Взаимно простые числа, их свойства — студенческий портал

Одним из основных понятий в арифметике является деление. Каждая величина характеризуется делимостью. В зависимости от неё определяют и взаимно простые числа.

Что это такое и какую пользу несёт знание правила их нахождения, изучают в шестом классе средней школы.

Это базисное понятие, которое позволяет в дальнейшем выполнять различные математические упрощения и преобразования как при решении элементарных задач, так и сложного уровня на уроках высшей математики.

Общие сведения

В системе счисления и мер используется специальная система знаков, называемая цифрами. Слово «цифра» происходит от латинского cifra. Интересно, что на арабском термин пишется как صفر‎, что в дословном переводе на русский язык обозначает «пустой». С этих символов формируются числа. Чтобы разобраться в отличиях одних от других, нужно запомнить 3 утверждения:

1. Всего существует 10 цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Из десяти символов формируют числа.
3. Цифры — это знаки, а числа — абстракции, обозначающие количество.

Нужно знать, что существует несколько систем счисления. В России принято использовать арабскую. В церковнославянском и древнегреческом применяли запись буквами. Её до сих пор используют в иврите. В программировании применяется смешанная запись. Так как она шестнадцатеричная, используют комбинации знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Итак, «число» и «цифра» разные понятия по происхождению. Первое используют как единицу счёта. Им выражают количество. Второй же параметр применяют для обозначений значений. Для записи в международном формате принята арабская последовательность от 0 до 9, но в некоторых случаях ставят и римские символы — I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X и так далее.

По своему виду числа бывают:

• натуральными — простыми целыми, использующимися при счёте;
• рациональными — конечными дробными отношениями;
• иррациональными — бесконечными непериодическими дробями;
• действительными — образующими множество, включающее рациональные и иррациональные значения.

Кроме этого, их разделяют на положительные и отрицательные. Перед последними при записи ставят знак минус.

Часто при вычислениях используют округление. Это запись, при которой указывают примерное значение. Округляют значение путём убирания десятичных частей или уменьшением их разрядности. Например, 5,17 ~ 5; 4,5213 ~ 4,5. Благодаря этой операции вычисление упрощается, хотя при этом теряется точность ответа.

Делимость чисел

Разбирая взаимно простые числа в 6 классе, пристальное внимание уделяют понятию «делитель». Под ним имеют в виду величину, на которую можно разделить величину без остатка. Если разные значения возможно поделить на одно число, делитель называют общим. Например, для 36 и 18 им является 6.

В свою очередь, общий делитель может быть наименьшим и наибольшим (НОД). Чтобы найти НОД, нужно выполнить простую последовательность действий:

1. Каждое число разложить на произведение простых множителей.
2. Определить все степени для этих множителей.
3. Выделить одинаковые множители, которые являются и делителями рассматриваемых чисел.
4. Найти наименьшую степень для каждого из них, встретившуюся во всех произведениях.
5. Выполнить перемножение степеней.

Простыми называют натуральные числа, имеющие только 2 положительных делителя, поэтому можно утверждать о взаимной простоте любых таких чисел. Пара значений необязательно должна быть простой, чтобы быть взаимной.

Либо одно из них, либо сразу оба могут относиться к составному типу и при этом быть взаимно простыми. Следует отметить, что составными называют выражения, превышающие единицу, имеющие 3 и более положительных делителя.

Свойства делимости:

1. Любое целое выражение можно разделить на само себя, отрицательное значение, равное по величине и на плюс или минус единицу.
2. Ноль можно разделить на любое значение.
3. Если одно значение делится на другое и получается только целая часть, будет справедлива следующая запись: если a / b и, |a|

Источник: https://1001student.ru/matematika/kak-nahodit-v-6-klasse-vzaimno-prostye-chisla-i-chto-eto-takoe.html

Взаимно простые числа

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1.

Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Заметьте, например, что числа 4 и 9 взаимно просты, но по отдельности ни одно из них не является простым. А число 1 взаимно просто с любым числом, в том числе и с самим собой.

Для этого определения совершенно несущественно, что чисел только два — оно буквально переносится на любое количество натуральных чисел. Например, числа 6, 10, 15 взаимно просты, хотя никакие два из них взаимно простыми, очевидно, не являются.

