Квадратные уравнения и их корни. системы нелинейных уравнений — студенческий портал

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы. Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое. Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD (two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method='hybr', jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)

fun — Векторная функция для поиска корня. x0 –Начальные условия поиска корней

method:

hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод; lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов. Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

Определим матрицу Якоби: Запишем(3) в виде: Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

• (7)
• Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:
• (8)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов.

Привожу следующее решение для модельной функции: n=100
def f(x):
f = zeros([n])
for i in arange(0,n-1,1):
f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] — x[i-1] — 2*x[i+1] — 2
f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] — 2*x[1] — 3
f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] — x[n-2] — 4
return f Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

from numpy import*
from scipy import optimize
import time
ti = time.

clock()
n=100
def f(x):
f = zeros([n])
for i in arange(0,n-1,1):
f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] — x[i-1] — 2*x[i+1] — 2
f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] — 2*x[1] — 3
f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] — x[n-2] — 4
return f
x0 =zeros([n])
sol = optimize.

root(f,x0, method='krylov')
print('Solution:
', sol.x)
print('Krylov method iteration = ',sol.nit)
print('Optimize root time', round(time.

clock()-ti,3), 'seconds') Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод 'krylov'. Решение для n=100: Solution: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

00000001 1.00000013 1.00000002 0.9999997 0.99999987 1.00000005 0.99999978 1.0000002 1.00000012 1.00000023 1.00000017 0.99999979 1.00000012 1.00000026 0.99999987 1.00000014 0.99999979 0.99999988 1.00000046 1.00000064 1.00000007 1.00000049 1.00000005 1.00000032 1.00000031 1.00000028 0.99999992 1.0000003 1.0000001 0.99999971 1.00000023 1.00000039 1.0000003 1.

00000013 0.9999999 0.99999993 0.99999996 1.00000008 1.00000016 1.00000034 1.00000004 0.99999993 0.99999987 0.99999969 0.99999985 0.99999981 1.00000051 1.0000004 1.00000035 0.9999998 1.00000065 1.00000061 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.

0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.

0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.0000006 1.00000059 1.00000056 1.00000047 1.00000016 1.00000018 0.99999988 1.00000061 1.00000002 1.00000033 1.00000034 1.0000004 1.00000046 1.00000009 1.00000024 1.00000017 1.00000014 1.00000054 1.00000006 0.99999964 0.99999968 1.00000005 1.00000049 1.

0000005 1.00000028 1.00000029 1.00000027 1.00000027 0.9999998 1.00000005 0.99999974 0.99999978 0.99999988 1.00000015 1.00000007 1.00000005 0.99999973 1.00000006 0.99999995 1.00000021 1.00000031 1.00000058 1.00000023 1.00000023 1.00000044 0.99999985 0.99999948 0.99999977 0.99999991 0.99999974 0.99999978 0.99999983 1.0000002 1.00000016 1.00000008 1.00000013 1.

00000007 0.99999989 0.99999959 1.00000029 1.0000003 0.99999972 1.00000003 0.99999967 0.99999977 1.00000017 1.00000005 1.00000029 1.00000034 0.99999997 0.99999989 0.99999945 0.99999985 0.99999994 0.99999972 1.00000029 1.00000016] Krylov method iteration = 9178 Optimize root time 23.397 seconds Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Программа отыскания корней по модифицированному методу Ньютонаfrom numpy import*
import time
ti = time.clock()
def jacobian(f, x):
h = 1.

0e-4
n = len(x)
Jac = zeros([n,n])
f0 = f(x)
for i in arange(0,n,1):
tt = x[i]
x[i] = tt + h
f1= f(x)
x[i] = tt
Jac [:,i] = (f1 — f0)/h
return Jac, f0
def newton(f, x, tol=1.

