Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа — студенческий портал

Рассмотрим еще одно числовое множество – множество иррациональных чисел (то есть нерациональных, тех, которые нельзя представить в виде дроби ). Как и другие числа, иррациональные числа – придуманный нами инструмент. Как он был изобретён?

В Древней Греции жил ученый Пифагор, имя которого мы хорошо знаем благодаря доказанной им теореме: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы» (рис. 1).

Рис. 1. Теорема Пифагора

Пифагор изучал прямоугольные треугольники и, в частности, один из самых простых – равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны  (рис. 2).

Рис. 2. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом

Оказалось, что рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить длину гипотенузы такого треугольника. То есть её нельзя представить в виде дроби вида , где  и  – целые, . Таким образом, возникла необходимость в создании нового инструмента – иррациональных чисел. В частности, для обозначения рассматриваемой длины гипотенузы ввели обозначение  (число, квадрат которого в точности равен ).

Одно из возможных объяснений открытия, сделанного Пифагором, связано со строем общества в те времена. Так как общество было рабовладельческим, практическими вещами занимались только рабы, а люди из верхнего культурного слоя (в современных формулировках – интеллигенция) не задумывались о практическом использовании чисел. Они рассматривали число как некую философскую сущность.

Для человека, занимающегося практической деятельностью, нет ничего страшного в том, что длину гипотенузы нельзя точно измерить.

Ведь на практике абсолютно точных измерений не бывает – нам всегда достаточно какой-то точности. В большинстве случаев длину можно было считать приблизительно равной  или .

Точное значение  нужно только в абстрактной идеальной модели, которой в реальной жизни не существует.

Как и любая система знаков, числа ограничены в применении. Например, с помощью алфавита можно записать многие звуки, и все их прочитают одинаково (Ау-у-у-у!) (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

А есть такие звуки, которые явно не запишешь, тогда их так и называют, например, «скрип тормозов».

Аналогично придуман знак , который означает длину гипотенузы треугольника, катеты которого равны  (или число, квадрат которого равен ). В точности (с помощью  цифр и знаков арифметических действий) мы его записать не сможем, но это и не нужно, ведь для практических целей нам всегда будет достаточно приблизительного значения.

Мы сказали, что все вычисления производятся с заданной точностью, тогда введение нового числа  кажется необязательным. Но есть задачи, где  является не конечным результатом, а промежуточным.

Например, если мы извлекали корень, а потом возвели в квадрат, то абсолютно точный результат: .

А вот если вместо корня из двух взять любое его приближение, то  при возведении в квадрат мы уже не получим:

С увеличением точности результат будет все ближе к , но в точности  равняться не будет.

То есть  – это новый знак, в котором содержится потенциально любая точность, которая нам может понадобиться при решении той или иной конкретной задачи.

Иррациональные числа – это еще один удобный инструмент для решения задач. Таких чисел много: например, число , ,  и т.д. Ни одно из таких чисел нельзя представить в виде дроби , где  и  – целые, . Вместе с рациональными эти числа образуют еще одно числовое множество – множество действительных (вещественных) чисел.

С помощью  цифр мы можем записать любое натуральное число. Используя знаки действий, мы расширили множество натуральных чисел: отрицательные числа получились с использованием действия «вычитание» ( – означает отнимать ); рациональные числа получились с использованием действия «деление» ( – означает  поделить на ).

Зачем расширяют множества? Чтобы, выполняя арифметические операции, оставаться внутри этого множества (такое свойство множеств называется замкнутостью).

Действительно, расширив множество натуральных чисел до множества целых чисел, мы получили множество, замкнутое относительно операций сложения и вычитания.

При переходе от рациональных чисел к действительным мы расширяем множество уже не для замкнутости множества относительно основных арифметических операций.

Однако заметим следующее: иррациональное число можно приблизить как угодно точно рациональным числом. Например,  можно приблизить числом , если нужно точнее, то можно записать  и т.д.

То есть можно сказать, что переход к новым множествам – это способ увеличения точности.

Например, когда мы говорили о натуральных числах, между  и  не было промежуточных значений: если мой рост больше  метра, но меньше  метров, то нужно либо ввести новую единицу измерения, либо расширить множество. Когда мы говорим о множестве действительных чисел, мы можем говорить об измерениях с абсолютной точностью.