Свойство взаимной простоты переносится и на множество целых чисел. При этом исходное определение — для натуральных чисел — естественным образом корректируется: целое число всегда имеет два делителя — 1 и -1, так что два целых числа называются взаимно простыми, если их общими делителями являются только 1 и -1.

Зато второй вариант определения сохраняется буквально: два целых числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Отметим также, что иногда встречается не совсем аккуратная формулировка типа «два числа — натуральных или целых — называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей». В этом случае как бы забывается о 1 и -1.

Такая «забывчивость» оправдана тем, что 1 и -1 — тривиальные делители, они всегда есть, и эту мелочь можно для краткости лишь подразумевать.

Очень полезно для решения задач следующее достаточно очевидное утверждение: всякое простое число р взаимно просто с любым числом, которое не делится на р.

Напомним, что целое число называют простым, если простым числом является его модуль — натуральное число. Такое обобщение школьного понятия простого числа вполне естественно: ведь главное — это возможность разумного, нетривиального разложения числа на множители, а с этой точки зрения числа, скажем, 5 и -5 вполне равноправны: разложение -5 = (-5) неинтересно, неразумно, тривиально.

Это свойство, однако, явно неверно, если говорить только о натуральных числах: очевидно, не существует таких натуральных чисел u и v, что 2u + Зv = 1.

На основании именно этого свойства можно доказать — независимо от основной теоремы, что если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р. В самом деле, если а не делится на р, то а и р взаимно просты, а тогда для некоторых u и v выполняется равенство au + рv = 1, откуда abu + bрv = b, так что b делится на р.

Более того, это утверждение в действительности является главным для доказательства основной теоремы арифметики.

В то же время доказательство самого критерия взаимной простоты не то чтобы сложно, но довольно громоздко, и основывается на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных или целых чисел.

Зная эти теоремы вы сможете не только просто решать некоторые математические упражнения. А также если вас интересует передача что где когда, то эти знания помогут вам победить в данном конкурсе.

(2

Источник: https://matemonline.com/2013/01/relatively-prime/

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Чтобы не допускать ошибок в этой теме разберемся в вопросе подробнее.

Что такое простое число? Простое число делится только на единицу и на само себя. Например, число 13 является простым, так как нацело делится только на 1 и на 13. Секрет в том, что практически каждое число можно разделить на другое число. Но в простых числах важно именно деление нацело, дробные частные и деление с остатком не рассматривается.

Простые числа в знаменателях дробей означают, что для нахождения общего знаменателя нужно перемножить эти числа между собой. Разложить простые числа на множители невозможно. Поэтому НОД двух простых чисел это их произведение.

Числа, которые содержат в себе больше двух множителей, то есть делятся на несколько чисел, называются сложными. Сложные числа состоят из перемноженных простых.

Взаимно простыми числами называются числа, наибольший общий делитель которых равен единицы. Доказать факт того, что числа являются взаимно простыми можно только с помощью разложения чисел на простые множители. Если у чисел нет общих множителей, кроме 1, то они будут взаимно простыми.

При этом сами по себе взаимно простые числа могут быть сложными. Важен именно НОД двух чисел.

Для того чтобы определить взаимно простые числа, можно воспользоваться двумя алгоритмами:

• Разложить каждое из чисел на множители и искать общие простые множители. Если такие есть, то числа не являются взаимно простыми. Если общих множителей нет, числа можно считать взаимно простыми.
• Делить каждое из чисел поочередно на простые множители. Этот способ проще в исполнении, так как не требует большой внимательности и сосредоточенности. Но такая проверка не подойдет для больших чисел, слишком долгой может получится проверка. Поэтому более надежным будет использовать первый вариант.

Относительно друг друга два простых числа всегда будут взаимно простыми. А если одно из чисел, делится на другое нацело, то эти числа точно не являются взаимно простыми.

• Определим, являются ли взаимно простыми числа 1729 и 282
• Определение начинается с разложения на множители:
• 1729=7*13*19
• 282=2*3*47

Обратите внимание, что для разложения таких чисел придется использовать метод перебора. Согласно таблице простых чисел каждый множитель проверяется, после чего деление продолжается. Подбирать множители нужно от маленьких чисел к большим, то есть от 2 и выше.

Как видно, общих множителей у двух чисел нет. Это значит, что числа можно считать взаимно простыми. Не нужно пугаться, если среди множителей попадаются достаточно большие числа.

