Напоминание:
Основные определения:
- Здесь a – основание степени,
- n – показатель степени,
- – n-ая степень числа.
- Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
- Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:
- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
- На этом уроке будет рассмотрена следующая теорема.
- Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
Вывод: частные случаи подтвердили правильность формулы . Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.
По определению степени:
Применим теорему 1:
- Итак, мы доказали: , где а – любое число, n и k – любые натуральные числа.
- Другими словами, чтобы возвести степень в степень показатели нужно перемножить, а основание оставить неизменным.
- Пример 1: Упростить.
- Для решения следующих примеров воспользуемся свойством .
- Комментарий к примеру 1.
- Мы написали, что , но в то же время
, так как 
. - Аналогично, .
- В качестве основания может быть любое допустимое алгебраическое выражение:
- Пример 2:Упростить.
- а)
- б)
- Пример 3: Вычислить.
- а)
- б)
- в)
- г). Комментарий:
- д). Комментарий:
- е). Комментарий:
- Пример 4: Упростить.
- Для решения следующих примеров будем пользоваться теоремами 1, 2, 3.
- а)
- б)
- в)
- г)
- д) или быстрее
- е) =
- Пример 5: Вычислить:
- а)=
- Список литературы
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
- Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Mirurokov.ru (Источник).
- Школьный помощник (Источник).
- Интернет-портал Testent.ru (Источник).
- Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Домашнее задание
- Упростить:а) б) в)
- Вычислить:а) б) ; в)
- Упростить:а) б) в) г)
- Вычислить:а) б)
Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/7-klass/stepen-s-naturalnym-pokazatelem-i-eyo-svojstva/vozvedenie-stepeni-v-stepen-formula-a-sup-n-sup-sup-k-sup-a-sup-nk-sup
Лучшие шпаргалки по математике. Качественно. Ничего лишнего
Просто кликните по картинке. Подробно — в разделе «Решение задач ЕГЭ по математике».
Самое популярное. Тригонометрия и площади фигур
Тригонометрический круг
Синус, косинус, тангенс…
Формулы тригонометрии
Геометрия. Площади фигур
Геометрия на ЕГЭ по математике. Треугольники, четырехугольники, окружности
- Высоты, медианы, биссектрисы
- Параллелограмм, ромб, квадрат и их свойства
- Касательная к окружности
- Центральные и вписанные углы
Стереометрия: формулы объема и площади поверхности
- Вписанные и описанные треугольники
- Вписанные и описанные четырехугольники
- Стереометрия: Формулы объема и площади поверхности.
- Чертежи в задачах по стереометрии
Классическая стереометрия и метод координат
Основы стереометрии. Часть 1.
Основы стереометрии. Часть 2.
Стереометрия: Векторы и координаты.
Как расположить прямоугольную систему координат
Алгебра
Таблица производных.
Преобразования графиков функций. Задача С5.
Этот курс заменяет полгода занятий с репетитором. Он включает в себя всю часть «B» и задачу «C1». Просто, понятно и доступно. Автор — репетитор-профессионал Анна Георгиевна Малкова.
Данного видеокурса достаточно для того, чтобы сдать ЕГЭ на «5».
Внимание! Тотальная распродажа! Именно сейчас вы можете получить все 5 дисков видеокурса по минимальной цене 5000 2500 рублей. Количество комплектов ограничено. Не опоздайте!
Заказать
Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/shpargalki/
Формулы сокращенного умножения:сумма степеней и разность степеней
| Справочник по математике | Алгебра | Формулы сокращенного умножения |
Формулы сокращенного умножения включают в себя следующие группы формул:
Группа формул «Сумма нечетных степеней» приведена в Таблице 3.
