Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке — студенческий портал

Что будем изучать:

1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.
3. Экстремум функции.
4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1
функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает.

Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в
которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

  • Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).
  • Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).
  • Ребята, а что такое окрестность?
  • Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

  1. Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
  2. Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.
  3. Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого
функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x > x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 12 — 3×2,
б) y'= 0, при x= ±2,Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,
Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю:
Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

  • 3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.
  • в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

    г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

  • 4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 — точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 — 15x — 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.

г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-ekstremumy-funktsii

Значения функции и точки максимума и минимума

Неопубликованная запись

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

  • Наменьшее значение функции 
  • Точки max 
  • Точки min

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

  1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
  2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Задания с ЕГЭ: 

Найдите точку максимума функции 

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий порталТочки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

  • Приравняем ее к нулю:Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
  • Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий порталВсе верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!

Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

  • Преобразуем и возьмем производную: 

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

  • Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
  • Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

  1. Взять производную от предложенной функции.
  2. Приравнять ее к нулю.
  3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
  4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
  5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.

  6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции. 
  1. Задания с ЕГЭ: 
  2. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1] 
  3. Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал
  • Преобразуем и возьмем производную: 
  • «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
  • Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
  • Ответ: −6
  • Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
  • Берем производную:
  • Находим, чему равняется sin(x):
  • Но такое невозможно! Sin(x)…
  • Получается, что уравнение не имеет решения, и в таких ситуациях нужно подставлять крайние значения промежутка в первоначальное уравнение:
  • Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».

Ответ: 11

Выводы:

  1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
  2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
  3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
  4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
  5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.

Источник: https://ik-study.ru/ege_math/znachieniia_funktsii_i_tochki_max_i_min0

Точки экстремума функции. Задания ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Открытый банк заданий по теме точки экстремума функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].

Показать решение

  • Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y'= (7x^2-56x+56)'e^x,+ (7x^2-56x+56)left(e^x
    ight)'= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y'=0;
  • 7x(x-6)e^x=0,
  • x_1=0,  x_2=6.
  • Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке [0; 2] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7cdot 0^2-56cdot 0+56=56.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке left[0;,frac{pi}{4}
ight].

Показать решение

Найдём производную исходной функции:

y'= (12x)'-12(tg x)'-(18)'= 12-frac{12}{cos ^2x}= frac{12cos ^2x-12}{cos ^2x}leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^{x+52}.

Показать решение

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

y'(x)= left((x+8)^2
ight)'e^{x+52}+(x+8)^2left(e^{x+52}
ight)'= 2(x+8)e^{x+52}+(x+8)^2e^{x+52}= (x+8)e^{x+52}(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^{x+52}.

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^{x+52}>0 при любом x. y'=0 при x=-8,  x=-10. 

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^{x+52} имеет единственную точку минимума x=-8.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите точку максимума функции y=8x-frac23x^ frac32-106.

Показать решение

  1. ОДЗ: x geqslant 0. Найдём производную исходной функции:
  2. y'=8-frac23cdotfrac32x^ frac12=8-sqrt x.
  3. Вычислим нули производной:
  4. 8-sqrt x=0;
  5. sqrt x=8;
  6. x=64.

  7. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2ln x+37 на отрезке left[frac35; frac75
ight].

Показать решение

  • ОДЗ: x>0.
  • Найдём производную исходной функции:
  • y'(x)= 10x-12+frac{2}{x}= frac{10x^2-12x+2}{x}.
  • Определим нули производной: y'(x)=0;
  • frac{10x^2-12x+2}{x}=0,
  • 5x^2-6x+1=0,
  • x_{1,2}= frac{3pmsqrt{3^2-5cdot1}}{5}= frac{3pm2}{5},
  • x_1=frac15
    otinleft[frac35; frac75
    ight],
  • x_2=1inleft[frac35; frac75
    ight].
  • Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что на отрезке left[frac35; 1
ight]исходная функция убывает, а на отрезке left[1; frac75
ight]возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке left[frac35; frac75
ight]достигается при x=1 и равно y(1)= 5cdot 1^2-12cdot 1+2 ln 1+37= 30.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Показать решение

  1. Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:
  2. y'= left((x+4)^2
    ight)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)'= (19)'= 2(x+ 4)(x+1)+(x+4)^2= (x+4)(2x+2+x+4)= (x+4)(3x+6)= 3(x+4)(x+2).

  3. Отыщем нули производной: y'(x)=0;
  4. (x+4)(x+2)=0;
  5. x_1=-4,  x_2=-2.
  6. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что на отрезке [-5; -4] исходная функция возрастает, а на отрезке [-4; -3] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-5; -3] достигается при x=-4 и равно y(-4)= (-4+4)^2(-4+1)+19= 19.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите точки минимума функции y=sqrt{x^2+60x+1000}.

Показать решение

Область определения: x^2+60x+1000 geqslant 0;

x^2 +2cdot30x+30^2+(1000-30^2)= (x+30)^2+100>0 для всех вещественных значений x. Заметим, что функция y=sqrt t строго возрастает на множестве tgeqslant0.

Отсюда точка минимума исходной функции совпадёт с точкой минимума x_0 функции x^2+60x+1000.

Точка минимума квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом совпадает с абсциссой вершины соответствующей параболы. Вершина параболы имеет абсциссу x_0=-frac{60}{2cdot1}=-30.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите наименьшее значение функции y=(5x^2-70x+70)e^{x-12} на отрезке [10; 15].