Среди учеников существует миф, что простые числа редко бывают больше 20, это не так. Просто такие числа проще использовать в задачах, чтобы набить руку.

На экзамене или в контрольной сложность числа для разложения может быть абсолютно любой

Мы поговорили о простых числах. Выяснили, что такое взаимно простые числа и обговорили некоторые их свойства. Привели примеры взаимно простых чисел. Обговорили неправильные мнения по поводу простых и взаимно простых чисел.

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 295.

Источник: https://obrazovaka.ru/matematika/vzaimno-prostye-chisla-primery-6-klass.html

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простые числа – математическое понятие, которое не следует путать с числами простыми. Общее между двумя понятиями заключается лишь в том, что оба они имеют прямое отношение к делению. Простым в математике называется такое число, которое можно разделить только на единицу и на само себя. 3, 7, 11, 143 и даже 1 111 111 – все это простые числа, причем каждое из них обладает данным свойством в отдельности.

Чтобы говорить о взаимно простых числах, их должно быть не менее двух. Данное понятие характеризует общий признак нескольких чисел.

Взаимно простыми называются такие числа, которые не имеют общего делителя, не считая единицы – например, 3 и 5. При этом каждое число в отдельности может и не быть простым само по себе.Например, число 8 к таковым не относится, ведь его можно разделить на 2 и на 4, но 8 и 11 – взаимно простые числа. Определяющим признаком здесь является именно отсутствие общего делителя, а не характеристики отдельных чисел.Впрочем, два и более простых числа всегда будут взаимно простыми. Если каждое из них делится лишь на единицу и на само себя, то общего делителя у них быть не может.

Для взаимно простых чисел существует особое обозначение в виде горизонтального отрезка и опущенного на него перпендикуляра. Это соотносится со свойством перпендикулярных прямых, у которых нет общего направления, как и у этих числе нет общего делителя.

Возможно и такое сочетание взаимно простых чисел, из которого можно взять наугад любые два числа, и они обязательно окажутся взаимно простыми. Например, 2, 3 и 5: общего делителя не имеют ни 2 и 3, ни 2 и 5, ни 5 и 3.

Такие числа именуют попарно взаимно простые.

Не всегда взаимно простые числа бывают попарно взаимно простыми.

Например, числа 15, 20 и 21 – это взаимно простые числа, но назвать их попарно взаимно простыми нельзя, ведь 15 и 20 делятся на 5, а 15 и 21 – на 3.

В цепной передаче, как правило, количество звеньев цепи и зубьев звездочки выражаются взаимно простыми числами. Благодаря этому каждый из зубьев соприкасается с каждым звеном цепи поочередно, механизм меньше изнашивается.

Существует и еще более интересное свойство взаимно простых чисел.

Делая такие лучи-отражения раз за разом, можно получить геометрический узор, в котором любая часть по структуре подобна целому. С точки зрения математики такой узор является фрактальным.

• Фракталы во взаимно простых числах

• Войти на сайт
• или

Источник: https://www.kakprosto.ru/kak-846673-chto-takoe-vzaimno-prostye-chisla

Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

В этом статье мы расскажем о том, что такое взаимно простые числа.

В первом пункте сформулируем определения для двух, трех и более взаимно простых чисел, приведем несколько примеров и покажем, в каких случаях два числа можно считать простыми по отношению друг к другу.

После этого перейдем к формулировке основных свойств и их доказательствам. В последнем пункте мы поговорим о связанном понятии – попарно простых числах.

Что такое взаимно простые числа

Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. Для начала введем определение для двух чисел, для чего нам понадобится понятие их наибольшего общего делителя. Если нужно, повторите материал, посвященный ему.

Определение 1

Взаимно простыми будут два таких числа a и b, наибольший общий делитель которых равен 1, т.е. НОД (a, b) =1.

Из данного определения можно сделать вывод, что единственный положительный общий делитель у двух взаимно простых чисел будет равен 1. Всего два таких числа имеют два общих делителя – единицу и минус единицу.

Какие можно привести примеры взаимно простых чисел? Например, такой парой будут 5 и 11. Они имеют только один общий положительный делитель, равный 1, что является подтверждением их взаимной простоты.

Если мы возьмем два простых числа, то по отношению друг к другу они будут взаимно простыми во всех случаях, однако такие взаимные отношения образуются также и между составными числами. Возможны случаи, когда одно число в паре взаимно простых является составным, а второе простым, или же составными являются они оба.

