Как найти вектор, перпендикулярный вектору — студенческий портал

Рассмотрим формулы и примеры, с помощью которых станет проще понять как найти вектор перпендикулярный вектору.
Для перпендикулярности двух векторов необходимо выполнение одного условия: скалярное произведение данных векторов должно быть равным нулю.

Сразу же рассмотрим два случая:

1-й случай. Векторы заданы на плоскости. В таком случае они будут заданы двумя координатами х и у и условие перпендикулярности этих векторов будет:

   

2-й случай. Векторы заданы в пространстве. В таком случае они будут заданы тремя координатами х, у и z и условие перпендикулярности этих векторов:

   

Рассмотрим на примере как найти вектор перпендикулярный другому вектору.

Пример 1.
Заданы два вектора и . Найдем значение d, при котором данные векторы будут перпендикулярными.

• Решение.
  Для перпендикулярности векторов, заданных на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось условие равности их скалярного произведения нулю, то есть для нашего случая условие первое:
•    
• Подставим в него известные координаты векторов и вычислим неизвестное d:
•    
•    

Ответ. Векторы и будут перпендикулярными при .

На самом деле ничего сложно нет, нужно только определить на плоскости или в пространстве заданы векторы, взять нужную формулу, подставить в нее координаты и посчитать результат.

Источник: http://ru.solverbook.com/question/kak-najti-vektor-perpendikulyarnyj-vektoru/

Как найти координаты вектора перпендикулярного плоскости

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

Навигация по странице.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

• Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.
• Дадим определение нормального вектора плоскости.
• Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
• Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если — нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

1. Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
2. Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.
3. Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.
4. Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы являются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости

Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .

Общее уравнение плоскости вида определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Рассмотрим несколько примеров.

Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, — один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.

Плоскость задана уравнением . Определите координаты ее направляющих векторов.

Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .

  Как проверить хард диск на работоспособность

Уравнение плоскости в отрезках вида , как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты .

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

• Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
• При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
• Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно.

Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

1. Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.
3. Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a → и b → перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90 ° . Тогда имеем a → , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

Вторая часть доказательства

При условии, когда a ⇀ , b → = 0 доказать перпендикулярность a → и b → .

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a → и b → ненулевые, значит, из равенства a ⇀ , b → = a → · b → · cos ( a → , b → ) ^ найдем косинус.

Тогда получим cos ( a → , b → ) ^ = ( a → , b → ) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a → , b → ^ векторов a → и b → равен 90 ° .

По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

  Как отсканировать документ на компьютере через сканер

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат.

Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) .

Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

• Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
• a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2
• Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → .

Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.

Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

  Как обратиться к администратору компьютера

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → .

Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 .

Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов.

Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α .

В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ).

Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x .

Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

1. a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →
2. Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .
3. вектор AB (0;-2;4)вектор AC (-3;-3;9)
4. | x-1 1-1 -2-1 || y-2 0-2 -1-2 | = 0
5. | z+3 1+3 6+3 |

Источник: https://hololenses.ru/kompjutery/kak-najti-koordinaty-vektora-perpendikuljarnogo.html

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

• Сумма векторов:
• Разность векторов:
• Произведение вектора на число:
• Скалярное произведение векторов:
• Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

1. Запишем координаты векторов:
2. и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

• Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
• Координаты точек A, B и C найти легко:
• Из прямоугольного треугольника AOS найдем
• Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

1. Найдем координаты векторов и
2. и угол между ними:
3. Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

• Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

1. Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

• Покажем, как это делается.
• Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
• Уравнение плоскости выглядит так:
• Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
• Для точки M:
• То есть A + C + D = 0.
• Для точки N:
• Аналогично для точки K:
• Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

1. Пусть, например, D = −2. Тогда:
2. Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
3. Решив систему, получим:
4. Уравнение плоскости MNK имеет вид:
5. Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
6. Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
7. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
8. Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

• Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
• Напишем уравнение плоскости AEF.
• Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
• Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

1. Уравнение плоскости AEF:
2. Нормаль к плоскости AEF:
3. Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего.

Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

• Координаты вектора — тоже:
• Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
• Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
• Получим:
• Ответ:
• Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
• Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
• Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

1. Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
2. Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

• Найдем угол между прямой и плоскостью:
• Ответ:
• Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

1. Построим чертеж и выпишем координаты точек:
2. Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
3. Решим эту систему. Выберем
4. Тогда
5. Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
6. Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-v-prostranstve-i-metod-koordinat/

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения, условие перпендикулярности векторов

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение 1

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.

Теорема 1

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a→ и b→ равном нулю для выполнения равенства a→, b→=0 достаточно для их перпендикулярности.

Доказательство 1

Пусть заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a⇀, b→=0.

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. По условию a→ и b→ перпендикулярны, а, значит, исходя из определения, угол между ними 90°. Тогда имеем a→, b→=a→·b→·cos(a→, b→^)=a→·b→·cos90°=0.

