Волны де бройля — студенческий портал

Построение квантовой механики в начале прошлого столетия началось с гипотезы Луи де Бройля. В 1923-1924г.г. он выдвинул и развил идеи о волнах вещества.

К тому времени в оптике уже сложилась парадоксальная, но подтверждаемая опытом ситуация: в одних явлениях (интерференция, дифракция, поляризация, дисперсия)свет ведет себя как волны; в других явлениях (излучение и поглощение света, фотоэффект, эффект Комптона) проявляются с не меньшей убедительностью корпускулярные свойства света, и может быть обосновано рассмотрение световых корпускул — фотонов.

Ряд оптических явлений (отражение, давление и преломление света), вообще, может быть объяснен как с точки зрения корпускулярной теории, так и волновой. Анализируя эти обстоятельства, Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что если свет обладает корпускулярно-волновым дуализмом, то и частицы должны обладать „волново-корпускулярным дуализмом» [1 — 3].

• Корпускулярные свойства света (фотонов) характеризуются энергией е и импульсом p', волновые — частотой ω и волновым вектором k' . В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом света имеют место соотношения:
• ε = ħ ∙ ω
• (17.1)
• p' = ħ ∙ k'
• (17.2)
• где ħ = 1,055-10-34 Дж∙с — постоянная Планка.

По аналогии со свойствами света эти соотношения были постулированы де Бройлем и для микрочастиц вещества. Тогда, в соответствии с формулой (17.2) имеем:

p = ħ ∙ k = ħ ∙ ( 2π / λБ )

где λБ   – некоторая длина волны, названная впоследствии длиной волны де Бройля.

1. Следовательно, каждой частице вещества массой m, движущейся со скоростью ν, соответствует определенная длина волны λБ :
2. λБ = ( 2π ∙ ħ ) / p = ( 2π ∙ ħ ) / ( m ∙ ν )
3. (17.3)

Рассмотрим некоторые свойства волн де Бройля, вытекающие из соотношений (17.1) – (17.3).

• Прежде всего, оценим, каков порядок величины длины волны де Бройля для материальных частиц. Пусть мы имеем пучок электронов, ускоряемых напряжением U вольт; если это напряжение невелико, так что можно еще пользоваться формулами классической механики, то скорость электронов (с зарядом e и массой m) определяется из соотношения:
• ( m ∙ ν2 ) / 2 = ( e ∙ U ) / 300
• (17.4)
• λБ = ( h2 / m ∙ e )1/2 ∙ ( 150 / U )12 = 1,225 / U1/2 нм
• (17.5)

Исключая v из (17.3) и (17.4), получаем выражение:

Отсюда видно, что для электронов, ускоряемых напряжением 150 В, длина волны де Бройля равна 0,1 нм; это — порядок величины длины волны мягких рентгеновских лучей. Для протонов длина волны де Бройля при той же скорости в √1836 раз меньше.

Если скорость электронов велика, то формулы классической механики становятся неприменимыми, и нужно учитывать релятивистскую поправку на зависимость массы от скорости. В таких случаях для определения λБ можно пользоваться следующей приближенной формулой, получаемой при учете релятивистского выражения для кинетической энергии в формуле (17.4):

λБ = ( 1,225 / U1/2 ) ∙ (1 — 0,489 ∙ 10-6 ∙ U ) нм

(17.6)

>Расчеты по формулам (17.5) и (17.6) показывают, что при увеличении ускоряющего напряжения от 10 до 109В длина волны де Бройля для электронов уменьшается от 0,39 до 1,2⋅10-6 нм, а для протонов – от 0,9⋅10-2 до 7,3⋅10-7 нм.

Из этого ясно, что для обнаружения интерференции материальных частиц следует пользоваться теми же методами, которые применяются в случае рентгеновских лучей, т. е. интерференцией в кристаллической решетке. Опыты, проведенные в этом направлении Дэви-соном и Джермером в 1927 г., подтвердили правильность такого предположения.

Суть опытов Дэвисона и Джермера состояла в следующем [2]. Параллельный пучок электронов (рис. 17.

1) определенной скорости, получаемый при помощи «электронной пушки» А, направлялся на кристалл В; отраженные электроны улавливались коллектором  С,  соединенным с гальванометром.

Коллектор мог устанавливаться под любым углом относительно падающего пучка, оставаясь все время в одной плоскости. Измеряя силу тока коллектора при разных положениях его, можно было судить об интенсивности отражения в различных направлениях.

Результат представлялся в виде полярной диаграммы, образцы которой приведены на рис. 17.2. На радиусах-векторах, проведенных под различными углами, откладывались отрезки, пропорциональные интенсивности отражения под соответствующими углами.

Оказалось, что если поместить в В (см. рис. 17.

1) монокристалл никеля, то при отражении наблюдается резко выраженный селективный максимум, показывающий, что электроны отражаются, следуя оптическому закону: «угол падения равен углу отражения»

1. 
2. Опыт с правильным отражением электронов от монокристалла на самом деле представляет точную аналогию интерференционного отражения рентгеновских лучей от кристалла по методу Брэггов. Как известно, рентгеновские лучи испытывают отражение от кристалла только в том случае, если их длина волны и угол скольжения, удовлетворяют формуле Вульфа-Брэггов:
3. m ∙ λ = 2d ∙ sin φ

(см. рис. 17.2, а). Тот же опыт, повторенный с поликристаллической пластинкой никеля, состоящей из множества хаотически расположенных кристалликов, не обнаружил никакой селективности (см. рис. 17.2, б).где m = 1, 2, … — порядок интерференции, d — порядок кристаллической решетки.

Эту формулу можно использовать и для анализа интерференционной картины от электронного пучка, полагая λ = λБ , т.е.

m ∙ λБ = 2d ∙ sin φ

(17.7)

Комбинируя формулы (17.5) и (17.7), получаем

• 1,225 / U1/2 = 1 / m ∙ 2d ∙ sin φ
• U1/2 = 1,225m / ( 2d ∙ sin φ)
• (17.8)

или

Таким образом, если постепенно менять ускоряющее напряжение U и каждый раз измерять силу тока коллектора (т. е. интенсивность отражения), то, откладывая затем по оси абсцисс U1/2, а по оси ординат—интенсивность отражения l, можно получить кривую с рядом равноотстоящих резких максимумов с расстоянием между максимумами, равным 1,225 / { 2d ∙ sinφ ).

