Четные и нечетные функции — студенческий портал

Просмотрсодержимого документа

• Четность и нечетность функции
• Функция называется четной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( ‑ x)=f(x).
• Область определения четной функции симметрична относительно нуля.
• График четной функции симметричен относительно оси Оу.

1. Функция называется нечетной, если для любого значения х из ее области определения значение – х также принадлежит области определения и верно равенство f( ‑ x)= ‑ f(x).
2. Область определения нечетной функции симметрична относительно нуля.
3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 1. Дан график функции .

Определите по графику четной или нечетной является функция.

Решение. Поскольку график функции симметричен относительно оси Ох, то функция является четной.

Ответ: функция четная

Задание 1. Определите по графику четной или нечетной является функция…

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)

Пример 2. На рисунке изображена часть графика некоторой функции, область определения которой — промежуток [ ‑ 4; 4]. Постройте график этой функции, если функция нечетная.

Решение. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Следовательно, для построения графика нужно отобразить данную часть относительно точки (0; 0):

Задание 2. На рисунке изображена часть графика некоторой функции, область определения которой — промежуток [ ‑ 3; 3]. Постройте график этой функции, если…

1) функция четная	2) функция нечетная
3) функция четная	4) функция нечетная
5) функция четная	6) функция нечетная
7) функция четная	8) функция нечетная
9) функция четная	10) функция нечетная

Пример 3. Определить четность (нечетность) функции .

Решение. По определению четной функции должно выполняться равенство f( ‑ x)=f(x).

=. Отсюда следует, что функция четная.

Ответ: четная

Задание 3. Определите, является функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной…

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)

Пример 4. Исследовать функцию на четность (нечетность).

Решение. Подставим в выражение вместо х значение ‑ х: ==. Отсюда следует, что функция нечетная.

Ответ: нечетная

Задание 4. Определите четность или нечетность функции…

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)

Пример 5. Вычислите , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 5)=3; f(2)= ‑ 8.

Решение. Поскольку функция f(x) – нечетная, то f( ‑ x)= ‑ f(x).

Т.е. f( ‑ 5)= ‑ f(5)= ‑ 3; f( ‑ 2)= ‑ f(5)=8.

• Следовательно, =4( ‑ 3)+8= ‑ 4.
• Ответ:  ‑ 4
• Задание 5. Вычислите…

1) , если f(x) – нечетная функция и f(3)= ‑ 7; f( ‑ 4)=3	2) , если f(x) – четная функция и f(2)=3; f( ‑ 5)=2
3) , если f(x) – четная функция и f(3)= ‑ 7; f( ‑ 4)=5	4) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 4)=2; f(2)= ‑ 3
5) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 3)=1; f(2)= ‑ 3	6) , если f(x) – четная функция и f(2)=2; f( ‑ 3)=3
7) , если f(x) – четная функция и f(3)=3; f(5)=2	8) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 4)=3; f(3)=5
9) , если f(x) – нечетная функция и f( ‑ 3)=3; f(2)= ‑ 3	10) , если f(x) – четная функция и f(‑ 2)=3; f( ‑ 5)=4

Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных – нечетна.

Доказательство: f(x)+g(x)=f( ‑ x)+g( ‑ x)=f(x)+g(x).

Произведение двух четных функций является четной функций, произведение двух нечетных функций также является четной функций. Произведение четной и нечетной функции – нечетно.

1. Доказательство: (fg)( ‑ x)=f( ‑ x)g( ‑ x)=f(x)g(x)=(fg)(x).
2. Если функция f четна (нечетна), то и функция четна (нечетна).
3. Доказательство: если функция f четна и f(x)0, то .
4. Если Х симметрично относительно начала координат, то любая заданная на Х функция f является суммой четной и нечетной функций f=g+h, где , .

Доказательство: , . Отсюда следует, что функция g(x) четна, а функция h(x) нечетна. При этом .

Пример 6. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если h(x)=f2(x)g2(x), f – четная функция, g – нечетная?

Решение. Поскольку f – четная функция, g – нечетная, то f2 и g2 – четные функции. Произведение четных функций – функция четная. Следовательно, h(x)=f2(x)g2(x) является четной функцией.