0e-9):
iterMax = 50
for i in range(iterMax):
Jac, fO = jacobian(f, x)
if sqrt(dot(fO, fO) / len(x)) < tol: return x, i dx = linalg.

solve(Jac, fO)
x = x — dx
print («Too many iterations for the Newton method»)
n=100
def f(x):
f = zeros([n])
for i in arange(0,n-1,1):
f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i] — x[i-1] — 2*x[i+1] — 2
f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] — 2*x[1] — 3
f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] — x[n-2] — 4
return f
x0 =zeros([n])
x, iter = newton(f, x0)
print ('Solution:
', x)
print ('Newton iteration = ', iter)
print('Newton method time', round(time.clock()-ti,3), 'seconds') Решение для n=100: Solution: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.] Newton iteration = 13 Newton method time 0.496 seconds Решение для n=200: Solution: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.] Newton iteration = 14 Newton method time 1.869 seconds Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде: n=10
def f(x):
f = zeros([n])
for i in arange(0,n-1,1):
f[i] = (3 + 2*x[i])*x[i]*sin([i]) — x[i-1] — 2*x[i+1] — 2+e**-x[i]
f [0] = (3 + 2*x[0] )*x[0] — 2*x[1] — 3
f[n-1] = (3 + 2*x[n-1] )*x[n-1] — x[n-2] — 4
return f Получим: Solution: [ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062 -1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235] Newton iteration = 16 Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500. n=2 Solution: [1. 1.] Newton iteration = 6 Newton method time 0.048 seconds n=500n=500Solution: [1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.] Newton iteration = 15 Newton method time 11.754 seconds

Выводы:

Источник: https://habr.com/post/419453/

Урок 23. Нелинейные уравнения в Mathcad

Mathcad может решать системы линейных и нелинейных уравнений с помощью встроенных алгоритмов. На самом деле, «решать» — не совсем верное определение того, что делает программа.

Лучше рассуждать так: Вы задаете приближенное значение, затем программа уточняет эту оценку. Поэтому, используя такую технологию решения, нужно знать, что Вы делаете.

Изучение «решения» начнем с уравнений с одной переменной. В этом случае поведение уравнения можно понять, построив график. Позже мы рассмотрим системы уравнений.

• Уравнения с одной переменной
• Уравнение, которое мы рассмотрим, достаточно простое:
• 
• Рассмотрим это уравнение как пересечение прямой линии (левая часть) и парабола (правая часть). Построим графики трех прямых линий и посмотрим, что произошло:
• 
• 

Первая (самая верхняя) линия дважды пересекается с параболой около точек x=-0.3 и x=1.3. У второй линии – одно пересечение (или два близко расположенных) возле точки x=0.5. Пересечений с третьей прямой (самой нижней) нет.

Решения

Сначала рассмотрим самую верхнюю линию. Чтобы получить решение, нам нужен Блок решения (вкладка Математика –> Области –> Блок решения). Заполним блок для решения первого уравнения:

1. 
2. Здесь есть три области для различных записей:
3. — начальные приближения;
4. — ограничения;
5. — решатель.

В области ограничений мы записали уравнение, которое хотим решить. В первой области мы задали приближенное решение этого уравнения. Функция Find(), которую мы записали в последней области – это решатель.

Как видно, решение 1.366 – это правое пересечение прямой и параболы. Начальное приближение не критично – можно ввести 1.6, щелкнуть мышью вне блока и получить тот же результат:

Изменим начальное приближение на значение, близкое к левому пересечению, скажем, -0.5. Решение изменится на -0.366:

Измените начальное приближение обратно на 1.3.

Теперь поменяем константу 0.5 в уравнении на -0.25. Решение изменится на 0.5:

• 
• Этот же ответ мы будем получать для любого значения начального приближения – это единственное решение.
• Наконец, изменим константу в уравнении на -1 (последнее уравнение). Щелкнем вне блока и получим сообщение об ошибке:
• 

Решения нет. Изменим константу обратно на 0.5.

Вывод решения

Переменные в блоке решений локальны. Вы не можете использовать их значения вне блока. Вернемся к уравнению, где приближенное значение задано 1.3. Мы решили уравнение, чтобы найти более точное решение x=1.366. Однако если мы попробуем вывести значение x, мы получим вектор, которые определили для нашего графика.