Ссылки на материалы InternetUrok.ru

Источник: https://interneturok.ru/lesson/idei-i-smysly/matematika-za-20-urokov/spisok-urokov/chast-3-irratsionalnye-chisla-vyvody

Иррациональные числа

До изобретения десятичной системы счисления арифметические действия выполнялись весьма трудоёмко. Поэтому древние математики предпочитали всё более заниматься геометрией. Учёные древней Греции вместо чисел работали с длинами отрезков.

Чтобы найти длину отрезка они брали единичный отрезок и с помощью него измеряли длину другого отрезка. Смотрели, сколько раз этот единичный отрезок поместится в измеряемом отрезке.

Но, как оказалось, что не все отрезки можно так измерять.

Пример: пусть на координатной прямой отмечен единичный отрезок ОЕ. С помощью него давайте измерим длину отрезка ОА.

Смотрите, наш единичный отрезок вместился в отрезок ОА 2 раза, но при этом остался остаток отрезок ВА. Значит, число 2 есть приближённое значение с недостатком длины отрезка ОА с точностью до единицы.

Чтобы получить более точный результат, надо разделить единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей. И посмотрим, сколько раз вместится десятая часть единичного отрезка в полученный остаток ВА.

Видим, что десятая часть единичного отрезка ОЕ помещается в отрезке ВА 3 раза, но снова остался остаток — отрезок СА. Этот новый остаток меньше десятой части единичного отрезка ОЕ.

Значит, число 2,3 есть приближённое значение с недостатком длины отрезка ОА с точностью до 0,1.

Чтобы получить ещё более точный результат, мы должны десятую часть единичного отрезка снова разделить на 10 равных частей. И уже сотую часть отрезка ОЕ укладывать в остаток СА и т.д.. В таком случае мы будем получать приближённые значения с недостатком длины отрезка ОА с точностью до сотых, тысячных и т.д..

В конце концов такого десятичного измерения могут представиться два случая:

1.                Либо на каком-то шаге не получится остатка и тогда результатом измерения длины отрезка будет или натуральное число, или десятичная дробь.

2.                Либо остатки будут получаться в каждом шаге и тогда результатом измерения длины отрезка будет бесконечная десятичная дробь.

Пример: пусть отрезок ОА равен диагонали квадрата, стороной которого будет единичный отрезок ОЕ. Постоим на диагонали единичного квадрата новый квадрат.

Нетрудно заметить, что площадь этого квадрата в 2 раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Т.к.

отрезок ОА равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОА равна числу, квадрат которого равен 2.

При десятичном измерении отрезка ОА получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Потому что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, все же является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимой дроби , где m – целое число, n – натуральное.

Значит должно выполняться равенство. Применяя правило возведения рациональных дробей в степень, получим что . По смыслу деления имеем . Число  чётное, значит, и равное ему число  тоже чётное. Но тогда и само число  является чётным, потому что если бы  было нечётным, то и число  тоже было бы нечётным.

Поэтому число  можно представить в виде , где  – целое число. Подставим  вместо  в равенство . Получим: . Выполним возведение в степень. Получим, . Тогда . Число чётное, значит, число  тоже чётное. Следовательно, и число  – чётное. Т.е. получили, что числитель и знаменатель дроби  – чётные числа. Это противоречит тому, что дробь  несократимая.

Значит, наше предположение, что число, квадрат которого равен 2 рациональное, не верно.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими.  В периодических бесконечных десятичных дробях повторяется одна или несколько цифр.

 Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа.

Каждое такое число можно записать в виде отношения , где  – целое число, а – натуральное.

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, которые не являются рациональными. Такие числа называют иррациональными (приставка «ир» означает «отрицание»).

• Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где – целое число, а  – натуральное.
• Примером иррациональных чисел является  число «», которое выражает отношение длины окружности к её диаметру.
• Ещё примерами иррациональных чисел будут дроби:
• Множество иррациональных чисел обозначают латинской заглавной буквой .
• Если к множеству рациональных чисел добавить множество иррациональных чисел, то получим множество чисел, которое называют действительными числами.
• Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.
• Пример 1: сравнить числа.
• Пример 2: сравнить числа.

