Арифметические операции над действительными числами — студенческий портал

Октябрь 10, 2019| Админ|

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Справочник по математике. Раздел 1 «Числа». Натуральные, рациональные, действительные и комплексные числа.

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Раздел 1. ЧИСЛА

§ 1. Натуральные числа

1. Запись натуральных чисел

2. Арифметические действия над натуральными числами

3. Деление с остатком

4. Разложение натурального числа на простые множители

5. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел

6. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел

7. Признаки делимости

8. Употребление букв в алгебре. Переменные

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 2. Рациональные числа

9. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

11. Приведение дробей к общему знаменателю

12. Арифметические действия над обыкновенными дробями

13. Десятичные дроби

14. Арифметические действия над десятичными дробями

15. Проценты

16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь

17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь

18. Координатная прямая

19. Множество рациональных чисел

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 3. Действительные числа

20. Иррациональные числа

21. Множество действительных чисел. Числовая прямая

22. Числовая плоскость. Прямоугольная декартова система координат на плоскости и в пространстве

23. Полярная система координат

24. Обозначения некоторых числовых множеств. Основные понятия, связанные с множествами

25. Сравнение действительных чисел

26. Свойства числовых неравенств

27. Числовые промежутки

28. Модуль действительного числа

29. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой

30. Правила действий над действительными числами

31. Свойства арифметических действий над действительными числами

32. Пропорции

33. Целая часть числа. Дробная часть числа

34. Степень с натуральным показателем

35. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным показателем

36. Стандартный вид положительного действительного числа

37. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней

38. Корень нечетной степени из отрицательного числа

39. Степень с дробным показателем

40. Свойства степеней с рациональными показателями

41. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности

42. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку

43. Понятие о степени с иррациональным показателем

44. Свойства степеней с действительными показателями

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

§ 4. Комплексные числа

45. Понятие о комплексном числе

46. Арифметические операции над комплексными числами

47. Алгебраическая форма комплексного числа

48. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

49. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа

50. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Материалы для подготовки к ЕГЭ. Справочник по математике. Раздел 1 «Числа». Натуральные, рациональные, действительные и комплексные числа.

ВСЕ РАЗДЕЛЫ СПРАВОЧНИКА

Источник: http://egevip.ru/1-chisla-spravochnik/

Арифметические операции в позиционных системах счисления — урок. Информатика, 10 класс

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным правилам.

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление уголком. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Таблицы сложения в любой позиционной системе счисления легко составить, используя правило счета:

Если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд.

Таблица сложения в двоичной системе:

Таблица сложения в восьмеричной системе:

Пример:

1) Сложим числа (15) и (6) в различных системах счисления.

Решение. Переведем числа (15) и (6 )в двоичную и восьмеричную системы счисления и выполним сложение, используя таблицы сложения (см. выше).

Ответ: 15+6=2110=101012=258

2) Вычислим сумму чисел 438 и 5616. Результат представим в восьмеричной системе счисления.

Решение: переведем число 5616  в восьмеричную систему счисления, используя поразрядный способ перевода разложением на тэтрады и триады:

Пользуясь правилами сложения в восьмеричной системе счисления, получаем:

Ответ: 438 + 5616 = 1718

Вычитание осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

При вычитании из меньшего числа большего производится заем из старшего разряда.

Пример:

Вычислим разность (X — Y) двоичных чисел, если (X =)10101002 и (Y =)10000102. Результат представим в двоичном виде.

Решение:

Ответ: 100102

Замечание. Если вам трудно складывать или вычитать в системах счисления, отличных от десятичной, можете перевести числа в десятичную систему счисления, выполнить арифметические действия, а затем результат перевести в требуемую в ответе систему счисления.

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Таблица умножения в двоичной системе:

Таблица умножения в восьмеричной системе:

Умножение многоразрядных чисел в различных позиционных системах счисления происходит по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример:

Перемножим числа (15) и (12).

Ответ: 15⋅12=18010=101101002=2648

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. Следует только грамотно пользоваться теми цифрами, которые входят в алфавит используемой системы счисления.

Обрати внимание!

