Как найти вектор, перпендикулярный вектору — студенческий портал

Рассмотрим формулы и примеры, с помощью которых станет проще понять как найти вектор перпендикулярный вектору.
Для перпендикулярности двух векторов необходимо выполнение одного условия: скалярное произведение данных векторов должно быть равным нулю.

Сразу же рассмотрим два случая:

1-й случай. Векторы заданы на плоскости. В таком случае они будут заданы двумя координатами х и у и условие перпендикулярности этих векторов будет:

    Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

2-й случай. Векторы заданы в пространстве. В таком случае они будут заданы тремя координатами х, у и z и условие перпендикулярности этих векторов:

    Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Рассмотрим на примере как найти вектор перпендикулярный другому вектору.

Пример 1.
Заданы два вектора Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал и Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал. Найдем значение d, при котором данные векторы будут перпендикулярными.

  • Решение.
    Для перпендикулярности векторов, заданных на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось условие равности их скалярного произведения нулю, то есть для нашего случая условие первое:
  •     Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал
  • Подставим в него известные координаты векторов и вычислим неизвестное d:
  •     Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал
  •     Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Ответ. Векторы и будут перпендикулярными при .

На самом деле ничего сложно нет, нужно только определить на плоскости или в пространстве заданы векторы, взять нужную формулу, подставить в нее координаты и посчитать результат.

Источник: http://ru.solverbook.com/question/kak-najti-vektor-perpendikulyarnyj-vektoru/

Как найти координаты вектора перпендикулярного плоскости

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

Навигация по странице.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

  • Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.
  • Дадим определение нормального вектора плоскости.
  • Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
  • Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если — нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

  1. Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
  2. Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.
  3. Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.
  4. Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы являются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости

Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .

Общее уравнение плоскости вида Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий порталопределяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Рассмотрим несколько примеров.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, — один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.

Плоскость задана уравнением . Определите координаты ее направляющих векторов.

Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .

  Как проверить хард диск на работоспособность

Уравнение плоскости в отрезках вида , как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты .

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

  • Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
  • При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
  • Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно.

Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

  1. Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
  2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.
  3. Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Вторая часть доказательства

При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус.

Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° .

По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

  Как отсканировать документ на компьютере через сканер

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) .

Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

  • Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
  • a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2
  • Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → .

Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений.

Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.

Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

  Как обратиться к администратору компьютера

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → .

Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 .

Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов.

Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α .

В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ).

Читайте также:  Безопасность жизнедеятельности и производственная среда - студенческий портал

Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x .

Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

  1. a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →
  2. Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .
  3. вектор AB (0;-2;4)вектор AC (-3;-3;9)
  4. | x-1 1-1 -2-1 || y-2 0-2 -1-2 | = 0
  5. | z+3 1+3 6+3 |

Источник: https://hololenses.ru/kompjutery/kak-najti-koordinaty-vektora-perpendikuljarnogo.html

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

  • Сумма векторов:
  • Разность векторов:
  • Произведение вектора на число:
  • Скалярное произведение векторов:
  • Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

  1. Запишем координаты векторов:
  2. и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

  • Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
  • Координаты точек A, B и C найти легко:
  • Из прямоугольного треугольника AOS найдем
  • Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

  1. Найдем координаты векторов и
  2. и угол между ними:
  3. Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

  • Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

  1. Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

  • Покажем, как это делается.
  • Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
  • Уравнение плоскости выглядит так:
  • Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
  • Для точки M:
  • То есть A + C + D = 0.
  • Для точки N:
  • Аналогично для точки K:
  • Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

  1. Пусть, например, D = −2. Тогда:
  2. Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
  3. Решив систему, получим:
  4. Уравнение плоскости MNK имеет вид:
  5. Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
  6. Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
  7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
  8. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

  • Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
  • Напишем уравнение плоскости AEF.
  • Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
  • Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

  1. Уравнение плоскости AEF:
  2. Нормаль к плоскости AEF:
  3. Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего.

Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

  • Координаты вектора — тоже:
  • Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
  • Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
  • Получим:
  • Ответ:
  • Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
  • Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
  • Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

  1. Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
  2. Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

  • Найдем угол между прямой и плоскостью:
  • Ответ:
  • Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

  1. Построим чертеж и выпишем координаты точек:
  2. Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
  3. Решим эту систему. Выберем
  4. Тогда
  5. Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
  6. Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
Читайте также:  Войны с самнитами - студенческий портал

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения, условие перпендикулярности векторов

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение 1

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

Теорема 1

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a→ и b→ равном нулю для выполнения равенства a→, b→=0 достаточно для их перпендикулярности.

