Решение неравенств, сводящихся к квадратным — студенческий портал

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Чтобы решить квадратное неравенство, нужно знать количество корней соответствующего квадратного уравнения . Сделать это можно с помощью дискриминанта: если дискриминант , то уравнение имеет два корня, — один корень, — действительных корней нет.

Знак старшего коэффициента определяет направление ветвей параболы : если , то ветви параболы направлены вверх, если — вниз. В зависимости от знаков и возможны такие варианты расположения параболы относительно оси абсцисс.

• Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит выше оси абсцисс.
• Решением неравенств () будет числовой промежуток, на котором парабола лежит ниже оси абсцисс.
• Если неравенство нестрогое, то концы промежутка включаются, если строгое, то не включаются.

Примеры решения квадратных неравенств

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/reshenie-neravenstv/kvadratnye-neravenstva-i-ix-reshenie/

Квадратные неравенства. Метод интервалов

Прежде чем разбираться, как решать квадратное неравенство, давайте рассмотрим, какое неравенство называют квадратным.

Запомните!

Неравенство называют квадратным, если старшая (наибольшая) степень неизвестного «x» равна двум.

Потренируемся определять тип неравенства на примерах.

Неравенство Тип

x − 7 < 0	линейное
x2 + 5x ≥ 0	квадратное
2x − 7 > 5	линейное
x2 + x − 12 ≤ 0	квадратное

Как решить квадратное неравенство

В предыдущих уроках мы разбирали, как решать линейные неравенства. Но в отличие от линейных неравенств квадратные решаются совсем иным образом.

Важно!

Решать квадратное неравенство таким же образом как и линейное нельзя!

Для решения квадратного неравенства используется специальный способ, который называется методом интервалов.

Что такое метод интервалов

Методом интервалов называют специальный способ решения квадратных неравенств. Ниже мы объясним, как использовать этот метод и почему он получил такое название.

Запомните!

Чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов нужно:

1. перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль;
2. сделать так, чтобы при неизвестном «x2» стоял положительный коэффициент;
3. приравнять левую часть неравенства к нулю и решить полученное квадратное уравнение;
4. полученные корни уравнения разместить на числовой оси в порядке возрастания;
5. нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с «+», проставить чередуя знаки «+» и «−»;
6. выбрать необходимые интервалы и записать их в ответ.

• Мы понимаем, что правила, описанные выше, трудно воспринимать только в теории, поэтому сразу рассмотрим пример решения квадратного неравенства по алгоритму выше.
• Требуется решить квадратное неравенство.
• x2 + x − 12 < 0

Итак, согласно п.1 мы должны перенести все члены неравенства в левую часть, так чтобы в правой остался только ноль. В заданном неравенстве «x2 + x − 12 < 0» ничего дополнительно делать не требуется, так как в правой части и так уже стоит ноль.

Переходим к п.2. Необходимо сделать так, чтобы перед «x2» стоял положительный коэффициент. В неравенстве «x2 + x − 12 < 0» при «x2» стоит положительный коэффициент «1», значит, снова нам ничего делать не требуется.

Согласно п.3 приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =

1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

1. x1;2 =
2. x1;2 =
3. x1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 = 4	x2 = −3

Теперь по п.4 отметим полученные корни на числовой оси в порядке возрастания.

Помните, что, исходя их того, какое перед нами неравенство (строгое или нестрогое) мы отмечаем точки на числовой оси разным образом.

Теперь, как сказано в п.5, нарисуем «арки» над интервалами между отмеченными точками.

Проставим знаки внутри интервалов. Справа налево чередуя, начиная с «+», отметим знаки.

Нам осталось только выполнить пункт 6, то есть выбрать нужные интервалы и записать их в ответ. Вернемся к нашему неравенству.

Так как в нашем неравенстве «x2 + x − 12 < 0», значит, нам требуются отрицательные интервалы. Заштрихуем все отрицательные области на числовой оси и выпишем их в ответ.

• Отрицательным интервалом оказался лишь один, который находится между числами «−3» и «4», поэтому запишем его в ответ в виде двойного неравенства «−3 < x < 4».
• Запишем полученный ответ квадратного неравенства.
• Ответ: −3 < x < 4
• К слову сказать, именно из-за того, что при решении квадратного неравенства мы рассматриваем интервалы между числами, метод интервалов и получил свое название.
• После получения ответа имеет смысл сделать его проверку, чтобы убедиться в правильности решения.

