На данном уроке мы рассмотрим задачи B4 из ЕГЭ по математике.
Ознакомимся с задачами на выражение катетов и гипотенузы через известные элементы треугольника, с использованием тригонометрических формул при решении прямоугольного треугольника, тригонометрических функций при нахождении элементов прямоугольного треугольника, с нахождением тригонометрических функций по известным элементам треугольника.
- Тема: Общее повторение курса математики. Подготовка к экзаменам
- Урок: Решение прямоугольного треугольника. Решение задач В4
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АВС.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник ∆АВС
Для прямоугольного треугольника всегда справедливы равенства:
Отсюда можно выразить катет или гипотенузу через другие элементы. Имеем:
Помимо формул, которые приведены выше, существуют также формулы для связи между тригонометрическими функциями.
Познакомимся с этими формулами поближе:
1. – первая формула, связывает тангенс с синусом и косинусом, некоторые ошибочно полагают, что это определение тангенса, но это скорее следствие из определения.
3. – связывает тангенс и косинус.
4. – связывает котангенс и синус.
- Рассмотрим выведение основных тригонометрических формул.
- 1.
- Распишем синус и косинус по определению:
- 2.
- Распишем синус и косинус по определению:
- В числителе, согласно теореме Пифагора, получен квадрат гипотенузы, имеем:
- 3.
- Воспользуемся тем, что мы вывели в первой формуле:
- В предыдущем доказательстве мы выяснили, что сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, имеем:
- 4.
- Поступим аналогично предыдущему доказательству:
- Пример 1: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС
- Вспомним, что – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
- Дадим 2 решения задачи.
- 1. Пусть
- 2. Пусть
- Отметим, что в общем случае уравнение имеет два решения, но для прямоугольного треугольника, где острый угол А не может превышать , косинус может быть только положительным, поэтому второй корень сразу отбрасываем.
Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти AС.
- Вспомним, что косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, имеем:
- Пример 2: в треугольнике ∆АВС . Найти
В данном случае нам дан лишь один элемент – синус острого угла, но, оказывается, его достаточно, чтобы найти косинус того же угла. Для этого применим основное тригонометрическое тождество.
- Пример 3: в треугольнике ∆АВС . Найти АС
- Проще всего решить эту задачу будет предыдущим методом, обозначить катет через и дальше по теореме Пифагора найти
- Пусть
- Иногда прямоугольный треугольник может быть изначально не задан, но при изучении условия он появляется, и структура решения остается той же.
Пример 4: дан равнобедренный треугольник ∆АВС, . Найти .
Проведем из вершины С, высоту CH. Получим прямоугольный треугольник ∆ACH, .
Рис. 2. Равнобедренный треугольник, иллюстрация к примеру 4
- Найдем CH по теореме Пифагора.
- Катет АС задан по условию как сторона равнобедренного треугольника. Катет АН равен половине заданной стороны АВ, так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой (высота СН, Н – середина АВ, )
Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание т. н. Пифагоровых треугольников со сторонами 3, 4, 5 и 5, 12, 13:
Рис. 3. Пифагоровы треугольники
Кроме того, есть треугольники, подобные Пифагоровым, то есть такие, у которых стороны пропорциональны данным, то есть умножены на какое-то число. Например, берем треугольник со сторонами 3, 4, 5 и коэффициент подобия 2, получаем треугольник со сторонами 6, 8, 10.
Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.
Вспомним, что стандартный треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .
Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти ВС.
В стандартном Пифагоровом треугольнике стороны равны 3, 4, 5, , если напротив угла лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к.
гипотенуза равна а не , значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4.
Домножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.
Дополнительный пример: в треугольнике ∆АВС . Найти АС.
- Решим данный пример вторым способом.
- Предположим, что катеты треугольника равны и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:
- Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами и и гипотенузой , искомый катет .
- Итак, сегодня мы познакомились с прямоугольным треугольником, узнали, как выразить одни элементы прямоугольного треугольника через другие, познакомились с рядом формул, связывающих тригонометрические функции углов треугольника, элементы прямоугольного треугольника и решили ряд задач на применение этих формул.
- Список рекомендованной литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
- Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Рекомендованное домашнее задание
- Найти недостающие элементы прямоугольного треугольника ∆АВС, :
- а) ;
- б) ;
- в) ;
- г)
Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/reshenie-pryamougolnogo-treugolnika-reshenie-zadach-b4
Урок 1. Прямоугольный треугольник
Урок 1. Прямоугольный треугольник.
Определение прямоугольного треугольника.
Прямоуго́льный треуго́льник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).
Связанные определения
- Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
- Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами.
- Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.
Типы прямоугольных треугольников.
- Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.
примеры: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26),(20, 21, 29), (18, 24, 30),.
Реши устно!
- Выбери прямоугольный треугольник
- Назови стороны и названия прямоугольного треугольника
- Назови сторону, прилежащую к углу В и противолежащую углу A
- Назови сторону, прилежащую к углу A и противолежащую углу В.
Найди Пифагоров треугольник
- Свойства прямоугольного треугольника
- Свойство первое: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Доказательство:
- Δ АВС — прямоугольный, С- прямой, А+В=180°- С = 90°, что и требовалось доказать.
