Осевая симметрия — студенческий портал

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.

Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

• Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
  прямой (оси).
• Две точки  А 
  и  В 
  симметричны относительно прямой  а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
  АВ  и перпендикулярна
  к нему.
• Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.
• ПРИМЕР:
• АО
  = ОВ, АВ ⊥
  а.

Точка  А 
симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

1. Прямая – ось симметрии фигуры, а
   фигура обладает осевой симметрией.
2. Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
3. Иногда у фигур несколько осей симметрии.
4. Фигуры, обладающие осевой симметрией.
5. ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.

Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси
симметрии.

Прямоугольник имеет две
оси симметрии

Ромб имеет две оси
симметрии

Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС 
относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершины
треугольника  АВС  прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

• Измерим расстояние от вершин треугольника
  до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
  расстояния.
• Соединим получившиеся точки отрезками и
  получим треугольник  А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.
• ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно прямой 
l,
не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А'В'.

Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярно
прямой  l.
Пусть 

1. m∩l = Х, n∩l = Y.
2. Далее проведём отрезки 
3. А'Х
   = АХ  и 
   В'Y = ВY.
4. ЗАДАЧА:
5. Построить симметричный
   треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.
6. РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка  А  перейдёт в точку  А1  следующим образом:

• АА1⊥ ВС, АН = НА1.
• Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А1ВС.
• ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
• Симметрию относительно точки называют центральной
  симметрией.

Две точки  А  и  В 
симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самой
себе.

Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

1. Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
2. Фигуры, обладающие центром симметрии.
3. ПРИМЕР:
4. Окружность, центр окружности
   является её центром симметрии.
5. Параллелограмм, его центром
   симметрии является точка пересечения диагоналей.
6. Прямая имеет бесконечно много
   центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.
7. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
8. Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
9. ПРИМЕР:

Построим треугольник  А1В1С1, симметричный треугольнику  АВС 
относительно центра (точки)О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

• Измерим отрезки  АО,
  ВО, СО  и отложим с
  другой стороны от точки  О  равные им отрезки 
• АО
  = ОА1, ВО = ОВ1, СО = ОС1.
• Соединим получившиеся точки
  отрезками и получим треугольник  
• А1В1С1, симметричный данному треугольнику  АВС.
• ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно точки 
С, лежащей на прямой  l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А''В''.

Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки
А''С = АС  и  В''С = ВС.

1. ЗАДАЧА:
2. Построить симметричный
   треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.
3. РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно вершины  А.

Вершина  А  при центральной симметрии перейдёт в саму
себя (следует
из определения). Точка  В  перейдёт
в точку  В1  следующим образом  ВА = АВ1, а точка  С  перейдёт
в точку  С1  следующим образом  СА = АС1. Треугольник 
АВС  перейдёт
в треугольник  АВ1С1.

Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.

Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат  хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторых
перемещений.

1) При осевой симметрии
относительно оси  Оу  точка  Р(х, у) отображается на
точку  Р'

с координатами:

х' =
–х,

у' =
у.

2)При осевой симметрии относительно оси  Ох  точка  Р(х, у) отображается на
точку  Р'

с координатами:

х' =
х,

у' =
–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох 
переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается на
точку  Р'

с координатами:

• х' =
  –у,

• у' =
  х.

• 4) При центральной симметрии

Источник: https://krasavtsev.blogspot.com/2019/08/geometria32.html

Осевая симметрия

Компьютерная презентация к уроку математики по теме «Осевая симметрия», 6 класс.

Учитель математики : Прийма Т.Б.

МОУ СОШ №4 с углубленным изучением отдельных предметов

г.Батайск

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

• Введение.
• Великие о симметрии.
• Осевая симметрия.
• Симметрия в природе.
• Загадочные снежинки.
• Симметрия человека.
• Заключение.

Симметрия – это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

• ВВЕДЕНИЕ
• Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.
• Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, также подчиняются принципам симметрии.