Это утверждение иллюстрирует следующий пример: составные числа -9 и 8 образуют взаимно простую пару. Докажем это, вычислив их наибольший общий делитель.

Для этого запишем все их делители (рекомендуем перечитать статью о нахождении делителей числа). У 8 это будут числа ±1, ±2, ±4, ±8, а у 9 – ±1, ±3, ±9. Выбираем из всех делителей тот, что будет общим и наибольшим – это единица.

Взаимно простыми числами не являются 500 и 45, поскольку у них есть еще один общий делитель – 5 (см. статью о признаках делимости на 5). Пять больше единицы и является положительным числом. Другой подобной парой могут быть -201 и 3, поскольку их оба можно разделить на 3, на что указывает соответствующий признак делимости.

На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей.

Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя.

Разберем решение подобной задачи.

Пример 1

• Условие: выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84.
• Решение
• Оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем.
• Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7=7·1.
• Ответ: поскольку НОД (84, 275) =1, то данные числа будут взаимно простыми.

Как мы уже говорили раньше, определение таких чисел можно распространить и на случаи, когда у нас есть не два числа, а больше.

Определение 2

Взаимно простыми целые числа a1, a2, …, ak, k>2 будут тогда, когда они имеют наибольший общий делитель, равный 1.

Иными словами, если у нас есть набор некоторых чисел с наибольшим положительным делителем, большим 1, то все эти числа не являются по отношению друг к другу взаимно обратными.

Возьмем несколько примеров. Так, целые числа −99, 17 и −27 – взаимно простые.

Любое количество простых чисел будет взаимно простым по отношению ко всем членам совокупности, как, например, в последовательности 2, 3, 11, 19, 151, 293 и 667.

А вот числа 12, −9, 900 и −72 взаимно простыми не будут, потому что кроме единицы у них будет еще один положительный делитель, равный 3. То же самое относится к числам 17, 85 и 187: кроме единицы, их все можно разделить на 17.

Обычно взаимная простота чисел не является очевидной с первого взгляда, этот факт нуждается в доказательстве. Чтобы выяснить, будут ли некоторые числа взаимно простыми, нужно найти их наибольший общий делитель и сделать вывод на основании его сравнения с единицей.

Пример 2

Условие: определите, являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми.

Решение

Сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица. 

Ответ: все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.

Пример 3

Условие: приведите доказательство того, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми.

Решение

Ответ: семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.

Основные свойства взаимно простых чисел

Такие числа имеют некоторые практически важные свойства. Перечислим их по порядку и докажем.

Определение 3

Если разделить целые числа a и b на число, соответствующее их наибольшему общему делителю, мы получим взаимно простые числа. Иначе говоря, a: НОД (a, b) и b: НОД (a, b) будут взаимно простыми.

Это свойство мы уже доказывали. Доказательство можно посмотреть в статье о свойствах наибольшего общего делителя. Благодаря ему мы можем определять пары взаимно простых чисел: достаточно лишь взять два любых целых числа и выполнить деление на НОД. В итоге мы должны получить взаимно простые числа.

Определение 4

Необходимым и достаточным условием взаимной простоты чисел a и b является существование таких целых чисел u0 и v0, при которых равенство a·u0+b·v0=1 будет верным.

Доказательство 1

Начнем с доказательства необходимости этого условия. Допустим, у нас есть два взаимно простых числа, обозначенных a и b. Тогда по определению этого понятия их наибольший общий делитель будет равен единице. Из свойств НОД нам известно, что для целых a и b существует соотношение Безу a·u0+b·v0=НОД (a, b). Из него получим, что a·u0+b·v0=1.

После этого нам надо доказать достаточность условия. Пусть равенство a·u0+b·v0=1 будет верным, в таком случае, если НОД (a, b) делит и a, и b, то он будет делить и сумму a·u0+b·v0, и единицу соответственно (это можно утверждать, исходя из свойств делимости).

А такое возможно только в том случае, если НОД (a, b)=1, что доказывает взаимную простоту a и b.

Мы можем разделить первое слагаемое a·c·u0+b·c·v0 на b, потому что это возможно для a·c, и второе слагаемое также делится на b, ведь один из множителей у нас равен b.

Из этого заключаем, что всю сумму можно разделить на b, а поскольку эта сумма равна c, то c можно разделить на b.