Ответ: четная

Задание 6. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел. Является ли функция h четной или нечетной, если…

1) h(x)=f(x)g2(x), f – четная функция, g – нечетная	2) h(x)=f(x)g2(x), f и g – четные функции	3) h(x)=f(x)+g(x), f и g – нечетные функции
4) h(x)=f(x)g(x), f и g – нечетные функции	5) h(x)=f(x)g2(x), f и g – нечетные функции	6) h(x)=f(x)+g(x), f и g – четные функции
7) h(x)=f(x)g(x), f – четная функция, g – нечетная	8) h(x)=f(x)g(x), f и g – четные функции	9) h(x)=f(x)‑g(x), f – четная функция, g – нечетная
10) h(x)=f(x)g2(x), f – нечетная функция, g – четная

Задание 7. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций…

1)

2)

3)

4)

Задание 8. Найдите ось симметрии для графиков функций…

1)

2)

Задание 9. Найдите центр симметрии для графиков функций…

1)

2)

Источник: https://mega-talant.com/biblioteka/material-k-uroku-chetnye-i-nechetnye-funkcii-85756.html

Четные и нечетные функции

Функция у = f(x) называется четной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если для любых х и (—х) из области определения функции выполняется равенство f(—х) = — f(x). Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и (—х) оказалось, что f(-x) ≠-f(x), и хотя бы для одной пары значений х и (-х) оказалось, что f(-x) ≠ f(x), то функция называется функцией общего вида. Кратко: если

то f(x) — функция общего вида.

Из определения четных и нечетных функций следует, что область определения D(f) как четной, так и нечетной функции симметрична относительно начала координат, если
х∈ D(f)=>(-x)∈ D(f).
Если функция у = f(x) является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.
Если функция у = f(x) является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример. Выяснить, является ли данная функция четной, нечетной, общего вида:

Решение.

— четная функция;

— четная функция;

— нечетная функция;

— нечетная функция;

— функция общего вида;

— функция общего вида.

Ответ: а), б) — четные функции; в), г) — нечетные функции; д), е) — функции общего вида.

Источник: https://math-helper.ru/elementarnaya-matematika/matematika-dlya-postup/chetnyie-i-nechetnyie-funktsii

Внеклассный урок — Четные и нечетные функции. Периодические функции

Четная функция.

Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x.

Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = f(x). Знак x не влияет на знак y.

График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

• Примеры четной функции:
• y = cos x
• y = x2
• y = –x2
• y = x4
• y = x6
• y = x2 + x

Пояснение:Возьмем функцию y = x2 или y = –x2.При любом значении x функция положительная. Знак x не влияет на знак y. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

1.  
2. Нечетная функция.
3. Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x.
4. Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f(–x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

• Примеры нечетной функции:
• y = sin x
• y = x3
• y = –x3
• Пояснение:

Возьмем функцию y = –x3. Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f(–x) = –f(x). График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

Свойства четной и нечетной функций:

1) Сумма четных функций является четной функцией.     Сумма нечетных функций является нечетной функцией.2) Если функция f четна, то и функция 1/f четна.     Если функция f нечетна, то и функция 1/f нечетна.3) Произведение двух четных функций является четной функцией.     Произведение двух нечетных функций тоже является четной функцией.4) Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.5) Производная четной функции нечетна, а нечетной — четна.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

Периодические функции.

Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-273

Функции четные и нечетные

Понятия четной и нечетной функции вам хорошо знакомы, и, как правило, их определения даются с упоминанием области определения, например: функция у=f(x) называется четной, если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат, и для всех х из этой области определения выполняется равенство f(-x)=f(x).

Между тем, если равенство f(x)=f(-x) выполняется, то уж во всяком случае обе его части имеют смысл, так что если $xin D(f)$, что прямо сказано в определении, то и $-xin D(f)$, а это означает, что область определения D(f) симметрична относительно начала координат. Иными словами, условие, наложенное на D(f) в этом определении, — лишнее: его выполнение логически следует из главного условия f(x)=f(-x).

Это не значит, конечно, что данное определение не­правильное, оно лишь «неэкономное», и в учебниках определение четной функции дается в таком виде, для того чтобы лишний раз напомнить о симметричности области определения такой функции.

С терминами четная и нечетная также возникает языковой эффект, похожий на тот, о котором мы ранее уже говорили: свойства четности и нечетности для функций не являются отрицаниями друг друга, как можно подумать, исходя из четности и нечетности натуральных и целых чисел. Равенства f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x) не противоречат, как может показаться, друг другу, но могут выполняться одновременно — правда, только в случае, когда f(x)=f(-x)=0 («особое» число 0, как вы уже многократно убеждались в разных ситуациях, нередко «отравляет жизнь»).

Поэтому функция может быть одновременно и четной, и нечетной, и простейшим примером такой функции является постоянная функция — тождественный нуль, т.е. равная 0 при всех значениях аргумента.

Можно и описать все функции, одновременно четные и нечетные — это, очевидно, такие функции, имеющие в качестве области определения произвольное симметричное относительно начала координат множество чисел, но принимающее на ней только нулевое значение.

