Признаки параллельности прямых — студенческий портал

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается это так: .

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

  • Рис. 1
  • Отрезки AB и CD, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными.
  • Лучи, лежащие на параллельных прямых, также называются параллельными.

Задумаемся, неужели а и b нигде не пересекутся? И существуют ли такие прямые? Ведь а и b не ограничены. И в соседней комнате не пересекутся? И на луне?

Оказывается, такие прямые существуют.

Мы доказывали, что перпендикулярная прямая а к прямой с и перпендикулярная прямая b к прямой с нигде не пересекаются (Рис. 2).

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Рис. 2

То есть две перпендикулярные прямые к одной и той же третьей прямой нигде не пересекутся. Оказывается, для этих прямых есть термин.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал.

Рассмотрим важную геометрическую конструкцию, в которой две прямые а и рассекаются прямой с (Рис. 3).

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Рис. 3

с – секущая а и b. Это означает, что она пересекает и а, и b.

  1. Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
  2. Эти углы называются:
  3. накрест лежащие углы: , ;
  4. односторонние углы: , ∠3 и ∠6;
  5. соответственные углы: , , , .
  6.  – смежные углы.
  7.  – вертикальные углы.
  8. Сформулируем и докажем первый признак параллельности прямых.
  9. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Итак, даны две прямые а и b. Прямая АВ рассекает эти прямые и  (Рис. 4).

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

  • Рис. 4
  • Докажем, что .
  • Доказательство:

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Рис. 5

Возьмем середину отрезка АВ – точку О – и опустим перпендикуляр ОН на прямую а. Получим точку Н. Получим отрезок АН. Отложим от точки В по прямой b отрезок, равный длине отрезка АН. Получим точку , причем .

Имеем два треугольника  и . Эти треугольники равны по первому признаку (то есть по двум сторонам и углу между ними): (по условию), (по построению), ОА = ОВ (по построению).

Из равенства треугольников следует, что . А значит – это продолжение ОН, то есть точки О, Н и  лежат на одной прямой.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Итак, мы имеем, что , . А значит, , что и требовалось доказать.

  1. Второй признак параллельности прямых
  2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  3. Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Рис. 6

Доказательство:

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

  • Значит, .
  • Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
  • Третий признак параллельности прямых
  • Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Имеем: а, b, с – прямые; с – секущая,Признаки параллельности прямых - Студенческий портал (Рис. 7).

  1. Рис. 7
  2. Доказательство:
  3. Значит,  .
  4. Применим первый признак параллельности прямых и получим, что .
  5. Признаки параллельности прямых используются для решения разных задач.
  6. Рассмотрим пример:
  7. а, b, с – прямые; с – секущая,,  (Рис. 8)
  8. Рис. 8
  9. Сведем к одному из признаков параллельности прямых.

Следовательно,. По третьему признаку параллельности прямых.

На этом уроке мы рассмотрели понятие параллельных и прямых и разобрали признаки параллельности прямых, научились их применять. На следующем занятии мы разберем свойства параллельных прямых.

Список рекомендованной литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.
  3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Рекомендованное домашнее задание

  1. Нарисуйте произвольный треугольник АВС. Отметьте точку М на стороне АВ. Через точку М проведите прямые, параллельные двум другим сторонам.
  2. Прямая АВ пересекает прямую CD в точке А, а прямую MN в точке В. . Параллельны ли прямые CD и MN?
  3. В треугольнике АВС ВК – биссектриса. Точка К  принадлежит АС. Точка М – середина стороны ВС. Доказать, что .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/priznaki-parallelnosti-pryamyh

Определение и доказательства признаков параллельности прямых в плоскости — урок. Геометрия, 7 класс

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Две прямые, лежащие на одной плоскости, либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.

В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.

На плоскости две прямые (a) и (b), которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаются a∥b.

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Один из признаков параллельности прямых на плоскости гласит:

1. признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости из любой точки можно провести только один перпендикуляр.

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Получается противоречие — из одной точки (H) к прямой (c) проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Для рассмотрения других признаков надо ознакомиться с некоторыми видами углов:

1) вспомним, что нам известны названия и свойства углов, которые образуют две пересекающиеся прямые.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Вертикальные углы равны: ∡1=∡3;∡2=∡4.

Сумма смежных углов 1800:∡1+∡2=∡2+∡3=∡3+∡4=∡4+∡1=1800.