На рис. 17.3 приведена кривая, полученная с монокристаллом никеля при определенных условиях (φ = 80°, d = 0,203 нм). Как видно, периодическое повторение максимумов выражено очень отчетливо. На этом же рисунке стрелками показано положение максимумов, вычисленное по формуле Вульфа—Брэггов (17.7). Сравнение с положением    максимумов на экспериментальной кривой показывает, что для высоких значений m (m = 7, 8) имеется точное совпадение; для более низких т обнаруживается расхождение и притом тем большее, чем меньше m.

Поскольку это расхождение имеет систематический и закономерный характер, оно показывает, что какой-то фактор не учтен при расчете. Этот фактор есть показатель преломления волн де Бройля. Объяснение смещения максимумов количественно подтверждается вычислением внутреннего потенциала металла из наблюдений над электронной интерференцией. Вычисление это производится следующим образом [2].

Когда электроны попадают внутрь металла, то их импульс меняется, и именно это есть причина преломления электронных потоков с корпускулярной точки зрения. Изменение импульса при попадании внутрь металла объясняется тем, что внутри металла имеется электрическое поле, обусловленное положительными ионами, из которых состоит кристаллическая решетка металла.

Если представить себе прямую, проходящую через ряд положительных ионов металла, то при перемещении вдоль этой прямой потенциал, очевидно, должен меняться периодически, так как ионы расположены на равных расстояниях.

Однако, можно приближенно заменить этот периодически меняющийся потенциал некоторым средним потенциалом, который и называется внутренним потенциалом металла V.

Этот потенциал изменяет, прежде всего, фазовую скорость волн де Бройля.

Выражение для фазовой скорости электронных волн вне металла можно получить по аналогии с выражением для фазовой скорости электромагнитной волны. Как известно [3], всякая электромагнитная волна обладает фазовой скоростью νф, которая равна:

νф = ω / k

Тогда для фазовой скорости волн де Бройля формулы (17.1) и (17.2) дают выражение:

νф = ω / k = ( ħ ∙ ω ) / ( ħ ∙ k ) = ε / p = ( m ∙ c2 ) / ( m ∙ ν ) = c2 / ν > c

(17.9)

то есть волны де Бройля могут распространяться с фазовой скоростью, большей, чем скорость света в данной среде. Полученный результат не должен удивлять, так как на величину фазовой скорости не накладывается никаких ограничений.

1. Выражение для фазовой скорости электронных волн де Бройля (17.

   9) можно переписать для вакуума в виде [2]

2. νф = ω / k = ( ħ ∙ ω ) / ( ħ ∙ k ) = E / p = E / ( m ∙ ν ) = E / ( m2 ∙ ν2 )1/2 = E / (2m ∙ E )1/2
3. (17.

   10)

4. Если потенциальная энергия электрона внутри металла есть W, то импульс внутри металла будет pм = ( 2m ∙ ( E — W ))1/2, а фазовая скорость электронных волн внутри металла будет равна
5. νфм = E / pм = E / ( 2m ∙ ( E — W ))1/2
6. (17.11)
7. n = νф / νфм

где E — полная энергия электронов в вакууме.

Как известно, по определению показатель преломления n для электромагнитной волны на границе раздела двух сред равен

Тогда для электронных волн де Бройля на границе вакуум-металл показатель преломления n в соответствии с выражениями (17.10) и (17.11) будет определяться по формуле

• n = νф / νфм = (( E — W) / E)1/2
• (17.12)
• Если принять во внимание, что внутренний потенциал металла V0 положителен, а заряд электрона отрицателен; то тогда потенциальная энергия W — отрицательна:
• W = — e ∙ V0
• Полная энергия Е выражается, как обычно, через внешний ускоряющий потенциал Е = e ∙ V Принимая все это во внимание, получаем из (17.12) выражение для показателя преломления волн де Бройля через внутренний потенциал металла:

μ = ( V + V0 )1/2 / V1/2 = ( 1 + ( V0 / V ) )1/2

(17.13)

Если рассчитать внутренний потенциал металла с учетом показателя преломления электронных волн де Бройля по формуле (17.13), то получаются значения V0, которые хорошо согласуются со значениями, вычисленными из теории металлов [2]. Это означает, что волны де Бройля для микрочастиц, действительно, испытывают преломление на границе раздела двух сред.

Кроме того, это обстоятельство вообще доказывает интерференционный характер отражения волн де Бройля при взаимодействии с веществом, который наблюдался в опытах Девисона и Джермера.

Заметим, что рассмотрение преломления волн де Бройля на границе раздела двух сред было проведено на основании использования представлений о фазовой скорости волн де Бройля. Однако следует напомнить, что фазовая скорость  волн де Бройля имеет чисто символическое значение и относится к числу принципиально не наблюдаемых величин.

Принципиально наблюдаемой величиной является групповая скорость волн де Бройля νГ:

1. νГ = dω / dk = dε / dp
2. Но так как в соответствии с теорией относительности имеет место соотношение:
3. ε = (m02 ∙ c4 + p2 ∙ c2)1/2

то

то есть групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.

На первых порах развития квантовой механики была сделана попытка рассмотреть частицы как волновые пакеты. Основания для этого были следующие.

Электрон или другая материальная частица не может быть, конечно, плоской гармонической волной, так как подобная волна безгранична, а частица локализована в пространстве и во времени.

Но из плоских волн, подбирая соответствующим образом их волновые векторы k', можно строить волновые пакеты, имеющие сколь угодно малое протяжение.

Нельзя ли рассматривать частицу как волновой пакет? Подобная гипотеза, казалось бы, находит себе подтверждение в том, что групповая скорость волн де Бройля, то есть именно та скорость, с которой перемещается максимум пакета, как раз равна в соответствии с формулой (17.14) скорости частицы ν. Но при ближайшем рассмотрении эта идея оказывается совершенно неправильной.