Выберем любое число, которое находится в заштрихованной области полученного ответа «−3 < x < 4» и подставим его вместо «x» в исходное неравенство. Если мы получим верное неравенство, значит мы нашли ответ квадратного неравенства верно.

Возьмем, например, из интервала число «0». Подставим его в исходное неравенство «x2 + x − 12 < 0».

x2 + x − 12 < 0

02 + 0 − 12 < 0

−12 < 0 (верно)

1. Мы получили верное неравенство при подстановке числа из области решений, значит ответ найден правильно.
2. Сокращенно запись решения квадратного неравенства «x2 + x − 12 < 0» методом интервалов будет выглядеть так:

x2 + x − 12 < 0

x2 + x − 12 = 0

x1;2 =

1 ± √12 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

• x1;2 =
• x1;2 =
• x1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 = 4	x2 = −3

Ответ: −3 < x < 4

1. Рассмотрим решение других примеров квадратных неравенств. Требуется решить квадратное неравенство:
2. 2×2 − x ≥ 0

В правой части неравенство уже стоит ноль. При «x2» стоит «2» (положительный коэффициент), значит можно сразу переходить к поиску корней.

2×2 − x ≥ 0

2×2 − x = 0

x1;2 =

−(−1) ± √(−12) − 4 · 2 · 0

2 · 2

x1;2 =

x1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 =	x2 = 0

Ответ: x ≤ 0;    x ≥

• Рассмотрим пример, где перед «x2» в квадратном неравенстве стоит отрицательный коэффициент.
• −x2 − 3x + 4 ≥ 0

По п.2 общих правил решения методом интервалов нам нужно сделать так, чтобы перед «x2» стоял положительный коэффициент. Для этого умножим все неравенство на «−1».

            −x2 − 3x + 4 ≥ 0 | ·(−1) x2 + 3x − 4 ≤ 0

Можно переходить к п.4 и п.5. Приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение. Затем расположим полученные корни на числовой оси и проведем между ними «арки».

x2 + 3x − 4 ≤ 0

x2 + 3x − 4 = 0

x1;2 =

−3 ± √32 − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 =	x2 =
x1 =	x2 =
x1 = 4	x2 = −1

Важно!

При определении того какие интервалы нам нужно брать в ответ, исходить нужно из самого последнего изменения неравенства перед нахождением его корней.

В нашем случае самая последняя версия неравенства перед поиском корней уравнения это «x2 + 3x − 4 ≤ 0».

Значит для ответа нужно выбирать интервалы со знаком «−».

Ответ: −1 ≤ x ≤ 4

К сожалению, при решении квадратного неравенства не всегда получаются два корня и все идет по общему плану выше. Возможны случаи, когда получается один корень или даже ни одного корня.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/quadratic_inequalities/how_to_solve_quadratic_inequalities.php

Решение квадратных неравенств — Гипермаркет знаний

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика:Решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств

Квадратным неравенством называют неравенство вида ах2 + bх + 0 0, где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства). Всеми необходимыми для решения таких неравенств фактами теории мы с вами располагаем, в чем сейчас и убедимся.

Пример 1. Решить неравенство:

а) х2 — 2х — 3 >0;                        б) х2 — 2х — 3 < 0; в) х2 - 2х - 3 > 0;                       г) х2 — 2х — 3 < 0. Решение,

а) Рассмотрим параболу у = х2 — 2х — 3, изображенную на рис. 117.

Решить неравенство х2 — 2х — 3 > 0 — это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны.

Замечаем, что у > 0, т. е. график функции расположен выше оси х, при х < -1 или при х > 3.

Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (-00, — 1), а также все точки открытого луча (3, +00).

Используя знак U (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (—00, — 1) U (3, +00). Впрочем, ответ можно записать и так: х < - 1; х > 3.

б) Неравенство х2 — 2х — 3 < 0, или у < 0, где у = х2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: график расположен ниже оси х, если -1 < х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (— 1, 3).