При выполнении любых арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, следует предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Источники:

Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ. Профильный уровень : учебник для 10 класса / Н. Д. Угринович. — 3-е изд. испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008, стр. 140-142

Самылкина Н. Н. Информатика : все темы для подготовки к ЕГЭ. (В помощь старшекласснику). М. : Эксмо, 2011, стр. 33-36

Источник: https://www.yaklass.ru/p/informatika/10-klass/informatciia-i-informatcionnye-protcessy-11955/predstavlenie-chislovoi-informatcii-v-kompiutere-11901/re-47e97f24-6602-46d5-a9e4-e07fc025ae49

Урок 9. арифметические операции в позиционных системах счисления — Информатика — 10 класс — Российская электронная школа

Информатика, 10 класс. Урок № 9.

Тема урока — Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок посвящен теме «Арифметические операции в позиционных системах счисления»». В ходе урока школьники научатся складывать, вычитать, умножать и делить в разных позиционных системах счисления.

• Ключевые слова:
• — позиционные системы счисления,
• — арифметические операции в системе счисления с основанием q,
• — таблица сложения,
• — таблица умножения.
• Учебник:

— Информатика. 10 класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2016. — 288 с.

— Математические основы информатики: учебное пособие / Е. В. Андреева, Л. Л Босова, И. Н. Фалина — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 328 с.

Мы продолжаем изучать позиционные системы счисления. Вы узнали, что позиционные системы счисления бывают разные: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Вы научились переводить числа из одной системы счисления в другую.

Но зачем нам с вами это надо? Конечно для того, чтобы производить расчеты. С 1 класса нас учат производить расчеты в десятичной системе счисления.

А как вы думаете, можно ли производить расчеты в произвольной позиционной системе счисления? И зачем это нужно?

В рукописи на латинском языке, написанной в марте 1679 года, Лейбниц разъясняет, как выполнять вычисление в двоичной системе, в частности умножение, а позже в общих чертах разрабатывает проект вычислительной машины, работающей в двоичной системе счисления. Вот что он пишет: « Вычисления такого рода можно было бы выполнять и на машине».

Эти слова подчеркивают универсальность алфавита, состоящего из двух символов.

1. Все позиционные системы счисления “одинаковы”, а именно, во всех них выполняются арифметические операции по одним и тем же правилам:
2. — справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный), дистрибутивный (распределительный);
3. — справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.
4. Мы узнаем на уроке:

1. как строить таблицы сложения и умножения в заданной позиционной системе счисления;
2. как выполнять сложение, умножение, вычитание и деление чисел, записанных в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;
3. как подсчитывать количество единиц в двоичной записи числа, являющегося результатом суммирования или вычитания степеней двойки.

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Рассмотрим сложение.

Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

1. если ai + bi < q, то si = ai + bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется
2. если ai + bi ≥ q, то si = ai + bi – q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1

Можно составить таблицу сложения:

Давайте рассмотрим правило сложения на примере в двоичной системе счисления

Это мы рассмотрели сложение в двоичной системе счисления, а теперь сложим два числа в троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.

• — 1 + 2 = 3 ≥ 3 записываем 3 – 3 = 0 под 1-м разрядом, а 2-й разряд увеличиваем на 1
• — 1 + 2 = 3 ≥ 3записываем 3 – 3 = 0 под 2-м разрядом, а 3-й разряд увеличиваем на 1
• — 1 + 1 + 2 = 4 ≥ 3записываем 4 – 3 = 1 под 3-м разрядом, а 4-й разряд увеличиваем на 1
• — 1 + 1 = 2 < 3записываем 2 под 4-м разрядом
• Сложим в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.

Теперь разберём вычитание в системах счисления с основанием q.

1. Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел A и B, надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:
2. — если ai ≥ bi, то ri = ai – bi, старший (i + 1)-й разряд не изменяется
3. — если a i < b i , то ri = q + ai – bi ,
4. старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1
5. Рассмотрим правило вычитания в двоичной системе счисления на примере.

Рассмотрим правило вычитания в троичной системе счисления, где q=3

1. 1 ≥ 0 записываем 1 – 0 = 1 под 1-м разрядом
2. 0 < 1записываем 3 + 0 – 1 = 2 под 2-м разрядом, делая заем в 3-м разряде
3. 0 < 2записываем 3 + 0 – 2 = 1 под 3-м разрядом,делая заем в 4-м разряде
4. 0 = 0записываем 0 под 4-м разрядом
5. 0 < 1записываем 3 + 0 – 1 = 2 под 5-м разрядом,

   делая заем в 6-м разряде

В восьмеричной и шестнадцатеричной системе выполним вычитание.

Как же выполняется умножение чисел в системе счисления с основанием q? Если мы рассмотрим таблицы умножения в двоичной, троичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, то увидим, что алгоритм умножения точно такой же, как и в десятичной системе.

