- Видеоурок: Натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные числа
- Лекция: Целые числа
- Целые и натуральные числа
- К целым числам можно отнести все числа натурального ряда, им противоположные, а также ноль.
То есть это все не дробные положительные, отрицательные числа, а так же ноль — иными словами, все не дробные числа на числовой прямой. Используя термин «натуральные числа» мы понимаем, что это не отрицательные и не дробные числа.
У Вас может возникнуть вопрос, чему же равно максимальное или минимальное целое число — таковых не существует, поскольку числовой ряд бесконечный.
Среди всего множества чисел, целые числа обозначаются буквой Z, а натуральные — N.
Все натуральные числа используются для счета. Например, на дереве висит 5 яблок, стол сервирован на 8 персон. Мы же не можем сказать, что на столе 7,5 тарелок, или у цветка -3 листка. Числа, противоположные натуральным, — это не дробные и отрицательные числа.
Арифметические действия
Существует несколько математических операций, которые можно производить с целыми числами. Хотелось пояснить каждую из них.
- 1. Сложение / Вычитание
- При необходимости сложить два числа, имеющие одинаковые знаки, следует сложить их модули и поставить общий знак. Например,
- |+4| + |+6| = |+10|,
- |-8| + |-3| = |-11|.
Если необходимо сложить целые числа, которые имеют противоположные знаки, следует от числа с большим модулем вычесть второе число. Перед суммой поставить знак большего модуля. Например,
- |-10| + |+3| = |-7|,
- |+5| + |-2| = |+3|.
- 2. Умножение / Деление
Если следует получить произведение (частное) двух чисел, следует перемножить их модули. Перед произведением (частным) ставится знак «+» в том случае, если перемножались (делились) числа с одинаковыми знаками. Если умножение (деление) происходило между числами с разными знаками, то ставят знак «-«.
- Например,
- |-5| * |-6| = |+30|,
- |+3| * |+7| = |+21|,
- |-4| * |+3| = |-12|.
- Основные правила, используемые при делении, умножении, сложении и вычитании целых чисел.
- Рассмотрим арифметические действия, которые производятся над тремя целыми числами а, б, с.
Источник: https://cknow.ru/knowbase/499-111-celye-chisla.html
Элементы теории делимости
Понятие делимости
Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости целых чисел и в частных случаях — о делимости натуральных чисел. Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.
Целое число a делится на целое число b, которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q), что справедливо равенство a=b·q. В этом случае также говорят, что b делит a.
При этом целое число b называется делителем числа a, целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным.
Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело. Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.
В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство a=b·q. В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к делению целых чисел с остатком.
Разберемся с понятием делимости на примерах.
Целое отрицательное число −81 делится на целое отрицательное число −27, так как −81=(−27)·3 (равенство (−27)·3=−81 имеет место в силу правила умножения целых чисел с разными знаками). Здесь же можно сказать, что число −27 делит −81. В этом примере целое число −81 – это кратное числа −27, а число −27 – делитель числа −81.
Рассмотрим еще один пример. Целое число −16 не делится на целое число 5, так как не существует такого целого числа q, при котором справедливо равенство −16=5·q. Таким образом, число −16 не является кратным числа 5, а число 5 не является делителем числа −16.
Теперь введем обозначения, принятые для удобства описания делимости.
Тот факт, что целое число a является кратным целого числа b (a кратно b, или a делится на b), записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки.
С другой стороны, то обстоятельство, что целое число b делит целое число a, записывают с использованием символа «|», имеющего вид вертикальной черты, следующим образом: b|a.
К примеру, запись 3|27 означает, что число 3 делит 27.
Также можно встретить записи вида ba (посмотрите на обыкновенную дробь a/b справа налево), которые являются лишь разновидностью записи b|a и означают то же самое (что b делит a).
Делимость обладает рядом характерных свойств. Перечислим и обоснуем основные свойства делимости, которые следуют из понятия делимости и свойств операций над целыми числами.
