Делимость целых неотрицательных чисел — студенческий портал

  • Видеоурок: Натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные числа
  • Лекция: Целые числа
  • Целые и натуральные числа
  • К целым числам можно отнести все числа натурального ряда, им противоположные, а также ноль.

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий порталТо есть это все не дробные положительные, отрицательные числа, а так же ноль — иными словами, все не дробные числа на числовой прямой. Используя термин «натуральные числа» мы понимаем, что это не отрицательные и не дробные числа.

У Вас может возникнуть вопрос, чему же равно максимальное или минимальное целое число — таковых не существует, поскольку числовой ряд бесконечный.

Среди всего множества чисел, целые числа обозначаются буквой Z, а натуральные — N.

Все натуральные числа используются для счета. Например, на дереве висит 5 яблок, стол сервирован на 8 персон. Мы же не можем сказать, что на столе 7,5 тарелок, или у цветка -3 листка. Числа, противоположные натуральным, — это не дробные и отрицательные числа.

Арифметические действия

Существует несколько математических операций, которые можно производить с целыми числами. Хотелось пояснить каждую из них.

  1. 1. Сложение / Вычитание
  2. При необходимости сложить два числа, имеющие одинаковые знаки, следует сложить их модули и поставить общий знак. Например,
  3.  |+4| + |+6| = |+10|,
  4.  |-8| + |-3| = |-11|.

Если необходимо сложить целые числа, которые имеют противоположные знаки, следует от числа с большим модулем вычесть второе число. Перед суммой поставить знак большего модуля. Например,

  •  |-10| + |+3| = |-7|,
  •  |+5| + |-2| = |+3|.
  • 2. Умножение / Деление

Если следует получить произведение (частное) двух чисел, следует перемножить их модули. Перед произведением (частным) ставится знак «+» в том случае, если перемножались (делились) числа с одинаковыми знаками. Если умножение (деление) происходило между числами с разными знаками, то ставят знак «-«

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий портал

  1. Например,
  2.  |-5| *  |-6| = |+30|,
  3.  |+3| * |+7| = |+21|,
  4.  |-4| *  |+3| = |-12|.
  5. Основные правила, используемые при делении, умножении, сложении и вычитании целых чисел.
  6. Рассмотрим арифметические действия, которые производятся над тремя целыми числами а, б, с.

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий портал

Источник: https://cknow.ru/knowbase/499-111-celye-chisla.html

Элементы теории делимости

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости целых чисел и в частных случаях — о делимости натуральных чисел. Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b, которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q), что справедливо равенство a=b·q. В этом случае также говорят, что b делит a.

При этом целое число b называется делителем числа a, целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным.

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело. Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство a=b·q. В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к делению целых чисел с остатком.

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Целое отрицательное число −81 делится на целое отрицательное число −27, так как −81=(−27)·3 (равенство (−27)·3=−81 имеет место в силу правила умножения целых чисел с разными знаками). Здесь же можно сказать, что число −27 делит −81. В этом примере целое число −81 – это кратное числа −27, а число −27 – делитель числа −81.

Рассмотрим еще один пример. Целое число −16 не делится на целое число 5, так как не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство −16=5·q. Таким образом, число −16 не является кратным числа 5, а число 5 не является делителем числа −16.

Теперь введем обозначения, принятые для удобства описания делимости.

Тот факт, что целое число a является кратным целого числа b (a кратно b, или a делится на b), записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки.

С другой стороны, то обстоятельство, что целое число b делит целое число a, записывают с использованием символа «|», имеющего вид вертикальной черты, следующим образом: b|a.

К примеру, запись 3|27 означает, что число 3 делит 27.

Также можно встретить записи вида ba (посмотрите на обыкновенную дробь a/b справа налево), которые являются лишь разновидностью записи b|a и означают то же самое (что b делит a).

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий портал

Делимость обладает рядом характерных свойств. Перечислим и обоснуем основные свойства делимости, которые следуют из понятия делимости и свойств операций над целыми числами.

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a, из которых следует, что a делится на a, причем частное равно единице, и что a делится на 1, причем частное равно a. Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует делимость a на число, противоположное числу a, а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

  1. Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое числоb.

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b, то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q, где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a, отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a, отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q, где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0.

