Рассмотрим формулы и примеры, с помощью которых станет проще понять как найти вектор перпендикулярный вектору.
Для перпендикулярности двух векторов необходимо выполнение одного условия: скалярное произведение данных векторов должно быть равным нулю.
Сразу же рассмотрим два случая:
1-й случай. Векторы заданы на плоскости. В таком случае они будут заданы двумя координатами х и у и условие перпендикулярности этих векторов будет:
2-й случай. Векторы заданы в пространстве. В таком случае они будут заданы тремя координатами х, у и z и условие перпендикулярности этих векторов:
Рассмотрим на примере как найти вектор перпендикулярный другому вектору.
Пример 1.
Заданы два вектора и
. Найдем значение d, при котором данные векторы будут перпендикулярными.
- Решение.
Для перпендикулярности векторов, заданных на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось условие равности их скалярного произведения нулю, то есть для нашего случая условие первое: -
- Подставим в него известные координаты векторов и вычислим неизвестное d:
-
-
Ответ. Векторы и будут перпендикулярными при .
На самом деле ничего сложно нет, нужно только определить на плоскости или в пространстве заданы векторы, взять нужную формулу, подставить в нее координаты и посчитать результат.
Источник: http://ru.solverbook.com/question/kak-najti-vektor-perpendikulyarnyj-vektoru/
Как найти координаты вектора перпендикулярного плоскости
Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.
В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.
Навигация по странице.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации
- Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.
- Дадим определение нормального вектора плоскости.
- Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
- Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.
Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если — нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).
- Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
- Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.
- Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.
- Приведем пример нормального вектора плоскости.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы являются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости
Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .
Общее уравнение плоскости вида определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор
. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.
Рассмотрим несколько примеров.
Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, — один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.
Плоскость задана уравнением . Определите координаты ее направляющих векторов.
Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .
Как проверить хард диск на работоспособность
Уравнение плоскости в отрезках вида , как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты .
В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
- Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
- При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
- Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно.
Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
- Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
- Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.
- Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .
Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Вторая часть доказательства
При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .
По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус.
Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° .
По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .
Как отсканировать документ на компьютере через сканер
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.
Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.
Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.
Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат.
Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) .
Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .
Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.
Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.
Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.
- Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
- a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2
- Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .
При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → .
Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений.
Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.
Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .
Как обратиться к администратору компьютера
Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.
Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → .
Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 .
Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .
Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов.
Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α .
В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .
Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .
Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ).
Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x .
Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .
Рассмотрим доказательство на примере.
Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.
Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )
Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.
Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
- a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →
- Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .
- вектор AB (0;-2;4)вектор AC (-3;-3;9)
- | x-1 1-1 -2-1 || y-2 0-2 -1-2 | = 0
- | z+3 1+3 6+3 |
Источник: https://hololenses.ru/kompjutery/kak-najti-koordinaty-vektora-perpendikuljarnogo.html
Векторы в пространстве и метод координат
Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
- Сумма векторов:
- Разность векторов:
- Произведение вектора на число:
- Скалярное произведение векторов:
- Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
- Запишем координаты векторов:
- и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
- Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
- Координаты точек A, B и C найти легко:
- Из прямоугольного треугольника AOS найдем
- Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
- Найдем координаты векторов и
- и угол между ними:
- Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
- Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
- Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
- Покажем, как это делается.
- Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
- Уравнение плоскости выглядит так:
- Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
- Для точки M:
- То есть A + C + D = 0.
- Для точки N:
- Аналогично для точки K:
- Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
- Пусть, например, D = −2. Тогда:
- Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
- Решив систему, получим:
- Уравнение плоскости MNK имеет вид:
- Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
- Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
- Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
- Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
- Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
- Напишем уравнение плоскости AEF.
- Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
- Упростим систему:
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
- Уравнение плоскости AEF:
- Нормаль к плоскости AEF:
- Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего.
Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.
Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Итак, AA1 = √3
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
- Координаты вектора — тоже:
- Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
- Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
- Получим:
- Ответ:
- Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
- Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
- Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
- Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
- Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
- Найдем угол между прямой и плоскостью:
- Ответ:
- Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
- Построим чертеж и выпишем координаты точек:
- Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
- Решим эту систему. Выберем
- Тогда
- Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
- Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/
Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения, условие перпендикулярности векторов
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
Определение 1
При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют перпендикулярными.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Теорема 1
Скалярное произведение двух ненулевых векторов a→ и b→ равном нулю для выполнения равенства a→, b→=0 достаточно для их перпендикулярности.
Доказательство 1
Пусть заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a⇀, b→=0.
Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a→ и b→ перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90°. Тогда имеем a→, b→=a→·b→·cos(a→, b→^)=a→·b→·cos90°=0.
Вторая часть доказательства
При условии, когда a⇀, b→=0 доказать перпендикулярность a→ и b→.
По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a→ и b→ ненулевые, значит, из равенстваa⇀, b→=a→·b→·cos(a→, b→)^ найдем косинус. Тогда получим cos(a→, b→)^=(a→,b→)a→·b→=0a→·b→=0. Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a→, b→^ векторов a→ и b→ равен 90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a→, b→)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by), на плоскости и (a→,b→)=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Пример 1
Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a→=(2, -3), b→=(-6, -4).
Решение
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
(a→, b→)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.
Ответ: да, заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны.
Пример 2
Даны координатные векторы i→, j→, k→. Проверить, могут ли векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ быть перпендикулярными.
Решение
Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i→+2·j→+2·k→, i→-j→=1·1+(-1)·2+0·2=-1.
Выражение не равно нулю, (i→+2·j→+2·k→, i→-j→)≠0, а это означает, что векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.
Ответ: нет, векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны.
Пример 3
Даны векторы a→=(1,0,-2) и b→=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.
- Решение
- Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
- ax·bx+ay·by+az·bz=0 ⇔1·λ+0·5+(-2)·1=0 ⇔λ=2
- Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Пример 4
Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB→ и AC→.
Решение
При перпендикулярности векторов AB→ и AC→ треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62⇔100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB→ и AC→ перпендикулярны.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a→ может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Задан ненулевой вектор a→, лежащий на прямой а. Тогда заданный b→, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa→.
Если вектору i→ перпендикулярен вектор j→ или любой из векторов λ·j→при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b→, перпендикулярному a→=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений.
Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a→=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.
Когда ax≠0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 ⇔bx=-ay·byax. При ax=0 и ay≠0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.
Пример 5
Дан вектор с координатами a→=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.
Решение
Обозначим искомый вектор как b→(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a→ и b→. Тогда получим: (a→, b→)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0⇔-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b→=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a→.
Ответ: b→=(12, 1).
Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a→=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a→ , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b→ из плоскости α перпендикулярен a→.
Необходимо найти координаты b→, перпендикулярного ненулевому вектору a→=(ax, ay, az).
Пусть задан b→ с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a→ — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax≠0, ( ay≠0 или az≠0).
Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0⇔bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax.
Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a→=(ax, ay, az).
Рассмотрим доказательство на примере.
Пример 6
Дан вектор с координатами a→=(1, 2, 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.
Решение
Обозначим искомый вектор за b→=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.
a⇀, b⇀=0⇔ax·bx+ay·by+az·bz=0⇔1·bx+2·by+3·bz=0⇔bx=-(2·by+3·bz)
Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b→(-5, 1, 1). Вектор b→ является одним из перпендикулярных векторов заданному.
Ответ: b→=(-5, 1, 1).
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa→(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a→ и b→ в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a→ или b→.
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Векторным произведением векторов a→ и b→ называют вектор, одновременно перпендикулярный и a→ и b→. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a→×b→. Для трехмерного пространства имеет вид a→×b→=a→j→k→axayazbxbybz
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Пример 7
Заданы векторы b→=(0, 2, 3) и a→=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.
Решение
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
a→×b→=i→j→k→210023=i→·1·3+j→·0·0+k→·2·2-k→·1·0-j→·2·3-i→·0·2=3·i→+(-6)·j→+4·k→
Ответ: (3, -6, 4) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a→ и b→.
Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-vektora-perpendikuljarnogo-dannomu-vek/
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).
Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) перпендикулярен вектору n.
Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде
(overrightarrow{M_{0}M}) • n = 0. (1)
Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.
- Пусть точка M0 и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:
- M0(х; у; z0), n = (А; В; С).
- Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) имеет координаты х — х0, у — у0 и z — z0, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:
- А(х — х0) + В (у — у0) + С (z — z0) = 0. (2)
- Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х; у; z0) перпендикулярно вектору (А; В; С).
Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).
- В данном случае х0 = -3, у0 = 4, z0 = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение
- l(x + 3) — 2( y — 4) + 6(z — 7) = 0,
- или
- х — 2у + 6z — 31 = 0.
3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору (overrightarrow{M_{1}M_2}).
- За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow{M_{1}M_2}) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М0 = М2(4; 5; 0) в уравнение (2) получим
- 2 (х — 4) + 6 (y — 5) — 3z = 0
- или
- 2х + 6у — 3z — 38 = 0.
Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1{-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М0. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.
За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow{A_{1}M_0}). Определим его координаты. Точка М0 — середина отрезка А2А3, поэтому, если (х; у; z0) — ее координаты, то
$$ x_0=frac{5+0}{2}=frac{5}{2}, ;; y_0=frac{0-1}{2}=-frac{1}{2}, ;; z_0=frac{6+2}{2}=4 $$
- Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны
- A = 5/2 + 5 = 15/2, В = — 1/2 — 2 = — 5/2, С = 4 — 7 = — 3.
- Уравнение (2) имеет в данном случае вид
- 15/2 (х — 5/2) — 5/2( y + 1/2) — 3 (z — 4) = 0
- или
- 15х -5y — 6z — 16 = 0.
Источник: http://razdupli.ru/teor/95_uravnenie-ploskosti-prohodyacshej-cherez-tochku-perpendikulyarno-vektoru.php
Практическая работа по математике на тему "Коллинеарность и перпендикулярность векторов"
- Практическая работа
- Определение коллинеарности и перпендикулярности векторов
- Цель работы:при выполнении работы вы научитесь определять коллинеарность и перпендикулярность векторов, решать простейшие задачи с использованием определений и свойств.
- При выполнении практической работы следует придерживаться следующих правил:
-
практическую работу следует выполнять в отдельной тетради для практических и домашних работ, чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для рецензий;
-
решение задач должно располагаться в порядке возрастания их номеров, сохраняя нумерацию заданий;
-
перед решением каждой задачи нужно записать полностью её условие;
-
решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и выполняя необходимые чертежи.
Вектор – «направленный» отрезок. Векторы в прямоугольной системе координат задаются с помощью его координат.
Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначается так: или ( ).
Если вектор задан своими координатами , то его = .
- Вектор всегда можно получить из двух точек М(х1; у1; z1) и N(х2; у2; z2).
Вектор — его начало М, конец точка N. Чтобы найти координаты вектора , надо из соответствующих координат конца вычесть координаты начала
.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинерные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.
- Для того чтобы проверить коллинеарность векторов, заданных своими координатами и надо проверить выполнение равенств:
, т.е. =
Пример:
- Угол между двумя векторами можно всегда получить, отложив векторы от общей точки.
- Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
- Обозначается так:
- Тогда = .
- Если векторы, заданны своими координатами и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
- = х1· х2 + у1 ·у2 + z1·z2 .
- Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 .
- Для того чтобы проверить перпендикулярность векторов, заданных своими координатами и надо вычислить их скалярное произведение и далее проверить утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
Практические задания
Вариант 1.
Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные сонаправленные векторы.
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= + 2 и = 3 —
Задание 3. Даны точки А(-2; 3; 1), В(-2; 1; 2) и С(0; 3; 4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.
Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами ДВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 2.
Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные противоположно направленные векторы.
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= + 3 и = 2 —
Задание 3. Даны точки А(3; -2; 4), В(4; -1; 2) и С(6; -3; 2). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.
Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АС и Д1В. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 3.
Задание 1. Постройте противоположно направленные векторы и .
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= + 3 и = 8 —
Задание 3. Даны точки А(5; -8; -1), В(6; -8; -2) и С(7;-5; -11). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.
Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 4.
Задание 1. Постройте сонаправленные векторы и .
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
=-2 + и = 3 —
Задание 3. Даны точки А(1; 0; 2), В(2; 1; 0) и С(0; -2; -4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.
Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами А1Д и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 5.
Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и .
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= 4 — 3 и = -12
Задание 3. Даны точки А(-6; -15; 7), В(-7; -15; 8) и С(14; -10; 9). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.
Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами АД и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 6.
Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в два раза больше другого.
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= 2 — 3 и = -2
Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.
Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Практические задания
Вариант 7.
Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в три раза больше другого.
Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
,
= 5 — 3 и = -3
Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.
Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АД1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)
Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,
ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.
Условия оценивания:
Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).
- Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
- Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
- Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
- Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.
Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.
Источник: https://infourok.ru/prakticheskaya-rabota-po-matematike-na-temu-kollinearnost-i-perpendikulyarnost-vektorov-2964960.html
Скалярное произведение векторов
Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $.
Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.
Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$
По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.
Примеры решений
Пример 1 |
Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $ |
Решение |
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$ |
Пример 2 |
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. |
Решение |
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):
|
Ответ |
$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$ |
В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.
Нужно подробное решение своей задачи?
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ
Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.html