Определение 5

Если два целых числа a и b являются взаимно простыми, то НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Доказательство 2

Докажем, что НОД (a·c, b) будет делить НОД (c, b), а после этого – что НОД (c, b) делит НОД (a·c, b), что и будет доказательством верности равенства НОД (a·c, b)=НОД (c, b).

Поскольку НОД (a·c, b) делит и a·c и b, а НОД(a·c, b) делит b, то он также будет делить и b·c. Значит, НОД (a·c, b) делит и a·c и b·c, следовательно, в силу свойств НОД он делит и НОД (a·c, b·c), который будет равен c·НОД (a, b)=c. Следовательно, НОД (a·c, b) делит и b и c, следовательно, делит и НОД (c, b).

Также можно сказать, что поскольку НОД (c, b) делит и c, и b, то он будет делить и c, и a·c. Значит, НОД (c, b) делит и a·c и b, следовательно, делит и НОД (a·c, b).

Таким образом, НОД (a·c, b) и НОД (c, b) взаимно делят друг друга, значит, они являются равными.

Определение 6

Если числа из последовательности a1, a2, …, ak будут взаимно простыми по отношению к числам последовательности b1, b2, …, bm (при натуральных значениях k и m), то их произведения a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm также являются взаимно простыми, в частности, a1=a2=…=ak=a и b1=b2=…=bm=b, то ak и bm – взаимно простые.

Доказательство 3

Обозначим a1·a2·…· ak=A и получим, что НОД (b1·b2·…· bm, a1·a2·…·ak) =НОД (b1·b2·…· bm, A)= НОД (b2·…·b·bm, A)=… =НОД (bm, A) =1. Это будет справедливым в силу последнего равенства из цепочки, построенной выше. Таким образом, у нас получилось равенство НОД (b1·b2·…·bm, a1·a2·…·ak) =1, с помощью которого можно доказать взаимную простоту произведений a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm 

Это все свойства взаимно простых чисел, о которых бы мы хотели вам рассказать.

Понятие попарно простых чисел

Зная, что из себя представляют взаимно простые числа, мы можем сформулировать определение попарно простых чисел.

Определение 7

Попарно простые числа – это последовательность целых чисел a1, a2, …, ak, где каждое число будет взаимно простым по отношению к остальным.

Примером последовательности попарно простых чисел может быть 14, 9, 17, и −25. Здесь все пары (14 и 9, 14 и 17, 14 и −25, 9 и 17, 9 и −25, 17 и−25) взаимно просты.

Отметим, что условие взаимной простоты является обязательным для попарно простых чисел, но взаимно простые числа будут попарно простыми далеко не во всех случаях.

Например, в последовательности 8, 16, 5 и 15 числа не являются таковыми, поскольку 8 и 16 не будут взаимно простыми.

Также следует остановиться на понятии совокупности некоторого количества простых чисел. Они всегда будут и взаимно, и попарно простыми. Примером может быть последовательность 71, 443, 857, 991. В случае с простыми числами понятия взаимной и попарной простоты будут совпадать.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/vzaimno-prostye-chisla/

Взаимно простые числа — это… Что такое Взаимно простые числа?

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1. Примеры: 14 и 25 взаимно просты, а 15 и 25 не взаимно просты (у них имеется общий делитель 5).

Наглядное представление: если на плоскости построить «лес», установив на точки с целыми координатами «деревья» нулевой толщины, то из начала координат видны только деревья, координаты которых взаимно просты.

Обозначения

Для указания взаимной простоты чисел и используется обозначение[1]:

Подобно тому, как перпендикулярные прямые не имеют общего направления, так и перпендикулярные числа не имеют общих сомножителей.[1]

Однако не все математики признают и используют это обозначение. Чаще всего используется словесная формулировка или эквивалентная запись , что означает: «наибольший общий делитель чисел a и b равен 1».

Связанные определения

• Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми. Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Примеры

• 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
• 6, 8, 9 — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.
• 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Свойства

• Числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда выполняется одно из эквивалентных условий.
• Любые два (различных) простых числа взаимно просты.
• Если a — делитель произведения bc, и a взаимно просто с b, то a — делитель c.
• Если числа a1,…, an — попарно взаимно простые числа, то НОК(a1, …, an) = |a1·…·an|. Например, НОК

Обобщения

Понятия простого числа и взаимно простых чисел естественно обобщаются на произвольные коммутативные кольца, например, на кольцо многочленов или гауссовы целые числа.