  1. Если целое числоa делится на целое число b и модуль числа a меньше модуля числа b, то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если a кратно b и |a|=|b| . Но это противоречит условию|a|=|b|. Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.
  2. Делителями единицы являются только целые числа1 и −1.

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1. Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1).

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b, отличное от 1 и −1, является делителем единицы. Так как единица делится на b, то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство |1|>=|b|, которое равносильно неравенству 1>=|b| .

Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1, 0, и −1. Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1, то остается лишь b=0. Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости).

  1. Чтобы целое числоa делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b.

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b, тогда существует такое целое число q, что a=b·q. Тогда |a|=|b*q|=|b|*|q|. Так как |q| является целым числом, то из равенства |a|=|b|*|q|  следует делимость модуля числа a на модуль числа b.

Теперь достаточность.

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b, тогда существует такое целое число q, что |a|=|b|*q . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q, которое доказывает делимость a на b.

Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q, которое можно переписать как a=b·q. Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q, это равенство равносильно равенству a=b·(−q). Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q, и a=b·(−q).

Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b.

  • Следствие 1.
  • Если целое число a делится на целое число b, то a также делится на число −b, противоположное числу b.
  • Следствие 2.
  • Если целое число a делится на целое число b, то и −a делится на b.
  • Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить — теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.
  1. Делимость обладает свойством транзитивности: если целое числоa делится на некоторое целое число m, а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b, то a делится на b. То есть, если a кратно m и m кратно b, то a кратно b.

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m, то существует некоторое целое число a1 такое, что a=m·a1. Аналогично, так как m делится на b, то существует некоторое целое число m1 такое, что m=b·m1.

Тогда a=m·a1=(b·m1)·a1=b·(m1·a1). Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m1·a1 — это некоторое целое число.

Обозначив его q, приходим к равенству a=b·q, которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

  1. Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, еслиa делится на b и одновременно b делится на a, то равны либо целые числа a и b, либо числа a и −b.

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q1и q2 таких, что a=b·q1 и b=a·q2. Подставив во второе равенство b·q1 вместо a, или подставив в первое равенство a·q2 вместо b, получим, что q1·q2=1, а учитывая, что q1 и q2 – целые, это возможно лишь при q1=q2=1 или при q1=q2=−1. Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a).

  1. Для любого целого и отличного от нуля числаb найдется такое целое число a, не равное b, которое делится на b.

Таким числом будет любое из чисел a=b·q, где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

  1. Если каждое из двух целых слагаемыхa и b делится на целое число c, то сумма a+b также делится на c.

Так как a и b делятся на c, то можно записать a=c··q1 и b=c·q2. Тогда a+b=c·q1+c·q2=c·(q1+q2) (последний переход возможен в силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q1+q2) доказывает делимость суммы a+b на c.

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите правило вычитания целых чисел), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c, то разность a−b также делится на с.

  1. Если известно, что в равенстве видаk+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s. Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b.

  1. Если целое числоa делится на целое число b, то произведение a·k, где k – произвольное целое число, делится на b.

Так как a делится на b, то справедливо равенство a=b·q, где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу сочетательного свойства умножения целых чисел). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b.

Следствие: если целое число a делится на целое число b, то произведение a·k1·k2·…·kn, где k1, k2, …, kn – некоторые целые числа, делится на b.

  1. Если целые числаa и b делятся на c, то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v, где u и v – произвольные целые числа, делится на c.

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q1 и b=c·q2. Тогда a·u+b·v=(c·q1)·u+(c·q2)·v=c·(q1·u+q2·v). Так как сумма q1·u+q2·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q1·u+q2·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c.

Список используемой литературы:

Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства/Составители: С.В. Поморцева, О.В. Иванова.- Омск: ОмГПУ, 2008.-37с.

Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/121

Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики

В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий портал

Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .

Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .

Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .

Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .

Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:

  • — Если делится на , то число называется делителем числа .
  • — Если числа и делятся на , то тоже делится на .
  • — Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .

Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .

Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.

Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.

Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.

Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

  1. Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
  2. Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
  3. Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
  4. Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
  5. Например, 72 = 2³∙3².
  6. Количество делителей натурального числа равно .
  7. Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
  8. Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
  9. Признаки делимости
  10. последняя цифра числа четная;
  11. сумма цифр числа делится на 3;
  12. число заканчивается на 0 или на 5;
  13. число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;
  14. число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;
  15. сумма цифр числа делится на 9;
  16. последняя цифра числа равна 0;
  17. суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Читайте также:  Виды оздоровительной физической культуры - студенческий портал

Источник: https://ege-study.ru/delimost-chisel-priznaki-delimosti-osnovnaya-teorema-arifmetiki/

Татьяна Мельничук | Делимость чисел

Делимость целых неотрицательных чисел - Студенческий портал

Одним из основных понятий в математике является делимость целых чисел.

