Соотношение между сторонами и углами треугольника — студенческий портал

На данном уроке мы вспомним основные теоретические факты о прямоугольном треугольнике, рассмотрим связи между его сторонами и углами, вспомним формулы, связывающие тригонометрические функции острого угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Нарисуем прямоугольный треугольник , угол  прямой. , катет , , катет . Гипотенуза  (см. Рис. 1).

Соотношения между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике задаются тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

  • Рис. 1
  • Определение
  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к гипотенузе.
  • Определение
  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к гипотенузе.
  • Определение
  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему.
  • Определение:
  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего ему катета к противолежащему.
  • Кроме того, важный факт касается углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет .
  • Для удобства выпишем выражения для всех сторон треугольника через тригонометрические соотношения.
  • Правило нахождения катета через гипотенузу:
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего ему угла.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Правило нахождения катета через второй катет:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс противолежащего искомому катету угла или на котангенс прилежащего искомому катету угла.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Напомним другие важные тригонометрические соотношения:

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Доказательство:

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

  1. Вспомним теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
  2. α=bСоотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал
  3. Согласно правилу нахождения гипотенузы:
  4. АВ=аsinα=cСоотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Рис. 2

Итак, мы рассмотрели основные соотношения, связывающие углы и стороны в прямоугольном треугольнике. Вспомнили основные формулы, которые связывают тригонометрические функции острого угла. Кроме того, мы решили несколько типовых задач.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Terver.ru (Источник).
  3. Bymath.net (Источник).

Домашнее задание

  1. Задание 1: в равнобедренном треугольнике ∆КРО с основанием РО проведена высота КН. Найдите угол ∠ОKН, если угол ∠Р=54°.
  2. Задание 2: один из углов прямоугольного треугольника 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4с м. Найдите гипотенузу треугольника.
  3. Задание 3: в прямоугольном треугольнике ∆АВС с прямым углом ∠С внешний угол при вершине А равен 120°. АС+АВ = 18 см, найдите длины АС и АВ.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/povtorenie-kursa-geometrii-8-go-klassa/sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-pryamougolnogo-treugolnika

Треугольник. Формулы и свойства треугольников

Определение. Треугольник — фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

По величине углов

  1. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Остроугольный треугольник — все углы треугольника острые.
  2. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Тупоугольный треугольник — один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Прямоугольный треугольник — один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Разносторонний треугольник — все три стороны не равны.
  2. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Равнобедренный треугольник — две стороны равны.
  3. Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал Равносторонним треугольник или правильный треугольник — все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:
  • если α > β, тогда a > b
  • если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c b + c > a c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a  =  b  =  c  = 2R
sin α sin β sin γ
  1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
  2. a2 = b2 + c2 — 2bc·cos α
  3. b2 = a2 + c2 — 2ac·cos β
  4. c2 = a2 + b2 — 2ab·cos γ
  • Для остроугольного треугольника:
  • a = b cos γ + c cos β
  • b = a cos γ + c cos α
  • c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

  1. a = 23√2(mb2 + mc2) — ma2
  2. b = 23√2(ma2 + mc2) — mb2
  3. c = 23√2(ma2 + mb2) — mc2

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    • S∆ABD = S∆ACD
    • S∆BEA = S∆BEC
    • S∆CBF = S∆CAF
  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

  1. ma = 12√2b2+2c2-a2
  2. mb = 12√2a2+2c2-b2
  3. mc = 12√2a2+2b2-c2

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, — центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

  • la = 2√bcp(p — a)b + c
  • lb = 2√acp(p — b)a + c
  • lc = 2√abp(p — c)a + b

где p = a + b + c2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

  1. la = 2bc cos α2b + c
  2. lb = 2ac cos β2a + c
  3. lc = 2ab cos γ2a + b

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

  • ha = b sin γ = c sin β
  • hb = c sin α = a sin γ
  • hc = a sin β = b sin α
Читайте также:  Иммунитет - студенческий портал

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

  1. ha = 2Sa
  2. hb = 2Sb
  3. hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

  • ha = bc2R
  • hb = ac2R
  • hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b — c)(b + c — a)(c + a — b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

  1. Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к уго сторонам.
  2. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

  3. Свойства углов
  4. Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь: Радиус описанной окружности через площадь и три угла: Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ — 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

  • S∆MBN = 14 S∆ABC
  • S∆MAK = 14 S∆ABC
  • S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

  1. ∆MBN ∼ ∆ABC
  2. ∆AMK ∼ ∆ABC
  3. ∆KNC ∼ ∆ABC
  4. ∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

    S = 12a · ha S = 12b · hb S = 12c · hc

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    S = √p(p — a)(p — b)(p — c)

    где p = a + b + c2 — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 12a · b · sin γ S = 12b · c · sin α S = 12a · c · sin β

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Признаки равенства треугольников

Теорема 1.