в) Неравенство х2 — 2х — 3 > 0 отличается от неравенства х2 — 2х — 3 > 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 — 2х — 3 = 0, т. е. точки х = -1

и х = 3. Таким образом, решениями данного нестрогого неравенства являются все точки луча (-00, — 1], а также все точки луча [3, +00).

г) Неравенство х2 — 2х — 3 < 0 отличается от неравенства х2 - 2х - 3 < 0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2 — 2х — 3 = 0, т. е. х = -1 и х = 3. Следовательно, решениями данного нестрогого неравенства служат все точки отрезка [-1, 3].

Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах2 + bх + с > 0, аккуратно строить параболу график квадратичной функции

у = ах2 + bх + с (как это было сделано в примере 1)? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы — вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.

Пример 2. Решить неравенство — 2х2 + Зх + 9 < 0. Решение.

1) Найдем корни квадратного трехчлена — 2х2 + Зх + 9: х1 = 3; х2 = — 1,5.

2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и — 1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент — отрицательное число — 2. На рис. 118 представлен набросок графика.

3) Используя рис. 118, делаем вывод: у < 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо). Ответ: х < -1,5;       х > 3.

Пример 3. Решить неравенство 4х2 — 4х + 1 < 0. Решение.

1) Из уравнения 4х2 — 4х + 1 = 0 находим .

2) Квадратный трехчлен имеет один корень ; это значит, что парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, не пересекает ось х, а касается ее в точке . Ветви параболы направлены вверх (рис. 119.)

3) С помощью геометрической модели, представленной на рис. 119, устанавливаем, что заданное неравенство выполняется только в точке , поскольку при всех других значениях х ординаты графика положительны.

Ответ: . Вы, наверное, заметили, что фактически в примерах 1, 2, 3 использовался вполне определенный алгоритм решения квадратных неравенств, оформим его.

• Алгоритм решения квадратного неравенства ах2 + bх + 0 0 (ах2 + bх + с < 0)
• 

На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.

Иными словами, если D < 0, а > 0, то неравенство ах2 + bх + с > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с < 0 не имеет решений.

Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bх +  с является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у  квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 120. Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с > 0, что и требовалось доказать.

1. 
2. Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ах2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bх + с > 0 не имеет решений.
3. 

Доказательство.

Графиком функции у = ах2 + bх +с является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет.

График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

• Пример 4. Решить неравенство:
• а) 2х2 — х + 4 >0;           б) -х2+ Зх — 8 >0.
• Решение,

а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2х2 — х + 4. Имеем D = (-1)2 — 4 • 2 • 4 = — 31 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен.

Значит, по теореме 1, при всех х выполняется неравенство 2×2 — х + 4 > 0, т. е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая (-00, + 00).

б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена — х2 + Зх — 8. Имеем D = З2 — 4 • (- 1) • (- 8) = — 23 < 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство — х2 + Зх — 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Ответ:     а) (-00, + 00);          б) нет решений.

В следующем примере мы познакомимся еще с одним способом рассуждений, который применяется при решении квадратных неравенств.

Пример 5. Решить неравенство Зх2 — 10х + 3 < 0. Решение. Разложим квадратный трехчлен Зx2 - 10x + 3 на множители. Корнями трехчлена являются числа 3 и , поэтому воспользовавшись формулой ах2 + bх + с = а (х — x1)(x — х2),получим Зx2 — 10х + 3 = 3(х — 3) (х — )Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 3 и (рис. 122).

Пусть х > 3; тогда x-3>0 и x->0, а значит, и произведение 3(х — 3)( х — ) положительно. Далее, пусть < х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Следовательно, произведение 3(х-3)(х-) отрицательно.

Пусть, наконец, х 0, значит, задача сводится к решению неравенства 25 — 4р2 > 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 (не забыв изменить при этом знак неравенства). Получим равносильное неравенство 4р2 — 25 < 0.

Далее имеем 4 (р — 2,5) (р + 2,5) < 0.

Знаки выражения 4(р — 2,5) (р + 2,5) указаны на рис. 123.

Делаем вывод, что неравенство 4(р — 2,5)(р + 2,5) < 0 выполняется для всех значений р из  интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

б) квадратное уравнение имеет один корень, если D — 0. Как мы установили выше, D = 0 при р = 2,5 или р = -2,5.

Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет только один корень.

в) Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0. Решим неравенство 25 - 4р2 < 0.

Получаем 4р2 — 25 > 0;  4 (р-2,5)(р + 2,5)>0, откуда (см. рис. 123) р < -2,5; р > 2,5. При этих значениях параметра р данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: а) при р (-2,5, 2,5);

          б) при р = 2,5 илир = -2,5;           в) при р < - 2,5 или р > 2,5.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений.— 3-е изд., доработ. — М.: Мнемозина, 2001. — 223 с: ил.

Помощь школьнику онлайн, Математика для 8 класса скачать, календарно-тематическое планирование

Содержание урока
конспект урока
опорный каркас презентация урока
акселеративные методы интерактивные технологии Практика
задачи и упражнения самопроверка
практикумы, тренинги, кейсы, квесты
домашние задания
дискуссионные вопросы
риторические вопросы от учеников Иллюстрации
аудио-, видеоклипы и мультимедиа
фотографии, картинки графики, таблицы, схемы
юмор, анекдоты, приколы, комиксы
притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения
рефераты
статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные
словарь терминов прочие
Совершенствование учебников и уроков
исправление ошибок в учебнике
обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей
идеальные уроки
календарный план на год методические рекомендации программы
обсуждения Интегрированные уроки

Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c , или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

1. Решение:
2. Приводим квадратное неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
3. − 3 x − 2 ≥ x 2
4. − x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
5. − x 2 − 3 x − 2 = 0
6. a = − 1, b = − 3, c = − 2
7. D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1
8. D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня
9. x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1
10. x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2

Источник: https://epmat.ru/kvadratnye-neravenstva/

Показательные неравенства

• Сегодня решаем показательные неравенства.
• Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.
• При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции  .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

1. А далее вот так:
2. Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Задание 2

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

• В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):
• Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3

1. Решить неравенство:
2. Решение:
3. Вынесем за скобку
4. Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):
5. Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4

• Решить неравенство
• Решение:
• Разделим обе части неравенства на 3:
• Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.
• Имеем:
• или
• или 
• Ответ:

Задание 5

1. Решить неравенство
2. Решение:
3. Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.
4. Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

• Итак,
• Ответ:

Задание 6

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

1. Мы имеем квадратное неравенство относительно
2. которое будем решать методом интервалов.
3. Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:
4. где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).
5. Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда
6. То есть
7. Ответ:

Задание 7

• Решить неравенство
• Решение:
• Перепишем неравенство следующим образом:
• Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):
• Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8

1. Решить неравенство:  
2. Решение:
3. Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:
4. Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:
5. Неравенство равносильно следующему:
6. Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

• А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .
• Ответ:
• Для самостоятельной работы:
• Решить неравенства:
• 1.
• Ответ: + показать

1. 2.
2. Ответ: + показать

• 3.
• Ответ: + показать

1. 4.
2. Ответ: + показать
3. 5.
4. Ответ: + показать

• 6.
• Ответ: + показать

1. 7.
2. Ответ: + показать
3. 8.
4. Ответ: + показать

.

Источник: https://egemaximum.ru/pokazatelnye-neravenstva/

Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

В статье рассмотрим решение неравенств. Расскажем доступно о том, как строиться решение неравенств, на понятных примерах!

Перед тем, как рассмотреть решение неравенств на примерах, разберемся с базовыми понятиями.

Общи сведения о неравенствах

Неравенством называется выражение, в котором функции соединяются знаками отношения >, , . Неравенства бывают как числовые, так и буквенные.
Неравенства с двумя знаками отношения, называются двойными, с тремя — тройными и т.д. Например:
a(x) > b(x),
a(x) < b(x),

a(x) b(x).
a(x) < c(x) < b(x) - двойное неравенство. Неравенства, содержащие знак > или < , называются строгими, а неравенства, содержащие

или — нестрогими.

