Натуральный логарифм и число е — студенческий портал

Перевод большой статьи «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные.

Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки.

Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей.

Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д.

Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Натуральный логарифм и число е - Студенческий портал

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

  • рост = 2x
  • Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:
  • рост = (1+100%)x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

  1. Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:
  2. рост = (1+прирост)x
  3. Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Натуральный логарифм и число е - Студенческий портал

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.

Продолжение

Источник: https://zero2hero.org/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-pros

Интернет-лицей ТПУ

Десятичные логарифмыСреди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число a=10. Логарифмы по такому основанию называются десятичными и имеют специальное обозначение: log10x=lgx .

Особое положение десятичных логарифмов связано с использованием десятичной системы счисления. Если мы запишем положительное число x в стандартной форме, т. е.

в виде (x = {x_0} cdot {10^k},) где (1 leqslant x leqslant 10,) то получим, что:

(lg x = lg {x_0} + lg {10^k} = lg {x_0} + k.)

Но (lg {x_0},) если ({x_0}) лежит в указанном интервале, является положительным числом, меньшим 1. Это означает, что мы представили (lg x) как сумму целого числа и положительной дроби, меньшей единицы, т. е.

 k – это целая часть десятичного логарифма числа x. По десятичной записи числа x мы сразу можем приблизительно определить его десятичный логарифм.

В частности, десятичный логарифм целого числа, записанного k десятичными знаками, лежит в пределах от (k — 1) до (k).

Натуральные логарифмы, число e

Есть одно основание, которое в расчетах используется не реже, чем число 10. Это знаменитое число e, введенное Эйлером. Это число не является рациональным, лежит между 2 и 3, и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .

Натуральный логарифм и число е - Студенческий портал

Логарифмы по этому основанию называются натуральными и обозначаются с помощью знака

(ln :lo{g_e}x = ln x.)

С помощью степени с произвольным действительным показателем мы определим показательную функцию (y = {a^x}.) Показательная функция при (a > 1) растет очень быстро, быстрее любой степени.

Можно определить скорость роста этой функции аналогично тому, как в физике, исходя из функции, задающей положение y точки в момент времени x, определяют ее мгновенную скорость.

Оказывается, что показательная функция растет так быстро, что скорость ее роста пропорциональна значению самой этой функции. Этот коэффициент зависит от а и участвует во многих расчетах.

Число e – это такое число, что скорость роста показательной функции с основанием e просто равна значению этой функции, т. е. коэффициент пропорциональности, о котором шла речь выше, равен единице, что, конечно, сильно облегчает расчеты.Связь между десятичными и натуральными логарифмами осуществляется с помощью модуля перехода k:

  • (ln x = frac{{lg x}}{{lg e}} = k cdot lg x,)
  • где (lg e approx 0,434,)
  • (k = frac{1}{{lg e}} = ln 10 approx 2,303.)

Время на изучение: 15 минут

Источник: https://il.tpu.ru/obuchenie-article?key=a0c23890f8a09898f46fcc52a1a5b0b5

Натуральный логарифм числа

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e (математическая константа, приблизительно равная числу 2.718281828459…).

Определение натурального логарифма

Когда e y = x,

Натуральный логарифм (ln) числа x выглядит следующим образом:
ln(x) = loge(x) = y

Связь с экспоненциальной функцией

  • Функция логарифма ln(x) является обратной к экспоненциальной функции ex.
  • Для х > 0,
  • f (f -1(x)) = eln(x) = x
  • или
  • f -1(f (x)) = ln(ex) = x