Если для некоторого целого числа и целого числа cуществует такое целое число , что , то говорят, что число делится на или что делит . При этом используют следующую терминологию:

  • число является делителем числа ;
  • делимое кратно числу .

Для обозначения делимости используют специальный символ — три вертикальные точки . Запись означает, что делится на или что число кратно .

Хотя свойство делимости является определённым на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость целых неотрицательных чисел. В дальнейшем мы также будем рассматривать делимость лишь для целых неотрицательных чисел.

Свойства делимости и связанные определения

  • Ноль делится на любое натуральное число.
  • Любое число делится на единицу.
  • Любое число делится само на себя.
  • Натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называют простыми, а имеющие более двух делителей — составными. Подробнее о простых числах читайте в статье «Простые числа».
  • Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
  • Каждое натуральное числа, большее , имеет хотя бы один простой делитель.
  • Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Каждое простое число имеет ровно один собственный делитель — единицу.
  • Если и , то .
  • Если и , то .
  • Если и , то .
  • Если , то , и .
  • Если и , то .
  • Если , , то .
  • Если и , , , то .
  • Если и , то .

Деление с остатком

Для двух любых натуральных чисел и найдутся такие целые неотрицательные числа и , что .

Число называют остатком от деления на . Если , то .

Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель двух чисел и — это наибольшее число, на которое оба числа и делятся без остатка. Для оозначения наибольшего общего делителя принято использовать обозначение НОД. В англоязычной литературе принято также использовать обозначение .

  • Наибольший общий делитель НОД существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел и не равно нулю.
  • Пример: НОД.
  • Для вычисления НОД можно использовать алгоритм Евклида.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное двух чисел и — это такое наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка. Для обозначения наименьшего общего кратного используют обозначение НОК или, как это принято в англоязычной литературе, .

  1. Пример: НОК.
  2. Если известен НОД, который можно определить, используя алгоритм Евклида, то найти НОК особенного труда не составит, поскольку обе эти величины связаны соотношением:
  3. НОК НОД=.

Признаки делимости

Признаками делимости называют алгоритмы, позволяющие определить, является ли данное число кратным другому числу.

Представим известные признаки делимости в виде таблицы:

Признак делимости на 2 Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3 Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 4 Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 5 Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5.
Признак делимости на 6 Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.
Признак делимости на 7 Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7.
Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.
Признак делимости на 8 Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.
Признак делимости на 9 Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 10 Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.
Признаки делимости на 11 Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11.
Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 13 Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Признак делимости на 17 Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Признак делимости на 19 Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Признак делимости на 20 Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Признаки делимости на 23 Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Признак делимости на 25 Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 27 Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 29 Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.
Признак делимости на 30 Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3.
Признак делимости на 31 Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.
Признак делимости на 37 Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.
Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.
Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.
Признак делимости на 41 Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.
Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.
Признак делимости на 50 Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.
Признак делимости на 59 Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.
Признак делимости на 79 Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.
Признак делимости на 99 Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).
Признак делимости на 101 Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101.
Читайте также:  Экзистенциализм. философия экзистенциализма - студенческий портал

Вернуться назад…

МЕТКИ >делимость, математика, число

Источник: http://tmel.ru/delimost-chisel/

Решу егэ

Задание 19 № 507513

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14 = 22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30 = 70, что ровно на 48 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии a1, a2, …, an. Тогда разность, вычиcленная математиком в первый раз, равна

  • Когда к прогрессии добавили член an+1, вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым
  1. где d — разность прогрессии.
  2. Из условия следует, что и поэтому

Получаем неравенство откуда Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.

  • Из равенства следует, что n является делителем числа 1440. Значит,
  • Пусть n = 10, получаем

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое не имеет целых решений.

Пусть n = 9, получаем

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Тогда получаем уравнение которое не имеет целых решений.

Пусть n = 8, получаем:

Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое имеет единственный натуральный корень 4.

Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, …, 11 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.

Аналоги к заданию № 507513: 507588 515831 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии

Источник: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=507513

Ссылка на основную публикацию