• Решающее возражение заключается в следующем: оказывается, что хотя максимум пакета перемещается со скоростью dω / dk , равной для волн де Бройля ν, сам пакет при движении в реальной диспергирующей среде не сохраняет своей формы и размеров, а постепенно расширяется — расплывается. Как показывает квантово-механический расчет [2], пакет будет удваиваться через промежуток времени выражаемый формулой
• t = 31/2 ∙ (b2 ∙ m / ħ )
• где m — масса частицы; ħ — постоянная Планка, b — полуширина пакета.

Для частицы с массой m = 1 г, занимающей протяжение 2 мм (b = 1 мм), соответствующий пакет удваивается через 6∙1017 лет. Но для микрочастицы с массой электрона (m = 0,9∙1027 г) при b ~ 10-12 см и t ≈ 1,6∙10-26 с, то есть пакет, соответствующий электрону, расплывался бы мгновенно, что, конечно, противоречит элементарнейшим наблюдениям.

Поэтому представление о распространении микрочастиц в соответствии с распространением волнового пакета не может быть принято в качестве физической интерпретации волн де Бройля.

К такому же заключению приводит наблюдение за неделимостью микрочастиц при взаимодействием с веществом (например, для электронов переносящих неделимые заряд и массу). Этим свойством неделимости волны не обладают.

На границе двух сред с различной фазовой скоростью волна разделяется на отраженную и преломленную, при прохождении через кристалл она разбивается на ряд дифракционных пучков и т. д.

Если бы мы стали рассматривать электрон как суперпозицию волн, то, например, при дифракции очень слабого пучка, когда электроны проходят один за другим через кристалл, каждый дифракционный пучок должен был бы нести только часть электрона, чего на самом деле нет.

Но в таком случае связь между волнами и частицами может быть истолкована только статистически, а именно, следующим образом: квадрат амплитуды волны в данном месте, измеряющий ее интенсивность, есть мера вероятности найти частицу в этом месте.

В случае интерференции волн де Бройля для микрочастиц следует считать, что светлые полосы в сфотографированной интерференционной картине — это места, куда электроны попадают чаще всего; темные полосы — это места, куда они вовсе не попадают.

Если теперь применить эти соображения не к собранию большого числа электронов, а к отдельным электронам, то можно также сказать, что вероятность нахождения электрона максимальна там, где амплитуда волнового поля имеет максимальную величину и равна нулю там, где амплитуда равна нулю. Но так как амплитуда может быть и положительной, и отрицательной, а вероятность есть всегда положительное число, то необходимо характеризовать вероятность квадратом амплитуды.

Таким образом, связь между распространением волн де Бройля и микрочастиц может рассматриваться только статистически.

Гипотеза де Бройля о волнах вещества вскоре была подтверждена экспериментально также опытами Томсона и Тартаковского [1 – 3]. В этих опытах была доказана возможность наблюдения дифракции электронов. Опыты проводились следующим образом

В 1928 году Г. П. Томсон и независимо от него П. С. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу (рис.17.4). Г. П.

Томсон пропускал тонкий монохроматический пучок быстрых электронов (ускоренных потенциалом от 17,5 до 56,5 кВ) сквозь монокристаллическую фольгу толщиной ∼10-5 см. П. С.

Тартаковский использовал поток менее быстрых электронов (ускоренных потенциалом до 1700 В). Опыты осуществлялись следующим образом (см. рис. 17.4, а).

Пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Электрон при ударе о фотопластинку оказывал на нее такое же действие, как и фотон.

Все электроны укладывались на фотопластинке точно по кругу, то есть образовывалась дифракционная картина (рис. 17.4, б). Сходство с полученной в таких же условиях рентгенограммой, было идеальным.

Позднее Штерн и его сотрудники показали, что дифракционные явления обнаруживаются также у атомных и молекулярных пучков.

В опытах Томсона и Тартаковского, а также в опытах Дэвиссона и Джер-мера интенсивность электронных пучков была очень велика. Поэтому можно было предположить, что наблюдаемая дифракционная картина обусловлена одновременно участием в процессе большого числа электронов, а отдельный электрон, проходя через кристалл, не будет обнаруживать дифракции.

Чтобы выяснить этот вопрос, российские физики Л. М. Биберман, Н. Т. Сушкин и В. А. Фабрикант осуществили в 1949 году опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор практически по одиночке.

Средний промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электрона через дифракционную систему был примерно в 30000 раз больше времени, затрачиваемого одним электроном на прохождение всего прибора.

При достаточно длинной экспозиции была получена дифракционная картина, ничем не отличающаяся от той, которая наблюдается при интенсивности пучка в 107 раз большей, но меньшем времени экспозиции (рис. 17.4, б). То есть электроны также укладывались по кругу. Таким образом, было доказано, что и отдельные микрочастицы обладают волновыми свойствами, аналогичными потоку микрочастиц.

Источник: http://fevt.ru/load/volny_de_brolja/55-1-0-252

Лекция 7. Статистическая интерпретация волн де Бройля

Экспериментальное подтверждение существования волновых свойств электронов и других микрочастиц привело на первых порах к предположению, что электрон представляет собой волновой пакет.

Основания для этого: а) волновой пакет является пространственно локализованным образованием. Его область локализации можно отождествить с размерами частицы; б) групповая скорость волны де Бройля для частицы совпадает со скоростью ее движения.

Возражения против этих аргументов:

а) волновой пакет перемещается как целое, без изменения своей первоначальной формы, лишь при отсутствии дисперсии. волн Это отражается, например, в формуле (1.44) в том, что при ее выводе в (1.43а) отбрасывался третий член разложения, который описывает дисперсию.

Если учесть этот отброшенный член, то окажется, что волновой пакет не сохраняет своей формы. Он расплывается со временем: более быстрые составляющие волны убегают вперед, а более медленные — отстают. В итоге происходит искажение волнового пакета и его расплывание. Нетрудно убедиться, что волна де Бройля обладает дисперсией.