Чтобы в системе счисления q получить произведение M многозначного числа A и однозначного числа b, надо вычислить произведения b и цифр числа A по разрядам i:

1. если ai · b m, получаем:

Эти соотношения позволят подсчитать количество «1» в выражении без вычислений. Двоичные представления чисел 24032 и 24000 внесут в двоичное представление суммы по одной «1». Разность 22018 – 21800 в двоичной записи представляет собой цепочку из 218 единиц и следующих за ними 1800 нулей. Слагаемые 22 и 21 дают ещё 2 единицы.

1. Так как в задаче надо найти единицы, то получаем:
2. Итого: 1 + 1 + 218 + 1 + 1 = 222.
3. Давайте разберем еще одну задачу.
4. Найдём количество цифр в восьмеричной записи числа, являющегося результатом десятичного выражения: 2299 + 2298 + 2297 + 2296.
5. Решение:
6. Двоичное представление исходного числа имеет вид:

Всего в этой записи 300 двоичных символов. При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления каждая триада исходного числа заменяется восьмеричной цифрой. Следовательно, восьмеричное представление исходного числа состоит из 100 цифр.

Ответ: 100 цифр

Итак, сегодня вы узнали, что арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления. Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

1. все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;
2. вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;
3. перевести результат в требуемую систему счисления.
• Для работы с десятичными числами вида 2n, полезно иметь ввиду следующие закономерности в их двоичной записи:
• Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:
• Тренировочный модуль.
• 1 задание
• Выберите выражения, значения которых одинаковые.
• Возьми карандаш и подчеркни результат сложения
• 145 + 325
• 225 1035 435 1015
• Реши кросснамбер
• По вертикали:
• 1. Найди сумму и запиши в двоичной системе счисления 1538 + F916
• 3. Найди произведение и запиши в двоичной системе счисления 1223 * 112
• 6. Выполни операцию деления 100100002 / 11002
• 7. Реши пример, ответ запиши в десятичной системе счисления (5648 + 2348) * C16
• По горизонтали:
• 2. Разность двоичных чисел 11001100 — 11111
• 4. Найти разность 1678 – 568
• 5. Выполнить операцию деления 416128 / 128
• 8. Найти разность 12E16 – 7916 ответ запиши в десятичной системе счисления
• Проверь себя:

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/5423/conspect/

Арифметические действия в языке Си

Записывайся на этот курс на Stepike!

Пожалуйста, приостановите работу AdBlock на этом сайте.

Программы работают с данными. Зачастую данные представляют собой числа. В этом уроке, как вы наверное догадались, мы будем заниматься изучением того, как и что в языке Си можно делать с числами. Начнём с арифметики.

Компилятор языка Си понимает все основные арифметические операции, которые вам известны со школы. Плюс есть несколько дополнительных.

Основные арифметические операторы языка Си.

+ оператор сложения
— оператор вычитания
* оператор умножения
% оператор взятия остатка от деления
/ оператор деления

Следующая программа иллюстрирует использование первых четырёх из них. Кстати, обратите внимание на то, как с помощью функции printf вывести на экран символ %.

Листинг 1.

#include
int main(void){
int a=7, b=2;
int res;

res = a+b;
printf(«%d + %d = %d
«,a,b,res);
res = a-b;
printf(«%d — %d = %d
«,a,b,res);
res = a*b;
printf(«%d * %d = %d
«,a,b,res);
res = a%b;
printf(«%d %% %d = %d
«,a,b,res);

return 0;
}

Результат работы этой программы представлен на следующем рисунке.



Рис.5 Использование арифметических действий в Си.

Всё чётко и понятно. Никаких неожиданностей. А теперь попробуем получить частное двух чисел. Т.к. результат должен получиться 3.5, то res объявим как float.

Листинг 2.

#include
int main(void){
int a=7, b=2;
float res;

res = a/b;
printf(«%d / %d = %f
«,a,b,res);

return 0;
}

Как видите, результат получился не тот, что мы ожидали. Это одна из особенностей оператора деления в языке Си.

Целочисленное деление.

При делении значение целого типа на значение целого типа результат тоже получается целого типа.

Так уж устроен язык Си. Поэкспериментируйте, попробуйте любые другие целые числа.

Вычислить результат целочисленного деления легко. Поделите числа и отбросьте всё, что получилось в дробной части.