- Реши по готовым чертежам
- Устно.
- 1. Найти: N
Устно
Проверь себя!
- Треугольник, у которого один угол тупой, а два другие острые называется …..
- Перпендикуляр, опущенный из вершины, треугольника называется …
- Два луча, выходящие из одной точки образуют …
- Одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол это …
- Отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол на два равных угла, называется….
- Отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий противоположную сторону пополам, называется …
- Если в треугольнике две стороны равно, то он называется …
- Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется …
Практическая работа
- Из двух прямоугольных треугольников получить:
- а) равнобедренный треугольник;
- б) прямоугольник;
- в) произвольный четырехугольник.
Треугольники вокруг нас
Источник: http://mabi.vspu.ru/portfolio/2950/
Прямоугольный треугольник, формулы и примеры
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.
Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:
- Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна :
- Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого их катетов:
- Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.
- Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами.
- Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
- По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям! |
Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/formuly-po-geometrii/treugolnik/pryamougolnyj-treugolnik/
Треугольники
Задача
В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD биссектриса угла A пересекается с биссектрисой угла C в точке F, а также пересекает сторону CD в точке K. Известно, что прямые AB и CF параллельны. Найти CF, если FK=4√3.
- AF — биссектриса ∠BAD, CF — биссектриса∠BCD,
- CF||AB, AF∩CD=K, FK=4√3
- Найти: CF
- Читать далее
Задача
На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.
Решение:
Читать далее
Теорема (Птолемея)
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений двух пар его противолежащих сторон.
- 4-угольник ABCD вписан в окр. (O; R)
- Доказать:
- AC·BD=AB·CD+AD·BC
- Доказательство:
- Читать далее
Утверждение
Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.
- окружность (O;d),
- ABCD — вписанный четырёхугольник,
- AC⊥BD
- Доказать: AD² +BC² = d²
- Доказательство:
- Читать далее
Утверждение 1
Если диагонали выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны, то суммы квадратов его противолежащих сторон равны.
- AC⊥BD
- Доказать:
- AB²+CD²=AD²+BC²
- Доказательство:
- Читать далее
Утверждение
Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- AF, BK — медианы,
- AF=BK
- Доказать: ΔABC — равнобедренный
- Читать далее
Теорема (Штейнера-Лемуса)
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- ΔABC,
- AF, BK — биссектрисы ΔABC,
- AF=BK
- Доказать: ΔABC — равнобедренный
- Доказательство:
- Читать далее
Источник: http://www.treugolniki.ru/
Презентация к уроку по геометрии (7 класс) на тему: презентация "Прямоугольный треугольник" | Социальная сеть работников образования
Слайд 1
Прямоугольный треугольник КЛАСС Учитель математики МБОУ « < Буныревская СОШ №14 7» Кочеткова Е.А.
Слайд 2
Из истории математики Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса . Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa , означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая .
Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок. Термин катет происходит от греческого слова « катетос », которое означало отвес , перпендикуляр .
В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.
Евклид употребляет выражения: «стороны, заключающие прямой угол», — для катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», — для гипотенузы.
Слайд 3
Определения Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. А В С Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой , гипотенуза катет катет а две другие – катетами . Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки.
Слайд 4
Некоторые свойства прямоугольных треугольников 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 . 2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0 , равен половине гипотенузы. 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .
Слайд 5
Признаки равенства прямоугольных треугольников Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 2.
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. 3.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Слайд 6
Задачи по готовым чертежам А С В D ? В А С 37 0 ? ? А В С 70 0 ? А В С 30 0 15 см ? 120 0 4 см D С А В ? 4,2 см 8,4 см
Слайд 7
Контрольный тест 1. Прямоугольным называется треугольник, у которого а) все углы прямые ; б) два угла прямые ; в) один прямой угол .
Слайд 8
2. В прямоугольном треугольнике всегда а) два угла острых и один прямой ; б) один острый угол, один прямой и один тупой угол ; в) все углы прямые . Контрольный тест
Слайд 9
3. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются а) сторонами треугольника ; б) катетами треугольника ; в) гипотенузами треугольника . Контрольный тест
Слайд 10
4. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется а) стороной треугольника ; б) катетом треугольника ; в) гипотенузой треугольника . Контрольный тест
Слайд 11
Контрольный тест 5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна а) 180 ° ; б) 100 ° ; в) 90 ° .
- Слайд 12
- Вы верно ответили на все вопросы !
- Слайд 13
Папирус Ахмеса Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.
Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть — в Нью — Йорке.
Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей.
Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн».
Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, пропорциональное деление, нахождение отношений.
Слайд 14
Е В К Л И Д Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы.
Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.
Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.
Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.
Слайд 15
Это интересно Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. В любом треугольнике: 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2.
Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. 3. Сумма углов треугольника равна 180 º 4. Продолжая одну из сторон треугольн ика, получаем внешний угол . Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. 5.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a < b + c, a > b – c; b < a + c, b > a – c; c < a + b, c > a – b ).
Слайд 16
Желаю удачи в изучении геометрии !
Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2015/10/20/prezentatsiya-pryamougolnyy-treugolnik