Докажем это свойство делимости.
Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a, из которых следует, что a делится на a, причем частное равно единице, и что a делится на 1, причем частное равно a. Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a), из которых следует делимость a на число, противоположное числу a, а также делимость a на минус единицу.
Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.
- Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое числоb.
Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b, то нуль делится на любое целое число.
В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q, где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.
Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a, отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a, отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q, где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0.
- Если целое числоa делится на целое число b и модуль числа a меньше модуля числа b, то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если a кратно b и |a|=|b| . Но это противоречит условию|a|=|b|. Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.
- Делителями единицы являются только целые числа1 и −1.
Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1. Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1).
Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.
Предположим, что целое число b, отличное от 1 и −1, является делителем единицы. Так как единица делится на b, то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство |1|>=|b|, которое равносильно неравенству 1>=|b| .
Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1, 0, и −1. Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1, то остается лишь b=0. Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости).
Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1, не являются делителями единицы.
- Чтобы целое числоa делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b.
Докажем сначала необходимость.
Пусть a делится на b, тогда существует такое целое число q, что a=b·q. Тогда |a|=|b*q|=|b|*|q|. Так как |q| является целым числом, то из равенства |a|=|b|*|q| следует делимость модуля числа a на модуль числа b.
Теперь достаточность.
Пусть модуль числа a делится на модуль числа b, тогда существует такое целое число q, что |a|=|b|*q . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q, которое доказывает делимость a на b.
Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q, которое можно переписать как a=b·q. Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q, это равенство равносильно равенству a=b·(−q). Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q, и a=b·(−q).
Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b.
- Следствие 1.
- Если целое число a делится на целое число b, то a также делится на число −b, противоположное числу b.
- Следствие 2.
- Если целое число a делится на целое число b, то и −a делится на b.
- Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить — теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.
- Делимость обладает свойством транзитивности: если целое числоa делится на некоторое целое число m, а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b, то a делится на b. То есть, если a кратно m и m кратно b, то a кратно b.
Приведем доказательство этого свойства делимости.
Так как a делится на m, то существует некоторое целое число a1 такое, что a=m·a1. Аналогично, так как m делится на b, то существует некоторое целое число m1 такое, что m=b·m1.
Тогда a=m·a1=(b·m1)·a1=b·(m1·a1). Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m1·a1 — это некоторое целое число.
Обозначив его q, приходим к равенству a=b·q, которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.
- Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, еслиa делится на b и одновременно b делится на a, то равны либо целые числа a и b, либо числа a и −b.
Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q1и q2 таких, что a=b·q1 и b=a·q2. Подставив во второе равенство b·q1 вместо a, или подставив в первое равенство a·q2 вместо b, получим, что q1·q2=1, а учитывая, что q1 и q2 – целые, это возможно лишь при q1=q2=1 или при q1=q2=−1. Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a).
- Для любого целого и отличного от нуля числаb найдется такое целое число a, не равное b, которое делится на b.
Таким числом будет любое из чисел a=b·q, где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.
- Если каждое из двух целых слагаемыхa и b делится на целое число c, то сумма a+b также делится на c.
Так как a и b делятся на c, то можно записать a=c··q1 и b=c·q2. Тогда a+b=c·q1+c·q2=c·(q1+q2) (последний переход возможен в силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q1+q2) доказывает делимость суммы a+b на c.
Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.
Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите правило вычитания целых чисел), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c, то разность a−b также делится на с.
- Если известно, что в равенстве видаk+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b, то и этот один член делится на b.
Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s. Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b.
- Если целое числоa делится на целое число b, то произведение a·k, где k – произвольное целое число, делится на b.
Так как a делится на b, то справедливо равенство a=b·q, где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу сочетательного свойства умножения целых чисел). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b.
Следствие: если целое число a делится на целое число b, то произведение a·k1·k2·…·kn, где k1, k2, …, kn – некоторые целые числа, делится на b.
