Прямая и отрезок, измерение и сравнение отрезков — студенческий портал

Инфоурок › Алгебра ›Презентации›Сравнение и измерение отрезков. Геометрия 7 класс учебник Атанасян

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Начальные геометрические сведения 7 класс геометрия Уроки № 3-4 Сравнение и измерение отрезков

2 слайд Описание слайда:

Цели: Ввести понятие равенства геометрических фигур. Научить сравнивать отрезки. Ввести понятие длины отрезка. Рассмотреть свойства длин отрезков. Различные единицы длины измерения отрезков. Решение задач на нахождение длины.

3 слайд Описание слайда:

Вспомним! Две геометрические фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются.

4 слайд Описание слайда:

Если концы отрезков совпадают то отрезки АВ и СD равны. АВ = СD А В C D

5 слайд Описание слайда:

Если концы отрезков не совпадают то отрезки АВ и СD не равны. АВ < СD СD > AB C D А В

6 слайд Описание слайда:

Если С – середина отрезка MN MC = СN MN = 2MC = 2NC

7 слайд Описание слайда:

Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. MN = MC + CN

8 слайд Описание слайда:

Длину отрезка АВ называют расстоянием между точками А и В 13.07.2012 www.konspekturoka.ru А B IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

9 слайд Описание слайда:

10 слайд Описание слайда:

10 см =1 дм 1см = 10 мм 100 см = 1 м 1км = 1000м Русские меры длины. Среди русских мер длины древнейшими являются локоть и сажень. Первое упоминание сажени встречается в летописи XI века. Для измерения длины кроме сантиметра применяют и другие единицы длины

11 слайд Описание слайда:

Аршин – мера, возникшая при торговле с народами Востока. Название единицы происходит от персидского слова «арш», что значит локоть. Сажень – единица длины равная 3 аршинам. Кроме сажени, на Руси употреблялась косая сажень (2,48 м) и маховая (1,76 м).

12 слайд Описание слайда:

Отметьте в тетради точки К и М. С помощью линейки постройте отрезок КМ. Отметьте на этом отрезке точки Р и Т. Назовите отрезки, на которые эти точки делят отрезок КМ. На какие отрезки точка Т делит отрезок КМ? KP, PT, TM, KT, PM.

TM, KT.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 К М Р Т №31

13 слайд Описание слайда:

А, В, С  а, АВ = 12 см, ВС = 13,5 см АС — ? Решение Возможны случаи: а) точка В лежит между А и С, тогда АС = АВ + ВС, АС = 12 + 13,5 = 25,5 (см). б) точка А лежит между В и С, тогда АС = СВ — АВ, АС = 13,5 — 12 = 1,5 (см). Ответ: 25,5 см или 1,5 см. Дано: Найти: 12 см 13,5 см 12 см 13,5 см

14 слайд Описание слайда:

В  АС, АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см ВС — ? Решение ? Так как В  АС, АВ + ВС = АС, ВС = АС — АВ ВС = 7,2 – 3,7 = 3,5 (см). Ответ: BС = 3,5см. Дано: Найти: 3,7 см 7,2 см №31

15 слайд Описание слайда:

АВ = 64 см, С – середина АВ, D — лежит на луче СА, СD = 15 см. ВD, DA — ? Решение АВ = 64 см, С – середина АВ, тогда АС = СВ = 32 см. СD = 15 см, DA = AC – DC = 32 – 15 = 17 (см) ВD = DC + CB = 15 + 32 = 47 (см) Ответ: BD = 47см, DA = 17 см. Дано: Найти: №34

16 слайд Описание слайда:

17 слайд Описание слайда:

О, А, В – лежат на одной прямой, ОА = 12 см, ОВ = 9 см. расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ — ? Решение Пусть М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ.

Возможны два случая: а) если точка О лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NO = BO : 2 = 4,5 см.

Расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ равно длине отрезка MN, a MN = MO + NO = 6 + 4,5 = 10,5 (см) Дано: Найти: В М

18 слайд Описание слайда:

б) если точка О не лежит на отрезке АВ б) если точка О не лежит на отрезке АВ, то МО = АО : 2 = 6 см, NO = BO : 2 = 4,5 см. Пусть по условию: М – середина отрезка ОА, N – середина отрезка ОВ. Решение MN = MO – ON = 6 – 4,5 = 1,5 (см). Ответ: а) 10,5 см; б) 1,5 см. A N

19 слайд Описание слайда:

Ответить на вопросы: Какие геометрические фигуры называются равными? Какие отрезки равны? Чему равна длина отрезка? Как измерить длину отрезка? Какие есть единицы измерения длин?

Общая информация

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Источник: https://infourok.ru/sravnenie-i-izmerenie-otrezkov-geometriya-klass-uchebnik-atanasyan-666778.html

Длины отрезков: как сравнить и найти середину или концы единичного отрезка координатной прямой, правила об этом и примеры на рисунке

Сравнить 2 отрезка на плоскости — это типичная задача по геометрии для учеников 7 класса. Существует несколько разных методов выполнения данного сравнения, и мы подробно расскажем о каждом из них.

Подобного рода задачи выполняются элементарно и являются основой для изучения дальнейшего материала. Стоит один раз запомнить этот несложный процесс, и в дальнейшем уже не возникнет никаких трудностей с аналогичными заданиями.

Метод наложения

Одной из простейших геометрических фигур является отрезок. Для того чтобы сравнивать отрезки, можно использовать два способа:

1. Метод наложения.
2. Измерение длин.

Пусть нам даны два отрезка AB и СD:

Совместим начало отрезка AB и СD (точки A и С).

• Затем повернем отрезок СD так, чтобы он совпал с отрезком AB.
• 
• Мы видим, что отрезок СD составляет часть отрезка AB, следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок AB больше отрезка СD.
• Если точка делит отрезок на равные отрезки, то эту точку называют серединой отрезка.

MK = KV, K — середина отрезка.

Рассмотрим еще одну пару отрезков HG и ST.

Совместим начало отрезка HG и ST.

1. Затем повернем отрезок STтак, чтобы он совпал с отрезком HG.
2. 
3. В данном случае мы видим, что совпали не только точки S и H (начала отрезков HG и ST), но и точки G и T (концы отрезков HG и ST), то есть отрезки совпадают, а нам известно, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
4. Вывод:

Измерение длин:

Для измерения отрезков, необходимо наложить на него единичные отрезки, и длиннее будет считаться тот отрезок, которому соответствует большее число единичных отрезков.

Пример: Пусть у нас есть единичный отрезок. Рассмотрим три отрезка QL, FJ и PO.

Наложим единичный отрезок на данные.

Посчитаем, какое количество  единичных отрезков накладывается на каждый из отрезков, получаем: QL = 5 ед.от., FJ  = 3 ед.от., PO = 5 ед. от.

Сравним отрезки: QL > FJ (т.к. 5 > 3), FJ < PO (т.к. 3 < 5), QL = PO (т.к. 5 = 5).

• Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.
• Если при измерении отрезков их длины равны, то отрезки равны.

Источник:

Как сравнить 2 отрезка: способы решения задачи

Что такое отрезок

Прежде чем рассказать, как сравнить 2 отрезка, давайте разберем, что такое отрезок на плоскости.

  Список профессий связанных с физикой

Определение из учебника по геометрии гласит, что отрезок — это часть прямой, которая с двух сторон ограничивается двумя точками.

Если рассматривать одну прямую, отрезком будет считаться множество, которое состоит из двух разных точек этой прямой (собственно, концов отрезка), а также остального множества из всех точек, которые располагаются между ними (так называемых внутренних точек).

Сравнение двух отрезков

Итак, в вопросе о том, как сравнить 2 отрезка, можно выделить следующие методы:

• Наложение. Для того чтобы выполнить сравнение двух отрезков, нужно выполнить наложение одного из них на другой. Соответственно, тот отрезок, который будет содержать внутри себя второй отрезок целиком, больше. Если концы этих отрезков совпали — значит, их длины равны.
• Второй способ, как сравнить 2 отрезка в геометрии — это выяснить, на какое количество единиц отличается их длина. Для этого нужно при помощи линейки с одинаковыми значениями провести измерение сначала одного отрезка, затем другого, и из первого результата вычесть второй.