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Определение. Подобные треугольники — треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Соотношения между сторонами и 
углами прямоугольного 
треугольника
?

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Синусом острого угла прямоугольного 
треугольника называется отношение 
противолежащего катета   к  гипотенузе .
B
C
sin∠A=
A

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Косинусом острого угла прямоугольного 
треугольника называется отношение 
прилежащего катета   к  гипотенузе .
B
C
cos∠A=
A

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Тангенсом острого угла прямоугольного 
треугольника называется отношение 
противолежащего катета   к  прилежащему катету.
B
C
tg∠A=
A

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Котангенсом острого угла прямоугольного 
треугольника называется отношение прилежащего 
катета   к  противолежащему катету.
B
C
ctg∠A=
A

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Чему равны sin, cos, tg, ctg острых углов 
треугольника?
6
12
8

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Основное тригонометрическое тождество
(1)
 + cos²
 = 1  
α
sin²
α
C
B

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

tg  =α
сtg  =α
(2)
(3)

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

tg  =α
сtg  =α
(4)
(5)

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий порталПерейти

Заполнить таблицу   
30⁰
45⁰
60⁰
α
sinα
cosα
tgα
ctgα

ПерейтиПерейти

№1 Решить задачу разными способами
12
?
30°
?

Перейти

№2 Решить задачу разными способами
6
?
45°
?

Перейти

В классе
№591 (а,б)
593 (а,в)
ДЗ
№591 (в,г)
593 (б,г)
Выучить определения

Перейти

№3 Решить задачу
∠ β
  =35°
Дано:
а=9; 
Найти стороны и 
углы 
треугольника

Перейти

№4 Решить задачу
∠α
 =47°
Дано:
с=20; 
Найти стороны и 
углы 
треугольника

Перейти

№5 Решить задачу
?
?

Перейти

Таблица Брадиса
Таблица Брадиса https://yadi.sk/d/acgXadMD3SSdvH

Перейти

Вычислить с помощью таблицы Брадиса
sin15° =
sin14° =
tg41° =
cos23° =
cos67° =
ctg19° =

Перейти

№6 Решить треугольник
?
B
16
C
?
22
?
A

Перейти

№7 Решить треугольник
?
B
?
C
10
?
A
8

Перейти

Выбор задачи
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16

Перейти

Задача 1
B
3
C
4
A
Найти sin ∠ B,  cos ∠ B,  tg ∠ B
сtg ∠ B

Перейти

Задача 2
350
A
C
D
B
Дано:  АВ = 18          Найти:  SABC

Перейти

Задач
а 3
B
β
4
A
C
D
Дано:  АВСD – прямоугольник 
β
 ∠ =50°
Найти:  AD,  AC

Перейти

Задача 4
4
A
H
D
3
C
B
1 5 0 0
Дано:  АВСD – трапеция
Найти:  AD,  CD,   SABCD

Перейти

Задача 5
2
B
C
15
15
A
20
H
K
D
Дано:  АВСD – трапеция
Найти:  ∠ A

Перейти

Задача 6
B
L
C
20
A
150
Найти:  AC

Перейти

Задача 7
B
4


2
1
C
6
A
Н
Дано:  АВСD – равнобедренная трапеция
D
К
Найти:  SABCD

Перейти

Задача 8
C
b
A
D
β
B
Найти:  AD,  AC

Перейти

Задача 9
A
6
C
B
1 2 0 0
32
D
H
Дано:  АВСD – трапеция
Найти:  AD,  SABCD

Перейти

Задача 10
C
K
A
:
Дано
cos
B
 AB
,
1
3
B
Найти:  HK
H

4

Перейти

Задача 11
K
B
4
300
A
D
C
Найти:  BD

Перейти

Задача 12
B
b
A
Найти:  AD
C
D

Перейти

Задача 13

Перейти

Задача 14

Перейти

Задача 15

Перейти

Задача 16

Источник: https://znanio.ru/media/sootnosheniya_mezhdu_storonami_i_uglami_pryamougolnogo_treugolnika-217992

Видеоурок «Соотношения между сторонами и углами треугольника»

§ 1  Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Треугольник может быть остроугольным, тупоугольным или прямоугольным. Рассмотрим тупоугольный треугольник АВС. Обратите внимание, что напротив тупого угла расположена наибольшая из сторон треугольника. В геометрии существует теорема, подтверждающая этот факт.

Теорема: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Рассмотрим доказательство данной теоремы.