Доказательство 1

Пусть заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a⇀, b→=0.

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a→ и b→ перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90°. Тогда имеем a→, b→=a→·b→·cos(a→, b→^)=a→·b→·cos90°=0.

Вторая часть доказательства

При условии, когда a⇀, b→=0 доказать перпендикулярность a→ и b→.

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a→ и b→ ненулевые, значит, из равенстваa⇀, b→=a→·b→·cos(a→, b→)^ найдем косинус. Тогда получим cos(a→, b→)^=(a→,b→)a→·b→=0a→·b→=0. Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a→, b→^ векторов a→ и b→ равен  90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a→, b→)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by), на плоскости и (a→,b→)=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Пример 1

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a→=(2, -3),  b→=(-6, -4).

Решение

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

(a→, b→)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны.

Пример 2

Даны координатные векторы i→, j→, k→. Проверить, могут ли векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ быть перпендикулярными.

Решение

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i→+2·j→+2·k→, i→-j→=1·1+(-1)·2+0·2=-1.

Выражение не равно нулю, (i→+2·j→+2·k→, i→-j→)≠0, а это означает, что векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→  не перпендикулярны.

Пример 3

Даны векторы a→=(1,0,-2) и b→=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.

  • Решение
  • Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
  • ax·bx+ay·by+az·bz=0 ⇔1·λ+0·5+(-2)·1=0 ⇔λ=2
  •  Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Пример 4

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB→ и AC→.

Решение

При перпендикулярности векторов AB→ и AC→ треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62⇔100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB→ и AC→ перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a→ может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Задан ненулевой вектор a→, лежащий на прямой а. Тогда заданный b→, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa→.

Если вектору i→ перпендикулярен вектор j→ или любой из векторов λ·j→при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b→, перпендикулярному a→=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений.

Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a→=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.

Когда ax≠0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 ⇔bx=-ay·byax. При ax=0 и ay≠0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.

Пример 5

Дан вектор с координатами a→=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.

Решение

 Обозначим искомый вектор как b→(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a→ и b→. Тогда получим: (a→, b→)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0⇔-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b→=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a→.

Ответ: b→=(12, 1).

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a→=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a→ , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b→ из плоскости α перпендикулярен a→.

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Необходимо найти координаты b→, перпендикулярного ненулевому вектору a→=(ax, ay, az).

Пусть задан b→ с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a→ — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax≠0, ( ay≠0 или az≠0).

Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0⇔bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax.

Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a→=(ax, ay, az).

Рассмотрим доказательство на примере.

Пример 6

Дан вектор с координатами a→=(1, 2, 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Решение

Обозначим искомый вектор за b→=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a⇀, b⇀=0⇔ax·bx+ay·by+az·bz=0⇔1·bx+2·by+3·bz=0⇔bx=-(2·by+3·bz)

Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b→(-5, 1, 1). Вектор b→ является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b→=(-5, 1, 1).

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa→(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a→ и b→ в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a→ или b→.

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a→ и b→ называют вектор, одновременно перпендикулярный и a→ и b→. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a→×b→. Для трехмерного пространства имеет вид a→×b→=a→j→k→axayazbxbybz

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Пример 7

Заданы векторы b→=(0, 2, 3) и a→=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Решение

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

a→×b→=i→j→k→210023=i→·1·3+j→·0·0+k→·2·2-k→·1·0-j→·2·3-i→·0·2=3·i→+(-6)·j→+4·k→

Ответ: (3, -6, 4)координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a→ и b→.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-vektora-perpendikuljarnogo-dannomu-vek/

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) перпендикулярен вектору n.

Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

(overrightarrow{M_{0}M}) • n = 0. (1)

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

  • Пусть точка M0 и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:
  • M0(х; у; z0), n = (А; В; С).
  • Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) имеет координаты х — х0, у — у0 и z — z0, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:
  • А(х — х0) + В (у — у0) + С (z — z0) = 0. (2)
  • Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х; у; z0) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; 2; 6).

  1. В данном случае х0 = -3, у0 = 4, z0 = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение
  2. l(x + 3) — 2( y — 4) + 6(z — 7) = 0,
  3. или
  4. х — 2у + 6z — 31 = 0.

3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору (overrightarrow{M_{1}M_2}).

  • За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow{M_{1}M_2}) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М0 = М2(4; 5; 0) в уравнение (2) получим
  • 2 (х — 4) + 6 (y — 5) — 3z = 0
  • или
  • 2х + 6у — 3z — 38 = 0.