Свойства натурального логарифма

Свойств Формула Пример
Логарифм умножения ln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Логарифм деления ln(x / y) = ln(x) — ln(y) ln(3 / 7) = ln(3) — ln(7)
Логарифм степени ln(x y) = y ∙ ln(x) ln(28) = 8∙ ln(2)
Логарифм корня Натуральный логарифм и число е - Студенческий портал
Производная логарифма f (x) = ln(x)⇒ f ' (x) = 1 / x
Интеграл логарифма ∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) — 1) + C
Логарифм отрицательного числа ln(x) не определен, если x ≤ 0
Логарифм числа 0 ln(0) не определен
Логарифм числа 1 ln(1) = 0
Логарифм комплексного числа log z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x)),для комплексного числа z = reiθ = x + iy
Логарифм бесконечности lim ln(x) = ∞, если x→∞
Тождество Эйлера ln(-1) = iπ

microexcel.ru

Таблица натуральных логарифмов

x ln x
0 не определен
0+ — ∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0.01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

microexcel.ru

График натурального логарифма

Функция натурального логарифма задается как y = ln x. Существует только при неотрицательных значениях переменной x. График выглядит так:

Источник: https://MicroExcel.ru/naturalny-logarifm/

Число е

С замечательным числом e мы впервые встречаемся, начиная изучать показательную функцию, логарифмы и производные. Поэтому для лучшего понимания мы рекомендуем вам прочитать наши статьи «Показательная функция» и «Геометрический смысл производной».

В статье «Показательная функция» мы говорили о важнейшем свойстве функции — при эта функция очень быстро растет. И не просто «быстро растет» — чем больше x, тем больше скорость ее роста, тем круче идет график. Можно сказать, что с увеличением x растут и значения показательной функции, и ее производная. А если аргументом показательной функции является время, то при такая функция является математическим выражением стремительно развивающегося процесса.

Читайте также:  Борьба народов руси за независимость в xiii веке - студенческий портал

Среди показательных функций есть особенная. Называется она экспонента, ее формула . Особенность ее в том, что в каждой точке скорость роста этой функции равна значению самой функции в этой точке. Другими словами, , то есть производная функции равна ей самой.

Нарисуем несколько графиков функции при , а также при . Среди этих графиков есть такой, что касательная к нему, проведенная в точке , идет ровно под углом к положительному направлению оси OX.

Это и есть график функции . Само число e — иррациональное, то есть выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Приблизительно оно равно 2,718.

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается . Если в уравнении или неравенстве вам встретились такие логарифмы, вы работаете с ними так же, как и с любыми другими, у которых основание больше 1.

Функция также обладает интересным свойством:

Это значит, что с ростом x график логарифмической функции идет более и более полого, скорость роста его уменьшается, что мы и видим.

Формулы для производных функций и содержат в себе выражение :

Число e, как и число , является одной из мировых констант. Так называют числа, которые можно встретить в математических формулах, выражающих фундаментальные законы природы, — в физике, статистике, биологии или экономике.

Число известно людям с глубокой древности. Оно равно отношению длины окружности к ее диаметру.  А вот с числом e (названным так в честь великого математика Леонарда Эйлера) человечество познакомилось намного позже. Впервые его вычислил математик Якоб Бернулли в начале XVIII века, причем сделал это, решая чисто практическую задачу о начислении процентов на банковский вклад.

В заданиях вариантов ЕГЭ вам встречались задачи, где вклад величиной x помещен в банк под p % годовых. Найти нужно было, например, каким станет вклад через два года.

Рассказывая о решении таких задач, мы вывели удобные формулы:
если величину x увеличить на p процентов, получится
если величину x дважды увеличить на p процентов, получим Именно таким станет вклад через два года;
если вклад пролежит в банке n лет, его величина станет равной

Итак, если вклад поместить банк под 10% годовых, он вырастет за год в 1,1 раз, за два года — в 1,21 раза, за десять — примерно в 2,6 раза. Значит, рост вклада зависит от того, сколько он пролежит в банке, то есть сколько раз начисляются проценты.

А что будет через сто лет? А если найти такой банк, где процент начисляется не раз в год, а раз в день? И пусть даже каждый день начисляется совсем небольшой процент, но ведь дней-то много! Верно ли, что можно положить в такой банк один доллар под одну сотую процента в день, а через пару десятков лет забрать из банка миллион?

Давайте так и сформулируем задачу. Пусть банк начисляет каждый день по одной сотой процента.