2) Если две прямые пересекает третья прямая, то углы называются так:Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

  • накрест лежащие углы: ∡3 и ∡5;∡2 и ∡8;
  • соответственные углы: ∡1 и ∡5;∡4 и ∡8;∡2 и ∡6;∡3 и ∡7;
  • односторонние углы: ∡3и∡8;∡2и∡5.

Эти углы помогут определить параллельность прямых (a) и (b). Итак, другой признак параллельности прямых на плоскости гласит:

2. признак. Если при пересечении двух прямых третьей секущей:

  1. накрест лежащие углы равны, или
  2. соответственные углы равны, или
  3. сумма односторонних углов равна (180°) — то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

  • Докажем этот признак.
  • Сначала докажем: если прямые (a) и (b) пересекает прямая (c), и накрест лежащие углы равны, то прямые (a) и (b) параллельны.
  • Например, если ∡3=∡5, то a∥b.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

1) Отметим точки (C) и (D), в которых прямые (a) и (b) пересекает прямая (c). Через серединную точку (K) этого отрезка проведём перпендикуляр (AB) к прямой (a).

  1. 2) ∡CKA (=) ∡DKB как вертикальные углы, ∡3 (=) ∡5 (=) α, (CK = KD) — значит, ΔCKA (=) ΔDKB по признаку о стороне и двум прилежащим к ней углам.
  2. 3) Очевидно, если ΔCKA прямоугольный, то и ΔDKB прямоугольный, и (AB) перпендикулярен к прямой (b).
  3. 4) Согласно первому доказанному признаку прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 
  4. 5) В случае, когда равны соответственные углы, имеем в виду, что вертикальные углы равны, и доказываем, как в пунктах 1) — 4).

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал 6) В случае, когда сумма односторонних углов равна 180°, имеем в виду, что сумма смежных углов тоже равна (180°), и используем в доказательстве пункты 1) — 4).  

3. признак. При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

  • — накрест лежащие углы равны,
  • — соответственные углы равны,
  • — сумма односторонних углов равна (180°).

О свойствах параллельных прямых — в следующем пункте теории.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/parallelnye-priamye-9124/priznaki-parallelnosti-dvukh-priamykh-aksioma-parallelnykh-priamykh-9228/re-1e38c190-6fee-47d7-9380-d1e0d2858c37

Параллельные прямые

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Параллельные прямые…Прежде всего: что это такое?

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали.
Читайте также:  Задачи воспитания в современной школе - студенческий портал

Вот, как рельсы

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Принято обозначение:

  – читается как   параллельна  .

Самым важным фактом, который нужно принять без доказательства (не только тебе, но и любому математику) для того, чтобы вся геометрия не развалилась и не превратилась в какую-то неузнаваемую теорию, является так называемая «аксиома параллельных прямых».

Часто ее еще называют «пятый постулат Евклида». Формулируем:

Аксиома параллельных прямых

Через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Смотри: через любую точку   проходит только одна прямая  , которая параллельна  , все остальные будут пересекать прямую  .

Казалось бы: чего проще – ну , одна так одна… Но ты себе просто не представляешь, сколько споров вели математики на протяжении прямо-таки тысячелетий, прежде чем осознали истинную роль этой аксиомы о параллельных прямых. В конце концов , уже в 19-м веке, после открытий Лобачевского, Гаусса и других ученых стало ясно, что можно построить и другие виды геометрии, в которых не выполняется аксиома параллельных прямых, в которых ее можно выбросить, но эти геометрии уже оказываются не геометриями плоскости, а геометриями на каких-то хитрых поверхностях.

А наша привычная плоскость оттого и называется евклидовой, что при построении геометрии на ней, при решении всех задачек и доказательстве теорем мы считаем этот многострадальный пятый постулат Евклида выполнимым.

Ну вот, а теперь возникает два вопроса:

  1. Если где-то в задаче даны или оказались параллельными две какие-то прямые, то что? Как это использовать?
  2. А как вообще узнать, что какие-то прямые параллельны?
  • Ответ на первый вопрос называется «свойства параллельных прямых», а ответ на второй вопрос называется «признаки параллельных прямых».
  • Но прежде нам понадобится много названий, которые нужно запомнить, как таблицу умножения.
  • Итак, ситуация: две прямые пересечены третьей (она называется секущей)

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Получается куча углов. Целых   штук.

