Как найти векторное произведение векторов — студенческий портал

Векторное произведение двух векторов а и b — это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал Для большей ясности приведем пример — на рисунке справа вектор [a,b] — векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки . Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал
  • Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того,
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал
  • Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал
  • Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению).
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал
  • Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

  • Пусть даны два вектора
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал
  • (как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.)
    • Тогда
    • Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Зачем нужно векторное произведение?

Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.

Он-лайн калькулятор векторного произведения.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго.

Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см.

статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго.

Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см.

статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Векторное произведение: определения, свойства, формулы, примеры и решения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

  • если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
  • он будет перпендикулярен и вектору a→​​​​ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
  • его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
  • тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

  1. антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
  2. дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
  3. ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .

Пример 1

  • Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.
  • Решение
  • С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.
  • Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→ и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.

  1. Решение
  2. По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.
  3. Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.
  4. Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Пример 3

  • Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.
  • Решение
  • Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0)  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.

Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.

Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.

Решение

Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.

Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.

  1. Решение
  2. По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→
  3. По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→

Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..

Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.

По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.

Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→.

Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами.

Читайте также:  Логика как наука - студенческий портал

Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов  a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vectornoe_proizvedenie/

Вектор: определение, сложение, умножение, скалярное и векторное произведение

В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.

Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.

Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.

Векторные компоненты

Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.

Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.

Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .

Единичный вектор

Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.

Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.

Сложение векторов

Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:

Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.

 В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее.

Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего.

 При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Умножение вектора на скаляр

Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:

Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.

Скалярное произведение двух векторов

Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью

Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ

B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.

Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.

Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ехеY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:

Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B

мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B

Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:

Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:

Векторное произведение двух векторов

Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.

В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:

  • длина
  • направление
  • начало и конец

Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом

Направление

Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.

Длина

вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.

  • Начало и конец
  • Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.
  • Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.

Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A

В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.

Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.

В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.

При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).

Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:

Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:

Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта

Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:

Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:

Источник: https://meanders.ru/vektor.shtml

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Читайте также:  Моря и внутренние воды россии - студенческий портал

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций.

Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий портал

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

  • При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

  1. Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
  2. Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
  3. Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число.

    Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

  4. Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

    А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

  5. Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии.

Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть 1 и задачу 13. Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».

Внимание! Мега-распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vektory-na-ege-po-matematike-v-zadache-v6-dejstviya-nad-vektorami/

Что такое векторное произведение векторов и как его найти?

Как найти векторное произведение векторов - Студенческий порталНе менее полезное и широко используемое в геометрии, чем скалярное произведение векторов есть векторное произведение. Так что, и на эту тему я решил написать небольшую онлайн программку, которая будет вам помогать с вычислениями и в понимании формул.

Также хочу вам немножко рассказать, что такое векторное произведение и где оно используется? Векторным произведением двух векторов, является вектор, длина которого равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними, также этот вектор должен быть перпендикулярен к плоскости, в которой лежат два других вектора, и все они должны образовывать правый репер. То есть тройка векторов {a, b, c} будет правой, если посмотреть с конца вектора c на плоскость векторов a и b, то движение от a к b по меньшему углу должна происходить против часовой стрелки.

Очень интересны и геометрические свойства векторного произведения:

  • Первое сформулируем теоремой:
    Векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними ноль, то есть когда эти векторы коллинеарные.
    Основываясь на эту теорему, и доводят, что векторы или прямые коллинеарные.
  • Второе – это то, что длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Именно это часто используют для вычисления площади параллелограмма, треугольника и некоторых других геометрических фигур.

Сама программа вычисляет двумя способами длину векторного произведения, в первом случае по определению, а во втором для ортонормированного базиса. В последнем, она также находит и координаты вектора векторного произведения.

Как всегда, выводятся все формулы и матрицы с пошаговыми шагами решения. Вам надо только выбрать подходящий для вас вариант и ввести данные вашей задачи и через секунду перед вами полное решение.

Пользуйтесь программкой и вы сможете не просто проверить своё решение, но и увидеть, где вы допустили ошибку, если она будет. Всё расписано до мельчайших подробностей.

(2

Источник: https://matemonline.com/2010/10/4to-takoe-vektornoe-proizvedenie/

Вы знаете, что такое векторное произведение векторов? Тогда вы знаете половину всей физики!

  • Из всех операций, которые можно применять для решения физических задач, есть одна, знание которой позволяет практически «в уме» решать множество задач про электромагнитные силы и поля, вращение твердых тел и много-много других.
  • Более того, понимание сути данной математической операции ставит вас на целую голову выше остальных, в понимании физики.
  • На первый взгляд странная операция при ближайшем рассмотрении оказывается очень простой.

Итак, векторное произведение векторов

Но вначале кое-что важное.

Очень важное замечание!Здесь и в дальнейшем (и в предыдущем изложении) мы всегда рассматриваем «Правую» систему координат.

Правая система координат! Берем правую руку. Раскрываем ладонь перед собой. Оттопыриваем большой палец – это положительное направление оси X.