В том случае, если разность составит положительное число, значит, первый отрезок длиннее второго на соответствующее количество единиц. Если в результате получено нулевое значение — отрезки равны. А если в ответе отрицательное число, следовательно, второй отрезок длиннее первого.

Вывод

Итак, мы выяснили, как сравнить 2 отрезка. Первый способ указывает только на то, какой из них будет длиннее, а какой — короче, а второй показывает числовое значение разницы в длине.

Источник:

Прямая и отрезок, измерение и сравнение отрезков

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины.

Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках.

  С какой скоростью Земля вращается вокруг Солнца?

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

• Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.
• Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
• Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками. Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках.

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

1. Вторые концы этих отрезков также совпадут. В таком случае по аксиоме 5 мы получим, что такие отрезки будут равны друг другу.
2. Вторые корцы не совпадут. Здесь, без ограничения общности, будем считать, что конец отрезка 1 будет принадлежать отрезку 2. Тогда здесь мы говорим, что данные отрезки не равны, причем отрезок 1 короче отрезка 2.

Источник:

Как сравнить длины отрезков: наложение и измерение, объяснение и примеры

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

  Как найти разность чисел в математике?

Способы сравнения двух отрезков

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

• Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; АБ.
• Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?
• Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:

• визуальный способ;
• измерительный;
• сравнение наложением;
• сравнение в координатной сетке.

Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

Измерение длины

Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

Наложение друг на друга

Как происходит совмещение АБ и ВГ:

• Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков — Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
• Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или √ 73, значит, Da > Db.
• Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

Источник:

Источник: https://obraz-ola.ru/tehnicheskie-nauki/kak-sravnit-dliny-otrezkov.html

Геометрия 7 класс.Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Запомните!

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и H. Точки F и G лежат на прямой a. Точки D и H не лежат на прямой a.

В тексте точку обозначают символом «(·)». Принадлежность и непринадлежность точки прямой обозначают символами «∈» и «∉». Знак принадлежности можно запомнить как зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «€» .

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

• (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a);
• (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a;
• (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a);
• (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a.

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

На рисунке изображены:
• Прямая a
• Прямая f
• Прямая CH
• Прямая DK

Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому: прямая DE, прямая EF и прямая DF — это три разных имени одной и той же прямой.

Проведите прямую, обозначьте её буквой a и отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и прямой a, используя символы ∈ и ∉.

Решение задачи

Проведём прямую.

Обозначим её буквой a.

Отметим точки (·)A и (·)B, лежащие на прямой a.

Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R, не лежащие на прямой a.

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

• (·)A ∈ a
• (·)B ∈ a
• (·)P ∉ a
• (·)Q ∉ a
• (·)R ∉ a

Задача решена.

На рисунке прямые a и b не пересекаются. Прямые b и c пересекаются.

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с).

В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩. Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:

• b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
• a ∩ c — прямые a и с пересекаются.

Прямые e и g имеют общую точку M. Другими словами, прямые пересекаются в точке M. Геометрическими обозначениями пересечение прямых в точке записывается так: e ∩ g = (·)M

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Запомните!

Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Запомните!

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Возможен вариант, что прямые f и e пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M.

Третий случай расположения прямых

Предположим, что прямые f и e имеют две или больше общих точек. Например, точки (·)A и (·)B.

Но мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Значит, прямые f и e совпадают и наше предположение, что у двух прямых может быть две или более общих точек неверно.

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Теперь прямая a пересекается с прямой b, прямая b пересекается с прямой c и прямая c пересекается с прямой a.

В этом случае у нас только одна точка пересечения всех прямых — точка (·)D.

Прямая a пересекается с прямой b в точке (·)D, прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и прямая c пересекается с прямой a в точке (·)E. Условие задачи выполнено.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Запомните!

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

Две точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы называются S и T.

Сам отрезок можно назвать ST или TS. Когда изображают отрезок, оставшиеся от прямой хвосты можно не рисовать.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/point_straight_segment/point_straight_segment_geometry_7_grade.php

Отрезок

• Длина отрезка
• Равные отрезки
• Сравнение отрезков
• Середина отрезка

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка – это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно, длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

AB = 6 см.

Свойства длин отрезков:

• Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
• Длины равных отрезков равны.