Действительные числа также можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю).

Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами.

При выполнении действий над действительными числами их заменяют приближёнными значениями, чтобы получить более точное значение результата.

1. Пример 3: найти приближенное значение выражения , где , округлив предварительно  и  до сотых.
2. Решение:
3. Пример 4: найти приближенное значение площади круга, радиус которого равен 5 м (число  округлите до сотых).
4. Решение:
5. Итоги:
6. Повторим главное:
7. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют иррациональными числами.
8. Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.
9. Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.
10. Действительные числа также можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель не равен нулю).
11. Действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами.

Источник: https://videouroki.net/video/10-irratsional-nyie-chisla.html

1.3.1. Иррациональные числа

Оказывается, что для нужд самой математики как, впрочем, и для практики, уже введённых рациональных чисел не хватает. Исторически числа, отличные по своей природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ квадрата по его стороне.

1

Покажем, что длина такой диагонали не может быть выражена рациональным числом. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Пусть длина его диагонали равна d. Тогда, по теореме Пифагора, имеем: то есть Предположим, что d – рациональное число. Тогда существуют такие числа что и дробь несократима. Получаем: Из этого равенства следует, что, так как правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Значит и число m делится на 2. Другими словами существует такое целое число что m = 2k. Но тогда Однако из последнего равенства аналогично следует, что число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима). Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину диагонали квадрата.

Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида , где m – целое число, а n – натуральное, называются иррациональными.

Из нашего примера следует, что такие числа существуют: длина диагонали квадрата со стороной 1 является именно таким числом.

Аналогично можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10, то есть числа являются иррациональными.

Теперь вспомним, что любое рациональное число может быть представлено в виде периодической десятичной дроби и наоборот, любая десятичная периодическая дробь может быть представлена в виде рационального числа.

Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.

Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество действительных чисел.

Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее.

Изученные множества чисел обозначаются следующим образом:

• – множество натуральных чисел;
• – множество неотрицательных целых чисел (расширенный ряд натуральных чисел);
• – множество целых чисел;
• – множество рациональных чисел;
• – множество иррациональных чисел;
• – множество действительных чисел.

Множество целых чисел содержится во множестве рациональных чисел которое, в свою очередь, является частью всего множества действительных чисел Эти отношения можно записать кратко в виде ,

Совершенно аналогично десятичным дробям вводятся правила действия над действительными числами.

Сложение. Сумма двух действительных чисел одного знака есть число того же знака. Модуль такой суммы равен сумме модулей слагаемых.

Сумма двух действительных чисел разных знаков имеет тот же знак, что и большее по модулю слагаемое. Модуль суммы равен разности модулей большего и меньшего слагаемых.

Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Пример 3

Вычислить (+2) – (–3).

(+2) – (–3) = 2 + 3 = 5. Ответ. +5.

Умножение и деление. Произведение (частное) двух действительных чисел одного знака есть число положительное. Произведение (частное) двух действительных чисел разных знаков есть число отрицательное. Модуль произведения (частного) двух действительных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел.

Пример 4

Вычислить (+2) ∙ (–3).

Ответ. –6.

Арифметические операции над действительными числами обладают следующими свойствами (основные законы алгебры).

1. a + b = b + a (переместительный закон сложения).
2. (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
3. a + 0 = a (свойство нуля).
4. a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).
5. ab = ba (переместительный закон умножения).
6. ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).
7. a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
8. a · 1 = a (основное свойство единицы).
9. (существование обратного числа).

Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению рациональных чисел. А именно, говорят, что действительное число a больше другого действительного числа b, и обозначают этот факт так: a > b, если разность (a – b) – положительное действительное число.

Говорят, что действительное число a меньше другого действительного числа b, и обозначают этот факт так: a  b, то b  b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).

Если a > b, то a + c > b + c.

Если a > b и c > 0, то ac > bc.

Если a > b и c  d, то a + c > b + d.

Если a, b, c, d > 0, причём a > b и c > d, то ac > bd.

Если a > b и c  b – d.