Обобщением понятия простого числа является «неприводимый элемент». Два элемента кольца называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме делителей единицы.

При этом аналог основной теоремы арифметики выполняется не во всех, а только в факториальных кольцах.

Применение

Обычно число зубьев на звёздочках и число звеньев цепи в цепной передаче стремятся делать взаимно простыми, что обеспечивает равномерность износа: каждый зуб звёздочки будет поочерёдно работать со всеми звеньями цепи.

См. также

Примечания

1. ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — С. 139. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3

• Как часто встречаются пары взаимно простых чисел?

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/218398

Конспект по теме: "Взаимно простые числа"

Конспект урока.

Литература:

1. Математика.6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013.-288 с.

2. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год.

3. Математика. 6 класс (И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович) 2009

Предмет: математика 6 класс

Тема урока: Взаимно простые числа.

Тема нашего урока: «Взаимно простые числа». На этом занятии Вы узнаете, какие числа называются взаимно простыми, и научитесь их определять.

Итак, что подразумевается под понятием «взаимно простые числа»? Рассмотрим два натуральных числа 25 и 26. Это составные числа. Натуральное число 25 делится без остатка на 1, 5, 25. А натуральное число 26 делится без остатка на 1, 2, 13, 26. Видим, что числа 25 и 26 имеют только один общий делитель – это число 1. Такие числа называют взаимно простыми.

Таким образом, можно сделать вывод, что натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Мы видим, что числа 14 и 28 кроме единицы, имеют и другие общие делители 2, 7, 14, а значит, не являются взаимно простыми числами. Теперь рассмотрим другую пару чисел 15 и 22. Число 15 делится без остатка на 1, 3, 5, 15, а число 22 делится без остатка на 1, 2, 11, 22. Мы видим, что числа 15 и 22 имеют только один общий делитель-1.

Значит, пара натуральных чисел 15 и 22 являются взаимно простыми числами.

Теперь возьмем еще два составных натуральных числа 45 и 32. Натуральное число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45, а натуральное число 32 делится на 1, 2, 4, 8, 16, 32. Видим, что эти числа имеют только один общий делитель-1. Значит, числа 45 и 32 являются взаимно простыми.

Разложим эти числа на простые множители. 45=3*3*5, 32=2*2*2*2*2. Натуральные числа 45 и 32 в разложении на простые множители не содержат одних и тех же простых множителей.

Итак, приходим к выводу, что разложения на простые множители взаимно простых чисел не содержат одинаковых простых множителей.

На уроке Вы узнали, какие числа называются взаимно простыми. И научились определять взаимно простые числа.

Тест

Литература:

1. Математика.6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 2013.-288 с.

2. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор — Минаева С.С. — 2014 год.

3. Математика. 6 класс (И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович) 2009

Предмет: математика 6 класс

Тема урока: Взаимно простые числа.

1. Какие натуральные числа называются взаимно простыми?

• а) все натуральные числа;
• б) наибольший общий делитель которых равен 1;
• в) только четные числа;
• г) все числа, кроме единицы.

1. Какие из данных пар натуральных чисел являются взаимно простыми?

1. а) 24 и 16;
2. б) 15 и 45;
3. в) 18 и 26;
4. г) 35 и 36.

1. Какие из данных пар натуральных чисел являются взаимно простыми?

• а) 47 и 94;
• б) 84 и 36;
• в) 99 и 100;
• г) 72 и 36.

1. Какие из данных натуральных чисел являются взаимно простыми?

1. а) 12,15 и 9;
2. б) 25, 40 и 35;
3. в) 13,25 и 32;
4. г) 10, 20 и 30.

1. Какие из данных пар натуральных чисел не являются взаимно простыми?

• а) 13 и 14;
• б) 100 и 9;
• в) 33 и 22;
• г) 35 и 36.

1. Определите взаимно простые числа по их разложению.

1. а) 42=2*3*7 и 275=5*5*11;
2. б) 20=2*2*5 и 105=3*5*7;
3. в) 75=3*5*5 и 24=2*2*2*3;
4. г) 55=5*11 и 33=3*11.

1. Какие из данных натуральных чисел не являются взаимно простыми?