Равные отрезки

Равные отрезки – это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка – это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

CA  CA.

Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

CA > CB   или   CB 

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/otrezok.html

Видеоурок «Сравнение отрезков и углов. Измерение отрезков»

Содержание:

§ 1  Равенство геометрических фигур

В повседневной жизни мы нередко встречаемся с равными фигурами: два одинаковых листа бумаги, две облицовочные плитки, две одинаковые тарелки. Представим, что вы решили украсить свой походный костюм нашивкой.

Для этого вы рисуете на бумаге изображение, вырезаете его, затем накладываете на материал, из которого будет нашивка, и вновь вырезаете по границе. Фигуры, вырезанные из бумаги и из материала, равны, потому что они совмещаются одна с другой.

На равенстве совмещенных фигур основаны раскрой материала для шитья одежды на фабриках, штамповка плоских деталей на заводе и т.д.

Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

§ 2  Сравнение отрезков и углов

Рассмотрим два отрезка АВ и СD и ответим на вопрос: равны они или нет?

Для этого наложим отрезок АВ на отрезок СD так, чтобы один конец отрезков АВ совпал с концом отрезка СD, т.е. точка А совпала с точкой С.

Если при этом два других конца совместятся, т.е. точка В совпадет с точкой D, то отрезки АВ и СDравны.

Если точка В не совпадет с точкой D, то меньшим отрезком считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке отрезок СD составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок СD меньше отрезка АВ. Пишут СD < АВ.

А теперь возьмем отрезок МN и отметим на нем точку О так, что отрезки МО и NО будут равны.

Такая точка О, которая делит отрезок пополам, т.е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Рассмотрим два неразвернутых угла АОВ и СОD.

Чтобы сравнить два неразвернутых угла, надо наложить один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон.

Если сторона ОА совместится со стороной ОС, а сторона ОВ совместится со стороной ОD, то углы АОВ и СОD равны. Если же сторона ОВ не совместится со стороной ОD, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого.

На рисунке угол АОВ меньше угла СОD, так как угол АОВ составляет часть угла СОD.

Рассмотрим развернутый угол, т.е. угол, обе стороны которого лежат на одной прямой. Неразвернутый угол составляет часть развернутого угла, поэтому любой развернутый угол больше любого неразвернутого угла, а два развернутых угла всегда равны.

А теперь из вершины угла проведем луч так, что он будет делить этот угол на два равных угла, такой луч называется биссектрисой угла.

На рисунке луч ОС – биссектриса угла АОВ, так как этот луч исходит из вершины угла АОВ и делит этот угол на два равных угла АОС и СОВ.

§ 3  Измерение отрезков. Единицы измерения

Фигуры на практике не всегда можно совместить наложением, например, невозможно таким образом проверить, равны ли земельные участки. Поэтому приходится искать другие способы установления равенства фигур. Для сравнения, например, отрезков пользуются измерением, т.е. находят длины отрезков.

Чтобы измерить отрезок, надо его сравнить с некоторым другим отрезком, принятым за единицу измерения. Такой отрезок называют еще масштабным отрезком. За единицу измерения можно взять отрезок длиной 1 мм, 1 см, 1 дм, 1м, 1 км или другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т.е. выразить его длину некоторым положительным числом.

Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

• Равные отрезки имеют равные длины.
• Меньший отрезок имеет меньшую длину.
• Когда произвольная точка С делит отрезок АВ на два отрезка, то длина всего отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ.
• Длину отрезка называют также расстояниеммежду его концами.

Международной единицей измерения выбран метр, это отрезок, приближенно равный одной сорока миллионной части земного меридиана. Эталон метра хранится во Франции, а копии хранятся во всех странах, в том числе и в России.

Для измерения очень больших расстояний, например, измерение расстояний между планетами солнечной системы, используют единицу измерения световой год, это путь, который свет проходит в течение одного года.

В старину на Руси использовались другие единицы измерения аршин, локоть, сажень.

Для измерения расстояний пользуются различными инструментами, например, линейка, штангенциркуль, рулетка.

§ 4  Решение задачи по теме урока

Решим задачу.