1. Если Вы хотите использовать результат решения в дальнейших вычислениях, нужно присвоить функцию решателя переменной:
2. 
3. Тогда получим верный результат:
4. 
5. Решение систем уравнений
6. Для примера решим систему трех уравнений: два линейных и одно кубическое. Здесь три неизвестных – начальное приближение даем для всех трех:
7. Все три ответа можно вывести в вектор:
8. Удалите последнее из трех уравнений. Решение все равно будет найдено, с учетом двух оставшихся уравнений:
9. Однако, такое решение может быть не тем, которое Вам нужно.

Обратите внимание еще на некоторые детали. В блоке решения используются два вида знака «равно»: знак присваивания для начальных приближений и для решателя Find, и знак булева равенства в уравнении.

Эта разница очень важна. Еще один момент – щелкните по слову Find в области решателя, откройте вкладку Математика. В строке Обозначения должно быть отмечено «Ключевое».

Некоторые другие ключевые слова мы рассмотрим в последующих уроках.

Растворимость вещества

Рассмотрим растворение вещества DOH. Это двухстадийный процесс: сначала растворяется твердая фаза, затем растворенные части диссоциируют на D и OH. Малую растворимость можно повысить, добавив небольшое количество сильной кислоты HA. Она диссоциирует, и ионы водорода вступают в реакцию с гидроксильной группой:

Как зависит общая растворимость D от количества добавленной кислоты? Концентрацию будем считать в моль/л. Концентрация насыщения нерастворенной кислоты:

• Начнем с концентрации кислоты:
• Константы равновесия реакции:
• Блок решения начинается с трех неизвестных и их начальных приближений:
• Решение:
• Общая концентрация вещества:
• Расчет для построения графика (подробнее о таких расчетах поговорим в следующем уроке):

График показывает концентрацию как функцию от количества добавленной кислоты. Концентрация ионов водорода на порядки меньше, чем концентрации других элементов. Поэтому мы изменили масштаб в миллион раз, чтобы показать этот график в тех же осях:

Если концентрация кислоты мала, решение содержит низкую концентрацию DOH, которая диссоциирует только частично. При увеличении концентрации кислоты, все больше и больше вещества диссоциирует.

Резюме

1. Если есть уравнение или система уравнений, Вы можете дать приближенное решение, а Mathcad улучшит эту оценку. Такой способ используется в Блоке решения.
2. Первая часть блока решения – начальные приближения, т.е. Ваши оценки. Здесь используется знак присваивания «:=». Эти значения могут быть помещены и до блока.
3. В области «Ограничения» (уравнения) нужно использовать булево равенство [Ctrl+=]. Это единственный знак, по обе стороны от которого могут быть выражения.
4. Блок решения заканчивается функцией для решения. Мы рассмотрели Find(), которая содержит неизвестные, которые нужно найти.
5. Чтобы использовать результат решения в дальнейших расчетах, присвойте Find() переменной. Это может быть как одна переменная, так и вектор.
6. Для решения системы нелинейных уравнений нужно быть внимательным. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных. Кроме того, приближенные значения должны быть как можно ближе к решению.
7. Если решение не было найдено, не спешите обвинять Mathcad. Нелинейные уравнения являются головной болью для любого языка программирования. Попробуйте понять поведение Ваших уравнений, прежде чем приступать – часто уравнения могут не иметь решения.

Источник: http://sapr-journal.ru/uroki-mathcad/urok-23-nelinejnye-uravneniya-v-mathcad/

Системы с нелинейными уравнениями

Справочник по математике

Алгебра

Системы уравнений

      Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ;  y) .   Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

•       Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:
• причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .
•       Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида
• где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции
• f (x , y) = ax +by + c ,
• где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

      Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

      Пример 1. Решить уравнение

x2 – 4xy + 6y2 –– 12 y +18 = 0 .

(3)

1.       Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):
2. x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 == (x2 – 4xy + 4y2) ++ (2y2– 12y +18) == (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .
3.       Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

(x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 .