Четыре пальца перпендикулярных большому показывают положительное направление оси Y.

Тогда из открытой ладони прямо на вас перпендикулярно осям X, Y будет выходить положительное направление оси Z.

Сильно хлопаем себя открытой ладонью правой руки по лбу! Навсегда запоминаем правильное расположение системы координат.

  1. Если рисовать неправильную систему, то будут ошибки.
  2. Итак, определим векторное произведение векторов:
  3. Возьмем нашу правую систему координат и зададим три единичных вектора, по одному вдоль каждой из осей.

Тогда любой вектор

можно записать в виде суммы трех векторов

Легко заметить, что скалярные произведения наших единичных векторов

Эта удобная тройка векторов очень пригодится нам в дальнейшем.

Помним! Вектора при переходе от одной системы координат к другой не меняются. И результаты векторных операций при переходе от одной системы координат к другой также не меняются!

И вот существует такая операция над векторами, называемая «векторное произведение векторов»

«Ну и ну! Как это? Для чего?»

Все очень просто!

Для начала убедимся, что векторные произведения наших единичных векторов между собой:

Надеюсь, все уже увидели, что от перемены местами сомножителей меняется знак векторного произведения?

Поиграв с единичными векторами, убедитесь что векторное произведение двух векторов дает в результате вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора сомножители, а по модулю равный площади параллелограмма, ограниченного векторами сомножителями!

Всегда во всех задачах выбирайте правую систему координат так, чтобы было просто и удобно! Как на картинке выше.

Зачем нужна операция векторного произведения векторов, определенная выше?

Рассмотрим задачу «о рычагах».

Пусть у нас есть твердое тело, представляющее из себя систему из трех стержней, жестко скрепленных в одной точке. И эта точка закреплена в пространстве так, что она является центром вращения («точка закрепления шарнира»). Как на рисунке ниже.

К концам стержней приложены силы

Силы создают вектора моментов сил – «крутящие моменты», приложенные к нашему твердому телу.

Момент силы — это модуль вектора момента силы. Синонимы вектора момента силы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент).

Наглядно представить себе вектор момента силы можно следующим образом: Представьте себе юлу (детскую игрушку «волчок»). Чем сильнее мы его закрутим за ось, тем быстрее и дольше он вращается. Закрепим ось волчка на какой-то прямой так, чтобы она могла свободно вращаться.

Представьте теперь, что вы будете тянуть за тело волчка, стараясь повернуть его вокруг закрепленной оси. А ваш товарищ будет пытаться удержать ось рукой.

Представили?

  • Будет ли волчок поворачиваться вокруг оси?
  • И если вы будете тянуть его в одну сторону, а ваш товарищ в другую, то в какую сторону будет поворачиваться волчок?
  • В ту, чья сила больше?
  • Не совсем.

Представим ситуацию на картинке выше.

Вы взялись ближе к оси, а ваш товарищ взялся за диск. Если ось достаточно тонкая, а диск достаточно большой, то как бы вы ни старались, волчок будет поворачиваться в сторону вашего товарища. Хотя силу вы приложите гораздо большую, чем он.

«Рычаг», скажете вы. И будете правы!

Задача о рычагах по сути аналогична. И решается она очень просто с использованием операции векторного произведения, которую мы с вами рассмотрели выше.

Из формул (74) — (76) мы знаем, что векторное произведение двух векторов есть вектор, который по направлению перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители. Величину этого вектора по модулю можно вычислить с учетом формул (71) – (73), а модуль вычисляется по простой формуле:

Так вот, вектор момента силы, приложенной к телу, равен векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы умноженному на вектор силы.

Начало координат удобнее выбирать в точке закрепления тела на шарнире (например, в точке подвеса перекладины рычажных весов). Можно в любой другой.

Но мы с вами начало координат всегда берем в точке, относительно которой тело может поворачиваться. Потому, что так проще вычисления.

Складывая вектора моментов всех приложенных к телу сил мы автоматически находим результирующий вектор, который и определяет в какую сторону и насколько интенсивно будет вращаться наша тройная гантель, показанная на рисунке выше.

Вдумайтесь! Мы просто складываем три вектора момента, от каждой из сил.

Если сумма равна нулю, то наше твердое тело «стоит на месте». Если не равна нулю, то наше тело имеет ненулевой момент сил относительно «точки подвеса» в плоскости, перпендикулярной нашему вектору суммы моментов.

И угловое ускорение, которое пропорционально модулю этого вектора.

Можно обобщить задачу на произвольное твердое тело с закрепленной в пространстве точкой подвеса и неограниченным количеством приложенных сил, как показано на рисунке. ниже.

Оно будет вращаться относительно оси, в которой лежит наш результирующий вектор момента сил.

И вращение будет тем интенсивнее, чем больше этот результирующий вектор по модулю.

Направление вращения будет зависеть от направления этого вектора. Направлен в одну сторону, вращается тело в одну сторону, направлен в другую, тело вращается в обратную.