Например, в случае нерелятивистской частицы фазовая скорость волны де Бройля равна . Учет третьего члена разложения в формуле (1.43а) приводит к появлению в фазе волны (1.44) дополнительного члена, зависящего от времени: . Если центр пакета в начальный момент времени находится в точке , то изменение формы пакета произойдет за время , когда дополнительная фаза станет порядка : . Учитывая соотношения (1.45), отсюда получаем оценку для времени расплывания волнового пакета де Бройля:

б) волны обладают тем свойством, что при падении на границу раздела двух сред волна частично отражается, а частично преломляется. В отношении электрона нет ни одного эксперимента, в котором бы проявлялась часть электрона, например, какая-то дробная величина его заряда.

Во всех опытах всегда электрон выступает как целое со своим зарядом, массой. Так же, как целое, выступает фотон, например, в фотоэффекте, эффекте Комптона и др. Другими словами, в отличие от волн электрон, фотон и другие элементарные частицы обладают свойством неделимости.

Неправильным оказалось также предположение, что волновыми свойствами обладает только ансамбль – система большого числа электронов. волновые свойства присущи отдельному электрону.

В этих опытах средний промежуток времени, разделяющий прохождение отдельных электронов через дифракционную систему, был примерно в 30 тысяч раз больше времени движения электрона внутри всего прибора.

возникает дифракционная картина, которая оказывается такой же, как в опытах по дифракции интенсивных электронных пучков.

Рассмотрим теперь мысленный эксперимент, предложенный Эйнштейном. Пусть электроны падают на непрозрачный экран с двумя узкими параллельными щелями. Если расстояние между щелями порядка длины волны де Бройля, то за экраном на фотопластинке возникает дифракционная картина.

при взаимодействии с экраном электрон ведет себя как волна. Поэтому он проходит одновременно через обе щели, так что невозможно указать, через какую именно щель прошел электрон. Когда же электрон сталкивается с фотопластинкой, то он ведет себя как частица.

В этом и проявляется корпускулярно–волновой дуализм микрочастиц.

Мы можем лишь утверждать, что электрон либопопадет, либо не попадет в выбранную точку. Это значит, что предсказание о попадании дифрагировавшего электрона на фотопластинку носит вероятностный характер. На этом основании говорят, что волна де Бройля является волной вероятности.

Она определяет вероятность того, что электрон находится в некоторой области пространства вблизи рассматриваемой точки. Функция, описывающая вероятное местоположение электрона, называется волновой,или – функцией- описывает возможные состояния его движения.

• Можно считать, что величина представляет собой плотность вероятности того, что частица находится вблизи точки в момент времени . Вероятность обнаружить частицу в элементе объема вблизи этой точки равна:
• , (1.68)
• где – комплексно–сопряженная волновая функция. Согласно формуле полной вероятности:

. (1.69)

Эта означает, что электрон (частица) обязательно где-то находится. В математическом отношении формула (1.69) представляет собой условие нормировкиволновой функции. Для существования интеграла (1.

69) волновая функция должна удовлетворять необходимым условиям. Если в (1.

69) интегрирование проводится по всему пространству, то волновая функция должна достаточно быстро убывать при удалении от начала координат:

при . (1.70)

Это – естественное граничное условие.Волновая функция описывается фундаментальным уравнением (уравнение Шредингера). Ясно, что волновая функция должна быть однозначной.

Рассмотрим снова опыт по дифракции электронов на двух щелях. Состояние электрона, пролетевшего через верхнюю щель (при закрытой нижней щели), , а состояние электрона, пролетевшего через нижнюю щель (при закрытой верхней) .

Если открыты обе щели, то состояние электрона описывается волновой функцией . Это отражает принцип суперпозиции состояний. Вероятность попадания электрона в эту точку на экране при обеих открытых щелях определяется .

Отсюда видно, что вероятность события 1+2 не равна сумме вероятностей событий 1 и 2, т.е. при попадании на фотопластинку складываются не интенсивности волн де Бройля, а их амплитуды – волновые функции.

Принцип суперпозиции состоит в следующем: если в данных условиях существуют квантовые состояния, которые описываются волновыми функциями , то существует также состояние, описываемое волновой функцией .

Рассмотрим две системы. Пусть вероятности одной из них описываются волновой функцией , а другой – функцией . Если эти системы независимы, то распределение вероятностей для всей системы в целом равно произведению вероятностей отдельных систем: .

. (1.71)

Например, среднее значение координаты частицы вдоль оси х вычисляется по формуле:

. (1.71а)

Аналогично можно определить дисперсию координаты

. (1.71б)

Источник: https://megaobuchalka.ru/10/24489.html

Волна де Бройля — это… Что такое Волна де Бройля?

Волны де Бройля — волны, связанные с любой микрочастицей и отражающие их квантовую природу.

История

В 1924 году французский физик Л. де Бройль (L.

de Broglie) высказал гипотезу о том, что установленный ранее для фотонов корпускулярно-волновой дуализм присущ всем частицам — электронам, протонам, атомам и так далее, причём количественные соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и для фотонов.

Таким образом, если частица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которого равно p, то с ней связана волна, частота которой ν = E / h и длина λ = h / p. Эти волны и получили название Волны де Бройля.

Физика

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью (скорости света), импульс равен (где — масса частицы), и . Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и её скорость. Например, частице с массой в 1 г, движущейся со скоростью 1 м/с, соответствует волна де Бройля с м, что лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому волновые свойства несущественны в механике макроскопических тел. Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина Волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10-2 нм, то есть в интервале длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.

Первое подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американского физика К. Дэвиссона и Л. Джермера.

Пучок электронов ускорялся в электрическом поле с разностью потенциалов 100—150 В (энергия таких электронов 100—150 эВ, что соответствует нм) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решётки. Было установлено, что электроны дифрагируют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля.

Подтвержденная на опыте идея де Бройля о двойственной природе микрочастиц — корпускулярно-волновом дуализме — принципиально изменила представления об облике микромира. Поскольку всем микрообъектам (по традиции за ними сохраняется термин «частица») присущи и корпускулярные и волновые свойства, то, очевидно, любую из этих «частиц» нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании.