(4)

      Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

• решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .
•       Ответ:   (6 ; 3)
•       Пример 2. Решить уравнение
•       Решение. Из неравенства

1. вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.
2.       Ответ: Решений нет.
3.       Пример 3. Решить уравнение
4.       Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

•       Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
• (1 + y ; y) ,
• где   y   – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

      Определение 4. Решением системы уравнений

называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

      Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

      Пример 4. Решить систему уравнений

(7)

      Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

1.       Решая уравнение
2. x2 – 8x – 9 = 0 ,
3. находим корни
4. x1 = – 1 ,   x2 = 9 .
5.       Следовательно,
6. y1 = 8 – x1 = 9 ,   y2 = 8 – x2 = – 1 .
7.       Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел
8. и    
9. Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

•       Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида
• ax2 + bxy + cy2 = 0 .
• где   a ,  b ,  c   – заданные числа.
•       Пример 5. Решить уравнение

      Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .

  Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

1.       Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида
2. ( y ; y)   или    
3. где   y   – любое число.
4.       Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

•       Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид
• где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .
•       Пример 6. Решить систему уравнений

(9)

1.       Решение.

   Решим однородное уравнение

2. 3×2 + 2xy – y2 = 0 ,
3. рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :
4. .
5.       В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
6. 4y2 = 16 ,

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .

 Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

•       В случае, когда
• ,
• из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
• которое корней не имеет.
• Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

      Пример 7. Решить систему уравнений

(10)

      Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

      В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

1.      Решим однородное уравнение
2. 3×2 + 17xy + 10y2 = 0 ,
3. рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :
4. .
5.       В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
6. 5y2 = – 20 ,
7. которое корней не имеет.
8.       В случае, когда
9. ,
10. из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
11. ,

корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

      Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

(12)

      Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

(13)

      Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

(14)

      Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

•       В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
• из которой находим

(15)

      Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

      У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

1.       Решая уравнение
2. 2v2 + 3v – 14 = 0 ,
3. находим корни
4.       Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел
5.       Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :
6. x = 13,   y = – 3 .
7.       Ответ:   (13 ; – 3)

      Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

      Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

      Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

      Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

•       Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .
•       Следовательно,
•       Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

      Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/system1.htm

Численные методы решения нелинейных уравнений

 

• Пусть имеется уравнение вида
• f(x)= 0
• где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.
• Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество.

Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой.

Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня xПP, которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε, то есть

1. │x* – xпр │< ε
2. Величину ε также называют допустимой ошибкой, которую можно задать по своему усмотрению.

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

• Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0.
• Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения. Для примера рассмотрим задачу решения уравнения

где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде

Для графического отсечения корней достаточно построить график функции
Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8).

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.

то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.

Теорема 2. Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0.

Уточнение корней

Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов:

Метод последовательных приближений (метод итераций)

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем.

Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций.

Функцию f(x) называют сжимающим отображением.

Последовательность чисел x0, x1 ,…, xn называется итерационной, если для любого номера n>0 элемент xn выражается через элемент xn-1 по рекуррентной формуле

а в качестве x0 взято любое число из области задания функции f(x).

Реализация на C++ для рассмотренного выше примера

Уравнение может быть записано в форме
123456789101112131415161718192021

22

#define _USE_MATH_DEFINES#include #include using namespace std;double find(double x, double eps){

  double rez; int iter = 0;

  cout 

Источник: https://prog-cpp.ru/digital-find/

Нелинейные уравнения и системы уравнений. Методы их решения

• Одной из важных задач прикладной математики является задача решения нелинейных уравнений, встречающихся в разных областях научных исследований.
• Под нелинейными уравнениями (nonlinear equations) понимаются алгебраические и трансцендентные уравнения с одним неизвестным в следующем виде:
• ,
• где  — действительное число,  — нелинейная функция.
•          Под системой нелинейных уравнений понимается система алгебраических и трансцендентных уравнений в следующем виде:

1. где {} — действительные числа, {…} — нелинейные функции.
2. Алгебраическое уравнение — это уравнение содержащие только алгебраические функции, которое можно представить многочленом n‐ой степени с действительными коэффициентами (целые, рациональные, иррациональные) в следующем виде:
3. .

Трансцендентное уравнение – это уравнение содержащие в своем составе функции, которые являются не алгебраическими. Простейшими примерами таких функций служат показательная функция, тригонометрическая функция, логарифмическая функция и т.д.