• а) 49, 16 и 27;
• б) 100, 50, 45;
• в) 11, 23 и 41;
• г) 22, 35 и 13 .

1. Найдите среди чисел 12, 15, 16, 40 пару взаимно простых чисел.

1. а) 12 и 15;
2. б) 15 и 40;
3. в) 12 и 16;
4. г) 15 и 16.

1. Определите не взаимно простые числа по их разложению.

• а) 99=3*3*11 и 80=2*2*2*2*5 ;
• б) 38=2*19 и 14=2*7;
• в) 126=2*3*3*7 и 169=13*13;
• г) 56=2*2*2*7 и 165=3*5*11.

1. Найдите среди чисел 40, 45, 55 пару взаимно простых чисел.

1. а) 40 и 45;
2. б) 40 и 55;
3. в) 45 и 55;
4. г) такой пары нет.

1. Найдите среди чисел 17, 22, 43, 36 пару чисел которые не являются взаимно простыми числами.

• а) 17 и 22;
• б) 22 и 43;
• в) 22 и 36;
• г) 17 и 43.

1. Найдите среди чисел 36, 37, 38 пару чисел которые не являются взаимно простыми числами.

1. а) 36 и 37;
2. б) 36 и 38;
3. в) 37 и 38;
4. г) такой пары нет.

Источник: https://infourok.ru/konspekt-po-teme-vzaimno-prostie-chisla-2698093.html

Какие числа взаимно простые? Каковы свойства взаимно простых чисел?

☰

Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a; b) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Примеры пар взаимно простых чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т. п. Можно указать несколько взаимно простых чисел, например, числа 7, 9, 16 – взаимно просты.

Часто взаимно простые числа обозначают так: (a, b) = 1. Например, (23, 30) = 1. Эта запись как бы является сокращенной записью обозначения наибольшего общего делителя двух чисел (НОД(23, 30) = 1), и говорит о том, что их наибольший общий делитель равен 1.

Два соседних натуральных числа всегда будут взаимно просты. Например, 15 и 16 — пара взаимно простых чисел, также как 16 и 17.

Но если a и b два соседних числа (пусть a < b), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Из определения взаимно простых чисел и простых чисел также следует, что разные простые числа всегда оказываются взаимно простыми. Ведь делителями любого простого числа являются лишь оно само и 1.

• Наименьшее общее кратное (НОК) пары взаимно простых чисел равно их произведению. Например, (3, 8) = 1 (это значит взаимно просты), следовательно, их НОК равен 3 × 8 = 24 (НОК(3, 8) = 24). Действительно, вы не найдете меньшее число, чем 24, которое было бы кратно и 3 и 8.
• Если числа
  • a
  • b
  • c
  • a
  • b
  • ab
  • с

  и взаимно просты и число кратно как , так и , то это число будет кратно и произведению . Это можно записать так: если

  a

  и

  c

  b

  , то

  c

  ab

  . Например, (3, 10) = 1, число 60 кратно как 3, так и 10, а также кратно 30 (3 × 10).

• Если числа
  1. a
  2. b
  3. c
  4. b
  5. c

  и взаимно просты и взято число кратное (

  • b
  • ac
  • b
  • ac

  ), то произведение также будет также кратно (

  1. b
  2. c
  3. b
  4. ac

  ). Например, (2, 17) = 1, пусть = 34. Число 34 кратно = 17, тогда = 2 × 34 = 68. Проверяем: 68 ÷ 17 = 4, т. е. делится нацело, а значит 68 кратно 17.

Обычно выделяют больше свойств, чем приведено здесь. Кроме того, свойства взаимно простых чисел формулируются по разному. Также бывает требуется доказать эти свойства (в данном случае доказательства не приводятся).

Copyright © 2019. All Rights Reserved

Источник: https://scienceland.info/algebra8/coprime-integers

Взаимно простые числа, их свойства

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Взаимно простые числа, их свойства
Рубрика (тематическая категория)	Технические дисциплины
Articles-ads

Понятие 1

Натуральное число p называется простым числом, если у нᴇᴦο только 2 делителя: 1 и оно само.

Делителем натурального числа a называют натуральное число, на ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ исходное число a делится без остатка.

Пример 1

Найти делители числа 6 .

Решение: Нам надо найти всœе числа, на которые заданное число 6 делится без остатка. Эᴛο будут числа: 1,2,3, 6 . Значит делителем числа 6 будут числа 1,2,3,6.