Для этого возьмем треугольник, в котором сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С, лежащий против АВ, больше угла В, лежащего против АС. Отложим на стороне АВ отрезок АК, равный стороне АС. Соединим точки К и С, обратите внимание, что угол АСК является частью угла С, то есть угол АСК меньше угла С.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Теперь рассмотрим угол АКС, он является внешним углом треугольника ВКС, то есть равен сумме углов В и ВСК, значит, угол АКС больше угла В. Поскольку треугольник АКС равнобедренный (по построению АК=АС), угол АКС равен углу АСК.

Таким образом, угол С больше угла АСК, но АСК равен углу АКС, который, в свою очередь, больше угла В. Отсюда следует, что угол С больше угла В, что и требовалось доказать.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть в треугольнике АВС угол С больше угла В, докажем, что сторона АВ больше АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ равна АС, либо АВ меньше АС.

Если сторона АВ равна АС, тогда треугольник АВС равнобедренный и угол С равен углу В, что противоречит условию. Если сторона АВ меньше стороны АС, тогда по первой части теоремы угол С меньше угла В, что также противоречит условию.

Значит наше предположение неверно, и, следовательно, сторона АВ больше АС, что и требовалось доказать.

Имея в виду доказанную теорему, рассмотрим прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике самый большой угол 90 градусов, а против этого угла лежит гипотенуза, это означает, что гипотенуза – наибольшая сторона в прямоугольном треугольнике и соответственно больше любого из катетов. Утверждение о том, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, является следствием теоремы.

Следствие 1: в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

  • Также теорема имеет второе следствие
  • Следствие 2: если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
  • Это утверждение называют признаком равнобедренного треугольника.

§ 2  Неравенство треугольника

В вопросе соотношения между сторонами и углами треугольника есть ещё одна теорема.

Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что АВ меньше суммы сторон АС и СВ. Отложим на продолжении стороны АС отрезок СК, равный стороне СВ. Угол СВК обозначим как первый, а угол ВКС — как второй. Треугольник ВСК равнобедренный (по построению СК=СВ), значит, угол 1 равен углу 2.

Но в треугольнике АВК угол АВК больше первого угла, значит, угол АВК больше второго угла. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то сторона АВ меньше стороны АК, но сторона АК равна сумме сторон АС и СК, то есть равна сумме сторон АС и СВ (т.к.

СК=СВ по построению), поэтому сторона АВ меньше суммы сторон АС и СВ. Теорема доказана.

  1. Исходя из рассмотренной теоремы, получается
  2. Следствие: для любых точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: AB< AC + CB, AC< AB + BC, BC< BA + AC.
  3. Каждое из этих неравенств принято называть неравенством треугольника.

§ 3  Краткие итоги урока

  • Подведем итоги урока:
  • — В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона. 
  • — В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 
  • — Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 
  • — Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 
  • — Неравенства треугольника: AB< AC + CB, AC< AB + BC, BC< BA + AC.

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Sootnosheniya-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika.html

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Теорема:

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

  • 1) Дано: АВС, АВАС.
  •    Доказать: СВ.
  •    Доказательство:

Соотношение между сторонами и углами треугольника - Студенческий портал

Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС.

 АDАВ, т.к. по построению АD = АС, а по условию АСАВ, значит, точка D лежит между точками А и В. Следовательно, 1 является частью С, т.е. С1. Угол 2 внешний угол DBC, поэтому 2В. АDС — равнобедренный с основанием DC, т.к. по построению АD = АС, следовательно, 1 =2 (углы при основании).

  1. Итак, С1, 1 =2, значит, С2, при этом 2В, следовательно, СВ.
  2. 2) Дано: АВС, СВ.
  3.    Доказать: АВАС.
  4.    Доказательство:
  5. Предположим, что это не так. Тогда возможны два варианта:
  1. либо АВ = АС, тогда АВС — равнобедренный с основанием ВС, значит, С =В (как углы при основании), что противоречит условию: СВ.
  2. либо АВАС, тогда СВ, т.к. против большей стороны лежит больший угол (смотри 1 часть доказательства), что противоречит условию: СВ

Значит, наше предположение неверно, следовательно, АВАС. Что и требовалось доказать.

Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство:

  • Дано: АВС, ВС — гипотенуза, А — прямой.
  • Доказать: ВСАСВС АВ.
  • Доказательство:

АВС — прямоугольный, А — прямой, следовательно, углы В и С острые, тогда АВ и АС, значит, ВСАСВСАВ (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона). Что и требовалось доказать.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство:

  1. Дано: АВС, В =С.
  2. Доказать: АС = АВ.
  3. Доказательство:

Предположим, что одна из сторон будет больше, т.е.

АСАВ, тогда и угол лежащий против этой стороны будет больше, т.е.

ВС (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол), а это противоречит условию: В =С,следовательно, наше предположение неверно, значит АС = АВ.