Во сколько раз вырастет вклад через 10000 дней (это двадцать семь с лишним лет)? Иными словами, чему приближенно равна величина
? И к чему будет стремиться величина , если n стремится к бесконечности?
Вот такую задачу и решал Бернулли.

Если n будет очень большим, или, как говорят математики, бесконечно большим, будет стремиться к бесконечности (то есть больше миллиона, больше миллиарда, больше двух миллиардов. . . ) — то величина  будет, наоборот, очень малой. Можно сказать, что будет стремиться к нулю.

Оказывается, что в этом случае величина  будет стремиться к числу e. Если банк каждый год начисляет по 1%, через 100 лет вклад увеличится примерно в e раз (напомним, что e ≈ 2,718).

Еще большая точность будет достигнута, если каждый день банк начисляет по 0,01 процента. Через 10000 дней вклад увеличится примерно в e раз.

 Итак, если n стремится к бесконечности, то величина стремится к числу e.

Этот неожиданный факт называется вторым замечательным пределом. Вы встретитесь с ним в курсе математического анализа.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/chislo-e/

Что такое натуральный логарифм e, определение, свойства

Для практического применения наиболее удобным основанием логарифмов является число 10.

Но для теоретических исследований наиболее пригодно другое основание, а именно иррациональное число е = 2,718 281 83 (с точностью до восьмого десятичного знака).

Этот поразительный на первый взгляд факт полностью можно разъяснить только в высшей математике; здесь мы покажем лишь, откуда это число появляется.

Оно находится в тесной связи с тем способом вычисления логарифмов, который был объяснен в сущности логарифмического метода.

Когда мы берем за основание число 1 + 1/n, близкое к единице, например, 1,00001 (n = 100000), то для небольших чисел получаются огромные логарифмы, например, число 3 имеет логарифм 109861.

Чтобы этот логарифм был величиной того же порядка, что и самое число 3, его следовало бы уменьшить в n = 100000 раз. Тогда он имел бы величину 1,09861.

Число 3 будет иметь логарифм 1,09861, если за основание взять не

  • 1 + 1/n = 1,00001, Р° (1 + 1/n)n = 1,00001100000
  • Действительно, РјС‹ имеем:
  • 3 = (1,00001)109861 = 1,00001100000.1,09861 = (1,00001100000)1,09861
  • Если РјС‹ вычислим величину 1,00001100 000, то СЃ точностью РґРѕ РІРѕСЃСЊРјРѕРіРѕ десятичного знака найдем;
  • (1 + 1/n)n = 2,71826763 (n = 100000).

Это число уже очень близко к числу е; оно имеет одинаковые с числом е первые пять цифр.

Если бы мы положили в основание не 1,00001, а еще более близкое к 1 число, например 1,000001, т. е.

взяли бы n = 1000000, то, рассуждая так же, как прежде, нашли бы, что еще более удобным основанием будет:

(1 + 1/n)n = 1,0000011000000

Это число с точностью до восьмого знака равно 2,718 280 47. Оно имеет те же первые шесть цифр, что число е, а в седьмой цифре разнится лишь на единицу.

Чем больше взять число n, тем меньше число (1 + 1/n)n будет отличаться от числа е. �наче говоря, число е есть предел, к которому стремится (1 + 1/n)n при неограниченном возрастании n.

Это и есть определение числа е.

Мы видели, что основание 1 + 1/n а значит, и (1 + 1/n)n, тем точнее позволяет вычислить логарифмы всевозможных чисел, чем больше число n.

Естественно ожидать, что наиболее удобным для той же цели будет предел, к которому стремится (1 + 1/n)n при неограниченном возрастании n, т. е. число е.

Так и есть в действительности. Вычисление логарифмов по основанию е совершается быстрее, чем по всякому другому основанию.

Способы этого вычисления излагаются в высшей математике.

Самое число е можно выразить десятичной дробью с любой степенью точности; в таблицах можно найти такие приближенные значения е , которые по своей точности превосходят любые практически возможные требования. С полной же точностью число е ни десятичной, ни другой рациональной дробью представить невозможно. Более того, число е не только иррационально, но и трансцендентно (см. �ррациональные числа).