Пример: Как получить результат целочисленного деления

7/2 = 3.5 → 3
11/3 = 3.66 → 3
2/5 = 0.4 → 0

Для того чтобы получить тот результат, который мы в данном случае ожидаем, одно из значений нужно сделать вещественным. Сделать это проще простого. Для этого необходимо рядом с ним в скобках записать float.

Посмотрим на нашем примере:

Листинг 3.

#include
int main(void){
int a=7, b=2;
float res;

res = (float)a/b;
printf(«%d / %d = %f
«,a,b,res);

return 0;
}

Теперь результат будет тот, что мы ожидали. Проделанный нами трюк называется явным преобразованием типа.

Явное преобразование (приведение) типа.

Если какое-то значение нужно привести к другому типу, нужно перед этим значением в скобках написать название требуемого типа.

Листинг 4. Примеры явного преобразования типа

int a=7, b;
float g= 9.81,v;

b = (int) g; //приводим значение 9.81 к типу int, получим 9
v= (float)a; // приводим значение 7 к типу float, получим 7.0

Важный момент: преобразуется не тип исходной переменной, а только лишь значение, которое используется в выражении. В следующем видео-фрагменте об этом говорится подробнее.

Обратите внимание, что, когда мы преобразовываем целое значение в вещественное, ничего особенного не происходит, т.к. вещественные числа включают в себя целые.

Совсем иная ситуация, когда мы от вещественного переходим к целому. При этом переходе у нас теряется вся дробная часть. Не забывайте об этом.

Картинка, показывающая различия между операциями взятие остатка, целочисленного деления и обычного деления.



Рис.2 Деление, целочисленное деление и остаток от деления.

Решите предложенные задачи:

Исследовательские задачи для хакеров

1. Подумайте и приведите примеры, когда обычное деление не имеет смысла. Например, деление трёх лицензионных ключей от программы между двумя людьми. Зачем кому-то нужна половина лицензионного ключа? (если, конечно, он не занимается reverse engineering).
2. Что происходит при делении на ноль в вашей системе?

Источник: http://YoungCoder.ru/lessons/4/

Информатика экзамен 1 курс

Представление вещественных чисел в
компьютере.

Для представления вещественных чисел в современных компьютерах принят способ
представления с плавающей запятой. Этот способ представления опирается на
нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Как и для целых чисел, при представлении действительных чисел в компьютере чаще
всего используется двоичная система, следовательно, предварительно десятичное
число должно быть переведено двоичную систему.

• Нормализованная запись числа.
• 3,1415926
  = 0, 31415926 * 10^1;
• 1000=0,1
  * 10^4;
• 0,123456789
  = 0,123456789 * 10^0;
• 0,00001078 =
  0,1078 * 8^(-4); (порядок записан в 10-й системе)
• 1000,00012 =
  0, 100000012 * 2^4.

Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в
каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й
системе будет такой:

0 = 0,0 * 10^0.

1. Сложение и вычитание

2. При
   сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция,
   называемая выравниванием порядков.

В
процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим
порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов,
равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок
увеличивается на единицу.

В
результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются
расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после
чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости
полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево.
После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример
1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2–1 и
0.11011 . 210. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому
перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:



Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных
чисел 0.10101 . 210 и 0.11101 . 21. Разность порядков
уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием
мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:



Результат
получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево
на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы:
0.1101 .20.

• Умножение
• При
  умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы
  перемножаются.
• Пример
  3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 . 2101) . (0.1001 . 211)
= (0.11101 . 0.1001) . 2(101+11) =
0.100000101 . 21000.

Деление

При
делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок
делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае
необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных
чисел:

0.1111 . 2100 :
0.101 . 211 = (0.1111 : 0.101) . 2(100–11) =
1.1 . 21 = 0.11 . 210.

Использование
представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему
арифметико-логического устройства.

Источник: http://informatikaekzamen1kurs.blogspot.com/2013/06/blog-post_1599.html

Выполнение арифметических операций над вещественными числами

Использование в компьютере представления чисел в формате с плавающей запятой усложняет выполнение арифметических операций.

При сложении и вычитании чисел сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

Она состоит в том, что мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своей ячейке вправо на количество разрядов, равное разности порядков данных чисел.

После этой операции одноименные разряды мантисс оказываются расположенными в одноименных разрядах обеих ячеек, и теперь уже сложение или вычитание мантисс выполняется достаточно просто, так же как над числами с фиксированной запятой.