Показать решение

  • Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения
  • y'= (5x^2-70x+70)'e^{x-12},+ (5x^2-70x+70)left(e^{x-12}
    ight)'= (10x-70)e^{x-12},+ (5x^2-70x+70)e^{x-12}= (5x^2-60x)e^{x-12}= 5x(x-12)e^{x-12}.
  • Вычислим нули производной: y'=0;
  • 5x(x-12)e^{x-12}=0,
  • x_1=0,  x_2=12.
  • Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что на отрезке [10; 12] исходная функция убывает, а на отрезке [12; 15] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [10; 15] достигается при x=12 и равно y(12)= (5cdot 12^2-70cdot 12+70)e^{12-12}= -50.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите наименьшее значение функции y=32tg x — 32x-8pi+103 на отрезке left[-frac{pi}{4}; frac{pi}{4}
ight].

Показать решение

Найдём производную исходной функции:

y'= 32(tg x)'-(32x)'-(8pi )'+(103)'= frac{32}{cos ^2x}-32= frac{32-32cos ^2x}{cos ^2x}geqslant0. Значит, исходная функция является неубывающей на рассматриваемом промежутке и принимает

наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=-frac{pi}{4}. Наименьшее значение равно yleft(-frac{pi}{4}
ight)= 32tgleft(-frac{pi}{4}
ight)-32cdotleft(-frac{pi}{4}
ight)-8pi+103= -32+103= 71.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Найдите точку максимума функции y=(x+3)^2e^{x-2016}.

Показать решение

  1. Будем находить точку максимума функции с помощью производной.

    Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

  2. y'(x)= left((x+3)^2
    ight)'e^{x-2016}+(x+3)^2left(e^{x-2016}
    ight)'= 2(x+3)e^{x-2016}+(x+3)^2e^{x-2016}= (x+3)e^{x-2016}(2+x+3)= (x+3)(x+5)e^{x-2016}.
  3. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.
  4. Так как e^{x-2016}>0 для любого x, то y'=0 при x=-3,  x=-5.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из рисунка видно, что функция y=(x+3)^2e^{x-2016} имеет единственную точку максимума x=-5.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Источник: https://academyege.ru/theme/tochki-ehkstremuma-funkcii.html

Теория к заданию 12 ЕГЭ по Математике ‘Наибольшее и наименьшее значение функций’

В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.

Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования. Все это есть в этой табличке:

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.

Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:

Пример: Найдите наибольшее значение функции y=x^5+20x^3–65x на отрезке [–4;0].

Шаг 1. Берем производную.

y' = (x^5+20x^3–65x)' = 5x^4 + 20*3x^2 — 65 = 5x^4 + 60x^2 — 65

Шаг 2. Находим точки экстремума.

Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y' = 0)

5x^4 + 60x^2 — 65 = 0

Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.

Я решаю такие уравнения заменой t = x^2, тогда 5t^2 + 60t — 65 = 0.

Сократим уравнение на 5, получим: t^2 + 12t — 13 = 0 D = 12^2 — 4*1*(-13) = 196 t_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1 t_(2) = (-12 — sqrt(196))/2 = (-12 — 14)/2 = -13 Делаем обратную замену x^2 = t: x_(1 и 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 и 4) = ±sqrt(-13) (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах) Итого: x_(1) = 1 и x_(2) = -1 — это и есть наши точки экстремума.

Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.

Метод подстановки.

В условии нам был дан отрезок [b][–4;0][/b]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=-1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки -4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную — это ту, которая дана в условии (y=x^5+20x^3–65x), некоторые начинают подставлять в производную… y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 — 65*(-1) = -1 — 20 + 65 = [b]44[/b]
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 — 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 — 65*(-4) = -1024 — 1280 + 260 = -2044

Значит наибольшее значение функции это [b]44[/b] и достигается оно в точки [b]-1[/b], которая называется точкой максимума функции на отрезке [-4; 0].

Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:

Через промежутки знакопостоянства.

Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.

Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: -4, -1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое-нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)^4 + 60(100)^2 — 65.

Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через -1 функция опять сменит знак на плюс.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс, достигается локальный минимум функции.

Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) — это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞.

Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории.

Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот здесь.

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно — обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!

Источник: https://reshimvse.com/article.php?id=121

Исследование графика функции

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

  • область определения функции
  • область значений функции
  • нули функции
  • промежутки возрастания и убывания
  • точки максимума и минимума
  • наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке - Студенческий портал

Уточним терминологию:

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции  — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок  — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества  можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

  • Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
  • Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
  • Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению  соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

Точка максимума — это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума — такая точка, значение функции в которой больше, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.

На нашем рисунке  — точка максимума.

Точка минимума — внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума — такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».

На нашем рисунке  — точка минимума.

Точка  — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и  на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это  и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны  и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно  и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/issledovanie-grafika-funkcii/

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x).

Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.

Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.

Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума. Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)0 – точка максимума.

Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже. Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Основные функции

  • : x^a

модуль x: abs(x)

  • : Sqrt[x]
  • : x^(1/n)
  • : a^x
  • : Log[a, x]
  • : Log[x]
  • : cos[x] или Cos[x]
  • : sin[x] или Sin[x]
  • : tan[x] или Tan[x]
  • : cot[x] или Cot[x]
  • : sec[x] или Sec[x]
  • : csc[x] или Csc[x]
  • : ArcCos[x]
  • : ArcSin[x]
  • : ArcTan[x]
  • : ArcCot[x]
  • : ArcSec[x]
  • : ArcCsc[x]
  • : cosh[x] или Cosh[x]
  • : sinh[x] или Sinh[x]
  • : tanh[x] или Tanh[x]
  • : coth[x] или Coth[x]
  • : sech[x] или Sech[x]
  • : csch[x] или Csch[е]
  • : ArcCosh[x]
  • : ArcSinh[x]
  • : ArcTanh[x]
  • : ArcCoth[x]
  • : ArcSech[x]
  • : ArcCsch[x]
  • [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
  • Источник: https://allcalc.ru/node/678

    Ссылка на основную публикацию