Прямоугольные треугольники — студенческий портал

На данном уроке мы рассмотрим задачи B4 из ЕГЭ по математике.

Ознакомимся с задачами на выражение катетов и гипотенузы через известные элементы треугольника, с использованием тригонометрических формул при решении прямоугольного треугольника, тригонометрических функций при нахождении элементов прямоугольного треугольника, с нахождением тригонометрических функций по известным элементам треугольника.

• Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам
• Урок: Решение прямоугольного треугольника. Решение задач В4
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВС.
• 

Рис. 1. Прямоугольный треугольник ∆АВС

Для прямоугольного треугольника всегда справедливы равенства:

Отсюда можно выразить катет или гипотенузу через другие элементы. Имеем:

Помимо формул, которые приведены выше, существуют также формулы для связи между тригонометрическими функциями.

Познакомимся с этими формулами поближе:

1.  – первая формула, связывает тангенс с синусом и косинусом, некоторые ошибочно полагают, что это определение тангенса, но это скорее следствие из определения.

3.  – связывает тангенс и косинус.

4.  – связывает котангенс и синус.

1. Рассмотрим выведение основных тригонометрических формул.
2. 1.
3. Распишем синус и косинус по определению:
4. 2.
5. Распишем синус и косинус по определению:
6. В числителе, согласно теореме Пифагора, получен квадрат гипотенузы, имеем:
7. 3.
8. Воспользуемся тем, что мы вывели в первой формуле:
9. В предыдущем доказательстве мы выяснили, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, имеем:
10. 4.
11. Поступим аналогично предыдущему доказательству:
12. Пример 1: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС
13. Вспомним, что  – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
14. Дадим 2 решения задачи.
15. 1. Пусть
16. 2. Пусть
17. Отметим, что в общем случае уравнение  имеет два решения, но для прямоугольного треугольника, где острый угол А не может превышать  , косинус может быть только положительным, поэтому второй корень сразу отбрасываем.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти AС.

• Вспомним, что косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, имеем:
• Пример 2: в треугольнике ∆АВС . Найти

В данном случае нам дан лишь один элемент – синус острого угла, но, оказывается, его достаточно, чтобы найти косинус того же угла. Для этого применим основное тригонометрическое тождество.

1. Пример 3: в треугольнике ∆АВС . Найти АС
2. Проще всего решить эту задачу будет предыдущим методом, обозначить катет через  и дальше по теореме Пифагора найти
3. Пусть
4. Иногда прямоугольный треугольник может быть изначально не задан, но при изучении условия он появляется, и структура решения остается той же.

Пример 4: дан равнобедренный треугольник ∆АВС, . Найти .

Проведем из вершины С, высоту CH. Получим прямоугольный треугольник ∆ACH, .

Рис. 2. Равнобедренный треугольник, иллюстрация к примеру 4

• Найдем CH по теореме Пифагора.
• Катет АС задан по условию как сторона равнобедренного треугольника. Катет АН равен половине заданной стороны АВ, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой (высота СН, Н – середина АВ, )

Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание т. н. Пифагоровых треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13:

Рис. 3. Пифагоровы треугольники

Кроме того, есть треугольники, подобные Пифагоровым, то есть такие, у которых стороны пропорциональны данным, то есть умножены на какое-то число. Например, берем треугольник со сторонами 3, 4, 5 и коэффициент подобия 2, получаем треугольник со сторонами 6, 8, 10.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Вспомним, что стандартный треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС.

гипотенуза равна  а не , значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4.

Домножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.

1. Решим данный пример вторым способом.
2. Предположим, что катеты треугольника равны  и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:
3. Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами  и  и гипотенузой , искомый катет .
4. Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольным треугольником, узнали, как выразить одни элементы прямоугольного треугольника через другие, познакомились с рядом формул, связывающих тригонометрические функции углов треугольника, элементы прямоугольного треугольника и решили ряд задач на применение этих формул.
5. Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

• Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
• Рекомендованное домашнее задание
• Найти недостающие элементы прямоугольного треугольника ∆АВС, :
• а) ;
• б) ;
• в) ;
• г)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/reshenie-pryamougolnogo-treugolnika-reshenie-zadach-b4

Урок 1. Прямоугольный треугольник

Урок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение  прямоугольного треугольника.

Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).

Связанные определения

• Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
• Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами.
• Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.
• 

 Типы прямоугольных  треугольников.

• Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

примеры: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26),(20, 21, 29), (18, 24, 30),.

Реши устно!

• Выбери прямоугольный треугольник
  
• Назови стороны и названия прямоугольного треугольника
• Назови сторону, прилежащую к углу В и противолежащую углу A
• Назови сторону, прилежащую к углу A и противолежащую углу В.