Пусть a = ±0,ma × 2q(a), b = ±0,mb × 2q(b) — два нормализованных двоичных числа, и q(a)>q(b). Результатом их сложения или вычитания будет являться следующее выражение: c = (0,ma ±0,mb × 2q(a)-q(b)) ×2q(a).

После операций над порядками и мантиссами мы получаем порядок и мантиссу результата, но последняя, вообще говоря, может не удовлетворять ограничениям, накладываемым на мантиссы нормализованных чисел.

Так как от результата арифметических операций в компьютере требуется, чтобы он также был нормализованным числом, необходимо дополнительное преобразование результата — нормализация.

В зависимости от величины получившейся мантиссы результата, она сдвигается вправо или влево так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой. Одновременно порядок результата увеличивается или уменьшается на число, равное величине сдвига.

Над мантиссами в арифметическом устройстве могут выполняться все четыре арифметических действия, а также операции сдвига, тогда как над порядками производятся только действия сложения и вычитания. Отрицательные порядки можно записывать в дополнительном коде для того, чтобы операцию вычитания свести к операции сложения.

В ряде случаев, даже если некоторые два числа были представлены в формате с плавающей запятой абсолютно точно, результат выполнения над ними арифметических операций часто может содержать погрешность, а иногда может быть заведомо неверным.

Поясним более подробно особенности выполнения арифметических операций над вещественными числами на примерах. При этом будем считать, что в записи вещественного числа с плавающей запятой один разряд отводится под десятичный порядок и пять разрядов — под десятичную мантиссу.

Пример: Предположим, что требуется сложить следующие числа: 0,23619 × 102 и 0,71824 × 10-1. Так как порядки у чисел различны, то перед сложением производится выравнивание порядков.

Число с меньшим порядком преобразуется в число с порядком, равным порядку другого слагаемого (меньший порядок «приводится» к большему).

В данном случае второе слагаемое будет преобразовано к виду 0,00071824 × 102, после чего выполняется сложение 102 × (0,23619 + 0,00071824) = 102 × 0,23690824 Результат получили с большим числом разрядов, чем вмещает ячейка, поэтому он округляется и записывается в памяти в виде 0,23691 × 102.

Пример. Выполним сложение двух вещественных чисел: 0,23619 × 108 и 0,91824 × 108. Так как порядки у этих чисел одинаковы, то производить операцию выравнивания порядков не требуется. Операция сложения сводится к сложению мантисс.

Результат — ненормализованное число 1,15443 × 108. Требуется выполнить нормализацию путем сдвига мантиссы вправо на один разряд, а затем округление результата, так как в мантиссе будет уже шесть цифр, а в ячейке памяти под мантиссу отведено их только пять.

Ответ: 0,11544 × 109.

Пример. Выполним сложение двух вещественных чисел, одно из которых достаточно большое по сравнению со вторым: 0,23619 × 103 и 0,91824 × 10-3. Так как порядки у этих чисел различны, то требуется произвести предварительную операцию их выравнивания. После выполнения выравнивания порядков складываться будут следующие числа:

103 × 0,23619 + 103 × 0,00000091824 = 103 × 0,23619091824

После сложения в мантиссе оказалось более пяти значащих цифр и при записи в ячейку памяти произойдет округление результата до 0,23619 × 103 . Получившееся число равно первому слагаемому, т. е. при выравнивании порядков все значащие цифры мантиссы второго слагаемого потеряны.

Таким образом, мы получили результат, невозможный с точки зрения обычной математики: a + b = a при b>0.

Но в компьютерной арифметике с ограниченным числом разрядов такой результат возможен, и об этом необходимо помнить при составлении алгоритмов решения задач.

При умножении двух целых чисел с плавающей запятой их порядки необходимо просто сложить, а мантиссы — перемножить (предварительное выравнивание не производится).

При делении из порядка делимого надо вычесть порядок делителя, а мантиссу делимого разделить на мантиссу делителя. Результатами выполнения операций умножения и деления нормализованных чисел а и b в арифметике с ограниченным числом разрядов будут:



Пример. Выполним умножение двух вещественных чисел: 0,23000 × 103 и 0,95000 × 107. При умножении двух вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. В результате получим: 0,21850 × 1010.

Это число не умещается в отведенный формат — в нашем формате под порядок отводится один разряд, а в получившемся числе порядок содержит две цифры.

Выполнение операции умножения над этими числами приведет к прекращению выполнения программы в связи с ошибкой «переполнение порядка».

Пример. Выполним деление двух вещественных чисел: 0,92000 × 104 и 0,30000 × 107. При делении вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки вычитаются, а мантиссы делятся одна на другую.