Вторая часть доказательства

По сути доказательство является обратным предыдущему. Известно, что a→ и b→ ненулевые, значит, из равенстваa⇀, b→=a→·b→·cos(a→, b→)^ найдем косинус. Тогда получим cos(a→, b→)^=(a→,b→)a→·b→=0a→·b→=0. Так как косинус равен нулю, можем сделать вывод, что угол a→, b→^ векторов a→ и b→ равен  90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a→, b→)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by), на плоскости и (a→,b→)=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Пример 1

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a→=(2, -3),  b→=(-6, -4).

Решение

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

(a→, b→)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны.

Пример 2

Даны координатные векторы i→, j→, k→. Проверить, могут ли векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ быть перпендикулярными.

Решение

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i→+2·j→+2·k→, i→-j→=1·1+(-1)·2+0·2=-1.

Выражение не равно нулю, (i→+2·j→+2·k→, i→-j→)≠0, а это означает, что векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→  не перпендикулярны.

Пример 3

Даны векторы a→=(1,0,-2) и b→=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.

• Решение
• Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
• ax·bx+ay·by+az·bz=0 ⇔1·λ+0·5+(-2)·1=0 ⇔λ=2
•  Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Пример 4

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB→ и AC→.

Решение

При перпендикулярности векторов AB→ и AC→ треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62⇔100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB→ и AC→ перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a→ может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a→, лежащий на прямой а. Тогда заданный b→, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa→.

Если вектору i→ перпендикулярен вектор j→ или любой из векторов λ·j→при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b→, перпендикулярному a→=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений.

Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a→=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора.

Когда ax≠0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 ⇔bx=-ay·byax. При ax=0 и ay≠0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.

Пример 5

Дан вектор с координатами a→=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.

Решение

 Обозначим искомый вектор как b→(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a→ и b→. Тогда получим: (a→, b→)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0⇔-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b→=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a→.

Ответ: b→=(12, 1).

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a→=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a→ , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b→ из плоскости α перпендикулярен a→.

Необходимо найти координаты b→, перпендикулярного ненулевому вектору a→=(ax, ay, az).

Пусть задан b→ с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a→ — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax≠0, ( ay≠0 или az≠0).

Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0⇔bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax.

Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a→=(ax, ay, az).

Рассмотрим доказательство на примере.

Пример 6

Дан вектор с координатами a→=(1, 2, 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Решение

Обозначим искомый вектор за b→=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a⇀, b⇀=0⇔ax·bx+ay·by+az·bz=0⇔1·bx+2·by+3·bz=0⇔bx=-(2·by+3·bz)

Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b→(-5, 1, 1). Вектор b→ является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b→=(-5, 1, 1).

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa→(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a→ и b→ в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a→ или b→.

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a→ и b→ называют вектор, одновременно перпендикулярный и a→ и b→. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a→×b→. Для трехмерного пространства имеет вид a→×b→=a→j→k→axayazbxbybz

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Пример 7

Заданы векторы b→=(0, 2, 3) и a→=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Решение

a→×b→=i→j→k→210023=i→·1·3+j→·0·0+k→·2·2-k→·1·0-j→·2·3-i→·0·2=3·i→+(-6)·j→+4·k→

Ответ: (3, -6, 4) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a→ и b→.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-vektora-perpendikuljarnogo-dannomu-vek/

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) перпендикулярен вектору n.

Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

(overrightarrow{M_{0}M}) • n = 0. (1)

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

• Пусть точка M0 и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:
• M0(х; у; z0), n = (А; В; С).
• Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор (overrightarrow{M_{0}M}) имеет координаты х — х0, у — у0 и z — z0, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:
• А(х — х0) + В (у — у0) + С (z — z0) = 0. (2)
• Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х; у; z0) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).

1. В данном случае х0 = -3, у0 = 4, z0 = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение
2. l(x + 3) — 2( y — 4) + 6(z — 7) = 0,
3. или
4. х — 2у + 6z — 31 = 0.

3адачa 2. Даны точки M1 (2; -1; 3) и M2(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М2 перпендикулярно вектору (overrightarrow{M_{1}M_2}).

• За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = (overrightarrow{M_{1}M_2}) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М0 = М2(4; 5; 0) в уравнение (2) получим
• 2 (х — 4) + 6 (y — 5) — 3z = 0
• или
• 2х + 6у — 3z — 38 = 0.

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А1{-5; 2; 7), А2(5; 0; 6), А3(0; -1; 2) проведена медиана А1М0. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно медиане А1М0.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = (overrightarrow{A_{1}M_0}). Определим его координаты. Точка М0 — середина отрезка А2А3, поэтому, если (х; у; z0) — ее координаты, то

$$ x_0=frac{5+0}{2}=frac{5}{2}, ;; y_0=frac{0-1}{2}=-frac{1}{2}, ;; z_0=frac{6+2}{2}=4 $$

1. Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны
2. A = 5/2 + 5 = 15/2, В = — 1/2 — 2 = — 5/2, С = 4 — 7 = — 3.
3. Уравнение (2) имеет в данном случае вид
4. 15/2 (х — 5/2) — 5/2( y + 1/2) — 3 (z — 4) = 0
5. или
6. 15х -5y — 6z — 16 = 0.