Решением неравенства является любое значение переменой, при котором это неравенство будет верно.
«Решить неравенство» означает, что надо найти множество всех его решений. Существуют различные методы решения неравенств. Для решения неравенства пользуются числовой прямой, которая бесконечна. Например, решением неравенства x > 3 есть промежуток от 3 до +, причем число 3 не входит в этот промежуток, поэтому точка на прямой обозначается пустым кружком, т.к. неравенство строгое.
+
Ответ будет следующим: x (3; +).
Значение х=3 не входит в множество решений, поэтому скобка круглая. Знак бесконечности всегда выделяется круглой скобкой. Знак означает «принадлежание».
Рассмотрим как решать неравенства на другом примере со знаком :
x 2
— +
Значение х=2 входит в множество решений, поэтому скобка квадратная и точка на прямой обозначается закрашенным кружком.

Ответ будет следующим: x [2; +).

Свойства неравенств

Выделяют три основных свойства неравенств:

1. Можно перенести любой член неравенства из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется.

Пример: Зх + 5 > х2 равносильно Зх — х2 + 5 > 0, при этом x2 был перенесен с противоположным знаком.

2. Можно умножать или делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знака неравенства не меняется.

Пример:
9х — 3 > 12х2 равносильно 3х — 1 > 4х2, при этом обе части первого неравенства были разделены на положительное число 3.

3. Можно умножить или разделить обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный.

Пример: -2х2 — Зх + 1 < 0 равносильно 2х2 + Зх - 1 > 0, при этом обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, и знак неравенства изменился на противоположный.

Решение систем неравенств

Системой называется запись нескольких неравенств, обозначенная фигурной скобкой, при этом количество и вид неравенств, входящих в систему, может быть любым. Решением системы неравенств является пересечение решений всех неравенств, входящих в эту систему. Например, двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) записывается следующим образом: Пример.

• Требуется решить следующую систему неравенств
• Решение:
• Система аналогична неравенству х > 1, поэтому ответ: x (1; +).

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида ax>b, при этом знак неравенства может быть любым.
Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .

Допустим a>0, тогда ax>b равносильно , таким образом множество решений неравенства является промежуток .
Если же a=0, тогда 0*x>b, т.е.

неравенство не имеет решений при b0, и верно при любых х при b 0, в котром a, b, c – некоторые действительные числа и a0
Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства x2 < m и x2 > m
Множество решений неравенства x2 < m:

1. при m< 0 нет чисел, которые в квадрате дают отрицательное число (т.е. нет решений)
2. при m>0 x (-; ), т.е. — < x < или m:
   1. при mR (т.е. x — любое действительное число);
   2. при m>0 x (-; — ) (; +), т.е. — < x < - и < x < + или > .
   1. Решение более сложных квадратных неравенств сводиться к простому переводу выражения вида
      ax2 + bx + c > 0
      в неравенство
   2. (x-x1)(x-x2) > 0 , где x1 и х2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

   Полученное неравенство мы раскладываем таким же образом на систему простых неравенств и легко находим решение.

   Решение неравенств методом интервалов

   Методом интервалов можно Формулу Неравества вида h(x) > 0 (,) свести к решению уравнения h(x) = 0.
   Данный метод заключается в следующем:

   1. Находится ОДЗ неравенства.
   2. Неравенство приводится к виду h(x) > 0(

   Источник: https://reshit.ru/Reshenie-neravenstv

   Калькулятор онлайн. Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные

   Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

   Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

   Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

   А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

   • Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
   • Какие неравенства можно решить?
   • Примеры подробного решения >>

   В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д. Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

   1. Правила ввода десятичных дробей.
   2. Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
   3. Правила ввода обыкновенных дробей.
   4. При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /

   В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным. Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 3&1/3 — 5&6/5y +1/7y^2 Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} y + frac{1}{7}y^2 ) При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.

   Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

   Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

   В этом случае отключите его и обновите страницу.

   Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

   Пожалуйста подождите  сек…

   Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

   Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин.

   Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

   Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

   Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и < начали лишь в XVII—XVIII вв. Например, вместо фразы «число а больше числа b» стали писать: а > b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), < (меньше), ( geq ) (больше или равно), ( leq ) (меньше или равно), стали называть неравенствами.

   С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, ( frac{1}{2} > frac{1}{3} ) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

   Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство.

   Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

   Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

   Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

   Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

   Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

   Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

   Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а < b.

   Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а — b положительна, т.е. а — b > 0. Неравенство а < b означает, что а - b < 0.

   Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a < b только одно является верным.

   Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков >, = или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разности а - b.

   Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.

   Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следствие.Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

   Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

   Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

   Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

   При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются.

   Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км.

   Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

   При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

   Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

   Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

   Неравенства со знаком > (больше) и < (меньше) называют строгими. Например, 5/6 > 1/2, 3/4 < 1, a > b, c < d - строгие неравенства.

   Наряду со знаками строгих неравенств > и < используются знаки ( geq ) (больше или равно) и ( leq ) (меньше или равно), которые называют знаками нестрогих неравенств.

   Неравенство ( a leq b ) означает, что а < b или а = b, т. е. а не больше b. Например, если число посадочных мест в самолёте 134, то число а пассажиров может быть меньшим или равным 134.

   В этом случае можно записать: ( a leq 134 )

   Точно так же неравенство ( a geq b ) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.

   Неравенства, содержащие знак ( geq ) или знак ( leq ), называют нестрогими. Например, ( 18 geq 12 , ; 11 leq 12 ) — нестрогие неравенства.

   Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств.

   При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений.

   Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.

   • Неравенства вида ( ax > b, quad ax < b, quad ax geq b, quad ax leq b )
   • в которых а и b — заданные числа, а x — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным.

   Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — это значит найти все его решения или установить, что их нет.

   Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.

   Неравенства вида ( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c где x — переменная, a, b и c — некоторые числа и ( a
   eq 0 ), называют неравенствами второй степени с одной переменной.

   Решение неравенства ( ax^2+bx+c >0 ) или ( ax^2+bx+c можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция ( y= ax^2+bx+c ) принимает положительные или отрицательные значения.

   Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции ( y= ax^2+bx+c ) в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы — вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.

   1. Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной: 1) находят дискриминант квадратного трехчлена ( ax^2+bx+c ) и выясняют, имеет ли трехчлен корни; 2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0 или в нижней при a < 0; 3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство ( ax^2+bx+c >0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
   2. ( ax^2+bx+c
   3. Рассмотрим функцию f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

   Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

   • Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
   • Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
     

     ( (-infty; -2) )	( (-2; 3) )	( (3; 5) )	( (5; +infty) )
     x+2	–	+	+	+
     x-3	–	–	+	+
     x-5	–	–	–	+

   • Отсюда ясно, что: если ( x in (-infty;-2) ), то f(x)0; если ( x in (3;5) ), то f(x)0.
   • Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

   Вообще пусть функция задана формулой f(x) = (x-x1)(x-x2) … (x-xn), где x–переменная, а x1, x2, …, xn – не равные друг другу числа. Числа x1, x2, …, xn являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

   Это свойство используется для решения неравенств вида (x-x1)(x-x2) … (x-xn) > 0, (x-x1)(x-x2) … (x-xn) < 0, где x1, x2, ..., xn — не равные друг другу числа

   1. Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
   2. Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
   3. Решить неравенство: ( x(0,5-x)(x+4) < 0 )
   4. Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки ( x=0, ; x=frac{1}{2} , ; x=-4 )
   5. Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
   6. Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.
   7. Ответ: ( x in left( -4; ; 0
      ight) cup left( 0,5; ; +infty
      ight) ) или
   8. ( -4 < x < 0 ;;; x > 0,5 )
   9. Решить неравенство: ( frac{x+2}{x-1} leq 2 ) Решение: ( frac{x+2}{x-1} leq 2 Rightarrow frac{x+2-2(x-1)}{x-1} leq 0 Rightarrow frac{-x+4}{x-1} leq 0 )
   10. Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:
   11. Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
   12. Ответ: ( x in left( -infty; ; 1
       ight) cup left[ 4; ; +infty
       ight) ) или
   13. ( x < 1 ;;; x geq 4 )

   Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/inequality

   Решение неравенств любого вида. Онлайн калькулятор с примерами

   • Решение неравенств онлайн
   • Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.
   • Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).
   • Поясним что означает решить неравенство?

   После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения.

   Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

   Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

   1. Как решать неравенства?
   2. Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.
   3. Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

   Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

   Как правильно записывать решение неравенства?

   Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

   Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

   Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

   Важный момент

   Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

   • Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.
   • А у неравенства |x|
   • Для чего нужен калькулятор неравенств?

   Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

   1. Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?
   2. Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

   Источник: https://math24.biz/inequality