ВЕЛИКИЕ О СИММЕТРИИ…

• Термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский .
• Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна.
• Первую научную школу в истории человечества создал Пифагор Самосский .
• «Симметрия – это некая «средняя мера», — считал Аристотель .
• Римский врач Гален (2 в. н. э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность.

1. Пифагор Самосский
2. Аристотель
3. Гален

• Леонардо да Винчи считал, что главную роль в картине играют пропорциональность и гармония, которые тесно связаны симметрией.
• Альбрехт Дюрер (1471-1528 г.г.) утверждал, что каждый художник должен знать способы построения правильных симметричных фигур.

Определение

Термин «симметрия» ( от греч. Symmetria ) — соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.

Симметрия в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований.

Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных.

Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Осевая симметрия

Две точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной прямой по разные стороны и на одинаковом расстоянии от нее, называются симметричными относительно данной прямой.

• а
• Фигура называется симметричной относительно прямой a ,
• если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре .

1. Фигуры, обладающие одной осью симметрии
2. Угол
3. Равнобедренный
4. треугольник
5. Равнобедренная трапеция

• Фигуры, обладающие двумя осями симметрии
• Прямоугольник
• Ромб

1. Фигуры, имеющие более двух осей симметрии
2. Квадрат
3. Равносторонний треугольник
4. Круг

• Фигуры, не обладающие осевой симметрией
• Произвольный треугольник
• Параллелограмм
• Неправильный многоугольник

Построение

• точки, симметричной данной
• отрезка, симметричного данному
• треугольника, симметричного данному

Симметрия в природе

Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия .

• Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.

Симметрия в животном мире.

Загадочные снежинки

Он сыплет с неба мелкой крупой, летает вокруг фонарей огромными пушистыми хлопьями,

стоит столбом в лунном свете ледяными иглами. Казалось бы, какая ерунда! Всего-то замёрзшая вода.

… но сколько вопросов возникает у человека, глядящего на снежинки.

1. Симметрия человека
2. Красота человеческого тела обусловлена пропорциональностью и симметрией .
3. Однако человеческая фигура может быть ассиметричной.
4. Строение внутренних органов человека не симметрично.

• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• Природа в различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, может использовать одни и те же принципы.
• И человек в своих творениях: живописи, скульптуре, архитектуре…
• Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия.

Источник: https://compedu.ru/publication/osevaia-simmetriia-1.html

Симметрия, симметрия относительно прямой

Правило 1

Точки A и A1 называется симметричными относительно точки О,

если O AA1 и AO = OA1. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O.

Симметрия относительно точки O (= центральная симметрия) — преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка X переходит в точку X1, симметричную относительно данной точки O — центра симметрии.

! Симметрия относительно точки является движением.

Если симметрия относительно точки O переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется центрально — симметричной. Параллелограмм — центрально — симметричная фигура. Его центр симметрии — точка пересечения диагоналей.

Правило 2 Точки A и A1 называются симметричными относительно прямой l, если отрезок AA1 ? l и AA1 делится прямой l пополам. Если точка X l, то симметричная ей точка есть сама точка X.

Симметрия относительно прямой l (= осевая симметрия) — преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка X переходит в точку X1, симметричную относительно данной прямой l — оси симметрии.

!Симметрия относительно прямой является движением.

Если симметрия относительно прямой l  переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l.

Ось симметрии ромба — прямые, на которых лежат его диагонали.

• а
• б
• в
• г
• д
• е
• з
• и
• к
• л
• м
• н
• о
• п
• р
• с
• т
• у
• ф
• х
• ц
• ч
• э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/simmetriya.html

Осевая и центральная симметрия — урок. Математика, 6 класс

Симметрия — слово греческого происхождения, как и многие другие слова, которые связаны с математикой. Оно означает соразмерность, наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей. Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»

 

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки  (O), если точка (O) является серединой отрезка MM1.