Таблица 3. – Сумма нечетных степеней
| Название формулы | Формула |
| Сумма кубов | x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2) |
| Сумма пятыхстепеней | x5 + y5 = (x + y) (x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4) |
| Сумма седьмыхстепеней | x7 + y7 = (x + y) (x6 – x5y + x4y2 – x3y3 + x2y4 – xy5 + y6) |
| … | … |
| Сумма степенейпорядка 2n + 1 | x2n + 1 + y2n + 1 = (x + y) (x2n – x2n – 1y + x2n – 2 y2 – …– xy2n – 1 + y2n) |
| Сумма кубовx3 + y3 == (x + y) (x2 – xy + y2) | |
| Сумма пятых степенейx5 + y5 == (x + y) (x4 – x3y ++ x2y2 – xy3 + y4) | |
| Сумма седьмых степенейx7 + y7 == (x + y) (x6 – x5y ++ x4y2 – x3y3 ++ x2y4 – xy5 + y6) | |
| … | |
Сумма степеней порядка 2n + 1
|
Разность нечетных степеней
Если в формулах из Таблицы 3 заменить y на – y , то мы получим группу формул «Разность нечетных степеней» (Таблица 4.):
Таблица 4. – Разность нечетных степеней
| Название формулы | Формула |
| Разность кубов | x3– y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) |
| Разность пятыхстепеней | x5– y5 = (x – y) (x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4) |
| Разность седьмыхстепеней | x7– y7 = (x – y) (x6 + x5y + x4y2 + x3y3 + x2y4 + xy5 + y6) |
| … | … |
| Разность степенейпорядка 2n + 1 | x2n + 1– y2n + 1 = (x – y) (x2n + x2n – 1y + x2n – 2 y2 + …+ xy2n – 1 + y2n) |
| Разность кубовx3– y3 == (x – y) (x2 + xy + y2) | |
| Разность пятых степенейx5– y5 == (x – y) (x4 + x3y ++ x2y2 + xy3 + y4) | |
| Разность седьмыхстепенейx7– y7 == (x – y) (x6 + x5y ++ x4y2 + x3y3 ++ x2y4 + xy5 + y6) | |
| … | |
Разность степеней порядка 2n + 1
|
Разность четных степеней
Группа формул «Разность четных степеней» приведена в Таблице 5.
Таблица 5. – Разность четных степеней
| Название формулы | Формула | |
| Разность квадратов | x2– y2 = (x + y) (x – y) | |
| Разность четвертыхстепеней |
|
|
| Разность шестыхстепеней |
|
|
| Разность восьмыхстепеней |
|
|
| … | … | |
| Разность степенейпорядка 2n | x2n– y2n = (x + y) (x2n – 1 – x2n – 2 y + x2n – 3 y2 – …+ xy2n – 2 – y2n – 1) , x2n– y2n = (x – y) (x2n – 1 + x2n – 2 y + x2n – 3 y2 + …+ xy2n – 2 + y2n – 1) |
| Разность квадратовx2– y2 = (x + y) (x – y) | |||
Разность четвертых степеней
|
|||
Разность шестых степеней
|
|||
Разность восьмых степеней
|
|||
| … | |||
Разность степеней порядка 2n
|
- Замечание. Оба разложения на множители двучлена:
- x2n– y2n ,
- приведенные в последней строке Таблицы 5, можно продолжить и далее, по аналогии с тем, как это сделано в других строках таблицы.
- Другие формулы сокращенного умножения можно посмотреть в разделе «Формулы сокращенного умножения: степень суммы, степень разности» нашего справочника.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/brief2.htm
Formula Student
Formula Student
Основание
1998
Расположение
Великобритания: Сильверстоун, Нортгемптоншир
Ключевые фигуры
Рос Браун, Дрэйсон Кенсингтон
Сайт
www.formulastudent.imeche.org
Formula Student — ежегодное студенческое соревнование, этапы которого проходят во многих странах Европы. Команды со всего мира проектируют, строят, тестируют и соревнуются на гоночных машинах класса Формула. В Формуле Студент используется правила Формулы SAE, однако с небольшими дополнениями.
Определение классов
На данный момент в Формуле Студент существует 2 класса гоночных болидов, однако до 2012 года их было 4. Перед участием в соревнованиях каждый болид проходит определяющую классификацию.
Очного соревнования (гонки) машин не происходит. Машины оцениваются в различных статических и динамических дисциплинах, включая:
- проектирование автомобиля;
- отчет о стоимости;
- бизнес-план;
- разгон;
- испытание на выносливость;
- экономию топлива;
Класс 1
Данный класс похож на болиды для соревнований типа SAE и имеет схожие с ним критерии.
Команда должна предоставить гоночный автомобиль, спроектированный и изготовленный студентами исключительно для соревнований подобного вида, а также показать на гонке и на других динамических испытаниях, что автомобиль в рабочем состоянии.
Командам запрещено выставлять прошлогодние автомобили. Это было разрешено только в классе 1А.