Возникла потребность в такой теории, в которой волновые и корпускулярные свойства материи выступали бы не как исключающие, а как взаимно дополняющие друг друга. В основу такой теории — волновой, или квантовой, механики — и легла концепция де Бройля. Это отражается даже в названии «волновая функция» для величины, описывающей в этой теории состояние системы.

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность состояния системы, и поэтому о волнах де Бройля часто говорят как о волнах вероятности (точнее, амплитуд вероятности). Для свободной частицы с точно заданным импульсом p (и энергией ), движущейся вдоль оси x, волновая функция имеет вид:

где — время, .

В этом случае , то есть вероятность обнаружить частицу в любой точке одинакова.

См. также волновой пакет.

Wikimedia Foundation. 2010.

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/850871

Корпускулярно-волновая теория и волны де Бройля

В 20-х годах ХХ в. появилась невероятная теория, которая вывела квантовую физику на новый уровень.

Авторство теории принадлежит французскому ученому Луи де Бройлю (1892—1987), а суть ее состоит в том, что фотоны (порции-кванты, которыми испускается электромагнитное излучение) и все остальные элементарные единицы материи вроде электронов, протонов и пр. — то есть вполне осязаемые, весомые объекты — это одновременно и частицы, и волны.

Как частицы, все они несут в себе энергию и движутся, а значит, им сообщается импульс — количество движения, толчок, необходимый для того, чтобы заставить тело определенной массы сойти с места.

Как волны, элементарные единицы характеризуются частотой и длиной, причем обе группы свойств связаны между собой постоянной Планка — квантом движения. Так, энергию можно определить, умножив частоту волны на квант движения; а импульс — по произведению длины волны и той же постоянной Планка.

То есть Бройль считал, что свет — это не просто электромагнитные волны, а текущие волнами частицы; электричество — не простой поток электронов, а волновой.

Для каждой точки, в которой электрон может оказаться в тот или иной момент времени, существует волновой график возможных значений, и пик амплитуды приходится на те координаты пространства, куда частица попадет с наибольшей вероятностью. Данная концепция получила название корпускулярно-волнового дуализма.

Хоть у Бройля и не получилось экспериментально доказать свои умозаключения, он все равно перевернул сознание коллег и побудил их взглянуть на материю под другим углом. В итоге в 1925 г.

немецкий физик Вернер Гейзенберг (1901—1976) заложил основы новой науки — квантовой механики, выстроив в математических таблицах (матрицах) временные изменения поведения каждой частицы.

Под поведением подразумевались скачки квантовой системы (молекулы, атома, электрона…) с одного энергетического уровня на другой (с высшего на низший или наоборот), с выделением либо поглощением энергии.

Преимущество таких матриц было в одном: их данные совпадали с результатами экспериментов, — однако в них не учитывалось ни местоположение частиц, ни траектория, ни скорость. Гейзенберг считал, что вводить эти параметры не имеет смысла, поскольку измерить их опытным путем в мире элементарных частиц невозможно.

Читать:  Искусственная радиоактивность

Другим ученым, который поддержал идею Бройля, стал австриец Эрвин Шрёдингер (1887—1961). На научной конференции в Цюрихе в 1926 г. он осмелился заявить, будто поведение элементарных частиц скорее напоминает распространение волн, нежели движение твердых тел.

На это один из участников конференции — очень уважаемый профессор — возмущенно воскликнул: «Шрёдингер, ну что за ерунда?! Всем же известно, что волны описываются волновыми уравнениями…» Приняв данную реплику за вызов, ученый поставил себе задачу написать уравнение для вероятностной волны — и легко сделал это с помощью классической формулы обычной волновой функции, подставив туда возможные координаты, массу, потенциальную и постоянную энергию частицы, ну и конечно, планковский квант движения. Впоследствии матрица Гейзенберга и уравнение Шрёдингера стали инструментами, позволяющими описывать все квантовые явления.

То есть показал такую же дифракционную картину, какую дают коротковолновые электромагнитные икс-лучи, проходя сквозь кристалл, да и просто обычный пучок света, прошедший через дифракционную решетку — пластину с узкими продольными щелями.

Измерив радиусы самых ярких и широких кругов, исследователи смогли определить длину волны электронов — и убедились, что тот же результат получается в уравнении Бройля.

Читать:  Ультрафиолетовая катастрофа

Через год аналогичный опыт поставил сын британского физика Джозефа Томсона, открывшего электрон, — Джордж Паджет Томсон (1892—1975). Правда, вместо никеля он использовал тонкую фольгу, состоящую из крошечных кристалликов золота, однако результат получил тот самый, какого добились его американские коллеги.

Впоследствии данный эксперимент проводили разные ученые, немного меняя условия — например, выпуская электроны под очень слабым напряжением. В таком вялом потоке частицы проходили сквозь решетку по одной, но все равно образовывали дифракционные круги.

Так, при стовольтном напряжении, вполне нормальном для наших домашних электросетей, электроны двигались абсолютно неэнергично — в покое их энергия была бы в 5000 раз выше! — а их волны достигали диаметра атома.

Но и такие электроны умудрялись рассеиваться на решетке кристалла, словно полноценные электромагнитные волны, а затем реагировали с отдельными атомами светочувствительной пластины и точечно затемняли ее, как делают все частицы.

Кроме того, эксперименты с рассеянием электронов показали, что у элементарных частиц волновая и корпускулярная модели поведения никогда не «включаются» в одно и то же время — только поочередно, словно дополняя одна другую.

Самые выразительные дифракционные круги создаются наиболее мощными волнами, а значит, именно в эти места экрана врезается больше всего электронов. Но вот куда именно попадет частица после прохождения сквозь решетку, точно сказать не получится.

Можно только предположить — выстроить ряд более или менее вероятных координат. Отсутствие определенности — это главный принцип квантовой механики.

Если провести умозрительный эксперимент, в процессе которого поток электронов пропускается через две щели решетки, мы не сможем уверенно указать отверстие, в которое входит та или другая частица.

Разумеется, растянутые в пространстве волны могут проникнуть сразу через обе щели, но разве способна на такое маленькая частичка (шарик — в нашем представлении)? Оказывается, способна! Так же как фотон — частица-порция светового излучения.