Точка (O) называется центром симметрии.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O):

1. для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки;2. измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;3. соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой:

1. для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.

3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

• для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
• Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
• Для равностороннего треугольника — три оси.
• Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
• Для квадрата — целых четыре.
• Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
• Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Источник: https://www.yaklass.by/p/matematika/6-klass/nagliadnaia-geometriia-5491/osevaia-i-tcentralnaia-simmetriia-5195/re-60c29baa-3ee2-47b6-9b55-2141b6d15109

Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ

Статьи

Линия УМК А. Г. Мерзляка. Математика (5-6)

Математика

Разберемся, как провести урок в 6 классе по теме «Осевая и центральная симметрии» с использованием ЭФУ.

05 февраля 2020

1. Зайдите на бесплатный сервис «Классная работа» от LECTA. В помощь учителю на сервисе «Классная работа» представлены поурочные планы по математике — календарно-тематическое планирование и методические рекомендации к каждому этапу урока. Поурочные разработки по математике содержат интерактивные материалы для изучения каждой темы и интерактивные задания для каждого урока, математические диктанты и проверочные работы для организации проверки знаний.
2. Откройте ЭФУ «Математика. 6 класс» (УМК А.Г. Мерзляка). Нужная нам тема рассматривается в параграфе 44.  
3. Откройте в сервисе «Классная работа» поурочные разработки к этому учебнику. Тема «Осевая и центральная симметрии» рассматривается на трех занятиях — 127-129. Планы данных уроков вы можете скачать в этой статье, ко всем остальным занятием — по ссылке выше. 

Поурочные разработки к УМК «Математика. 6 класс» А.Г. Мерзляка разработаны в соответствии с основными положениями ФГОС ООО и легли в основу системы уроков, в каждом из которых собрано все необходимое для проведения занятия в шестом классе. 

Из курса математики 5 класса учащиеся уже узнали, как выглядят и строятся фигуры, имеющие ось симметрии. Перед изучением темы «Осевая и центральная симметрии» будет целесообразно повторить материал 5 класса. Следует разъяснить учащимся, что построение фигуры во многих случаях возможно по положению ключевых точек.

Учитель: Отрезок можно определить положением концов, треугольник — расположением вершин. Какие еще примеры вы можете назвать? Ученики: Квадрат по 4 точкам, например… И ромб! Учитель: Верно. Чтобы построить фигуру, которая будет симметрична нашему треугольнику или ромбу, нам необходимо отразить ее ключевые точки. 

Для закрепления этого интуитивно-наглядного понимания, учитель может предложить детям перегнуть лист бумаги, на котором изображены симметричные фигуры.

Понятие симметрии

Слово «симметрия» происходит от греческого symmetria, что означает соразмерность. В нашем случае, симметрия — это свойство геометрических фигур к отображению.

Учитель: Симметрия используется в рисунках, орнаментах, архитектуре с давних времен. Где еще симметрию могут использовать люди?

Ученики: при строительстве домов; в изготовлении предметов быта. Учитель: верно, но ведь симметрия распространена не только там, где творил человек! Мы видим симметричные объекты природы каждый день. Назовите мне три таких объекта! Ученики: Бабочка, цветы, форма листа! Морская звезда, снежинка, яблоко в разрезе.  Симметрий, как это не покажется вам странным и любопытным, много, но мы будем рассматривать две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой. Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

 

Заметим, что любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны (Рис.131). Все точки фигуры, имеющей ось симметрии, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек (Рис. 132).

Центральная симметрия

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Фигуры, имеющие центр симметрии — понятие, воспринимающееся учащимися сложнее, чем фигуры, имеющие ось симметрии. Для удобства восприятия и понимания, рекомендуется привести как можно больше примеров из окружающей природы.

В зависимости от уровня математической подготовки учащихся класса, можно обратить их внимание на то, что прямая — это фигура, имеющая бесконечно много осей и центров симметрии.