Если то

Если то для любого натурального числа n справедливо неравенство

Модулем действительного числа  a по определению называется само это число, если Если же a

Источник: https://mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter1/section3/paragraph1/theory.html

Рациональные числа: что это такое, свойства и примеры

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

Это число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

Например:

• 1,15 — рациональное число т. к. его можно представить как 115/100;
• 0,5 — рациональное число т. к. это 1/2;
• 0 — рациональное число т. к. это 0/1;
• 3 — рациональное число т. к. это 3/1;
• 1 — рациональное число т. к. это 1/1;
• 0,33333… — рациональное число т. к. это 1/3;
• –5,4 — рациональное число т. к. это –54/10 = –27/5.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово «рациональный» произошло от латыни «ratio», которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Свойства рациональных чисел

Допустим а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительные и сочетательные законы

• а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;
• а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;
• а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;
• а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

1. a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2
2. a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4
3. а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2
4. а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1
5. а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0
6. а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

• Для сложения:
• (а + b) × с = ас + bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4
• Для вычитания:
• (а – b) × с = ас – bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

Например:

• число Пи = 3,14159…, его можно записать как 22/7, но это будет лишь приблизительно и далеко не точно ( 22/7 = 3,142857..);
• √2 и √99 — иррациональные, т. к. их невозможно записать дробью (корни часто иррациональные, но не всегда);
• e (число) = 2,72 — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью;
• золотое сечение φ=1,618… — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Например:

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

1. Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

2. Например:
3. Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр («у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках»), поэтому нуль не входит в натуральные числа.
4. Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

3,4 = ;

2,19 = ;

0,561 =

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159…) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

• √2 = 1,414214… — иррациональное;
• √3 = 1,732050… — иррациональное;
• ∛7 = 1,912931… — иррациональное;
• √4 = 2 — рациональное (2 = 2/1);
• √9 = 3 — рациональное (3 = 3/1).

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Узнайте больше про Число Пи, Числа Фибоначчи и Экспоненту.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/racionalnye-chisla/

Иррациональные числа

Иррациональные числа не поддаются привычным математическим действиям. Чтобы правильно работать с этим подмножеством чисел в 6 классе требуется знание нескольких правил и законов. Именно об этих правилах и законах и пойдет речь сегодня.

Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные.
К рациональным относятся:

• Натуральные числа, от 1 и до бесконечности. Дробные числа сюда не входят.
• Дробные числа с любым знаком.
• Целые числа: положительные, отрицательные целые числа и ноль.

К иррациональным числа относятся любые значения со знаком радикала. Подмножество иррациональных чисел имеет обозначение J.

Что такое знак радикала? Это знак корня. Корень может быть любой степени, важен сам факт наличия радикала. Отдельно отметим, что корень, который можно вычислить нельзя считать иррациональным числом. Отличительным признаком иррационального числа является невозможность точного подсчета его значения.

Это значит, что если вбить значение корня в калькулятор, то получившееся значение будет бесконечно. Ярким примером иррационального числа будет $sqrt{2}$

В точных математических расчетах иррациональное число считается вычисленным, если можно точно узнать любое количество знаков после запятой. Количество вычисленных иррациональных чисел на сегодняшний момент минимально. Число пи так же является иррациональным и не вычисленным до конца.

В школьных примерах можно оставлять действия с корнем на самый конец вычислений, а потом считать на калькуляторе приближенное значение. Округление до 0,01 считается приемлемы для учебных вычислений. Можно и вовсе просто оставить пример с не вычисленными корнями, особенно это касается задач на упрощение примеров.

Существуют определенные правила работы с корнями:

• Корни можно возводить в степень

$${sqrt{2}}^3={sqrt{2^3}}={sqrt{8}}$$

• Из под корня можно выносит множители, выполняя действие корня

$${sqrt{8}}={2*sqrt{2}}$$

• Можно перемножать корни между собой

$${sqrt{2}}*{sqrt{2}}={sqrt{2*2}}={sqrt{4}}=2$$

При решении уравнений можно возводить обе части выражения в степень. Но в четные степени можно возводить только при условии разделения решения. С одной стороны нужно решить пример с условием, что подстепенное выражение будет отрицательным, с другой – не отрицательным.