Найди Пифагоров треугольник

  

1. Свойства прямоугольного треугольника
2. Свойство первое: Сумма двух острых углов прямоугольного   треугольника равна 90°.
3.  Доказательство:
4. Δ АВС — прямоугольный, С- прямой, А+В=180°- С = 90°, что и требовалось доказать.
5. Реши по готовым чертежам
6. Устно.
7. 1. Найти: N

Устно

 Проверь себя!

1. Треугольник, у которого один угол тупой, а два другие острые называется …..
2. Перпендикуляр, опущенный из вершины, треугольника называется …
3. Два луча, выходящие из одной точки образуют …
4. Одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол это …
5. Отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол на два равных угла, называется….
6. Отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий противоположную сторону пополам, называется …
7. Если в треугольнике две стороны равно, то он называется …
8. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется …

Практическая работа

• Из двух прямоугольных треугольников получить:
• а) равнобедренный треугольник;
• б) прямоугольник;
• в) произвольный четырехугольник.

Треугольники вокруг нас

Источник: http://mabi.vspu.ru/portfolio/2950/

Прямоугольный треугольник, формулы и примеры

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

• Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

   

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :

   

• Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:

   

• Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.
• Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
• Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
• По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/pryamougolnyj-treugolnik/

Треугольники

Задача

В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что прямые AB и CF параллельны. Найти CF, если FK=4√3.

• AF — биссектриса ∠BAD, CF — биссектриса∠BCD,
• CF||AB, AF∩CD=K, FK=4√3
• Найти: CF
• Читать далее

Задача

На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

Решение:

Читать далее

Теорема (Птолемея)

Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.

1. 4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)
2. Доказать:
3. AC·BD=AB·CD+AD·BC
4. Доказательство:
5. Читать далее

Утверждение

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.

• окружность (O;d),
• ABCD — вписанный четырёхугольник,
• AC⊥BD
• Доказать: AD² +BC² = d²
• Доказательство:
• Читать далее

Утверждение 1

Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.

1. AC⊥BD
2. Доказать:
3. AB²+CD²=AD²+BC²
4. Доказательство:
5. Читать далее

Утверждение

Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

• AF, BK — медианы,
• AF=BK
• Доказать: ΔABC — равнобедренный
• Читать далее

Теорема (Штейнера-Лемуса)

Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.

1. ΔABC,
2. AF, BK — биссектрисы ΔABC,
3. AF=BK
4. Доказать: ΔABC — равнобедренный
5. Доказательство:
6. Читать далее

Источник: http://www.treugolniki.ru/

Презентация к уроку по геометрии (7 класс) на тему: презентация "Прямоугольный треугольник" | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

Прямоугольный треугольник КЛАСС Учитель математики МБОУ « < Буныревская СОШ №14 7» Кочеткова Е.А.

Слайд 2

Из истории математики Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса . Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa , означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая .

Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок. Термин катет происходит от греческого слова « катетос », которое означало отвес , перпендикуляр .

В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения: «стороны, заключающие прямой угол», — для катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», — для гипотенузы.

Слайд 3

Определения Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. А В С Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой , гипотенуза катет катет а две другие – катетами . Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.

Слайд 4

Некоторые свойства прямоугольных треугольников 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 . 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы. 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

Слайд 5

Признаки равенства прямоугольных треугольников Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 2.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Слайд 6

Задачи по готовым чертежам А С В D ? В А С 37 0 ? ? А В С 70 0 ? А В С 30 0 15 см ? 120 0 4 см D С А В ? 4,2 см 8,4 см

Слайд 7

Контрольный тест 1. Прямоугольным называется треугольник, у которого а) все углы прямые ; б) два угла прямые ; в) один прямой угол .

Слайд 8

2. В прямоугольном треугольнике всегда а) два угла острых и один прямой ; б) один острый угол, один прямой и один тупой угол ; в) все углы прямые . Контрольный тест

Слайд 9

3. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются а) сторонами треугольника ; б) катетами треугольника ; в) гипотенузами треугольника . Контрольный тест

Слайд 10

4. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется а) стороной треугольника ; б) катетом треугольника ; в) гипотенузой треугольника . Контрольный тест

Слайд 11

Контрольный тест 5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна а) 180 ° ; б) 100 ° ; в) 90 ° .

• Слайд 12
• Вы верно ответили на все вопросы !
• Слайд 13

Папирус Ахмеса Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть — в Нью — Йорке.

Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн».

Слайд 14

Е В К Л И Д Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы.

Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.

Слайд 15

Это интересно Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. В любом треугольнике: 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. 3. Сумма углов треугольника равна 180 º 4. Продолжая одну из сторон треугольн ика, получаем внешний угол . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. 5.

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).

Слайд 16

Желаю удачи в изучении геометрии !

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/10/20/prezentatsiya-pryamougolnyy-treugolnik