Ответ: 1,2,3,6 .

Понятие 2

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Примером простого числа может являться число 13 , примером составного число 14.

Дополнительный материал 1

Число 1 имеет только один делитель-само ϶то число, по϶тому ᴇᴦο не относят ни к простым, ни к составным.

Взаимно простые числа

Понятие 3

Взаимно простыми числами называются те, у которых НОД равен 1 .Значит выяснения будут ли являться числа взаимно простыми необходимо найти их НОД и сравнить ᴇᴦο с 1 .

Попарно взаимно простые

Понятие 4

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простымиВажно сказать, что для двух чисел понятия ʼʼвзаимно простыеʼʼ и ʼʼпопарно взаимно простыеʼʼ совпадают.

Пример 2

• 8, 15 — не простые, но взаимно простые.
• 6, 8, 9 — взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.
• 8, 15, 49 — попарно взаимно простые.

Как мы видим, того, чтобы выяснить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно ϶то сделать.

Разложение на простые множители

1. К примеру, разложим на простые множители число 180 :
2. 180=2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 5
3. Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,
4. 180=2^2cdot 3^2cdot 5

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

m=p^{n1}_1cdot p^{n2}_2cdot dots dots ..cdot p^{nk}_k

где p_1,p_2dots dots .p_k — простые числа, а показатели степеней- натуральные числа.

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшᴇᴦο общᴇᴦο делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Пример 3

• Найти наибольший общий делитель чисел 180 и 240 .
• Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения
• 180=2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 5 , тогда 180=2^2cdot 3^2cdot 5
• 240=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5 , тогда 240=2^4cdot 3cdot 5
• Теперь найдем НОД чисел, выберем степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени, тогда
• НОД (180;240)= 2^2cdot 3cdot 5=60

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

1. разложить числа на простые множители в каноническом виде
2. выбрать степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени входящих в состав разложения чисел
3. Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 4

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа 195 и 336 .

1. 195=3cdot 5cdot 13

   336=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 3cdot 7=2^4cdot 3cdot 5

2. НОД (195;336) =3cdot 5=15

Пример 5

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа 39 и 112 .

Решение: Воспользуемся разложения на множители каноническим разложением:

1. 39=3cdot 13

   112=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 7=2^4cdot 7

2. НОД (39;112)=1

Мы видим, что НОД чисел равен 1 , значит числа взаимно простые. Так мы видим, что в состав каждого ᴎɜ чисел входят множители, помимо 1 и самого числа, значит простыми числа так являться не будут, а будут являться составными.

Пример 6

Определить будут ли простыми, взаимно простыми числами числа 883 и 997 .

Решение: Воспользуемся разложения на множители каноническим разложением:

1. 883=1cdot 883

   997=1cdot 997

2. НОД (883;997)=1

Мы видим, что НОД чисел равен 1 , значит числа взаимно простые. Так мы видим, что в состав каждого ᴎɜ чисел входят только множители, равные 1 и самому числу, значит числа будут являться простыми.

Взаимно простые числа, их свойства — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Взаимно простые числа, их свойства»2018-2019.

Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/908_vzaimno_prostye_chisla_ih_svoystva

Матвокс ⋆ свойства взаимно простых чисел ⋆ энциклопедия математики

Skip to content

Свойство 1

• Наименьшее общее кратное (НОК) пары взаимно простых чисел равно их произведению.
• Например,
• (7, 9) = 63,
• (5, 11) = 55,
• (12, 13) = 156.

Если числа a и b взаимно простые и число с кратно как а так и b, то это число будет кратно и произведению a*b. Это можно записать так: если:

Например, возьмем взаимно простые числа, (5, 6) = 1. Возьмем число с = 60, число 60 кратно как 5, так и 6, а также кратно:

Возьмем числа 9 и 11. (9, 11) = 1 и число 198:

Число 198 кратно 99, то есть произведению 9*11=99.

Если числа a и b взаимно простые и взято число с кратное:

то произведение a*c также будет кратно:

Например,

Число с=18 кратно b=9, тогда:

Число 126 делится на 9 нацело:

Значит 126 кратно 9.

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/algebra/delimost-drobi-desyatichnie-drobi/glava-3-delimost/svoistva-vzaimno-prostih-chisel/