Приняты такие названия этих углов:

Признаки параллельности прямых - Студенческий порталПризнаки параллельности прямых - Студенческий портал   и   называются внутренними накрест лежащими углами    и   – тоже внутренние накрест лежащие углы.

Название говорит само за себя:   и  , так же, как и   и   лежат «накрест» — по разные стороны от секущей и «внутри», между прямыми   и  .

Признаки параллельности прямых - Студенческий порталПризнаки параллельности прямых - Студенческий портал   и   (а еще   и  ) называются внутренними односторонними углами. Они лежат с одной стороны от секущей и «внутри» между прямыми   и  .
Признаки параллельности прямых - Студенческий порталПризнаки параллельности прямых - Студенческий портал   и   (а еще   и  ) называются внешними односторонними углами (ты уже догадался, почему?)

И последнее название: соответственные углы.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Это пары углов:

Обрати внимание,   и   лежат в одинаковых «соответственных» местах около точек   и  . То же можно сказать и об остальных перечисленных парах – посмотри на рисунок.

Свойства параллельных прямых

Напоминаем (а то отвлеклись на названия), что пытаемся ответить на вопрос: если  , то что?

И вот что:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • Внутренние накрест лежащие углы равны
  • Соответственные углы равны
  • Сумма любых двух внутренних односторонних равна  

Запомни – все задачи с участием слова «параллельность» решаются с помощью этой теоремы о свойствах параллельных прямых.

А теперь, наоборот, признаки параллельных прямых.

Признаки параллельных прямых

То есть, как бы узнать, что прямые – параллельны?

Если две прямые (  и  ) пересечены третьей и оказалось, что

  • Какие-нибудь два накрест лежащих угла равны ИЛИ
  • Какие нибудь два соответственных угла равны ИЛИ
  • Сумма хоть каких-то двух внутренних односторонних равна   ИЛИ
  • Сумма хоть каких – то двух внешних односторонних равна  ,

то прямые   и   – параллельны

  1. Заметь, что для того, чтобы установить параллельность прямых, достаточно выяснить, скажем, равенство всего двух углов (или накрест лежащих, или соответственных), а уже все остальное окажется , так сказать, бонусом.
  2. Смотри-ка, вот схема:

Параллельные прямые. коротко о главном

  • Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их не продолжали:  .
  • Секущая — прямая, пересекающая две параллельные прямые:  .
  • Аксиома параллельных прямых: через любую точку плоскости, расположенную вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.
  •   и  ,   и   — внутренние накрест лежащие углы;
  •   и  ,   и   — внутренние односторонние углы;
  •   и  ,   и   — внешние односторонние углы;
  •   и  ,   и  ,   и  ,   и   — соответственные углы.

Свойства параллельных прямых:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (секущей) прямой, то:

  • внутренние накрест лежащие углы равны:  ,  ;
  • соответственные углы равны:  ,  ,  ,  ;
  • сумма любых двух внутренних односторонних углов равна  :  ,  ;
  • сумма любых двух внешних односторонних углов равна  :  ,  .

Признаки параллельных прямых:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

  1. Стать учеником YouClever,
  2. Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц», 
  3. А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

можно кликнув по этой ссылке.

 

Источник: https://youclever.org/book/parallelnye-pryamye-1

Признаки параллельности прямых

Признаки параллельности прямых:

1) Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

    Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

2) Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

    Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

3) Если сумма внутренних односторонних углов равна 180, то то прямые параллельны.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

    Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

4) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

    Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

5) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

    Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Источник: http://www.treugolniki.ru/priznaki-parallelnosti-pryamyx/

Признаки параллельности прямых

Справочник по математике Геометрия (Планиметрия) Параллельность прямых

      При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

Рисунок Определение углов
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Внутренние накрест лежащие углы
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Внешние накрест лежащие углы
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал Соответственные углы
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
Внутренние односторонние углы
Внешние односторонние углы
Внутренние накрест лежащие углы
Внешние накрест лежащие углы
Соответственные углы
Внутренние односторонние углы
Внешние односторонние углы

      Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

      Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

     Замечание. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Признаки параллельности двух прямых