Причем, если тело закрепить на оси, как в случае рассмотренного нами волчка, то задача становится двумерной. Вращение может быть только относительно оси и, соответственно, можно рассматривать моменты сил, только в системе координат, перпендикулярной оси. Это вы можете рассмотреть сами.

Вопрос:каково условие невращения твердого тела в общем случае, показанном на рисунке 11? Другими словами, при каких условиях общий (суммарный) момент вращения тела равен нулю? Ответ:Если сумма моментов всех сил равна нулю, то тело находится во «вращательном равновесии» — т.е. не имеет суммарного момента вращения.

Эта задача – более общая по отношению к школьной задаче о рычагах, изображенной на рисунке ниже.

  1. Благодаря определенной нами операции векторного произведения векторов задача решается в одно действие.
  2. Решите ее самостоятельно!
  3. Или посмотрите решение в нашем учебнике.

Источник: https://zen.yandex.ru/media/id/5aec3f5edd248401aaf986db/5b17f1cb865165b0726dcb71

Векторное произведение векторов

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Перейти к загрузке файла

Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый символом ( или ), который определяется условиями 1. , где ц — угол между векторами ; 2. вектор такой, что одновременно; 3. вектор ориентирован по отношению к сомножителям по правилу буравчика. Правило буравчика Вектор , как результат векторного произведения ориентирован по отношению к сомножителям так же, как координатная ось Oz по отношению к осям Ox и Oy (cм. Рис. 27). Т.е., при вращении от первого сомножителя ко второму буравчик ввинчивается в направлении вектора . Рис.27 Условие коллинеарности векторов Если векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) т.е. угол между ними или 0, или 1800, то их векторное произведение равно нулю Геометрический смысл векторного произведения Если векторы приведены к общему началу (что параллельным переносом возможно сделать всегда, поскольку мы работаем только со свободными векторами), то длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (см.Рис.28). Рис.28

  • Свойства векторного произведения
  • 1. Свойство антикоммутативности
  • 2. Свойство ассоциативности по отношению к скалярному множителю л
  1. 4. Распределительное свойство относительно операции сложения
  2. Пример 26 (раскрытие скобок в выражении с векторами)
  3. Раскрыть скобки в выражении

Решение

Пример 27 (вычисление площади параллелограмма)

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

;

  • ;
  • Решение
  • Прежде всего, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , определяется как

.

Т.е. найдем векторное произведение векторов c и d, а потом длина полученного вектора численно будет равна искомой площади параллелограмма.

Шаг 1

Ищем векторное произведение, при этом активно используем свойства векторного произведения

Шаг 2

Ищем, собственно площадь

Векторные произведения ортов

При нахождении векторных произведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

Рис.29

Векторное произведение в координатной форме

Пусть векторы заданы в координатной форме

Тогда

Вычисляя последний определитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

Пример 28 (площадь треугольника)

  1. Вычислить площадь треугольника, заданного своими вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).
  2. Решение
  3. Идея решения основана на том, что площадь треугольника АВС — это половина площади параллелограмма, а площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС — модуль векторного произведения векторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага
  4. — находим векторы АВ и АС;
  5. — находим векторное произведение найденных векторов;
  6. — находим длину найденного вектора;
  7. — половина найденной длины — искомая площадь.
  8. Шаг 1
  9. «Найти вектор» — это значит найти его координаты:
  10. вектор АВ

Шаг 2

Векторное произведение векторов АВ и АС

При нахождении площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, что наши векторы — свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносом сможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. длину векторного произведения , т.е., длину вектора

Шаг 4

Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

Ответ

Площадь треугольника АВС равна

Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Правой тройкой векторов назовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т.е., для трех векторов имеют место равенства

Помочь запомнить это поможет рисунок 30

Рис.30

Т.е., вектор умножаем векторно на вектор — получаем вектор и т.д.

Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса в ПДСК образуют правую тройку векторов.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов назовем число, определяемое выражением

Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное и скалярное — вектор-результат векторного произведения умножается на вектор скалярно (вот почему в итоге получаем число).

  • Геометрическое свойство смешанного произведения векторов
  • Смешанное произведение векторов равно объему параллеле- пипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком «+», если эта тройка правая и со знаком « — », если эта тройка «левая» (не правая).
  • Условие компланарности векторов

Векторы компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Для векторов

смешанное произведение определяется выражением

Откуда

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

  1. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).
  2. Решение
  3. Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения
  4. — находим векторы AB, AC и AD;
  5. — находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);
  6. — находим 1/6 от найденного объема — это и будет искомый объем.
  7. Шаг 1
  8. Находим векторы AB, AC и AD

Шаг 2

Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD

Шаг 3

Вычисляем Vпирамид. С учетом того, что получаем

Ответ

Объем пирамиды ABCD равен

Источник: https://studbooks.net/2404608/matematika_himiya_fizika/vektornoe_proizvedenie_vektorov

Ссылка на основную публикацию