Класс 1А (до 2012 года)
В этом классе выступали автомобили с альтернативным топливом, так как уделялось особое внимание влиянию гоночных машин на окружающую среду. Плюсом класса 1А была возможность использования прошлогоднего болида, что позволяло команде сосредотачиваться на других частях соревнования, а не на проектировании новых элементов авто.
Машины 1А класса оценивались по таким же критериям как и класс 1, однако вместо отчета о стоимости, команда предоставляла анализ автомобиля в гонке на выносливость, а также уделялось внимание к измерению размеров. Команды класса 1А соревновались и получали баллы независимо от класса 1.
Но, начиная с 2012 года, автомобили с нефтяным и альтернативным топливом соревнуются вместе, в классе 1.
Класс 2
В этом классе соревнуются команды, у которых есть только проект автомобиля класса 1. Также они могут представить часть выполненной работы по автомобилю, но это не считается обязательным. Очки они получают только за статические дисциплины.
Университеты могут подать заявки сразу в два класса (класс 1 и класс 2), как правило представителями второго класса являются недавно пришедшие в команду студенты, которые получают навыки и опыт, необходимые для поступления и работы в классе 1.
Класс 2А (до 2012 года)
В данном классе принимали участие команды, задача которых была схожа с задачей класса 2: спроектировать автомобиль класса 1А, подготовить презентацию проекта, отчет о стоимости автомобиля и бизнес-план.
Как и в классе 2, постройка болида или отдельных деталей необязательна.
Университеты могли подавать заявки сразу в два класса (класс 1А и класс 2А), что позволяло неопытным студентам приобрести навыки и практику для предстоящей работы в классе 1А.
Оценивание
Автомобили оцениваются ведущими специалистами по следующим критериям:
Статические испытания
- Инженерное проектирование (150 баллов);
- Стоимость и Анализ автомобиля (100 баллов);
- Презентация бизнес-плана (75 баллов);
- Техническая инспекция включает в себя 6 тестов: безопасность, шасси, шум, устойчивость, торможение и скутениринг (без баллов);
Динамические испытания
- Тест на маневренность (восьмерка) (50баллов);
- 1 км Автокросс/Спринт (150 баллов);
- 75 м ускорение (75 баллов);
- 22 км испытание на выносливость (300 баллов) и экономия топлива (100 баллов);
Победителем соревнования становится команда с наибольшим количеством баллов. Максимально возможное количество 1000 баллов.
Место проведения
Первые соревнования прошли на испытательном полигоне Motor Industry Research Association (MIRA). Далее с 1999 по 2001 гонки проводились в национальном выставочном центре Бирмингема. В 2002-2006 гг.
хозяином соревнования стала картинговая трасса Брантингтхорп. В 2007 году соревнование переехало в Сильверстоун: еще долгое время динамические испытания проводились на поворотах Бруклэндс и Лаффилд.
Только в 2012 году для этого начали использовать поворот Коупс и пит-стрейт.
На сегодняшний день, этапы соревнований проходят на гоночных трассах многих стран, таких как Хоккенхаймринг в Германии, ТТ Circuit в Нидерландах и т.п.
Ссылки
- Formula Student
Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/Formula_Student
Студенческие инженерные соревнования — Formula Student — проектирование гоночного болида РУДН
«Formula SAE» (Formula Student) – это студенческие инженерные соревнования, организованные сообществом автомобильных инженеров (SAE – Society of automotive engineers), в которых группа студентов из одного вуза должна спроектировать и изготовить гоночный автомобиль.
Это первый подобный проект РУДН! Идея участия принадлежит студентам кафедры «Эксплуатации автотранспортных средств» инженерного факультета РУДН и благодаря поддержке руководства университета появилась команда FS-RUDN!
Команда FS-RUDN состоит из амбициозных и целеустремленных инженеров, готовых решать сложные технические задачи. Работа над созданием первого гоночного болида перешла в завершающую стадию и в скором будущем вы можете увидеть плоды нашего коллективного труда!
Команда поделена на отделы, каждый из которых отвечает за ход выполнения поставленных на ближайшее время тех или иных задач. Ребята регулярно проводят собрания, где отделы предоставляют информацию о выполненной работе и о своих планах на следующий отрезок времени.
В настоящее время это один из самых перспективных инженерных проектов, благодаря которому многие участники смогут в дальнейшем реализовать свои амбиции в крупнейших автомобильных компаниях, таких как: BMW, Audi, Mercedes, Ferrari и др.