- Если целые числаa и b делятся на c, то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v, где u и v – произвольные целые числа, делится на c.
Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q1 и b=c·q2. Тогда a·u+b·v=(c·q1)·u+(c·q2)·v=c·(q1·u+q2·v). Так как сумма q1·u+q2·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q1·u+q2·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c.
Список используемой литературы:
Элементы теории делимости: Методические рекомендации для студентов факультета педагогики и психологии детства/Составители: С.В. Поморцева, О.В. Иванова.- Омск: ОмГПУ, 2008.-37с.
Источник: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/121
Делимость чисел. Признаки делимости. Основная теорема арифметики
В этой статье – необходимая теория для решения задачи 19 Профильного ЕГЭ по математике. Но это не все. Знания о числах и их свойствах, признаки делимости и формула деления с остатком могут пригодиться вам при решении многих задач ЕГЭ.
Повторим еще раз, какие бывают числа.
Натуральные числа — это числа 1,2,3, … – те, что мы используем для счёта предметов. Ноль не является натуральным числом. Множество натуральных чисел обозначается .
Целые числа — это 0,±1,±2,±3 … Множество целых чисел обозначается .
Рациональные — числа, которые можно записать в виде
дроби , где – целое, а – натуральное.
Например, . Рациональные числа – это периодические десятичные дроби. Множество рациональных чисел обозначается .
Иррациональные числа – те, которые нельзя записать в виде или в виде периодической десятичной дроби. Числа – иррациональные.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе образуют множество действительных чисел .
Число делится на число , если найдется такое число такое, что . Например, 15 делится на 3, а 49 делится на 7. Обозначение:
- — Если делится на , то число называется делителем числа .
- — Если числа и делятся на , то тоже делится на .
- — Если числа и делятся на , а и – целые, то тоже делится на .
Формула деления с остатком. Если , то число делится на с остатком .
Например, при делении 9 на 4 мы получаем частное 2 и остаток 1, то есть 9 = 4∙2 + 1.
Четные числа – целые числа, которые делятся на 2. Любое четное число можно записать в виде , где – целое.
Нечетные числа – те целые числа, что не делятся на 2. Любое нечетное число можно записать в виде , где – целое.
Простые числа – те, что делятся только на себя и на единицу. Единица не является ни простым, ни составным числом. Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
- Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, кроме 1.
- Любое натуральное число можно разложить на простые множители.
- Например, 72 = 2∙2∙2∙3∙3, а 98 = 2∙7∙7.
- Основная теорема арифметики: Любое натуральное число можно представить в виде произведения простых делителей, взятых в натуральных степенях, причем это разложение единственно.
- Например, 72 = 2³∙3².
- Количество делителей натурального числа равно .
- Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа.
- Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое делятся два данных числа.
- Признаки делимости
- последняя цифра числа четная;
- сумма цифр числа делится на 3;
- число заканчивается на 0 или на 5;
- число, составленное из двух последних цифр числа , делится на 4;
- число, составленное из трех последних цифр числа , делится на 8;
- сумма цифр числа делится на 9;
- последняя цифра числа равна 0;
- суммы цифр на четных и нечетных позициях числа равны или их разность кратна 11.
Источник: https://ege-study.ru/delimost-chisel-priznaki-delimosti-osnovnaya-teorema-arifmetiki/
Татьяна Мельничук | Делимость чисел
Одним из основных понятий в математике является делимость целых чисел.
Если для некоторого целого числа и целого числа cуществует такое целое число , что , то говорят, что число делится на или что делит . При этом используют следующую терминологию:
- число является делителем числа ;
- делимое кратно числу .
Для обозначения делимости используют специальный символ — три вертикальные точки . Запись означает, что делится на или что число кратно .
Хотя свойство делимости является определённым на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость целых неотрицательных чисел. В дальнейшем мы также будем рассматривать делимость лишь для целых неотрицательных чисел.
Свойства делимости и связанные определения
- Ноль делится на любое натуральное число.
- Любое число делится на единицу.