Логарифмы, взятые по основанию е, называются натуральными логарифмами. Часто их называют (исторически неправильно) неперовыми*.

Обозначение. Вместо logex принято писать 1nX (знак ln есть сокращение слов «логарифм натуральный»).

Пример. ln 3 = 1,09861.

Чтобы, РїРѕ известному десятичному логарифму числа N найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа N РЅР° десятичный логарифм числа Рµ (последний равен 0,43429…):

ln N = lgN/lge ≈ lgN/0.43429 ≈ 2.30259 LgN

Величина lg е =0,43429 называется модулем десятичных логарифмов и обозначается через М, так что

ln N = 1/M * lg N **

Пример. Нам известно, что lg 2 = 0,30103. Отсюда

  1. ln2 = 1/M * 0,30103 = 0,69315.
  2. Чтобы по известному натуральному логарифму числа N найти его десятичный логарифм, нужно помножить натуральный логарифм на модуль десятичных логарифмов М = lg е:
  3. lg N = lg Рµ ln N = M ln N ≈ 0,43429 In N.

Пример. ln 3 = 1,09861. Отсюда lg 3 = M * 1,09861 = 0,47712.

* Основанием, которым фактически пользовался Непер, было число 1 — 0,000 0001. Если Р±С‹ РјС‹ захотели РІСЃРµ логарифмы таблицы Непера уменьшить РІ 10 000 000= 107 раз {СЃСЂ.

пример, разобранный выше), то Р·Р° основание должны были Р±С‹ взять число (1 — 1/ k)k, РіРґРµ k = 107, которое можно было Р±С‹ условно назвать основанием таблицы Непера.

Но это число отнюдь не равно числу е (оно очень мало отличается от числа 1/e).

  • Данные здесь правила перехода РѕС‚ натуральных логарифмов Рє десятичным Рё обратно представляют СЃРѕР±РѕР№ частные случаи общих формул logaN = logbN * logab; logaN = logbN/logba, позволяющих перейти РѕС‚ логарифма числа N РїРѕ основанию b Рє логарифму того же числа РїРѕ основанию Р°. Вторая формула РїСЂРё N = b даст
  • logab = 1/logba

Источник: http://www.maths.yfa1.ru/algebra.php?id=64

Натуральный логарифм — это… Что такое Натуральный логарифм?

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x), loge(x) или иногда просто log(x), если основание e подразумевается.[1]

Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x)) — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Например, ln(7,389…

) равен 2, потому что e2=7,389….

Натуральный логарифм самого числа e (ln(e)) равен 1, потому что e1 = e, а натуральный логарифм 1 (ln(1)) равен 0, поскольку e0 = 1.

Читайте также:  Внутреннее строение бактерий - энергетический обмен и общая характеристика

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a.

Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный».

Это определение можно расширить на комплексные числа, о чём будет сказано ниже.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции:

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e, но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма.

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности.

Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году[2], хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.[3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом,[4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

Конвенции об обозначениях

Русская (и советская в целом) система

  • Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x)», логарифм по основанию 10 — через «lg(x)», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
  • Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x)» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
  • Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln2 ln3 4x5 = [ln([ln(4x5)]3)]2.

Англо-американская система

  1. Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x)», либо «ln(x)» , а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10(x)».

  2. Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x)» (или изредка «loge(x)»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x)» у них означает log10(x).

  3. В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log(x)» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2(x)» (хотя часто вместо этого пишется просто lg(x)).

Техника

В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.

В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln, тогда как log служит для обозначения логарифма по основанию 10.

Происхождение термина натуральный логарифм

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым.

Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей.

[5] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60.[6][7][8]

loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:[9]

Если основание b равно e, то производная равна просто 1/x, а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.[10]

Определение

ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.

Формально ln(a) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a, т. е. как интеграл:

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.

Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что .

Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.

Свойства

(комплексный логарифм)

Производная, ряд Тейлора

Полиномы Тейлор дают точную аппроксимацию для только в диапазоне -1 < x ≤ 1. Заметим, что для x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени дают аппроксимацию хуже.