Рисунок Признак параллельности
Прямые параллельны тогда и только тогда,когда внутренние накрест лежащие углы  равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,когда внешние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,когда соответственные углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна180°
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
  • Признак параллельности:
  • Прямые параллельны тогда и только тогда,когда внутренние накрест лежащие углы  равны
  1. Признак параллельности:
  2. Прямые параллельны тогда и только тогда,когда внешние накрест лежащие углы равны
  • Признак параллельности:
  • Прямые параллельны тогда и только тогда,когда соответственные углы равны
  1. Признак параллельности:
  2. Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
  • Признак параллельности:
  • Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Следствие

Рисунок Признак параллельности
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
  1. Признак параллельности:
  2. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Переход свойства параллельности прямых

Рисунок Признак параллельности
Если прямая a параллельна прямой b,а прямая b параллельна прямой c,то прямая a параллельна прямой c
  • Признак параллельности:
  • Если прямая a параллельна прямой b,а прямая b параллельна прямой c,то прямая a параллельна прямой c

      Задача. Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

      Решение. Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/parallel.htm

Параллельность прямых и плоскостей

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Параллельные прямая и плоскость

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Свойство прямой, параллельной данной плоскости

Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a.

Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Параллельные плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, которые не пересекаются.

Признаки параллельности плоскостей

  • Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
  • Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
  • Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Свойства параллельных плоскостей

  1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.
  2. Признаки параллельности прямых - Студенческий портал
  3. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
  4. Признаки параллельности прямых - Студенческий портал

Источник: https://egemaximum.ru/parallelnost-pryamyx-i-ploskostej/

Параллельные прямые. Решение задач

  • Московский институт открытого образования
  • Методическая лаборатория математики
  • Урок по теме:

» Параллельные прямые. Решение задач «

  1. Учитель: Чернышева Татьяна Владимировна,
  2. Высшая категория
  3. ГОУ СОШ № 743 Северного округа г. Москвы
  4. Курсы «Современный урок математики»
  5. 2010

Конспект урока-тренинга по геометрии в 7-м классе по теме:

7 класс, учебник “Геометрия 7-9”. Автор Л.С.Атанасян

Образовательные задачи урока:

  1. Проверить знания учащимися формулировок теорем, выражающих признаки параллельности прямых, свойств углов, образованных при пересечении секущей двух параллельных прямых;

  2. Обеспечить в ходе урока повторение и закрепление основных понятий, признаков, свойств;

  3. Проверить их умения объяснять по рисункам, какие углы являются накрест лежащими, соответственными, односторонними; распознавать их при решении задач, а также применять признаки параллельности прямых при решении задач.

  4. Продолжить формирование общеучебных умений и навыков (например, навыки планирования ответа, работы с книгой, умения в необходимом темпе читать и писать);

  5. Восполнить пробелы в знаниях, специальных и общеучебных умениях и навыках учащихся.

Воспитательные задачи урока:

    1. Способствовать воспитанию у учащихся таких нравственных качеств, как коллективизм;

    2. Содействовать трудовому воспитанию;

    3. Содействовать эстетическому воспитанию школьников. Обратить их внимание на красоту и четкость чертежей;

    4. Содействовать физическому воспитанию школьников в ходеурока, профилактика их утомляемости: смена деятельности, физкультминутка;

    5. Обратить особое внимание на устранение следующих типичныхнедостатков в воспитанности школьников класса: неумение выслушать другого, желание более легким путем (за счет более успешного одноклассника) получить положительную оценку;

Задачи развития интеллекта, познавательных интересов и способностей школьников:

  1. Развивать у школьников умение выделять главное, существенное визучаемом материале, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать мысли;

    • Развивать самостоятельность школьников, умение преодолеватьтрудности в учении, используя творческие задания,
    • самостоятельные упражнения, поощрение неоднократных усилий в выполнении затрудняющих заданий, оказание минимально необходимых доз помощи;
  2. Развивать эмоции учащихся, создавая с этой целью в ходе урокаэмоциональные ситуации удивления, восторга, занимательности, воздействующие на чувства, на эмоциональную сферу личности;

  3. При работе с учащимися, наиболее подготовленными по данномупредмету, обратить особое внимание на развитие сторон их интеллекта, воли, эмоций.

Ход урока

I. Организация класса

II. Фронтальный опрос по теме

  1. 1) Трое учащихся работают самостоятельно по карточкам у доски:
  2. КПризнаки параллельности прямых - Студенческий порталарточка №1
  3. Решите задачу:

Дано: а II в, с- секущая,

Источник: https://infourok.ru/parallelnye_pryamye._reshenie_zadach-127451.htm

Признаки параллельности двух прямых

Рассмотрим две прямые и , которые пересекает в двух точках третья прямая (Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .

При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на Рис.2

  • Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы:4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы:1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

1. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).

  1. Доказать: .
  2. Доказательство:
  3. 1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 900, т.е. эти углы прямые, получим АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).

2 случай

Предположим, что 1 и2 — не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н1 (Рис. 5).

Получим ОНА = ОН1В по 2 признаку равенства треугольников (углы3 и 4 вертикальные, т.к.

получены при пересечении двух прямых АВ и НН1, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к.

О — середина АВ, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 =6, значит, 6 — прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).

Получаем, НН1 и НН1, значит  (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

2. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — соответственные, 1 = 2 (Рис.6).

  • Доказать: .
  • Доказательство:

По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно,  (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

3. Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — односторонние, 1 + 2 = 1800 (Рис.7).

  1. Доказать: .
  2. Доказательство:

Углы 3 и 2 — смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 1800, откуда 3 = 1800 — 2, при этом 1 + 2 = 1800, откуда 1 = 1800 — 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Параллельные прямые
  • Практические способы построения параллельных прямых
  • Аксиомы геометрии
  • Аксиома параллельных прямых
  • Теорема о накрест лежащих углах
  • Теорема о соответственных углах
  • Теорема об односторонних углах
  • Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами
  • Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами
  • Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 189, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 192, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 205, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 216, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 233, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 430, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 8, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 795, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1270, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 1300, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3387

3 признака параллельности двух прямых на плоскости: доказательство

В этой статье будет предоставлена информация о признаках параллельности прямых на плоскости. Смотрите доказательства параллельности прямых, представленные примеры и рисунки для наглядного пояснения данной темы.

Из учебника по геометрии следует, что параллельными прямыми на плоскости считаются прямые, что не имеют общих точек пересечения. Если же трактовать правило в трехмерном пространстве, то параллельными прямыми считают такие две линии, которые расположены на одной плоскости и, опять-таки, не имеют общих точек.

У параллельности линий есть признаки, аксиомы, свойства. Далее подробней изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости.

Признаки параллельности двух прямых на плоскости: что такое признаки, аксиомы, свойства?

Сначала рассмотрим, какая разница между понятиями: признак, свойство и аксиома. Это позволит не путаться в дальнейшем, что очень важно для точных наук:

  • Признаки – это некие факты, именно по признакам и можно установить истинное ли суждение об интересующих предметах или нет.
  • Свойства – это точные формулировки (правила), которые невозможно опровергнуть.
  • Аксиома – это должное утверждение, совершенно не требующее доказательств. Именно на аксиомах и строятся, в частности в геометрии, доказательства признаков и свойств.

Что такие термины: аксиома, теорема, следствие

Как видите, понятия имеют отличия друг от друга. Дальше больше изучим 3 признака параллельности двух прямых на плоскости, чтобы доказать признаки, придется применять аксиомы, свойства.

Признаки параллельности двух прямых на плоскости: определение

Из геометрии известно, что существует 3 признака параллельности двух прямых на плоскости. Это изучалось в седьмом классе.

Признаки

Признаки параллельности двух прямых – 7 класс:

  1. В первом признаке речь идет о том, что когда две линии перпендикулярны третьей, то они между собой не имеют никаких общих точек пересечения, и они параллельные.
  2. Во втором признаке упоминается об углах. Точнее, если две линии пересекает третья, накрест лежащие углы, образовавшиеся в результате пересечения равные, или же соответственные углы равные – линии (||) параллельные.
  3. Сумма односторонних углов равная 180º, то эти линии (||) между собой параллельные.

ВАЖНО: Существуют обратные признаки параллельности линий. Они трактуются в обратной очередности. Точнее, две линии считаются параллельными. Об этом будет говориться в последнем пункте.

Первый признак параллельности двух прямых на плоскости — доказательство

Признаки параллельности двух прямых на плоскости очень часто применяются для решения разнообразных геометрических задач, потому нужно не только знать, как его формулировать, а еще уметь и доказать данное утверждение.

Еще раз повторим – первый признак звучит так:

Когда две линии перпендикулярны третьей, то они между собой не имеют общих точек пересечения и параллельны. К данному изречению следует добавить, если линии лежат в одной плоскости, так как в трехмерном пространстве данное утверждение не совсем верно.