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1{-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М0. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow{A_{1}M_0}). Определим его координаты. Точка М0 — середина отрезка А2А3, поэтому, если (х; у; z0) — ее координаты, то

$$ x_0=frac{5+0}{2}=frac{5}{2}, ;; y_0=frac{0-1}{2}=-frac{1}{2}, ;; z_0=frac{6+2}{2}=4 $$

  1. Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны
  2. A = 5/2 + 5 = 15/2, В = — 1/2 — 2 = — 5/2, С = 4 — 7 = — 3.
  3. Уравнение (2) имеет в данном случае вид
  4. 15/2 (х — 5/2) — 5/2( y + 1/2) — 3 (z — 4) = 0
  5. или
  6. 15х -5y — 6z — 16 = 0.

Источник: http://razdupli.ru/teor/95_uravnenie-ploskosti-prohodyacshej-cherez-tochku-perpendikulyarno-vektoru.php

Практическая работа по математике на тему "Коллинеарность и перпендикулярность векторов"

  • Практическая работа
  • Определение коллинеарности и перпендикулярности векторов
  • Цель работы:при выполнении работы вы научитесь определять коллинеарность и перпендикулярность векторов, решать простейшие задачи с использованием определений и свойств.
  • При выполнении практической работы следует придерживаться следующих правил:
  1. практическую работу следует выполнять в отдельной тетради для практических и домашних работ, чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для рецензий;

  2. решение задач должно располагаться в порядке возрастания их номеров, сохраняя нумерацию заданий;

  3. перед решением каждой задачи нужно записать полностью её условие;

  4. решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и выполняя необходимые чертежи.

Вектор – «направленный» отрезок. Векторы в прямоугольной системе координат задаются с помощью его координат.

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначается так: или ( ).

Если вектор задан своими координатами , то его = .

  • Вектор всегда можно получить из двух точек М(х1; у1; z1) и N(х2; у2; z2).
Читайте также:  Виды экстремального туризма - студенческий портал

Вектор его начало М, конец точка N. Чтобы найти координаты вектора , надо из соответствующих координат конца вычесть координаты начала

.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинерные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

  • Для того чтобы проверить коллинеарность векторов, заданных своими координатами и надо проверить выполнение равенств:

, т.е. =

Пример:

Как найти вектор, перпендикулярный вектору - Студенческий портал

  1. Угол между двумя векторами можно всегда получить, отложив векторы от общей точки.
  2. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
  3. Обозначается так:
  4. Тогда = .
  5. Если векторы, заданны своими координатами и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
  6. = х1· х2 + у1 ·у2 + z1·z2 .
  7. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 .
  • Для того чтобы проверить перпендикулярность векторов, заданных своими координатами и надо вычислить их скалярное произведение и далее проверить утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

Практические задания

Вариант 1.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные сонаправленные векторы.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 2 и = 3 —

Задание 3. Даны точки А(-2; 3; 1), В(-2; 1; 2) и С(0; 3; 4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами ДВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  • Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  • Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  • Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  • Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 2.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные противоположно направленные векторы.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 3 и = 2 —

Задание 3. Даны точки А(3; -2; 4), В(4; -1; 2) и С(6; -3; 2). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АС и Д1В. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 3.

Задание 1. Постройте противоположно направленные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 3 и = 8 —

Задание 3. Даны точки А(5; -8; -1), В(6; -8; -2) и С(7;-5; -11). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  • Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  • Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  • Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  • Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 4.

Задание 1. Постройте сонаправленные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

=-2 + и = 3 —

Задание 3. Даны точки А(1; 0; 2), В(2; 1; 0) и С(0; -2; -4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами А1Д и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 5.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 4 — 3 и = -12

Задание 3. Даны точки А(-6; -15; 7), В(-7; -15; 8) и С(14; -10; 9). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами АД и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  • Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  • Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  • Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  • Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 6.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в два раза больше другого.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 2 — 3 и = -2

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 7.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в три раза больше другого.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 5 — 3 и = -3

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АД1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

  • Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
  • Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
  • Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
  • Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Источник: https://infourok.ru/prakticheskaya-rabota-po-matematike-na-temu-kollinearnost-i-perpendikulyarnost-vektorov-2964960.html

Скалярное произведение векторов

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $.

Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1
Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $
Решение
  • В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их:
  • $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$
  • Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ
$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$
Пример 2
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.
Решение
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора):

  1. $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$
  2. $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$
  3. Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение:
  4. $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$
Ответ
$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.html

Ссылка на основную публикацию