Хотя мы видим, что электромагнитная волна проходит в оба отверстия, определить путь каждого ее фотона нереально. Между тем даже единичный квант света, пройдя через пластину с отверстиями, покажет на экране полосы интерференции.

Получается, фотон, подобно волне, накладывается сам на себя и усиливает собственную амплитуду. Аналогично проскальзывает в обе щели и электрон, как бы ни было сложно это представить, — и на экране появляются полосы.

Позже в экспериментах участвовали пучки атомов и молекул, протоны, нейтроны и прочие частицы — и каждый раз ученые видели на экране дифракционные круги, что подтверждало: все «подопытные» наполовину волны. Теория Бройля о двойственной природе микрообъектов была доказана, и это перевернуло привычную картину мира с ног на голову.

Ха-хаЛайкВауДоволенПечальноКакаЗлюсь
Подписывайтесь на наши каналы в Яндекс Дзени Телеграмм

Источник: http://mir-znaniy.com/korpuskulyarno-volnovaya-teoriya-i-volny-de-brojlya/

5.1.5 Волновые свойства частиц. Волны де Бройля. Длина волны де Бройля движущейся частицы

Видеоурок: Корпускулярно волновой дуализм. Катющик. Лекция по физике

Лекция: Волновые свойства частиц. Волны де Бройля.  Длина волны де Бройля движущейся частицы. Корпускулярно-волновой дуализм. Дифракция электронов на кристаллах

Основой корпускулярно-волнового дуализма является возможность обоснования всех процессов в природе с точки зрения волн и частиц. То же самое можно говорить и о свете. Свет принимается в качестве волны, когда наблюдаются процессы интерференции и дифракции, а при наблюдении фотоэффекта мы становимся свидетелями корпускулярной природы света.

Данная тема позволит определиться нам с природой всех объектов, может, на самом деле не только свет имеет двойственную природу.

Гипотеза де Бройля

О том, что все тела в мире и все частицы имеют двойственную природу, предположил Луи де Бройль.

Однако де Бройль предположил обратное: любое движение частицы сопровождается распространением некоторой волны. Определить частоту и её длину можно с помощью значения энергии и импульса.

Ну и, естественно, любая волна, образованная движением частицы, имеет свою энергию и импульс.

Итак, давайте разберем дуализм, относящийся к частице, как волне. Сделаем мы это с помощью электромагнитного излучения.

При изучении электромагнитного излучения были сделаны выводы: чем большую длину волны имеет электромагнитная волна, тем меньше у нее наблюдаются корпускулярные свойства.

И, наоборот, если волна имеет небольшую длину, её корпускулярные свойства определяются интенсивнее. Итак, давайте рассмотрим зависимость волновых свойств частиц от корпускулярных, перемещаясь по шкале волн.

1. Радиоволны. Как нам известно, данный вид имеет самую большую длину волну, достигающую сотен километров. Поэтому они имеют достаточно выраженные волновые свойства, и практически полное отсутствие корпускулярных свойств. Большая длина волны улучшает дифракционные свойства, в результате чего их лучше всего описывает электродинамика.

2. Волны от видимого излучения и ультрафиолета. Данный тип волн относится к переходному типу — они имеют и волновые и корпускулярные свойства. Корпускулярные свойства света возможны только в том случае, когда частота волн достигает красной границы, а волновые возможны только при небольших щелях, а также достаточно большом расстоянии до рассматриваемого объекта.

3. Рентген, гамма-излучения. Из-за достаточно небольших размеров длины волны, соизмеримой с величиной атома, рассматривать волновые свойства достаточно трудно, однако в качестве частиц с энергией — вполне возможно. Причем данный вид излучений имеет огромную энергию. Поскольку зависимость между длиной волны и частотой — обратная.

Вывод: Чем больше длина волны, тем лучшее проявление волновых свойств, чем меньше длина волны — тем лучше проявление корпускулярных свойств.

Дифракция электронов

Масса электронов — это постоянная величина, поэтому мы с легкостью можем рассчитать длину волны движения электронов. 

После несложных расчетов можно сделать вывод, что длина волны электрона достаточна для рассмотрения её волновых свойств.

Волновые свойства электронов были обнаружены Дэвиссоном и Джермером в 1927 году. Позднее было открыто, что дифракция на кристаллах возможна и с протонами, нейтронами и многими другими частицами.

Предыдущий урок

Следующий урок

Источник: https://cknow.ru/knowbase/334-volnovye-svoystva-chastic-volny-de-broylya-dlina-volny-de-broylya-dvizhuscheysya-chasticy.html

ВО́ЛНЫ ДЕ БРО́ЙЛЯ

Авторы: В. И. Григорьев

ВО́ЛНЫ ДЕ БРО́ЙЛЯ, вол­ны ве­ро­ят­но­сти, свя­зан­ные со сво­бод­но дви­жу­щей­ся мик­ро­час­ти­цей и от­ра­жаю­щие её кван­то­вую при­ро­ду. В 1923 Л. де Бройль вы­ска­зал ги­по­те­зу о том, что всем ви­дам ма­те­рии – фи­зич. по­лям, элек­тро­нам, ато­мам и т. п.

 – при­сущи свой­ст­ва как час­ти­цы, так и вол­ны (кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­вой дуа­лизм). Та­кие свой­ст­ва бы­ли от­кры­ты ра­нее у кван­тов элек­тро­маг­нит­но­го по­ля – фо­то­нов, ко­то­рые про­яв­ля­ли вол­но­вые свой­ст­ва (напр., в яв­ле­ни­ях ди­фрак­ции и ин­тер­фе­рен­ции све­та), а с др.

сто­ро­ны, взаи­мо­дей­ст­во­ва­ли с ве­ще­ст­вом как час­ти­цы, об­ла­даю­щие оп­ре­де­лён­ны­ми зна­че­ния­ми энер­гии и им­пуль­са, напр. в яв­ле­нии фо­то­эф­фек­та.