Для иррациональных уравнений это не критично, поскольку значение корня всегда неотрицательно. Но это важно учитывать при решении квадратных, степенных и прочих неравенств и уравнений.

Мы поговорили об иррациональных числах. Выяснили, чем они отличаются от рациональных. Поговорили о том, какое иррациональное число может считаться полностью посчитанным. Обговорили отдельно, как записываются иррациональные ответы в выражениях школьного курса. Привели основные возможные действия с корнями.

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 182.

Источник: https://obrazovaka.ru/algebra/irracionalnye-chisla-primery-6-klass.html

Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные

Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

1; 2; 3; 4;…

Это натуральный ряд чисел. Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом. Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел. Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.

Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

• Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
• a + b = c
• с — это всегда натуральное число.
• Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
• a * b = c
• с — это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

a : b = c

где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

1. Единицу не считают простым числом.
2. Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
3. 4; 6; 8; 9; 10
4. Единицу не считают составным числом.
5. Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
6. Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
7. Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
8. переместительное свойство сложения
9. a + b = b + a;
10. сочетательное свойство сложения
11. (a + b) + c = a + (b + c);
12. переместительное свойство умножения
13. ab = ba;
14. сочетательное свойство умножения
15. (ab) c = a (bc);
16. распределительное свойство умножения
17. a (b + c) = ab + ac;

• Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
• Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:
• -1; -2; -3; -4;…
• Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

1. Рациональные числа — это целые числа и дроби.
2. Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
3. -1,(0); 3,(6); 0,(0);…
4. Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
5. Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:
6. 22/6 = 3,(6);
7. Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.
8. Ещё пример: рациональное число -9 может быть представлено в виде простой дроби как -18/2 или как -72/8.
9. Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
10. Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.

• Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:
• число пи = 3,141592… число е = 2,718281…
• Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.

Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.

Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.

Источник: https://sbp-program.ru/shkolnaya-algebra/chisla.htm

Числа

1. $a < b$ or $a=b$ or $a > b$ трихотомия
2. если $aleq b$ и $bleq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $aleq b$ и $bleq c$, то $aleq c$ транзитивность
4. если $aleq b$, то $a+cleq b+c$

5. если $aleq b$, то $acdot cleq bcdot c$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120…$

Решение уравнения
$a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$.

Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения.

Это приводит к введению множества целых чисел: $mathbb{Z}=lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3…
brace$.

Поскольку $mathbb{N}subset mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $cdot$ и отношения $
1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0leq a$ и $0leq b$, то $0leq acdot b$

Множество $mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(forall a,bin mathbb{Z})(a-bin mathbb{Z})$.

Рациональные числа $mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$frac{1}{2}, frac{4}{7}, -frac{5}{8}, frac{10}{20}…$

Теперь рассмотрим уравнения вида
$acdot x=b$, где $a$ и $b$ — известные целые числа, а $x$ — неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=frac{b}{a}$.

Множество $mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $mathbb{Z}subset mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $mathbb{Q}$:
$frac{p_1}{q_1}+frac{p_2}{q_2}=frac{p_1cdot q_2+p_2cdot q_1}{q_1cdot q_2}$

• $frac{p-1}{q_1}cdot frac{p_2}{q_2}=frac{p_1cdot p_2}{q_1cdot q_2}$
• Деление вводится таким образом:
  $frac{p_1}{q_1}:frac{p_2}{q_2}=frac{p_1}{q_1}cdot frac{q_2}{p_2}$
• На множестве $mathbb{Q}$ уравнение $acdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a
  eq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент
  $frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
  $(forall ain mathbb{Q}setminuslbrace 0
  brace)(exists frac{1}{a})(acdot frac{1}{a}=frac{1}{a}cdot a=a)$
• Порядок множества $mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
  $frac{p_1}{q_1} < frac{p_2}{q_2}Leftrightarrow p_1cdot q_2 < p_2cdot q_1$
• Множество $mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:
$sqrt{2} approx 1.41422135…$

$pi approx 3.1415926535…$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении.

Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения
$xcdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел.

Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=sqrt{2}$.

Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ — известное рациональное число, а $x$ — неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $sqrt{2}$, $sqrt{3}$, $pi$… принадлежат этому множеству.