С помощью заданий из «Классной работы» материал можно закрепить в различных графических форматах. Для каждого параграфа в учебнике подобраны задачи для самостоятельного решения. Задания распределены по трем уровням сложности — от простых к трудным. Для дополнительной мотивации учащихся и практического применения полученных знаний предлагается решить специальную задачу «От мудрой совы» — здесь школьникам понадобится проявить смекалку и изобретательность. Еще одна рубрика, которая неизменно заинтересует как юных первооткрывателей, так и учителей, — рубрика «Когда сделаны уроки», в которой можно узнать о важных математических объектах и истории их появления.

Предложите ребятам решить задание № 1260.  Какие печатные буквы русского алфавита имеют 1) вертикальную ось симметрии; 2) горизонтальную ось симметрии; 3) горизонтальную и вертикальную оси?

Готовый яркий раздаточный материал «Алфавит» вы можете скачать в конце этой статьи.

Также рекомендуем вам применять на уроке различные методы преподнесения информации: как визуальный, так и аудио. Попробуйте аудиодиктант.

Источник: https://rosuchebnik.ru/material/osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii-tema-dlya-uroka/

Видеоурок «Осевая симметрия»

§ 1  Понятия «симметрия», «осевая симметрия»

На этом уроке мы узнаем, что такое осевая симметрия, научимся строить фигуры, симметричные относительно оси.

Симметрия (соразмерность) – это свойство геометрических объектов совмещаться с собой при определенных преобразованиях. Также под симметрией понимают правильность во внутреннем строении геометрического тела или фигуры.

• Виды геометрических симметрий:
• ·центральная – это симметрия относительно точки – центра симметрии;
• ·осевая симметрия – это симметрия относительно оси.
• Осью в математике называют прямую.

§ 2  Осевая симметрия в математике, природе, архитектуре

Как на занятиях аппликацией вырезать бабочку, елочку или кленовый лист, чтобы обе половинки изделия были одинаковыми? Нужно свернуть цветную бумагу пополам, нарисовать половинку необходимой фигуры, вырезать и развернуть. Получится изделие, у которого обе половинки абсолютно одинаковы, каждая является зеркальным отражением другой.

При разгибании одна половинка совершает поворот на 1800. В данном случае поворот совершается относительно линии сгиба, которая является осью. Таким образом, мы получили симметричные фигуры относительно оси. Говорят, что в этом случае имеет место осевая симметрия.

А о фигурах, которые можно перегнуть так, что их половинки совпадут, говорят, что они имеют ось симметрии или что они симметричны относительно оси (линии сгиба).

Выполним практическое задание. Даны прямая m и точка А, не принадлежащая прямой m. Найдем точку А1, симметричную А относительно прямой m. Проведем перпендикуляр из точки А к прямой m, продолжим его по другую сторону прямой.

С помощью линейки или циркуля измерим расстояние от точки А до прямой m и отложим на продолжении перпендикуляра такое же расстояние от точки его пересечения с прямой, отметим точку А1. Точка А1 будет симметрична точке А относительно прямой m.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой m, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Прямая m – ось симметрии. Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе.

Построим геометрическую фигуру симметричную данной относительно прямой. Для этого необходимо найти точки симметричные вершинам данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

Например, построим треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС относительно оси t. Из вершин треугольника АВС проведем перпендикуляры к прямой t.

Отложим расстояния от вершин треугольника до прямой t по другую сторону от оси по перпендикулярным прямым, полученные точки соединим. Получится треугольник А1В1С1 симметричный треугольнику АВС.

При сгибании плоскости чертежа по оси симметрии (прямой t) симметричные фигуры (треугольники) совместятся.

Симметричными могут быть не только две фигуры, но и части одной фигуры. Так в некоторых фигурах можно провести ось симметрии. Говорят, что такие фигуры имеют осевую симметрию. Осевой симметрией обладают равнобедренные треугольники, у прямоугольников – две оси симметрии, у квадрата – четыре, а у круга – множество осей симметрии.