• Решением нелинейного уравнения (или системы нелинейных уравнений) называют совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение (или систему уравнений) в тождество:
• .
• Для решения нелинейных уравнений (или систем нелинейных уравнений) существует несколько методов решения: графические, аналитические и численные методы.
• Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений.

Аналитические методы (или прямые методы) позволяют определить точные значения решения уравнений. Данный метод позволяет записать корни в виде некоторого соотношения (формул).

Подобные методы развиты для решения простейших тригонометрических, логарифмических, показательных, а также алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами.

В таких случаях обращаются к численным методам, позволяющим получить приближенное значение корня с любой заданной точностью.

1. Численные методы решения нелинейных уравнений – это итерационный процесс расчета, который состоит в последовательном уточнении начального приближения значений корней уравнения (системы уравнений). При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа:
2. — локализация (отделение) корней
3. — уточнение корней.
4. › Под локализацией корней  понимается процесс отыскания приближенного значения корня или нахождение таких отрезков, в пределах которых содержится единственное решение
5. › Под уточнением корней понимается процесс вычисления приближенных значений корней с заданной точностью по любому численному методу решения нелинейных уравнений.

Недостатком почти всех итерационных методов нахождения корней является то, что они при однократном применении позволяют найти лишь один корень функции, к тому же, мы не знаем какой именно. В случае повторения итерационного процесса при изменении стартовых точек отсутствуют гарантии, что найдется новый корень уравнения, так как итерационный процесс может  сойтись к найденному корню.

Для поиска других корней используется метод удаления корней. Данный метод основан на принципе создания новой функции  путем деление основной функции на найденный корень уравнения:

.

Так, например, если  — корень функции  то, чтобы произвести удаление найденного корня и поиск оставшихся корней исходной функции необходимо создать функцию  . Точка  будет являться корнем функции  на единицу меньшей кратности, чем , при этом все остальные корни у функций  и  совпадают с учетом кратности. Повторяя указанную процедуру, можно найти все корни   с учетом кратности.

Следует обратить внимание,  что когда производим деление на тот или иной корень , то в действительности мы делим лишь на найденное приближение , и, тем самым, несколько сдвигаем корни вспомогательной функции относительно истинных корней функции .

Это может привести к значительным погрешностям, если процедура отделения применялась уже достаточное число раз.

Чтобы избежать этого, с помощью вспомогательных функций вычисляются лишь первые итерации, а окончательные проводятся по исходной функции , используя в качестве стартового приближения, последнюю итерацию, полученную по вспомогательной функции.

Локализация корней.

› Локализация корней аналитическим способом

Для отделения корней уравнения необходимо иметь критерий, позволяющий убедится, что, во-первых, на рассматриваемом отрезке  имеется корень, а, во-вторых, что этот корень единственный на указанном отрезке. Если функция  непрерывна на отрезке ,  а на концах отрезка её значения имеют разные знаки , то на этом отрезке расположен, по крайней мере, один корень.

Дополнительным условием, обеспечивающем единственность корня на отрезке  является требование монотонности функции на этом отрезке. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условиемзнакопостоянства первой производной .

Таким образом, если на отрезке  функция непрерывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень.

› Локализация корней табличным способом

Допустим, что все интересующие нас корни уравнения  находятся на отрезке . Выбор этого отрезка (интервала поиска корней) может быть сделан, например, на основе анализа конкретной физической или иной задачи.

Будем вычислять значения  , начиная с точки , двигаясь вправо с некоторым шагом h.

Как только обнаруживается пара соседних значений , имеющих разные знаки, так соответствующие значения аргумента x можно считать границами отрезка, содержащего корень.

Действительно, если при достаточно малом значении h () на границах текущего отрезка   функция  принимает значения одного знака, то естественно ожидать, что уравнение   корней на этом отрезке не имеет.

Однако, это не всегда так: при несоблюдении условия монотонности функции  на отрезке  могут оказаться корни уравнения (рис. 1, а). Также несколько корней на отрезке могут оказаться и при выполнении условия  (рис. 1, б). Предвидя подобные ситуации, следует выбирать достаточно малые значения h.