В нашем примере при делении мантисс мы имеем бесконечную периодическую дробь 0,92:0,3 = 3,0(6). Следовательно, при записи мантиссы результата произойдет ее округление.

После нормализации результат будет иметь вид: 0,30667 × 10-2.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник: https://zdamsam.ru/a43354.html

Арифметические операции над действительными числами: сложение, вычитание, умножение, примеры и решения

Определение

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида (-∞;+∞).

Замечание

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R.

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R. Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем.

Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Пример 1

• Сравнить числа frac185 и 4.
• Решение
• Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

frac185-4=frac185-frac205=-frac25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5.

После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним.

Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. frac185 

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/arifmeticheskie-operatsii-nad-dejstvitelnymi-chisl/

Операции над действительными числами

Для данных действительного типа определены следующие арифметические операции:

• сложение ( + );
• вычитание ( — );
• умножение ( * );
• деление ( / );
• возведение в степень ( ^ ),
• В нецелую степень можно возводить только положительные числа.
• Нецелая степень по правилам математики вычисляется по формуле:
• ax = ex×ln(a) ,

где е — основание натуральных логарифмов. Это значит, что в дробную степень можно возводить числа, превышающие ноль.

 Ввод-вывод действительных чиселВозможны 2 формы ввода действительных чисел:

• с десятичной запятой;
• экспоненциальная.

Форма с десятичной запятой — это обычная, привычная нам форма, например: 23, 78069.

Экспоненциальная форма — это по существу то, что мы называли полулогарифмической формой: мантисса плюс английская буква Е полюс порядок числа (обязательно целое число). Пробелы внутри числа не допускаются. Например:

4,556098Е3 – это 4,556098´103 = 4556,098); 0,1234567Е-4 – это 0,1234567´10-4 = 0,00001234567).

Экспоненциальная форма удобна для записи чисел значительно больших единицы либо значительно меньших единицы. Действительно, проще записать 1,23Е-10, чем 0,000000000123 или 3,37Е16 чем 33700000000000000. Мало того, что от нулей рябит в глазах, так еще надо не ошибиться в их количестве.

           Вывод чисел.

Практически все программы, выполняющие математические расчеты, допускают 2 формы вывода действительных чисел:

• с десятичной запятой;
• экспоненциальную.

Форма вывода может выбираться как самой программой (выбирается та форма, при которой количество выводимых символов меньше), так и пользователем.

1. Представление в ЭВМ логических данных
2.  Логические данные
3. Логические величины могут принимать лишь 2 значения:
• ЛОЖЬ (варианты: НЕТ, FALSE, NO);
• ИСТИНА (варианты: ДА, TRUE, YES).

Для представления в ЭВМ логической величины достаточно одного бита, реально же отводится 1, 2 или 4 байта (8, 16 или 32 бита).

Такое «расточительство» обусловлено тем, что количество хранимых логических данных обычно невелико, но зато упрощается их обработка процессором.

Решение о количестве байт, отводимых под логическую величину, принимает программист, разрабатывающий программу. Если мы пользуемся готовым программным продуктом, то решение за нас уже принято.

Логические величины редко приходится вводить в качестве исходных данных. Чаще всего они образуются при выполнении операций сравнения:

• меньше ( < );
• меньше или равно ( = );
• больше ( > ).
• Составные знаки (например, «», следует записывать именно в таком порядке, как приведено выше, без пробелов внутри.
• Вот примеры простых выражений, результаты которых — величины логического типа:
• Результат первого выражения, очевидно, ИСТИНА, а второго — ЛОЖЬ.

Эксперимент Изложенное выше можно проверить в Excel: · Открыть книгу Excel —> ввести в какую-либо ячейку формулу » =4 < 8 " —> [Enter] —> в другую ячейку ввести формулу » = -8 7 » —> [Enter]. · Опробовать другие выражения.

3.4.2. Операции над логическими данными

Для логических данных определены 3 основные операции:

1. · NOT (НЕ, отрицание, инверсия);
2. · AND (И, логическое умножение, конъюнкция);
3. · OR (ИЛИ, логическое сложение, дизъюнкция).
4. Существуют и другие логические операции, но их результат может быть выражен с помощью перечисленных трех основных.

Операция NOT унарная, т.е. применяется к одному операнду. Результат операции NOT — смена значения операнда на противоположное.