Геометрические тела тоже могут иметь ось симметрии: цилиндр, параллелепипед, конус.

Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрично практически все: транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.

Законы природы, которые управляют картиной явлений, также подчиняются принципам симметрии. Основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия. Симметричны листья дерева, цветы, колосья пшеницы, снежинки. Осевую симметрию имеет внешнее строение тела животных. И красота человеческого тела обусловлена пропорциональностью и симметрией.

Нагляднее всего симметрия видна в архитектуре. В сознании архитекторов она стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты. Пирамида Хеопса в Египте, Собор Парижской Богоматери и Эйфелева башня во Франции, Биг Бен в Великобритании.

Архитектура русских православных храмов и соборов также говорит о том, что с древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и симметрию и использовали их при строительстве архитектурных сооружений: Кремль в Москве, Казанский и Исаакиевский соборы в Санкт-Петербурге.

Таким образом, на этом уроке мы познакомились с понятием осевая симметрия, научились строить фигуры симметричные относительно оси, узнали о роли симметрии в повседневной жизни.

Источник: https://znaika.ru/catalog/6-klass/matematika/Osevaya-simmetriya

Осевая симметрия

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве, проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой  также принадлежит этой фигуре. Прямая  называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур из жизни и геометрии.

• Ещё мы давали такое определение:
• Точки  и  называются симметричными относительно прямой , если прямая  проходит через середину отрезка  и перпендикулярна к этому отрезку.
• Прямая  называется осью симметрии.
• Каждая точка прямой  считается симметричной самой себе.
• В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая симметрия является движением.
• Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N – какие-нибудь точки плоскости, а точки М1, и N1 – симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько вариантов расположения точек на плоскости.

1. Рассмотрим один из таких вариантов.
2. По построению симметричных точек относительно прямой А, прямая А перпендикулярна прямым ММ1 и NN1 и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ1 и NОN1 отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к основанию, то есть это равнобедренные треугольники.
3. .
4. .
5. Заменив отрезок  равным ему отрезком , а отрезок  – равным ему отрезком , получим, что .
6. Вывод: таким образом, мы доказали, что расстояние между точками М и N равно расстоянию между симметричными им точками М один и N1.
7. Получаем, что осевая симметрия – пример движения плоскости.
8. В пространстве осевой симметрией с осью  мы назовем такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей точку  относительно оси .
9. Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы ось Оz совпала с осью симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с координатами x, y, z и точки М1 с координатами x1, y1,z1, симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz, то по определению оси симметрии, ось Оz проходит через середину отрезка ММ1 и перпендикулярна к этому отрезку. Поскольку Оz – середина отрезка ММ1, и абсциссы и ординаты точек оси Оz равны нулю, то можно записать, что  и .

• То есть , .
• Условие того, что ось Оz перпендикулярно прямой ММ1 даёт нам, то что аппликаты точек М и М1 равны .
• Если же точка М лежит на оси Оz, то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в этом случае будут выполнятся полученные равенства.
• Вывод: для симметричный точек относительно оси Оz абсциссы и ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не с осью Оz, а, например, Оx или Оy. Тогда связь между координатами симметричных точек М и М1 будет такая: если ось симметрии проходит через ось Оx, то точки М и М1 имеют такие координаты , .