Итак, в АВС равны две стороны (АС = АВ), следовательно, данный треугольник — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  • Теорема о сумме углов треугольника
  • Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
  • Неравенство треугольника
  • Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Уголковый отражатель
  • Расстояние от точки до прямой
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  • Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
  • Построение треугольника по трем его сторонам
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

  1. 7 класс
  2. Задание 237, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  3. Задание 238, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  4. Задание 245, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  5. Задание 252, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  6. Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  7. Задание 339, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  8. Задание 1036, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  9. Задание 1038, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  10. Задание 1079, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  11. Задание 3, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • © budu5.com, 2020
  • Пользовательское соглашение
  • Copyright
  • Нашли ошибку?
  • Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3428

Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника (стр. 1 из 2)

  • Конспект урока по геометрии для 8 класса средней общеобразовательной школы
  • Тема урока: Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника
  • Цели:
  • · образовательная: 1) формирование умений и навыков в применении соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника; 2) формирование умений работать с задачей.
  • · развивающая: развитие памяти, мышления, наблюдательности, внимательности; развитие познавательного интереса;
  • · воспитательная: воспитание самостоятельности, аккуратности, умения отстаивать свою точку зрения, умения выслушать других.
  • Тип урока: формирование умений и навыков.
  • Методы обучения: обобщенно-репродуктивный, эвристическое обобщение.
  • Требования к знаниям и умениям учащихся: знать, что такое синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество, значения синуса, косинуса и тангенса табличных углов; уметь решать задачи по данной теме.
  • Оборудование: линейка.
  • План урока
  • 1. Организационный момент (2 мин)
  • 2. Актуализация опорных знаний и умений (15 мин)
  • 3. Формирование умений применять соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника (25 мин)
  • 4. Подведение итогов работы на уроке (2 мин)
  • 5. Задание на дом (1 мин)
  • Ход урока
  • I. Организационный момент
  • Приветствие, проверка отсутствующих, сбор тетрадей с домашним заданием.
  • II. Актуализация опорных знаний и умений

Учитель: На сегодняшнем уроке мы продолжим решение задач по теме «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника». Но сначала повторим основные определения.

  1. Фронтальный опрос:
  2. 1) Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?
  3. (Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.)
  4. 2) Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?
  5. (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.)
  6. 3) Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
  7. (Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.)
  8. 4) Какое равенство связывает синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника?
  9. (
  10. 5) Чему равен

) ( )

6) Назовите основное тригонометрическое тождество?

(

)

Учитель: А теперь решим одну устную задачу.

Запись на доске: Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с основанием 10 см и углом при основании

.

Учитель: С чего начнем решение данной задачи?

Ученики: Для начала определим, по какой формуле будем искать площадь треугольника.

Учитель: Правильно. Обратим внимание на то, что этот треугольник не обычный, а во-первых, равнобедренный, во-вторых, прямоугольный.

Ученики: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Учитель: Хорошо. Теперь будем искать катеты.

  • Ученики: Так как треугольник равнобедренный, то достаточно найти только один катет, например
  • Запись на доске:
  • Ученики: Затем и данной формулы выразим катет
  • Запись на доске:

. Катет можно найти из соотношения между острым углом, катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника. . . .

Ученики: Гипотенуза

, а .

Запись на доске:

.

Ученики: Площадь треугольника равна

.

Запись на доске

.

III. Формирование умений применять соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника

Учитель: А теперь приступим к решению задач. На доске записаны задачи, которые необходимо решить в классе. Открывайте тетради, записывайте число и тему урока.

  1. Запись на доске: № 600, 601, 602.
  2. Запись на доске и в тетрадях: Число.
  3. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
  4. Учитель: Задачи будем решать около доски.

№ 600. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона откосов к горизонту равен

, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209).

Дано:

— равнобедренная трапеция, , , .

  • Найти:
  • Решение:
  • 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник
  • 2)
  • Ответ:
  • № 601. Найдите углы ромба, если его диагонали равны
  • Дано:
  • Найти:
  • Решение:
  • 1) В ромбе противолежащие углы равны, значит

. : , . Необходимо найти катет . Какое соотношение связывает два катета и острый угол? ; . . Так как треугольники и равны, то , значит . . и 2. — ромб, , .

2) Т.к. ромб является параллелограммом, значит

(диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам), .

  1. 3) Аналогично,
  2. 4)
  3. 5)
  4. Ответ:
  5. № 602. Стороны прямоугольника равны 3 см и
  6. Дано:
  7. Найти:
  8. Решение:
  9. 1)
  10. 2)
  11. Ответ:
  12. IV. Подведение итогов работы на уроке

. . . . см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. . . .

Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке мы сформировали умения и навыки в применении соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, закрепили умения решать задачи по данной теме. На следующем уроке мы продолжим изучение темы: «Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

Источник: https://mirznanii.com/a/315350/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-pryamougolnogo-treugolnika

Ссылка на основную публикацию