Рис. 1. Варианты поведения функции на интервале локализации корня

Поскольку данный способ предполагает выполнение лишь элементарных арифметических и логических операций, количество которых может быть велико при малых значениях h, для его реализации целесообразно использовать вычислительные возможности компьютера.

Отделяя, таким образом, корни, мы, по сути, получаем их приближенные значения с точностью до выбранного шага.

Так, например, если в качестве приближенного значения корня взять середину отрезка локализации, то абсолютная погрешность этого значения не будет превосходить половины шага поиска (h/2).

Уменьшая шаг в окрестности каждого корня, можно, в принципе, повысить точность отделения корней до любого наперед заданного значения. Однако такой способ требует большого объема вычислений.

Поэтому при проведении численных экспериментов с варьированием параметров задачи, когда приходится многократно осуществлять поиск корней, подобный метод не годится для уточнения корней и используется только для отделения (локализации) корней, т.е. определения начальных приближений к ним. Уточнение корней проводится с помощью других, более экономичных методов.

• Уточнение корней.
• На данном этапе задача состоит в получении приближенного значения корня, принадлежащего отрезку , с заданной точностью (погрешностью) e. Это означает, что вычисленное значение корня  должно отличаться от точного  не более чем на величину e:
• Существует большое количество численных методов решения нелинейных уравнений для уточнения корней, которые условно можно разделить:
• › Методы решение уравнений с одним неизвестным. Основными представителями являются:
• — метод половинного деления;
• — метод хорд;
• — метод простой итерации;
• — метод Ньютона для уравнения с одним неизвестным;
• — метод секущих;
• — метод парабол (Метод Мюллера);
• — Метод Ридерса;
• — Метод Дэккера и Брэнта;
• — Метод Лобачевского;

— и т.д.

1. › Метода решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Основными представителями являются:
2. — метод простой итерации для системы уравнений;
3. — метод Зейделя;
4. — метод Ньютона для системы уравнений;
5. — модифицированный метод Ньютона;
6. — разностный метод Ньютона;
7. — метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц;
8. — Метод Брауна;

— и т.д.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Источник: http://simenergy.ru/math-analysis/solution-methods/40-nle-intro

Методы решения систем нелинейных уравнений. Алгебра

1) Метод подстановки.

1. a) Метод прямой подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

1. b) Комбинирование с другими методами.

Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание,   умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.

2) Метод независимого решения одного из уравнений.

Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.

• Решить систему уравнений
• Рассмотрим первое уравнение системы:
• Сделав замену    , где  t ≠ 0, получаем  
• Откуда t1 = 4, t2 = 1/4.
• Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.
• Корнями уравнения  4у2 – 15у – 4 = 0   являются   у1 = 4, у2 = — 1/4 .
• Корнями уравнения   4х2 + 15х – 4 = 0 являются  х1 = — 4, х2 =   1/4 .
• 3)Сведение системы  к объединению более простых систем.

1. a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.

Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю,  переходят к решению более простых систем.

1. b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.

Идея метода. Если  одно из уравнений представляет собой однородное уравнение ( , то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например:  a(x-x1)(x-x2) и, учитывая равенство выражения нулю,  переходим к решению более простых систем.

2. Решим первую систему   

1. c) Использование однородности.

Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то  применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.

• 4) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

5) Метод умножения уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.

1. Решим второе уравнение системы.

Пусть  = t, тогда  4t3 + t2 -12t -12 = 0.  Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t1 = 2.

Р(2) = 4∙23 + 22 — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.

• 4t3 + t2 -12t -12 = (t – 2) (at2 + bt + c).
• 4t3 +t2 -12t -12 = at3 + bt2 + ct — 2at2 -2bt — 2c.
• 4t3 + t2 — 12t -12 = at3 + (b – 2a) t2 + (c -2b) t — 2c.
• Получаем уравнение 4t2 + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 92— 4∙4∙6 = -15

Источник: http://11ege.ru/metody-resheniya-sistem-nelinejnyh-uravnenij/index.html