1. Если осью симметрии будет ось Оy, то точки М и М1 имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки  и . По только что доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

• Теперь давайте найдём расстояние .
• Получим, что .
• Теперь давайте найдём расстояние между точками  и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть получим, что . То есть расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется, значит, осевая симметрия в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

1. Задача: найти координаты точек, в которые переходят точки , ,  при осевой симметрии относительно координатных осей.
2. Решение: сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , ,  при осевой симметрии относительно оси Ох.
3. Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .
4. Точка  отобразится в точку .
5. Точка  отобразится в точку .
6. Точка  отобразится в точку .
7. Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .
8. Точка  отобразится в точку .
9. Точка  отобразится в точку .
10. Точка  отобразится в точку .
11. Если точка  симметрична точке  относительно оси  то справедливы формулы: .
12. Точка  отобразится в точку .
13. Точка  отобразится в точку .
14. Точка  отобразится в точку .
15. Итоги:

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером движения. Решили несколько задач.

Источник: https://videouroki.net/video/9-osievaia-simmietriia.html

Осевая и центральная симметрия — сообщение доклад (6, 8 класс)

Симметрия является неотъемлемой частью мира, в котором мы живем. Мы восхищаемся красотой природы, архитектурными сооружениями, механическими приборами и шедеврами искусства, не задумываясь над тем, что в основе их создания лежит симметрия.

«Симметрия» с греческого языка переводится как гармония, соразмерность, красота. Впервые термин стал широко употреблять Пифагор в до н.э. Им он обозначил трехмерное изображение геометрических фигур и их частей в пространстве. Также ученый определил отклонение от симметрии как асимметрию.

Существует два основных виды симметрии: осевая и центральная.

Осевая симметрия или зеркальная – это симметрия относительно оси. То есть одна половинка фигуры полностью соразмерна с другой относительно прямой. Так если согнуть листок пополам, то каждая точка одной половины листа будет иметь своего двойника на другой половине, а сам сгиб станет осью симметрии.

Зеркальную симметрию можно наблюдать в природе: листья растений симметричны относительно среднего стебля, крылья бабочки являются зеркальным отображением друг друга, человек и животные обладают симметрией в расположении частей тела.

Архитектурные сооружения также являются ярким примером осевой симметрии. Фасады зданий, особенно античных, вызывают чувства строгости и восхищения красотой именно благодаря симметрии их частей.

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. У такой симметрии обязательно есть неподвижный центр, при вращательных действиях на 180° относительно него фигура переходит сама в себя. Благодаря этому свойству центральная симметрия получила второе название – поворотная.

С древнейших времен ее эталоном считается круг, и действительно, как бы мы не поворачивали его вокруг центра, каждая точка окружности переходит в соответствующую ей.

В природе ярким примером центральной симметрии являются снежинки; цветы таких растений, как одуванчик, мать-и-мачеха, а также ромашки, если количество ее лепестков четное; шестеренки механизмов.

Вариант 2

Наверное, каждый слышал такие понятия, как «симметрия», «симметрично» и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?

Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.

Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью.

Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности.

Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.

Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.

Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:

Осевая симметрия.

Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.

1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.

• 2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.
• 3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.
• 4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.
• Центральная симметрия.

Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.

• История Древнего мира
  ревним миром называют начальный период человеческой истории, условно разделяющийся на
• Наука Астрономия
  Наука, которая изучает космос, Вселенную, а также ее структуру, движение, пространство, происхождение и развитие небесных объектов и систем носит название астрономия.
• Герои Космоса
  Исследование космоса интересовало человечество на протяжении многих сотен лет. Освоение космоса – опасный труд, на который способен не каждый. Великими героями космоса можно назвать немногих.
• Сова болотная
  Красивая птица из семейства совиных занимает достойное место в нашем мире среди подобных животных. Размеры данной совы достаточно крупные, по сравнению с другими птицами.
• Витамины
  Витаминами называются органические соединения, содержащиеся в пище и необходимые для полноценного роста и развития организма человека или животного. Каждый витамин отвечает за обеспечение опр
• Гриб лисичка
  Гриб лисичка обыкновенная — употребляется в пищу человеком. Относится к семейству Лисичковые. Своё имя он получил от русского слова

Источник: https://doklad-i-referat.ru/soobshchenie/matematika/osevaya-i-centralnaya-simmetriya