Сейчас в соревнованиях участвует более 500 университетов из 40 стран со всего мира и число участников увеличивается с каждым годом!
Соревнования проходят во многих странах мира: США, Великобритания, Германия, Италия, Австралия, Бразилия, Индия, Япония, Южная Африка и другие.
Сегодня это своеобразный инженерный чемпионат мира среди студентов!»
Конструкция автомобилей определена регламентом SAE. В регламенте ограничиваются только те аспекты, которые непосредственно влияют на безопасность пилота и окружающих, организаторы с особым вниманием относятся к этому моменту. Хотя, надо сказать, командам предоставлена достаточно большая степень свободы в разработке и проектировании болида.
Болид класса Формула SAE представляет собой небольшой гоночный автомобиль, имеющий четыре открытых колеса с приводом на заднюю ось и не находящихся на одной линии. Такая схема компоновки подобна той, что используется на соревнованиях Формула 1.
Большая часть требований относится к несущей системе автомобиля. Команда FS-RUDN использует стандартный вариант — пространственную трубчатую раму из стальных труб. Однако, можно использовать и трубы из алюминиевых, магниевых, титановых сплавов или же изготовлять монокок из углеволокна.
Особых требований к конструкции подвески в регламенте нет, команда использует общепринятую конструкцию с двумя А-образными рычагами и толкающей штангой. При такой конструкции с небольшим ходом подвески (по регламенту как минимум 25 мм на сжатие и 25 мм на отбой при наличии водителя в автомобиле) и малой массе (до 350 кг) можно добиться очень хорошей кинематики.
В качестве силовой установки на болиде установлен четырехтактный поршневой ДВС объемом 610 мл. По условиям регламента команды обязаны были установить ограничительную шайбу (рестриктер) на впуске, через которую должен проходить весь воздух получаемый двигателем.
На двигатель разрешается так же установка нагнетателей любого типа: механических или турбин – единственное требование, чтобы они были разработаны исключительно студентами и были установлены после ограничительной шайбы. На данный момент это является перспективной разработкой команды, которая в этом году пока не будет реализована.
Трансмиссия нашего болида – это мотоциклетная коробка передач. Для того, чтобы сократить время переключения передач и вообще максимально ликвидировать потребность задействования сцепления, команда FS-RUDN рассчитывала и установила электронный переключатель передач.
Зачастую, студенты используют технологии аналогичные технологиям Формулы-1: консольно закрепленные гибкие рычаги подвески из углеволокна, полуоси, кулаки и колесные диски из углеволокна, массой всего по 1,5 кг, и даже карбо-керамические тормоза. Используют и множество электронных систем: противобуксовочную, противоблокировочную, аналоги систем курсовой устойчивости, системы детальной телеметрии, динамически регулируемые амортизаторы.
Средняя масса автомобилей европейских команд от 180 до 220 кг. Сейчас такие цифры стали труднодостижимы из-за изменений в регламенте, повысивших требования к безопасности болидов. Поэтому, исходя из последних расчётов, масса болида команды FS-RUDN не превысит 350 кг.
Хотя команда FS-RUDN, и является новичком, они активно перенимают опыт более опытных товарищей из России и других стран, поэтому болид получится максимально сбалансированным и гармоничным.
Источник: https://vmasshtabe.ru/novosti/studencheskie-inzhenernyie-sorevnovaniya-formula-student-proektirovanie-gonochnogo-bolida-rudn.html
Формула 1 по-студенчески
Департамент:
Инженерная академия
Ты фанат Формулы 1 и любишь смотреть гонки по телевизору? Знаешь, как собрать и разобрать двигатель, а твои руки постоянно черные от масла? Студенты РУДН тоже любят это делать. В Европе. На трассе.
РУДН участвует в международных инженерных соревнованиях «Формула Студент», которые представляют собой студенческую версию знаменитого чемпионата мира.
Гонки проводятся на трассах Ф1, по которым гоняют профессиональные пилоты.
Они заключаются в том, что в любом университете, независимо от направления, собирается группа энтузиастов, которые самостоятельно проектируют гоночный автомобиль, сами его собирают и едут соревноваться.
Идея участия РУДН в этом автомобильном конкурсе пришла от студентов Инженерного академии.
Руководство университета эту идею одобрило и помогло её реализовать — студентам предоставили площадку для сборки автомобиля, оборудование, материалы, информационную и финансовую поддержку.
В 2011 году у университета появилась своя команда — FS RUDN.