Производная натурального логарифма равна

На основании этого можно выполнить разложение в ряд Тейлора около 0, называемого иногда рядом Меркатора:

Справа дано изображение и некоторых её полиномов Тейлора около 0. Эти аппроксимации сходятся к функции только в области -1 < x ≤ 1, а за её пределами полиномы Тейлора высших степеней дают аппроксимацию менее точную.

Подставляя x-1 для x, получим альтернативную форму для ln(x), а именно:

[11]

С помощью преобразования Эйлера ряда Меркатор можно получить следующее выражение, которое справедливо для любого х больше 1 по абсолютной величине:

Этот ряд похож на формулу Бэйли—Боруэйна—Плаффа.

Также заметим, что — это её собственная инверная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение .

Натуральный логарифм в интегрировании

Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f '(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:

В другом виде:

и

Ниже дан пример для g(x) = tan(x):

Пусть f(x) = cos(x) и f'(x)= — sin(x):

где C — произвольная константа.

Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:

Численное значение

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:[12][13]

где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.

) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции.

(Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

Комплексные логарифмы

Основная статья: Комплексный логарифм

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида ex для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x.

Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого ex = 0, и оказывается, что e2πi = 1 = e0.

Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то ez = ez+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi.

Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д.

, и хотя i4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

  • Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)
  • Суперпозиция трёх предыдущих графиков

Читайте также:  Геологическое строение и рельеф африки - студенческий портал

См. также

Примечания

  1. Mathematics for physical chemistry. — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5, Extract of page 9
  2. J J O'Connor and E F Robertson The number e. The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
  3. Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed. — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
  4. Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
  5. Boyers Carl A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 1968.
  6. Harris, John (1987). «Australian Aboriginal and Islander mathematics» (PDF). Australian Aboriginal Studies 2: 29–37.
  7. Large, J.J. (1902). «The vigesimal system of enumeration». Journal of the Polynesian Society 11 (4): 260–261.
  8. Cajori first=Florian (1922). «Sexagesimal fractions among the Babylonians». American Mathematical Monthly 29 (1): 8–10. DOI:10.2307/2972914.
  9. Larson Ron Calculus: An Applied Approach. — 8th. — Cengage Learning, 2007. — P. 331. — ISBN 0-618-95825-8
  10. Ballew, Pat Math Words, and Some Other Words, of Interest. Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
  11. «Logarithmic Expansions» at Math2.org
  12. (1982) «Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)». Journal of Information Processing 5 (4): 247–250. Проверено 30 March 2011.
  13. (1999) «Fast computations of the exponential function» 1564: 302–312. DOI:10.1007/3-540-49116-3_28.
  • Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1056716

Натуральный логарифм — Natural logarithm

График натурального логарифма функции. Функция медленно возрастает до положительной бесконечности , как х возрастает и медленно идет к отрицательной бесконечности при х стремится к 0 ( «медленно» , по сравнению с любым степенным законом от х ); у Оу является асимптотой .

Натуральный логарифм ряда является его логарифмом к основанию в математических постоянная е , где е является нерациональным и трансцендентные числом , приблизительно равного 7000271828182845899 ♠2.718 281 828 459 . Натуральный логарифм х , как правило , записывается в виде Ln х , войти е х , а иногда, если базовый адрес неявно, просто войти х . Скобки иногда добавляют для ясности, что дает Ln ( х ), войти е ( х ) или войти ( х ). Это делается , в частности , когда аргумент логарифма не один символ, чтобы предотвратить двусмысленность.

Натуральный логарифм х есть сила , к которой е должен был бы быть поднят на равное х . Например, п (7.5) 2,0149 …, потому что е 2.0149 … = 7,5 . Натуральный логарифм е сам, п ( е ), равен 1, так как е 1 = е , в то время как натуральный логарифм 1, п (1), равен 0, так как е 0 = 1 .