Отрезок ОD длиной 28 см разделен точкой М на два отрезка. Найдите расстояние между серединами получившихся отрезков ОМ и МD.

Решение:

Расстояние между серединами отрезков ОМ и МD– это расстояние между точками А и В, оно равно сумме отрезков АМ и МВ.

Точка А – середина отрезка ОМ, значит отрезки ОА и АМ равны, точка В – середина отрезка МD, значит отрезки МВ и ВD равны. Отрезок ОD равен сумме отрезков ОА, АМ, МВ, ВD. Так как отрезок ОА равен отрезку АМ, отрезок МВ равен ВD, то длина отрезка ОD равна удвоенной сумме отрезков АМ и МВ, т.е. двум отрезкам АВ.

Следовательно, длину отрезка АВ находим так: 28:2=14 см. Это искомое расстояние между серединами отрезков ОМ и МD.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. — М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения:

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Sravnenie-otrezkov-i-uglov.-Izmerenie-otrezkov.html

Как сравнить длины отрезков: наложение и измерение, объяснение и примеры

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

…

• Вконтакте
• Facebook
• Twitter
• Google+
• Мой мир

Оглавление:

• Способы сравнения двух отрезков
• Измерение длины
• Наложение друг на друга
• Сравнение в координатной сетке
• Примеры

Способы сравнения двух отрезков

В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; АБ.

Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?

Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:

• визуальный способ;
• измерительный;
• сравнение наложением;
• сравнение в координатной сетке.

Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

Измерение длины

Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

Наложение друг на друга

Как происходит совмещение АБ и ВГ:

• Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков — Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
• Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или √ 73, значит, Da > Db.
• Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

Примеры

Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка — АБ и ВГ.
Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.
Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ< ВГ, а если при наложении оба конца отрезков совмещаются — значит, они равны. Теперь рассмотрим сравнение отрезков путем измерения. При помощи линейки вычисляем длину каждого отрезка. Например, длина AB = 2 см, а CD = 8 см. 8>2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.

Источник: https://obrazovanie.guru/nauka/matematika/kak-sravnit-dva-otrezka-sposoby-i-primery.html

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная | Математика (геометрия)

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

A B C

1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

a b c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку.

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

a

B A

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

Точка разделяет прямую на две части — два луча

A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

a

B A

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину. Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

B A

B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками.

✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

B A

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т.д.

Источник: http://shpargalkablog.ru/2015/11/point-line-straight-ray-segment.html

Урок 3 Получить доступ за 50 баллов Отрезок. Длина отрезка

• Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.
• Длина в геометрии — это величина, которая характеризует протяженность.
• Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка.
• Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.
• Существует несколько способов сравнения отрезков.

1. Приблизительный способ сравнения.

Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.

Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР

Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР

2. Совмещение отрезков — более точный способ сравнения отрезков.

1. Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.
2. По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.
3. Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).

Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).

Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ

Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.

Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.

• Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.
• Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.
• Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.

3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.

Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.

В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.

Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.

Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.

1. Если ножки циркуля совпадают с концами сравниваемого отрезка, то отрезки считаются равными.
2. Если отрезок выходит за пределы расставленных ножек циркуля, то он больше исходного отрезка.
3. Если же отрезок находится между концами измерителя, то сравниваемый отрезок меньше исходного.

1. Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.
2. В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.
3. Пример:
4. Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG

• Сравним эти отрезки с помощью циркуля.
• Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.
• Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.
• Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).
• Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.

Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).

Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.

4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.

1. Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.
2. Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.
3. Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.

• Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.
• Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.
• Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.
• Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.
• Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.
• Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.
• Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.
• Рассмотрим пример:
• На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.

1. Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.
2. Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.
3. Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.
4. Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.
5. Периметр многоугольника — это сумма длин всех сторон.
6. Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р
7. Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):
8. РАВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.
9. Существует огромное множество различных видов многоугольников.
10. Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.
11. Например: пятиугольник имеет 5 углов и 5 сторон, шестиугольник — 6 углов и 6 сторон.
12. Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.
13. Треугольник — плоская геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.
14. Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.
15. Рассмотрим пример:

• На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).
• А, В, С — вершины треугольника АBC.
• Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.
• Периметр треугольника-  это сумма длин трех его сторон.
• Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):
• РАВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.

Источник: https://ladle.ru/education/matematika/5class/otrezok-dlina