- Любое число делится само на себя.
- Натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называют простыми, а имеющие более двух делителей — составными. Подробнее о простых числах читайте в статье «Простые числа».
- Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
- Каждое натуральное числа, большее , имеет хотя бы один простой делитель.
- Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Каждое простое число имеет ровно один собственный делитель — единицу.
- Если и , то .
- Если и , то .
- Если и , то .
- Если , то , и .
- Если и , то .
- Если , , то .
- Если и , , , то .
- Если и , то .
Деление с остатком
Для двух любых натуральных чисел и найдутся такие целые неотрицательные числа и , что .
Число называют остатком от деления на . Если , то .
Наибольший общий делитель
Наибольший общий делитель двух чисел и — это наибольшее число, на которое оба числа и делятся без остатка. Для оозначения наибольшего общего делителя принято использовать обозначение НОД. В англоязычной литературе принято также использовать обозначение .
- Наибольший общий делитель НОД существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел и не равно нулю.
- Пример: НОД.
- Для вычисления НОД можно использовать алгоритм Евклида.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное двух чисел и — это такое наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка. Для обозначения наименьшего общего кратного используют обозначение НОК или, как это принято в англоязычной литературе, .
- Пример: НОК.
- Если известен НОД, который можно определить, используя алгоритм Евклида, то найти НОК особенного труда не составит, поскольку обе эти величины связаны соотношением:
- НОК НОД=.
Признаки делимости
Признаками делимости называют алгоритмы, позволяющие определить, является ли данное число кратным другому числу.
Представим известные признаки делимости в виде таблицы:
Признак делимости на 2 | Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. |
Признак делимости на 3 | Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его всех цифр делится на 3. |
Признак делимости на 4 | Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4. |
Признак делимости на 5 | Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5, т. е. если она 0 или 5. |
Признак делимости на 6 | Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3). Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6. |
Признак делимости на 7 | Признак 1. число делится на 7 тогда и только тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 7. Признак 2. число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. |
Признак делимости на 8 | Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8. |
Признак делимости на 9 | Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. |
Признак делимости на 10 | Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль. |
Признаки делимости на 11 | Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места делится на 11. Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). |
Признак делимости на 13 | Число делится на 13 если сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13. |
Признак делимости на 17 | Число делится на 17 если модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17. |
Признак делимости на 19 | Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19. |
Признак делимости на 20 | Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20. |
Признаки делимости на 23 | Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23. Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23. |
Признак делимости на 25 | Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. |
Признак делимости на 27 | Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц). |
Признак делимости на 29 | Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29. |
Признак делимости на 30 | Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. |
Признак делимости на 31 | Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31. |
Признак делимости на 37 | Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37. Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь. Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11. |
Признак делимости на 41 | Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41. Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41. |
Признак делимости на 50 | Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50. |
Признак делимости на 59 | Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59. |
Признак делимости на 79 | Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79. |
Признак делимости на 99 | Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). |
Признак делимости на 101 | Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. |
Вернуться назад…
МЕТКИ >делимость, математика, число
Источник: http://tmel.ru/delimost-chisel/
Решу егэ
Задание 19 № 507513
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Решение.
а) Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14 = 22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30 = 70, что ровно на 48 больше, чем было.
б) Обозначим члены прогрессии a1, a2, …, an. Тогда разность, вычиcленная математиком в первый раз, равна
- Когда к прогрессии добавили член an+1, вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым
- где d — разность прогрессии.
- Из условия следует, что и поэтому
Получаем неравенство откуда Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.
- Из равенства следует, что n является делителем числа 1440. Значит,
- Пусть n = 10, получаем
Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое не имеет целых решений.
Пусть n = 9, получаем
Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Тогда получаем уравнение которое не имеет целых решений.
Пусть n = 8, получаем:
Если то левая часть не меньше чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение которое имеет единственный натуральный корень 4.
Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, …, 11 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.
Аналоги к заданию № 507513: 507588 515831 Все
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии
Источник: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=507513