

Параллельные прямые в быту и повседневной жизни

С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание.

На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана.

Но параллельные линии вы можете увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и если внимательно присмотритесь к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Подняв на улице глаза вверх, вы видите параллельно проходящие электрические провода. Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Параллельные линии можно встретить повсюду. Они нам постоянно встречаются в быту, живописи. Без них не обойтись и в архитектуре, так как в строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

Если вы внимательно посмотрите на изображение, то сразу же заметите в этих архитектурных сооружениях присутствие параллельных прямых. Возможно, они служат так долго и остаются красивыми благодаря тому, что архитекторы и инженеры при создании этих культовых зданий использовали параллельные прямые.

А задумывались ли вы когда-нибудь над тем, почему в линиях электропередач, провода располагаются параллельно? И представьте себе, чтобы было, если бы они не были бы параллельными и пересекались или соприкасались друг с другом.

А это привело бы к нехорошим последствиям, при которых могло произойти замыкание, перебоям и отсутствию электричества. А что могло произойти с поездом, если бы рельсы не были бы параллельными? Об этом даже страшно подумать.

Вам всем хорошо известно, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Но если вы долго будете смотреть вдаль, в бесконечность, то в итоге можете увидеть, как параллельные прямые пересекаются. В этом случае мы с вами столкнулись с иллюзией зрения. Может быть, только благодаря таким иллюзиям и зрительным искажениям и появилась живопись.

Домашнее задание

1. Назовите свои примеры, где вы в повседневной жизни, в быту или в природе сталкиваетесь с моментами или фактами параллельности.
2. Какие вы знаете способы, благодаря которым можно начертить параллельные прямые? Назовите эти способы.
3. Начертите параллельные прямые в тетради, способами, которые вам известны.
4. При каких условиях прямые, можно назвать параллельными?

Вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными? 2. Какие практические способы построения параллельных прямых существуют.?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B5._%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8

Урок 4: Параллельные прямые

• План урока:
• Определение параллельных прямых
• Аксиома параллельности
• Секущая
• Теорема о прямых, перпендикулярных секущей
• Признаки параллельности прямых
• Расстояние между параллельными прямыми
• Способы построения параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:

Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:

Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.

Дадим определение параллельных прямых:

Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.

Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:

Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.

Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:

Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.

Аксиома параллельности

Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:

На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.

Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано.

Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.

Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.

В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию.

В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми.

Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.

Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:

Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:

В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.

Секущая

1. При этом она образует 8 углов:

Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:

• Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:
• Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:

Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними.

Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами.

А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

1. Докажем следующее утверждение:
2. На рисунке это будет выглядеть так:
3. Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:

Доказательство построено на методе «от противного».

Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c. При этом отражение А обозначим как А'. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A'DK также равен 90°. Тогда ∠А'DА=∠ADK+∠A'DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА') является прямой.

Тоже самое можно доказать и для линии АKА'.

Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.

Признаки параллельности прямых

По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:

Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:

Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).

Второй признак формулируется так:

Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.

Третий признак звучит так:

Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:

∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.

Расстояние между параллельными прямыми

Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:

На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:

Опустим из двух произвольных точек D и D', принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K'. Kи D' соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD'и KK'D'.

У них есть общая сторона KD'. ∠D'KK' и ∠KD'D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD'=∠KD'K'. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам.

Из это следует, что DK=D'K'.

Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.

Способы построения параллельных прямых

На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.

Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:

Источник

В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?

Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K'.

Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK'. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F':

• Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F'):
• На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M' точки, где она пересекается с FF':

Последний шаг. Проводим из M и M' окружности, чьи радиусы равны MM'. Они пересекутся в двух точках, V и V'. Прямая VV' будет параллельна исходной прямой a:

Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.

Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:

• рельсы, по которым ездят локомотивы и поезда;
• шпалы, лежащие под этими рельсами;
• полосы движения на автомагистралях
• колонны, поддерживающие фасады зданий.

Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!

Источник: https://100urokov.ru/predmety/urok-4-parallelnye-pryamye

Свойства параллельных прямых. Аксиома параллельных прямых — урок. Геометрия, 7 класс

Признаки, которые мы рассматривали в первой части теории, и свойства, которые будем рассматривать в этой части, доказываем разными способами.

Признак — это некоторый факт, благодаря которому мы устанавливаем справедливость интересующего нас суждения о некотором объекте.

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Свойство — если мы уверены в справедливости суждения, мы формулируем свойство объекта.

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома, в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать. В каждой науке есть свои аксиомы, на справедливости которых строят все дальнейшие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличие от аксиомы нужно доказать.

Докажем 1. Свойство.  

Даны две параллельные прямые (a) и (b). Верно ли, что если прямая (c) параллельна прямой (a), то она параллельна и прямой (b)?

 

Используем противоположное суждение.

Допустим, что возможна ситуация, когда прямая (c) параллельна одной из параллельных прямых — прямой (a) — пересекает другую прямую (b) в некоторой точке (K).

Получается противоречие с аксиомой параллельных прямых. Мы имеем ситуацию, когда через точку проходят две пересекающиеся прямые, которые параллельны одной и той же прямой (a). Такого не может быть, значит, прямые (b) и (c) пересекаться не могут.

Мы доказали, что верно: если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

Попробуй доказать самостоятельно 2. Свойство.

Если некая прямая (c) пересекает одну из двух параллельных прямых (a), то она пересекает и вторую параллельную прямую (b).

Таким же методом от противоположного суждения попробуй представить, что возможна ситуация, когда прямая пересекает одну из параллельных прямых, но не пересекает другую.

Свойства углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых с третьей секущей, мы уже назвали в первой части теории.

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

• — накрест лежащие углы равны,
• — соответственные углы равны,
• — сумма односторонних углов равна (180°).

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/parallelnye-priamye-9124/priznaki-parallelnosti-dvukh-priamykh-aksioma-parallelnykh-priamykh-9228/re-4ba7ee5b-3478-495b-b7eb-3e4eeb2d9b4c

3.3. Свойства параллельных прямых



Теорема 3.2. 

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Пусть прямые a и b одновременно параллельны прямой c. Допустим, что a не параллельна b, тогда прямая a пересекается с прямой b в некоторой точке A, не лежащей на прямой c по условию. Следовательно, мы имеем две прямые a и b, проходящие через точку A, не лежащую на данной прямой c, и одновременно параллельные ей. Это противоречит аксиоме 3.1. Теорема доказана.

Теорема 3.3. 

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Пусть (AB) данная прямая, C – точка, не лежащая на ней. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка B лежит в одной из них. В соответствии с аксиомой 3.2 можно от луча СA отложить угол (ACD), равный углу (CAB), в другую полуплоскость. ACD и CAB – равные внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей (AC) Тогда в силу теоремы 3.1 (AB) || (CD). С учетом аксиомы 3.1 теорема доказана.

Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.

Теорема 3.4. 

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Пусть (AB) || (CD). Предположим, что ACD ≠ BAC. Через точку A проведем прямую AE так, что EAC = ACD. Но тогда по теореме 3.1 (AE) || (CD), а по условию – (AB) || (CD). В соответствии с теоремой 3.2 (AE) || (AB). Это противоречит теореме 3.3, по которой через точку A, не лежащую на прямой CD, можно провести единственную прямую, параллельную ей. Теорема доказана. 1 Рисунок 3.3.1.К теореме 3.4

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.

• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Следствие 3.2. 

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

• Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.
• Два луча называются одинаково направленными, если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.
• Два луча называются противоположно направленными, если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.
• Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: а противоположно направленные лучи AB и CD –

2

Рисунок 3.3.2

Источник: https://mathematics.ru/courses/planimetry/content/chapter3/section/paragraph3/theory.html