В со­от­вет­ст­вии с кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­вым дуа­лиз­мом с час­ти­цей, об­ла­даю­щей энер­ги­ей $????$ и им­пуль­сом $p$, свя­за­на вол­на с час­то­той $ν=????/h$ и дли­ной вол­ны $λ=h/p$, где $h$ – по­сто­ян­ная План­ка. Та­кие вол­ны по­лу­чи­ли на­зва­ние волн де Брой­ля.

Для час­тиц не очень вы­со­кой энер­гии $λ=h/mv$ (где $m$ и $v$ – мас­са и ско­рость час­ти­цы), т. е. дли­на В. де Б. тем мень­ше, чем боль­ше мас­са и ско­рость час­ти­цы. Напр., час­ти­це мас­сой 1 г, дви­жу­щей­ся со ско­ро­стью 1 м/с, со­от­вет­ст­ву­ет В. де Б.

$λ≈10^{–17}$ нм; та­кие дли­ны волн ле­жат за пре­де­ла­ми дос­туп­ной на­блю­де­нию об­лас­ти, по­это­му в ме­ха­ни­ке мак­ро­ско­пич. тел вол­но­вые свой­ст­ва не­су­ще­ст­вен­ны и не учи­ты­ва­ют­ся. Для элек­тро­нов с энер­гия­ми от 1 эВ до 104 эВ дли­ны В. де Б. ле­жат в рент­ге­нов­ском диа­па­зо­не длин волн.

Вол­но­вые свой­ст­ва та­ких элек­тро­нов долж­ны про­яв­лять­ся в воз­ник­но­ве­нии ди­фрак­ции при их рас­сея­нии на кри­стал­лах (ана­ло­гич­но ди­фрак­ции рент­ге­нов­ских лу­чей). Яв­ле­ние ди­фрак­ции элек­тро­нов на кри­стал­лах об­на­ру­же­но в 1927 в опы­тах К. Дж. Дэ­вис­со­на и амер. фи­зи­ка Л. Джер­ме­ра, и ги­по­те­за де Брой­ля по­лу­чи­ла экс­пе­рим.

под­твер­жде­ние. Позд­нее бы­ли экс­пе­ри­мен­таль­но от­кры­ты вол­но­вые свой­ст­ва про­то­нов, ней­тро­нов, ато­мов и др. час­тиц (см. Ди­фрак­ция час­тиц).

Уни­вер­саль­ность кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­во­го дуа­лиз­ма прин­ци­пи­аль­но из­ме­ни­ла пред­став­ле­ние о мик­ро­ми­ре. По­сколь­ку все объ­ек­ты мик­ро­ми­ра нель­зя счи­тать толь­ко час­ти­цей или толь­ко вол­ной в клас­сич.

 Борн вы­дви­нул идею о том, что вол­но­вым за­ко­нам под­чи­ня­ет­ся ве­ли­чи­на, опи­сы­ваю­щая со­стоя­ние час­ти­цы и на­зы­вае­мая её вол­но­вой функ­ци­ей $ψ(x,t)$, квад­рат мо­ду­ля ко­то­рой оп­ре­де­ля­ет ве­ро­ят­ность на­хо­ж­де­ния час­ти­цы в точ­ке про­стран­ст­ва с ко­ор­ди­на­та­ми $x$ в мо­мент вре­ме­ни $t$.

Вол­но­вая функ­ция сво­бод­но дви­жу­щей­ся час­ти­цы с им­пуль­сом $p$ и есть В. де Б.; в ча­ст­ном слу­чае дви­же­ния вдоль оси $x$ она име­ет вид пло­ской вол­ны:

$ψ(x,t)∼exp[i/ℏ(px-????t)]$

(где $ℏ=h/2π$ ). В этом слу­чае $∣ψ∣^2= const$, т. е. ве­ро­ят­ность об­на­ру­жить час­ти­цу во всех точ­ках оди­на­ко­ва.

Источник: https://bigenc.ru/physics/text/1926744

Длина волны де бройля

Для свободной частицы возможно состояние, в котором ее импульс точно определен, т. е. при измерении импульса мы с вероятностью, равной единице, получим заранее известное значение p?. Волновая функция этого состояния соответствует плоской волне, фронт которой — плоскость, ортогональная вектору импульса p?. Длина волны определяется импульсом частицы:

• λ = h / p.
• Эта величина называется длиной волны де Бройля (по имени физика, первым выдвинувшего гипотезу о том, что частицам присущи волновые свойства).
• Волновая функция свободной частицы с импульсом p?, направленным вдоль оси x, имеет вид
• ψ = C(cos(kx — ωt) + isin(kx — ωt)).
• Здесь C — константа. Между частотой и волновым числом имеется связь
• ω = ћk2 / 2m,

где m — масса частицы, ћ = h / 2π, k = p / ћ, h — постоянная Планка. Это уравнение плоской волны, бегущей вдоль оси x.

Теперь можно понять результат эксперимента с частицами, проходящими через экран со щелями.

Состояние частиц, падающих на экран со щелями от удаленного источника, задается волновой функцией в виде плоской волны, длина которой определяется импульсом частицы. Вторичные волны ψ1, ψ2, исходящие из обеих щелей, складываются в плоскости экрана, на котором регистрируются попадания частиц.

Значения этих функций в разных точках экрана дают амплитуду вероятности попадания в эти точки частиц, прошедших через первую и вторую щели соответственно.

Если в принципе нельзя определить, через какую щель проходит частица, результирующая амплитуда равна сумме амплитуд: ψ = ψ1 + ψ2. В некоторые точки экрана эти волны приходят в противофазе, и в них значения функции минимальны, в другие — в фазе, и в них значения функции максимальны.

Квадрат модуля волновой функции |ψ|2 в точках экрана определяет вероятность попадания в эти точки частиц и, следовательно, их число.

Если же есть возможность определить, через какую щель проходит частица (имеются специальные устройства для этого), вторичные волны становятся некогерентными, и складываются не амплитуды, а вероятности, и результирующая вероятность определяется суммой |ψ1|2 + |ψ2|2.

Длина волны де Бройля дает масштаб, позволяющий определить область применимости классической механики. Если величина h / p для частицы много меньше характерных размеров области, в которой движется частица, применима классическая механика.