Действительные числа $mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Поскольку $mathbb{Q}subset mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве.

Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы.

В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Элемент $bin mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $forall xin S$ справедливо $xleq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $sup S$.

Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.

Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),…$

$1 + 5i, 2 — 4i, -7 + 6i…$ где $i = sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

1. Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $mathbb{C}=mathbb{R}^2=mathbb{R} imes mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом: $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
2. $(a,b)cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
3. Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид
   $z=a+ib$, где $(a,b)$ — пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $mathbb{R}$ на множество $mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел.

Также легко показать, что подмножество множества $mathbb{C}$, заданное как $mathbb{C}_0=lbrace (a,0)|ain mathbb{R}
brace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $mathbb{C}_0=mathbb{R}$, или $Rsubsetmathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ — нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ — нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению

6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Источник: https://www.math10.com/ru/algebra/chisla.html

Целые и рациональные числа. Действительные числа

Урок 1/1 Дата _________________ Класс 10

Тема урока: Целые и рациональные числа. Действительные числа.

• Тип урока: изучение нового материала
• Цели урока: способствовать формированию знаний о числе (ввести понятия иррациональных, действительных чисел )
• установить связь между множествами натуральных, целых, рациональных и действительных чисел
• развивать навыки использования информационных технологий при изучении математики
• воспитывать интерес к предмету через значение смысла числа
• Оборудование урока: презентация, компьютер, проектор
• Ход урока:

1. Организационный момент

2. Знакомство с предметом

— структура учебника

— единый орфографический режим

1. Изучение нового материала (презентация)

Изучение математики вы начали с натуральных чисел, т. Е. с чисел 1, 2, 3, 4, 5, … . При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа.

Однако разность и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами.

Дополнением натуральных чисел нулем и отрицательными (т. Е. числами, противоположными натуральным) образует множество целых чисел, т. Е. чисел 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, … . При сложении, вычитании и умножении целых чисел всегда получается целые числа.

Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом.

Введение рациональных чисел, т. Е. чисел вида m/n, где m – целое число, n – натуральное число, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю. Каждое целое число m также является рациональным, так как его можно представить в виде m/1.

Если рациональное число можно представить в виде дроби m/10k, где m – целое число, k – натуральное число, то его можно записать в виде конечной десятичной дроби, Например, число 327/100 можно записать так: 3,27; число -23/10 можно записать так: -2,3.

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например 1/3, -2/9, 3/7.

Если, например попытаться записать число 1/3 в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь 0,3333… .

Бесконечную десятичную дробь 0,3333… называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – ее периодом. Периодическую дробь 0,333… коротко записывают так: 0,(3); читается; «Ноль целых и три в периоде».

1. Числа, не являющиеся целыми и дробными называются иррациональными.
2. Так как любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби и любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число, то каждое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь – это иррациональное число.
3. Например, иррациональным числом является диагональ r квадрата со стороной, равной 1: а также число p = 3,14159… — отношение длины окружности к диаметру, постоянное для любой окружности.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел (обозначается R). Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой.

Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу: отрицательному (со знаком «-«), если она левее начала отсчета; положительному (со знаком «+»), если она правее начала отсчета.

Множество действительных чисел называется также числовой прямой.

1. Закрепление изученного материала

• Работа с учебником выполнение нечетных заданий: №3, 9, 10, 12 (работа у доски и в тетради)

• — натуральными?
• — целыми?
• — рациональными?
• — действительными?

1. Домашнее задание §1,2 №№3(2,4), 9(4,6), №10 (2,4)

Источник: https://multiurok.ru/files/tsielyie-i-ratsional-nyie-chisla-dieistvitiel-nyie.html

Урок 8. иррациональные числа. понятие действительного числа. сравнение действительных чисел — Алгебра — 7 класс — Российская электронная школа

• Алгебра
• 7 класс
• Урок № 8

Иррациональные числа. Понятие действительного числа.

Сравнение действительных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Иррациональные числа.
• Понятие действительного числа.
• Абсолютная величина (модуль) числа.
• Сравнение действительных чисел.

Тезаурус:

Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.

Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.

1. Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.
2. Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.
3. Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…

После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.