Натуральный логарифм может быть определен для любого положительного вещественного числа а как площадь под кривой у = 1 / х от 1 до (область принимается как отрицательные , когда 0{ Displaystyle е ^ { х} пер = х qquad { текст {если}} х> 0}
пер⁡(еИкс)знак равноИкс,{ Displaystyle п (е ^ {х}) = х.}

Как и все логарифмы, натуральный логарифм отображает умножение в дополнение:

пер⁡(ИксY)знак равнопер⁡Икс+пер⁡Y,{ Displaystyle п (х) = пер й + у пер.}

Таким образом, функция логарифма является изоморфизмом групп из положительных действительных чисел относительно умножения на группу действительных чисел по сложению, представленных в виде функции :

пер:р+→р,{ Displaystyle пер двоеточие mathbb {R} ^ {+} в mathbb {R}.}

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, кроме 1, а не только е . Тем не менее, логарифмы в других базах отличаются лишь постоянным множителем от натурального логарифма, и, как правило , определены в терминах последнего. Например, двоичный логарифм натуральный логарифм делится на Ln (2), натуральный логарифм 2 .

Логарифмы полезны для решения уравнений , в которых неизвестный появляются как показатель некоторой другой величины. Например, логарифмы используются для решения для периода полураспада , распад постоянная, или неизвестного времени в экспоненциальном затухании проблем.

Они играют важную роль во многих областях математики и естественных наук и используются в области финансов для решения проблем , связанных с сложных процентов .

По теореме Линдемана-Вейерштрасса , натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа , отличного от 1 является трансцендентным числом .

история

Понятие натурального логарифма был разработан Грегуар де Сент-Винсент и Альфонса Антонио де Sarasa , прежде чем 1649. Их работа , связанная квадратуре из гиперболы ху = 1 по определению области гиперболических секторов . Их решение генерируется необходимыми «гиперболические логарифмы» функция , обладающие свойствами , в настоящее время , связанные с натуральным логарифмом.

Раннее упоминание натурального логарифма был от Николая Меркатора в своей работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году, хотя учитель математики Джон Speidell уже в 1619 году составил таблицу , что на самом деле были эффективно натуральные логарифмы.

условные обозначения

Обозначения «перли й » и «Журнал е х » оба относятся однозначно к натуральному логарифму х .
«Журнал х » без явного основания может также относиться к натуральному логарифму.

Это использование часто встречается в математике и некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования .

В некоторых других контекстах, однако, «Log х » может быть использовано для обозначения общего (основание 10) логарифма .

Исторически сложилось так , что обозначения « л. » И « л » были в использовании по крайней мере с 1730 — х годов, и до тех пор , по крайней мере , в 1840 — х годах, а затем «не войти.» или «войти», по крайней мере , с 1790 — х годов. Наконец, в двадцатом веке, нотации «Log» и «Logh» аттестованы.

Происхождение термина натурального логарифма

Одна единица площади характеризует число Эйлера. Сложение и вычитание треугольников площадь одной половины для гиперболического сектора.

Функция для п ∈ ℤ производит би-бесконечную последовательность гиперболических точек. Когда две соседние точки соединены (0, 0) гиперболические радиусы, то гиперболический сектор так сформирован имеет единицу площадь. Таким образом, общая площадь внутри гиперболы и ее асимптот бесконечна, что согласуется с расходимостью гармонического ряда . Мера Области согласуется с дугой мерой как в круге и правой гипербола: по окружности радиуса √ 2 , дуга кругового сектора имеет угол , равную площади сектора. Аналогичным образом, гиперболический угол гиперболической дуги измеряются по площади соответствующего гиперболического сектора из х = 1.
N↦(еN,е-N){ Displaystyle п mapsto (е ^ {п}, е ^ {- п})}

Дань выплачивается Леонарда Эйлера , который профилированного важность числа Эйлера е = 2,71828 … как база в экспоненциальной функции и натуральный логарифм.

Он ввел представление о трансцендентной функции для классификации тригонометрические и экспоненциальные функции в тригонометрия и алгебра учебник Введение в анализ Бесконечного (1748).

Квадратурная гипербола требует натурального логарифма, так что интегральное исчисление ингибируется отсутствием выражения для гиперболической квадратуры до Грегуара де Сен-Винсент (1647 г.