Источник: http://razdupli.ru/teor/95_uravnenie-ploskosti-prohodyacshej-cherez-tochku-perpendikulyarno-vektoru.php

Практическая работа по математике на тему "Коллинеарность и перпендикулярность векторов"

• Практическая работа
• Определение коллинеарности и перпендикулярности векторов
• Цель работы:при выполнении работы вы научитесь определять коллинеарность и перпендикулярность векторов, решать простейшие задачи с использованием определений и свойств.
• При выполнении практической работы следует придерживаться следующих правил:

1. практическую работу следует выполнять в отдельной тетради для практических и домашних работ, чернилами любого цвета кроме красного, оставляя поля для рецензий;

2. решение задач должно располагаться в порядке возрастания их номеров, сохраняя нумерацию заданий;

3. перед решением каждой задачи нужно записать полностью её условие;

4. решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и выполняя необходимые чертежи.

Вектор – «направленный» отрезок. Векторы в прямоугольной системе координат задаются с помощью его координат.

Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Обозначается так: или ( ).

Если вектор задан своими координатами , то его = .

• Вектор всегда можно получить из двух точек М(х1; у1; z1) и N(х2; у2; z2).

Вектор — его начало М, конец точка N. Чтобы найти координаты вектора , надо из соответствующих координат конца вычесть координаты начала

.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинерные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными.

• Для того чтобы проверить коллинеарность векторов, заданных своими координатами и надо проверить выполнение равенств:

, т.е. =

Пример:

1. Угол между двумя векторами можно всегда получить, отложив векторы от общей точки.
2. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
3. Обозначается так:
4. Тогда = .
5. Если векторы, заданны своими координатами и , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
6. = х1· х2 + у1 ·у2 + z1·z2 .
7. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 0 .

• Для того чтобы проверить перпендикулярность векторов, заданных своими координатами и надо вычислить их скалярное произведение и далее проверить утверждение: скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.

Практические задания

Вариант 1.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные сонаправленные векторы.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 2 и = 3 —

Задание 3. Даны точки А(-2; 3; 1), В(-2; 1; 2) и С(0; 3; 4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами ДВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

• Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
• Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
• Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
• Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 2.

Задание 1. Постройте векторы и коллинеарные противоположно направленные векторы.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 3 и = 2 —

Задание 3. Даны точки А(3; -2; 4), В(4; -1; 2) и С(6; -3; 2). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АС и Д1В. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 3.

Задание 1. Постройте противоположно направленные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= + 3 и = 8 —

Задание 3. Даны точки А(5; -8; -1), В(6; -8; -2) и С(7;-5; -11). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=2, ВВ1= 3. Вычислите угол между векторами АВ1 и ВС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

• Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
• Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
• Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
• Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 4.

Задание 1. Постройте сонаправленные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

=-2 + и = 3 —

Задание 3. Даны точки А(1; 0; 2), В(2; 1; 0) и С(0; -2; -4). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами А1Д и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 5.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и .

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 4 — 3 и = -12

Задание 3. Даны точки А(-6; -15; 7), В(-7; -15; 8) и С(14; -10; 9). Проверьте перпендикулярность векторов АВ и АС.

Задание 4. Дан прямоугольный параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 , в котором АВ=1, ВС=СС1=2. Вычислите угол между векторами АД и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

• Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
• Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
• Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
• Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 6.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в два раза больше другого.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 2 — 3 и = -2

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АС1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

1. Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
2. Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
3. Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
4. Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Практические задания

Вариант 7.

Задание 1. Постройте перпендикулярные векторы и , чтобы один вектор в три раза больше другого.

Задание 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

,

= 5 — 3 и = -3

Задание 3. Даны точки А(0; 1; 2), В(; 2; 1), С(; 2; 1) и Д(0; 2; 1). Докажите, что АВСД – квадрат.

Задание 4. Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Вычислите угол между векторами АА1 и АД1. (Задать прямоугольную систему координат и рассмотреть параллелепипед в нем)

Задание 5. В тетраэдре ДАВС ДА= 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см,

ВАС = 900, ДАВ = 600 , ДАС = 450 . Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника ДВС.

Условия оценивания:

Задания выполняются в аудитории во время практических занятий. После выполнения заданий предусматривается защита работы (в полном объеме или частично).

• Оценка 5 – при выполнении 5 заданий за 45 минут;
• Оценка 4 – при выполнении 4 заданий за 45 минут;
• Оценка 3 – при выполнении 3-х заданий;
• Оценка 2 – при выполнении менее 3-х заданий.

Защита работы предполагает демонстрация решения заданий на классной доске, ответы на вопросы. Если работу выполняет группа, то все ее участники должны владеть всей информацией и способом решения.

Источник: https://infourok.ru/prakticheskaya-rabota-po-matematike-na-temu-kollinearnost-i-perpendikulyarnost-vektorov-2964960.html

Скалярное произведение векторов

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $.

Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.html