• Её называют иррациональным (нерациональным) числом.
• Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.
• Примеры иррациональных чисел:
• 0,010010001…
• -17,1234567…
• Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…
• Понятие действительного числа:
• Рациональные и иррациональные числа называют действительными.
• Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.
• Если дробь периодическая – число рациональное.
• Если дробь непериодическая – число иррациональное.
• Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.
• Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:
• α0,α1 α2 α3… αn…, причем хотя бы одна из цифр отлична от нуля.
• Противоположные числа
• Противоположные числа отличаются только знаками:
• α0, α1, α2, α3,… αn…, и — α0,α1, α2, α3,… αn…,
• Обозначают: а, если а положительное число,
• -а, если а отрицательное число.
• Абсолютная величина числа (модуль) числа
• Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:

• само число а, если а – положительное
• 0, если а = 0
• число -а, если а – отрицательное число.

1. Обозначается: а, если а > 0,
2. |а| = 0, если а = 0,
3. -а, если а < 0.
4. Примеры:
5. а = 0,10110111… |а| = 0,10110111…
6. b = -2,1234567…… |b| = 2,1234567…
7. c = 0,(0) |c| = 0
8. Сравнение действительных чисел.
9. Правило 1.
10. Два действительных числа равны, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые и дробные части.
11. Правило 2.
12. Отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.
13. Число 0 меньше любого положительного числа.
14. Правило 3.
15. Если целые части положительных чисел разные, то больше то, у которого целая часть больше.
16. Если целые части положительных чисел одинаковые, то больше то, у которого цифра в наименьшем разряде дробной части больше.
17. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.
18. Сравнение чисел обозначают с помощью знаков: > = 0,2727, т. к. 0,(27) = 0,272727…
19. -3,(5) < -3,(4), т. к. абсолютная величина первого числа меньше.
20. 8,273273 > 8,(27), т. к. 8,273 и 8,272, первая отличная цифра в третьем разряде больше.

Источник: http://resh.in.edu.ru/subject/lesson/7014/conspect/

Определить является ли число иррациональным

Как известно, рациональное число возможно выразить обыкновенной дробью. Это относится и к целым числам, и к конечным десятичным и к бесконечным периодическим десятичным дробям. Бесконечные непериодические десятичные дроби невозможно выразить обыкновенными дробями, это — иррациональные числа.

Числа, которые не относятся к рациональным, т.е. ни целые, ни дробные вида m/n (m — целое число, n – натуральное), считаются иррациональными. Например, корень из 2 = 1,414213…; число пи = 3,14159…; пи в n-ой степени, при этом n — число целое, не равное 0, и прочие.

Всякое иррациональное число возможно выразить бесконечной непериодической десятичной дробью, как и любая непериодическая дробь представляет иррациональное число. Правда, иррациональные числа больше встречаются в виде логарифмов, корней, степеней и т.д. Обозначают множество иррациональных чисел — I, которое равняется I = R/Q.

В данном выражении R обозначает множество действительных чисел, Q представляет множество рациональных чисел. Над множеством иррациональных чисел можно осуществлять все главные арифметические действия, в то же время, у этого множества отсутствует свойство замкнутости, т.е. при сложении, умножении и т.д.

двух иррациональных чисел в результате может выйти рациональное число. Вместе иррациональные и рациональные числа представляют действительные числа.

Иррациональными числами не могут быть:
натуральные, целые, смешанные числа; бесконечные и конечные периодические десятичные и обыкновенные дроби; произведение, сумма, разность, частное от деления (кроме 0) 2-х рациональных чисел.

Если в арифметических операциях участвует хоть одно иррациональное число, в итоге получится иррациональное число. К примеру, 1 + 3,14… = 4,14… Если же арифметические действия осуществляются лишь с иррациональными числами, в результате можем иметь как иррациональное число, так и рациональное.

Следует запомнить, что при умножении иррационального числа на 0 в результате будем иметь рациональное число 0.

В числах, представленных в виде корней, степеней и т. д. зачастую сложно определить иррациональное число.

Онлайн калькулятор поможет быстро определить, является ли это значение иррациональным числом и вычислить его до требуемой точности.

Источник: https://infofaq.ru/opredelit-yavlyaetsya-li-chislo-irracionalnym.html