Доказательство признака:

Доказать признак можно легко. Для наглядности ниже представлен рисунок:

Чертеж первого признака о параллельности двух линий

  • Существует аксиома, что к линии на плоскости можно провести перпендикулярную прямую из заданной точки, что не принадлежит линии, и причем только одну.

Представьте себе, что из одной точки можно провести две линии от другой линии. Но тогда не получится прямых углов, соответственно последнее утверждение не верное, а признак является верным.

Второй признак параллельности двух прямых – доказательство

Все признаки параллельности двух прямых на плоскости не так сложно и запомнить, но вот второй является самым сложным в плане доказательств.

Когда две линии пересекает косая, накрест лежащие углы равные, или же соответственные углы равные, то линии между собой (||) параллельные.

Смотрите изображение далее, здесь подробно описано, какие образуются углы при пересечении линией двух прямых:

Наименования углов

Доказательство:

Изучив рисунок выше, теперь вы сможете разобраться, какие углы накрест лежащие, а какие соответственные. Ниже приведено изображение, по которому легко доказать, второй признак параллельности линий.

Пусть дано: ∠ACK=∠KDB (накрест лежащие углы ∠ACK, ∠KDB равны), то линия b||a.

Второй признак параллельности двух линий

  • Итак, точки C, D – это точки пересечений двух линий a, b. Вначале на отрезке путем несложных вычислений находим среднюю точку отрезка DC.
  • Это будет K, необходимо через середину отрезка (через точку K) провести линию ⊥ к b.
  • Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные, а по условию задано, что ∠ACK=∠KDB. Еще и CK=KD. Из этого следует, что треугольники, образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
  • Угол CAK равен 90º по условию, поскольку линия AB перпендикулярна прямой a. Значит и углы, образованные линией AB с прямыми a, b, равны 90º и треугольники CAK и KBD прямоугольные.
  • А по первому признаку перпендикуляр можно провести только к двум параллельным линиям.

Доказательство:

Когда соответственные углы образованные линиями у основания равны, то линия a||b.

  • Опять-таки, первое, что следует сделать провести перпендикуляр к линии a.
  • Из равенства треугольников CAK и KBD вытекает, что:
  • Угол у основания будет равен 90º по условию и соответственный ∠KBD=90º.
  • Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для прямой b.

Вывод: прямые (||) параллельные.

Третий признак параллельности двух прямых – доказательство

Третье утверждение – когда сумма (∑) односторонних углов равная 180º, значит эти линии (||) параллельны, доказать очень просто.

  • Нужно провести перпендикулярную линию к прямой a, углы, образовавшиеся у основания на линии a, будут равны 90º и 90º=180º.
  • Углы в вершине с точкой K будут равны друг другу, потому что они вертикальные. Еще и CK=KD по условию. Из этого следует, что треугольники образовавшиеся в результате пересечения двух линий, равны.
  • Значит линия BA является перпендикуляром и для линии a, и для линии b.

Признаки параллельности двух линий на одной поверхности

Исходя из рисунка, ∠1 и ∠4 смежные. Как мы уже знаем, сумма смежных углов (∠1+∠4) равна 180º. При этом ∠1=∠2, как накрест лежащие.

Отсюда вывод: сумма односторонних углов равна 180º(∠2+∠4=180º).

Обратные признаки параллельности двух прямых на плоскости

Еще существуют обратные признаки параллельности двух линий на одной плоскости. И их утверждения звучат с точностью до наоборот:

  1. Линии считаются (||) параллельными, когда к ним можно провести одну общую перпендикулярную линию.
  2. Две линии на одной поверхности параллельные, когда у них накрест лежащие углы между собой равны или же они прямые.
  3. Две линии на одной поверхности считаются (||) параллельными, когда соответственные углы у оснований равные.
  4. Две линии на одной поверхности (||) параллельные, когда сумма (∑ ) односторонних углов равняется 180º.

Обратные признаки

Далее в видео будут представлены наглядные доказательства признаков параллельности двух линий в одной плоскости.

Ниже предоставлены статьи на тему образования детей в школе, если вам интересно можете обратить внимание на них:

Видео: Признаки параллельности двух прямых

Источник: https://heaclub.ru/3-priznaka-parallelnosti-dvuh-pryamyh-na-ploskosti-dokazatelstvo

Ссылка на основную публикацию