Например: NOT (4

Источник: https://studopedia.net/4_11705_operatsii-nad-deystvitelnimi-chislami.html

1.2. Арифметические операции над числами, представленными в различных системах счисления

Арифметические
операции во всех позиционных системах
счисления выполняются по одним и тем
же правилам.

Для проведения арифметических
операций над числами, представленными
в различных системах счисления, необходимо
предварительно преобразовать их в одну
систему счисления и учесть то, что
перенос в следующий разряд при операции
сложения и заем из старшего разряда при
операции вычитания определяется
величиной основания системы счисления.

• Арифметические
  операции в двоичной системе счисления
  основаны на таблицах сложения, вычитания
  и умножения одноразрядных двоичных
  чисел.
• При сложении двух
  единиц происходит переполнение разряда
  и производится перенос единицы в старший
  разряд, при вычитании 0–1 производится
  заем из старшего разряда, в таблице
  «Вычитание» этот заем обозначен 1 с
  чертой над цифрой (Таблица 3).
• Таблица 3

Ниже приведены
примеры выполнения арифметических
операций над числами, представленными
в различных системах счисления:

Арифметические
операции над целыми числами, представленными
в различных системах счисления, достаточно
просто реализуются с помощью программ
Калькулятор и MS Excel.

1.3. Представление чисел в компьютере

Числовые данные
обрабатываются в компьютере в двоичной
системе счисления. Числа хранятся в
памяти компьютера в двоичном коде, т. е.
в виде последовательности нулей и
единиц, и могут быть представлены в
формате с фиксированной или плавающей
запятой.

Целые числа хранятся
в памяти в формате с фиксированной
запятой. При таком формате представления
чисел для хранения целых неотрицательных
чисел отводится регистр памяти,
состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит).

Каждому разряду ячейки памяти соответствует
всегда один и тот же разряд числа, а
запятая находится справа после младшего
разряда и вне разрядной сетки.

Например,
число 110011012 будет храниться в регистре
памяти следующим образом:

Таблица 4

Максимальное
значение целого неотрицательного числа,
которое может храниться в регистре в
формате с фиксированной запятой, можно
определить из формулы: 2n – 1,
где n
– число разрядов числа. Максимальное
число при этом будет равно 28 – 1 =
25510 = 111111112и минимальное 010 = 000000002.
Таким образом, диапазон изменения целых
неотрицательных чисел будет находиться
в пределах от 0 до 25510.

В отличие от
десятичной системы в двоичной системе
счисления при компьютерном представлении
двоичного числа отсутствуют символы,
обозначающие знак числа: положительный
(+) или отрицательный (-), поэтому для
представления целых чисел со знаком в
двоичной системе используются два
формата представления числа: формат
значения числа со знаком и формат
дополнительного кода. В первом случае
для хранения целых чисел со знаком
отводится два регистра памяти (16 бит),
причем старший разряд (крайний слева)
используется под знак числа: если число
положительное, то в знаковый разряд
записывается 0, если число отрицательное,
то – 1. Например, число 53610 =
00000010000110002 будет представлено в
регистрах памяти в следующем виде:

Таблица 5

а отрицательное
число -53610 = 10000010000110002 в виде:

Таблица 6

1. Максимальное
   положительное число или минимальное
   отрицательное в формате значения числа
   со знаком (с учетом представления одного
   разряда под знак) равно 2n-1 – 1 =
   216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 и
   диапазон чисел будет находиться в
   пределах от -3276710 до 32767.
2. Наиболее часто
   для представления целых чисел со знаком
   в двоичной системе применяется формат
   дополнительного кода, который позволяет
   заменить арифметическую операцию
   вычитания в компьютере операцией
   сложения, что существенно упрощает
   структуру микропроцессора и увеличивает
   его быстродействие.
3. Для представления
   целых отрицательных чисел в таком
   формате используется дополнительный
   код, который представляет собой дополнение
   модуля отрицательного числа до нуля.
   Перевод целого отрицательного числа в
   дополнительный код осуществляется с
   помощью следующих операций:
4. 1)  модуль числа
   записать прямым кодом в n
   (n
   = 16) двоичных разрядах;

2)  получить
обратный код числа (инвертировать все
разряды числа, т. е. все единицы
заменить на нули, а нули – на единицы);

• 3)  к полученному
  обратному коду прибавить единицу к
  младшему разряду.
• Например, для числа
  -53610 в таком формате модуль будет
  равен 00000010000110002, обратный код –
  1111110111100111, а дополнительный код –
  1111110111101000.
• Необходимо помнить,
  что дополнительный код положительного
  числа – само число.