) не описал его с логарифмической функцией: соответствие арифметической последовательности областей с геометрическая последовательность на асимптоты. Экспозиции по Николаса Меркатора , Христианом Гюйгенсом и других привели к Эйлера Введение в котором подробно изложены круговые функции в терминах бесконечных рядов .

Связь между зоной и дугами круговых и гиперболических функциями демонстрирует естественность этого логарифма.

Определения

Ln ( ) показан как площадь под кривой F ( х ) = 1 / х от 1 до . Если меньше 1, площадь от до 1 считаются отрицательными.

Площадь под гиперболой удовлетворяет правилу логарифма. Здесь ( с , т ) обозначает площадь под гиперболой между й и т .

Формально п ( ) может быть определен как площадь под гиперболой 1 / х . Это интеграл ,

пер⁡aзнак равно∫1a1ИксdИкс,{ Displaystyle ЛпЛ = int _ {1} ^ {а} { гидроразрыва {1} {х}} , дх.}

Эта функция является логарифмом, поскольку он удовлетворяет основное свойство логарифмов:

пер⁡(aб)знак равнопер⁡a+пер⁡б,{ Displaystyle Ln (AB) = пер а + Ъ пер.}

Это может быть продемонстрировано путем разделения интеграла, определяющим LN ( абы ) на две части , а затем делают подстановку переменной х = той во второй части, следующим образом :

пер⁡(aб)знак равно∫1aб1ИксdИксзнак равно∫1a1ИксdИкс+∫aaб1ИксdИксзнак равно∫1a1ИксdИкс+∫1б1aTd(aT)знак равно∫1a1ИксdИкс+∫1б1TdTзнак равнопер⁡a+пер⁡б,{ Displaystyle { начинаются {выровнены} Ln (AB) = Int _ {1} ^ {AB} { гидроразрыва {1} {х}} , дх & = Int _ {1} ^ {а} { гидроразрыва {1} {х}} , дх + Int _ {а} ^ {AB} { гидроразрыва {1} {х}} , дх \ [5pt] & = Int _ {1} ^ { а} { гидроразрыва {1} {х}} , дх + Int _ {1} ^ {Ь} { гидроразрыва {1} {в}} , д (у) \ [5pt] & = Int _ {1} ^ {а} { гидроразрыва {1} {х}} , дх + Int _ {1} ^ {Ь} { гидроразрыва {1} {T}} , дт \ [5pt] & = пер а + Ь пер. {конец выровнен}}}

В элементарных терминах это просто масштабирование от 1 / а в горизонтальном направлении и в вертикальном направлении. Площадь не меняется при этом преобразовании, а область между в и аб перенастраивается. Поскольку функция / ( ах ) равно функции 1 / х , в результате площадь именно п ( б ).

Число е определяются как уникальное вещественное число таким образом, что Ln ( ) = 1.

В качестве альтернативы, если экспоненциальная функция была определена первым, скажем , с помощью бесконечных рядов , натуральный логарифм может быть определена как его обратной функции , то есть, пер в том , что функция , такая , что ехр (Ln ( х )) =  х . Поскольку диапазон экспоненциальной функции на реальных аргументов все положительные действительные числа , а так как экспоненциальная функция строго возрастает, это хорошо определяется для всех положительных  х .

свойства

  • пер⁡1знак равно0{ Displaystyle пер 1 = 0}
  • пер⁡езнак равно1{ Displaystyle пер е = 1}
  • пер⁡(ИксY)знак равнопер⁡Икс+пер⁡Yза Икс>0а также Y>0{ Displaystyle п (х) = пер й + пер у четырехъядерный { текст {для}} ; х> 0 ; { текст {и}} ; у> 0}
  • пер⁡(ИксY)знак равноYпер⁡Иксза Икс>0{ Displaystyle п (х ^ {у}) = у х пер четырехъядерных { текст {для}} , х> 0}
  • пер⁡Икс

Источник: https://ru.qwe.wiki/wiki/Natural_logarithm

Ссылка на основную публикацию