• При решении задач, где требуется выяснить, является ли заданная функция четной или нечетной, многие часто склонны судить только по внешнему виду главного равенства и считать, например, что функция $y=x^3+2x^2$ не является ни четной, ни нечетной, потому что, как обычно пишут,
• $(-x)^3=-x^3, 2(-x)^2=2x^2, (-x)^3+2(-x)^2=-x^3+2x^2$
• a $-x^3+2x^2
  eq x^3+2x^2, -x^3+2x^2
  eq –(x^3+2x^2)$.

Поэтому ниже мы приводим, можно сказать, хрестоматийный пример функции, где опора только на внешний вид выражения приводит к неверному выводу: это функция $y=f(x)=log_{c}(x+sqrt{x^2+1}$.

Выражение $y=f(-x)=log_{c}(-x+sqrt{x^2+1}$ судя по его внешнему виду, не совпадает ни с f(x), ни с -f(x), а на самом деле $f(x)+f(-x)=log_{c}(x+sqrt{x^2+1}+log_{c}(-x+sqrt{x^2+1}=log_{c}(x^2+1-x^2)=log{c}1=0$ т.е.

f(x)=-f(-x), так что функция $y=f(x)=log_{c}(x+sqrt{x^2+1}$ — нечетная.

Поэтому для доказательства того, что заданная функция не является ни четной, ни нечетной, надо приводить подтверждающие этот факт примеры. Обычно это очень просто: например, для рассмотренной выше функции $y=x^3+2x^2$, взяв 1 и -1, получим, что f(-1)=1, f(1)=3, так что f(-1) не равно ни f(1), ни f(-1). Это рассуждение есть приведение контрпримера.

(4

Источник: https://matemonline.com/2013/03/even-and-odd-functions/

Четность и нечетность функции

Данный калькулятор предназначен для определения четности и нечетности функции онлайн. Четность и нечетность функции определяет ее симметрию.
Функция y=f(x) является четной, если для любого значения x∈X выполняется следующее равенство: f(-x)=f(x).

Область определения четной функции должна быть симметрична относительно ноля. Если точка b принадлежит области определения четной функции, то точка –b также принадлежит данной области определения.

График четной функции также будет симметричен относительно центра координат.

Нечетной называется функция y=f(x) при условии выполнения равенства f(-x)=-f(x). График функции нечетной функции, в отличие от четной, симметричен относительно оси координат. Если точка b принадлежит области определения нечетной функции, то точка –b также принадлежит области определения этой функции.

• neither even nor odd – функция общего вида

Основные функции : x^a модуль x: abs(x) : Sqrt[x] : x^(1/n) : a^x : Log[a, x] : Log[x] : cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x] : tan[x] или Tan[x] : cot[x] или Cot[x] : sec[x] или Sec[x] : csc[x] или Csc[x] : ArcCos[x] : ArcSin[x] : ArcTan[x] : ArcCot[x] : ArcSec[x] : ArcCsc[x] : cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x] : tanh[x] или Tanh[x] : coth[x] или Coth[x] : sech[x] или Sech[x] : csch[x] или Csch[е] : ArcCosh[x] : ArcSinh[x] : ArcTanh[x] : ArcCoth[x] : ArcSech[x] : ArcCsch[x] [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

Источник: https://allcalc.ru/node/675

Нечетная функция — это… Что такое Нечетная функция?

• НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Большой Энциклопедический словарь
• нечетная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN odd function …   Справочник технического переводчика
• НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного, т. е. функция, удовлетворяющая условию . График Н. ф. симметричен относительно начала координат …   Математическая энциклопедия
• нечётная функция — функция, удовлетворяющая равенству f(–х) =  f(х) при всех х. * * * НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ, функция, удовлетворяющая равенству f( x) = f(x) при всех х …   Энциклопедический словарь
• Единичная функция Хевисайда — Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения  специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов …   Википедия
• Единичная Хевисайда — Единичная функция Хевисайда Функция Хевисайда, единичная ступенчатая функция, ступенька положения  специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов …   Википедия
• Многочлены Лежандра — Многочлен Лежандра  многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов… …   Википедия
• ОБРАТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — (обратный оператор) к однозначному отображению (оператору) однозначное отображение gтакое, что где нек рые множества. Если gудовлетворяет лишь условию (1), то оно наз. правым обратным отображением к f, если лишь (2) левым обратным отображением к… …   Математическая энциклопедия
• ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллиптические функции, возникшие при непосредственном обращении эллиптических интегралов в нормальной форме Лежандра. Эта задача обращения была решена в 1827 независимо К. Якоби (С. Jacobi) и, в несколько иной форме, Н. Абелем (N. Abel).… …   Математическая энциклопедия
• ВЕИЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф>тнкции, положенные К. Вейерштрассом в основу его общей теории эллиптических функций, излагавшейся им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см. [1], [2]). В отличие от более раннего построения теории эллиптич. функций, связанного с… …   Математическая энциклопедия

Источник: https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1060605