(Квантовая механика переходит в классическую в области применимости последней.)

Лекция 4 Гипотеза де Бройля

Также можно почитать…

Источник: http://mobilspy.ru/dlina-volny-de-brojlja/

Соотношение де Бройля

Длина волны квантовой частицы обратно пропорциональна ее импульсу.

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты — такие как электроны или фотоны — совсем не похожи на привычные объекты макромира.

Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств (см. Принцип дополнительности).

Одно дело — это заявить, и совсем другое — связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

Луи де Бройль опубликовал выведенное им соотношение в качестве составной части своей докторской диссертации в 1924 году.

Казавшееся сначала сумасшедшей идей, соотношение де Бройля в корне перевернуло представления физиков-теоретиков о микромире и сыграло важнейшую роль в становлении квантовой механики.

В дальнейшем карьера де Бройля сложилась весьма прозаично: до выхода на пенсию он работал профессором физики в Париже и никогда более не поднимался до головокружительных высот революционных прозрений.

Теперь кратко опишем физический смысл соотношения де Бройля: одна из физических характеристик любой частицы — ее скорость. При этом физики по ряду теоретических и практических соображений предпочитают говорить не о скорости частицы как таковой, а о ее импульсе (или количестве движения), который равен произведению скорости частицы на ее массу.

Де Бройлю же удалось сформулировать соотношение, связывающее импульс квантовой частицы р с длиной волны λ, которая ее описывает:

    p = h/λ  или  λ = h/p

где h — постоянная Планка.

Это соотношение гласит буквально следующее: при желании можно рассматривать квантовый объект как частицу, обладающую количеством движения р; с другой стороны, ее можно рассматривать и как волну, длина которой равна λ и определяется предложенным уравнением. Иными словами, волновые и корпускулярные свойства квантовой частицы фундаментальным образом взаимосвязаны.

Соотношение де Бройля позволило объяснить одну из величайших загадок зарождающейся квантовой механики. Когда Нильс Бор предложил свою модель атома (см.

Атом Бора), она включала концепцию разрешенных орбит электронов вокруг ядра, по которым они могли сколь угодно долго вращаться без потери энергии. С помощью соотношения де Бройля мы можем проиллюстрировать это понятие.

Если считать электрон частицей, то, чтобы электрон оставался на своей орбите, у него должна быть одна и та же скорость (или, вернее, импульс) на любом расстоянии от ядра.

Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Иными словами, окружность орбиты электрона может равняться только одной, двум, трем (и так далее) длинам его волн. В случае нецелого числа длин волны электрон просто не попадет на нужную орбиту.

Главный же физический смысл соотношения де Бройля в том, что мы всегда можем определить разрешенные импульсы (в корпускулярном представлении) или длины волн (в волновом представлении) электронов на орбитах.

Для большинства орбит, однако, соотношение де Бройля показывает, что электрон (рассматриваемый как частица) с конкретным импульсом не может иметь соответствующую длину волны (в волновом представлении) такую, что он впишется в эту орбиту.

Иными словами, для большинства орбит с конкретным радиусом либо волновое, либо корпускулярное описание покажет, что электрон не может находиться на этом расстоянии от ядра.

Однако существует небольшое количество орбит, на которых волновое и корпускулярное представление об электроне совпадают.

Для этих орбит импульс, необходимый для того, чтобы электрон продолжал движение по орбите (корпускулярное описание), в точности соответствует длине волны, необходимой, чтобы электрон вписался в окружность (волновое описание).

Именно эти орбиты и оказываются разрешенными в модели атома Бора, поскольку только на них корпускулярные и волновые свойства электронов не вступают в противоречие.

Мне нравится еще одна интерпретация этого принципа — философская: модель атома Бора допускает только такие состояния и орбиты электронов, при которых не важно, какую из двух ментальных категорий человек применяет для их описания. То есть, иными словами, реальный микромир устроен так, что ему нет дела до того, в каких категориях мы пытаемся его осмыслить!

См. также:

Источник: https://elementy.ru/trefil/21123/Sootnoshenie_de_Broylya

Физический смысл волн де Бройля

Чтобы найти истолкование волнам, связанным с частицами, сравним дифракцию световых волн и дифракцию частиц.

Частицу мы не можем представить себе распределенной в пространстве. Она попадает в какое-то определенное место фотопластинки и вызывает почернение одного зерна фотоэмульсии.

В случае дифракции частиц степень почернения отдельных участков фотопластинки связывается с вероятностью попадания частиц на эти участки пластинки. Отсюда вытекает физический смысл волн де Бройля: квадрат амплитуды волны де Бройля определяет вероятность нахождения частицы в данной области пространства.

В отличие от механических волн, волна де Бройля не является распространением колебаний в какой-то упругой среде. Волна де Бройля – это математическая модель, описывающая поведение электронов в соответствующих условиях.

Поведение микрочастиц носит вероятностный характер, а волна де Бройля — математический инструмент для расчета этой вероятности.

Границы применимости классической механики. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Физические величины никогда не могут быть измерены абсолютно точно. Измеренное значение любой физической величины всегда отличается от ее истинного значения, которое всегда неизвестно, так как при выполнении любого измерения неизбежна ошибка.

Поэтому необходимым условием выполнения любого измерения является нахождение некоторого интервала значений, в который с высокой вероятностью должно попасть истинное значение измеряемой величины.

Принципиальные ограничения на точность измерений физических величин называются соотношениями неопределенностей.

Второе соотношение устанавливает предел точности измерения энергии за данный промежуток времени

где  — длительность измерения энергии,  — неопределенность энергии.

Соотношения неопределенностей обусловлены корпускулярно-волновым дуализмом.

Принцип неопределенностей − фундаментальный принцип квантовой механики, устанавливающий физическое содержание и структуру ее математического аппарата. Многие результаты задач, рассматриваемых в квантовой механике, могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределенностей.

Квантово-механические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома, выразив его радиус через фундаментальные физические постоянные ħ, m, e, ε0.

Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 28;

Источник: https://studopedia.net/14_70556_fizicheskiy-smisl-voln-de-broylya.html