Проект стал площадкой, где студенты, которые интересуются машинами и хотят развивать свои умения в области автомобилестроения, реализовывают свои идеи на практике.
По конструкции болида есть ограничения и регламент, но в чем-то предоставляется свобода творчества. В устройстве авто есть запатентованные детали, которые ребята придумали и сделали сами, внешний вид машин — тоже идеи команды.
Более того, они не просто собирают машину, но и составляют полную техническую документацию для ее серийного производства.
Чтобы победить в студенческих гонках, команда проходит тестирование по статическим и динамическим аспектам, к которым относятся удачность конструкции, технические решения, стоимость получившейся машины, ее безопасность, как она едет и насколько надежна.
Проходят также гонки в формате Timeattack (кто покажет лучшее время, тот и победил) и соревнования на выносливость — чья машина проедет больше кругов и не сломается. За этим наблюдают судьи — представители международных автомобильных заводов и компаний.
Проект поддерживают такие гиганты как BOSCH, VW, AUDI, BMW, Mahle, Brunel, DEKRA, Continental, Eaton, GKN, SolidWorks и многие другие.
Участник команды из Сент Винсента и Гренадин Хорн Ламач отмечает: «Это самая настоящая мини-Формула 1! И как и там, здесь команды соревнуются не только в скорости, но и в инженерном искусстве.
Нужно учесть требования по сбору машины — двигатель, электроника, даже вес авто регулируется. Также необходимо найти дополнительные ресурсы или самим их создать.
Самое главное — сделать все это в очень сжатые сроки, поэтому приходится грамотно распределять свое время. Наверно, это самая стимулирующая и интересная задача».
Соревнования проходят в разных уголках мира — в Европе, США, Южной Африке, Японии, Бразилии. В Европе они проводятся с 1978 г. В 2014 г.
команде РУДН удалось за один сезон поучаствовать в четырех этапах — в России, Чехии, Венгрии и Испании.
Чтобы успеть на все соревнования, команда пересекала границы 12 государств — ребятам удалось объехать половину Европы на фургоне, в который был загружен болид, палатки, оборудование, инструменты и еда.
Автоспорт требует большой отдачи. Во время гонок практически нет свободного времени — нужно дорабатывать болид, устранять неисправности, и, конечно, готовить себе еду, поддерживать чистоту вокруг палаток. Поспать 4-5 часов в сутки — настоящая роскошь. Но, конечно, и без веселья не обходится. Так вспоминает соревнования участник команды РУДН:
«Это все было как один большой праздник. Мы катались по Европе, ели итальянскую пасту, французские бургеры, немецкие сосиски…. В перерыве между гонками я 10 дней провел на море. Увидел Саграду Фамилию, наконец. Привез домой столько фотографий — все поверить не могли, что это я со студенческих гонок вернулся.
На самих соревнованиях мы все жили прямо в эпицентре событий — в палатках рядом с трассой. Общались с ребятами из других команд. Команды в большинстве европейские, ехать им было на этап недалеко — поэтому приезжали они мягко сказать не с пустыми руками, а, например, с шашлыками, мангалом и ящиками пива.
И с огромными колонками — музыка на весь палаточный лагерь…»
РУДНовская команда уже завоевала множество наград и призов. Их рабочий стол украшают кубки из Италии, Венгрии, Чехии…
Они получили грамоту за лучший технический проект на II Международном Форуме Инженерных Проектов Формула SAE, диплом за активное участие в Международной конференции «Формула студент в России».
Такие соревнования — хороший старт для тех, кто хочет строить карьеру в автомобильном бизнесе — бывших участников проекта можно встретить даже в топ командах Формулы 1.
Для студента из Ливана Шаабо Иссы этот проект стал особенным:
«Давно хотел этим заниматься — строить автомобили, которые не просто могут ездить, но и участвовать в больших мероприятиях и выигрывать кубки. Это была моя мечта, и я очень рад, что нашел такую команду. Самое крутое в этом деле то, что мы узнаем, как собрать машину с нуля, как устранить какие-то ошибки. Иногда даже такие, о которых и опытный человек не знает».
Если ты тоже хочешь посидеть за рулем болида и посмотреть на мир в компании таких же, как ты — автомобильных фанатов, тебе осталось сделать только один шаг — ведь в РУДН это реально!
Источник: http://www.rudn.ru/science/students-and-research/12318
Загрузка...