Для хранения целых
чисел со знаком помимо 16-разрядного
компьютерного представления, когда
используются два
регистра памяти
(такой формат числа называется также
форматом коротких целых чисел со знаком),
применяются форматы средних и длинных
целых чисел со знаком.

Для представления
чисел в формате средних чисел используется
четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для
представления чисел в формате длинных
чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита).

Диапазоны значений для формата средних
и длинных чисел будут соответственно
равны: -(231 – 1) … + 231 – 1 и -(263-1)
… + 263 – 1.

Компьютерное
представление чисел в формате с
фиксированной запятой имеет свои
преимущества и недостатки.

К преимуществам
относятся простота представления чисел
и алгоритмов реализации арифметических
операций, к недостаткам – конечный
диапазон представления чисел, который
может быть недостаточным для решения
многих задач практического характера
(математических, экономических, физических
и т. д.).

Вещественные числа
(конечные и бесконечные десятичные
дроби) обрабатываются и хранятся в
компьютере в формате с плавающей запятой.
При таком формате представления числа
положение запятой в записи может
изменяться. Любое вещественное число К
в формате с плавающей запятой может
быть представлено в виде:

где А – мантисса
числа; h – основание системы
счисления; p
– порядок числа.

Выражение (2.7) для
десятичной системы счисления примет
вид:

для двоичной —

для восьмеричной
—

для шестнадцатеричной
—

и т. д.

Такая форма
представления числа также называется
нормальной.
С изменением порядка запятая в числе
смещается, т. е. как бы плавает влево
или вправо. Поэтому нормальную форму
представления чисел называют формой
с плавающей запятой.

Десятичное число 15,5, например, в формате
с плавающей запятой может быть представлено
в виде: 0,155 · 102; 1,55 · 101; 15,5 · 100;
155,0 · 10-1; 1550,0 · 10-2 и т. д.

Эта
форма записи десятичного числа 15,5 с
плавающей запятой не используется при
написании компьютерных программ и вводе
их в компьютер (устройства ввода
компьютеров воспринимают только линейную
запись данных). Исходя из этого выражение
(2.7) для представления десятичных чисел
и ввода их в компьютер преобразовывают
к виду

где Р – порядок
числа,

т. е. вместо
основания системы счисления 10 пишут
букву Е, вместо запятой – точку,
и знак умножения не ставится. Таким
образом, число 15,5 в формате с плавающей
запятой и линейной записи (компьютерное
представление) будет записано в виде:
0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.

Независимо от
системы счисления любое число в форме
с плавающей запятой может быть представлено
бесконечным множеством чисел. Такая
форма записи называется ненормализованной.
Для однозначного представления чисел
с плавающей запятой используют
нормализованную форму записи числа,
при которой мантисса числа должна
отвечать условию

где |А| — абсолютное
значение мантиссы числа.

Условие (2.9) означает,
что мантисса должна быть правильной
дробью и иметь после запятой цифру,
отличную от нуля, или, другими словами,
если после запятой в мантиссе стоит не
нуль, то число называется нормализованным.

Так, число 15,5 в нормализованном виде
(нормализованная мантисса) в форме с
плавающей запятой будет выглядеть
следующим образом: 0,155 · 102, т. е.

нормализованная мантисса будет A =
0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном
представлении числа 0.155Е2.

Числа в форме с
плавающей запятой имеют фиксированный
формат и занимают в памяти компьютера
четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит).
Если число занимает в памяти компьютера
32 разряда, то это число обычной точности,
если 64 разряда, то это число двойной
точности.

При записи числа с плавающей
запятой выделяются разряды для хранения
знака мантиссы, знака порядка, мантиссы
и порядка.

Количество разрядов, которое
отводится под порядок числа, определяет
диапазон изменения чисел, а количество
разрядов, отведенных для хранения
мантиссы,  – точность, с которой
задается число.

1. При выполнении
   арифметических операций (сложение и
   вычитание) над числами, представленными
   в формате с плавающей запятой, реализуется
   следующий порядок действий (алгоритм)
   :
2. 1)  производится
   выравнивание порядков чисел, над которыми
   совершаются арифметические операции
   (порядок меньшего по модулю числа
   увеличивается до величины порядка
   большего по модулю числа, мантисса при
   этом уменьшается в такое же количество
   раз);
3. 2)  выполняются
   арифметические операции над мантиссами
   чисел;
4. 3)  производится
   нормализация полученного результата.

Источник: https://studfile.net/preview/6195534/page:2/