Формулы круга и окружности — студенческий портал

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = frac{pi R alpha ^{circ}}{180^{circ}}
2. Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

• Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
• Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.
• Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^{circ}

1. Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
2. Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
3. angle AOB = 2 angle ADB
4. Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
5. angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^ {circ}
6. Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
7. angle ADB = angle AEB = angle AFB
8. Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {circ}.
9. angle ADB + angle AKB = 180^ {circ}
10. angle ADB = angle AEB = angle AFB
11. На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
12. Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
13. angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac{1}{2} left ( cup DmC + cup AlB
    ight )
14. Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
15. angle M = angle CBD — angle ACB = frac{1}{2} left ( cup DmC — cup AlB
    ight )

Вписанная окружность

• Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
• В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
• Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
• Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
• S = pr,
• где:
• p — полупериметр многоугольника,
• r — радиус вписанной окружности.
• Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
• r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
2. r = frac{S}{p},
3. где p = frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

• Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.
• В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
• Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.
• Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ circ}.
• angle A + angle C = angle B + angle D = 180^ {circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

1. Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
2. R = frac{a}{2 sin A} = frac{b}{2 sin B} = frac{c}{2 sin C}
3. R = frac{abc}{4 S}
4. где:
5. a, b, c — длины сторон треугольника,
6. S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

• Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
• Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
• AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot AD

Источник: https://academyege.ru/page/okruzhnost-i-krug.html

Окружность и круг. Обобщение. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Определение окружности: множество точек, удаленных от данной на одно и то же расстояние. Поэтому для рисования окружности удобно использовать циркуль – острие размещается в центре окружности, а ширина его раствора определяет радиус окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Окружность

Круг отличается от окружностью тем, что круг – это множество точек, удаленных от данной на расстояние не больше, чем радиус соответствующей окружности, которая ограничивает этот круг (см. рис. 2).

Рис. 2. Круг

Если корову привязать к колышку, то через некоторое время она выест вокруг себя круг травы, радиус которой будет равен длине веревки.

Окружность является частью круга, но иногда возникает необходимость рассмотреть круг без его границы. Такой круг называют открытым (см. рис. 3).

Рис. 3. Открытый круг

Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки окружности (см. рис. 4). Если хорда проходит через центр, то ее называют диаметром (см. рис. 4). Понятно, что диаметр – это самая длинная хорда.

Рис. 4. Хорда и диаметр

Надо отметить, что слова «радиус» и «диаметр» используются в двух смыслах. Соединим центр и произвольную точку окружности отрезком. Такой отрезок называется радиусом (см. рис. 5). Его длина называется не длиной радиуса, а просто радиусом.

Рис. 5. Радиус

То же самое относится к диаметру – это и отрезок, хорда – проходящая через центр и его длина. Ясно, что диаметр равен двум радиусам. Радиус и диаметр обозначают большими или малыми буквами  и  соответственно.

Одна из главных особенностей окружности – это то, что любая окружность задается всего одним параметром (с точностью до расположения) – радиусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Окружность задается радиусом

Кроме того, все окружности подобны друг другу (см. рис. 7).

Рис. 7. Окружности подобны

Это означает, что если в несколько раз увеличить или уменьшить радиус или диаметр окружности, то ровно во столько же раз изменится длина окружности . Это означает, что отношение длины окружности к диаметру для любой окружности одно и то же:

Эта величина не является рациональным числом, т. е. ее нельзя точно записать в виде отношения двух целых чисел, конечной десятичной или хотя бы периодической десятичной дроби.

Поэтому для этого числа ввели специальный символ , которым обозначается это иррациональное число. Несложно оценить эту величину.

Если описать вокруг окружности квадрат и вписать в нее квадрат (см. рис. 8), то можно получить такую оценку (периметр вписанного квадрата меньше длины окружности, а описанного – больше):

Рис. 8. Вокруг окружности описали и вписали квадрат

Длина стороны вписанного квадрата равна:

• Тогда:
• Длина стороны описанного квадрата равна:
• Тогда:
• Тогда:
• Если увеличивать количество сторон вписанного и описанного правильных многоугольников, все больше и больше приближая их к окружности, то получаемая оценка числа  будет все точнее и точнее.
• При решении задач и мы будем чаще всего использовать приближение , если иное не оговорено в условии.

Приближения числа

Архимед для уточнения значения числа  увеличивал число вершин в правильных многоугольниках, которые он вписывал в окружность и описывал вокруг окружности. Это очень трудоемкий процесс.

1. Архимед дошел до -угольников, что дало ему возможность показать, что число  находится в интервале:
2. Это соответствует точности два знака после запятой в десятичной записи, что мы обычно и используем в расчетах:
3. Существуют алгебраические способы оценки этого отношения без использования геометрических фигур. Например, число  равно сумме такого бесконечного ряда:
4. Это равенство открыл индийский математик Мадхава примерно в  году.

Чем больше дробей в скобках взять для расчета, тем точнее мы получим десятичное приближение числа . Проблема в том, что такой ряд очень медленно приближается к числу  (говорят, что он медленно сходится). Нужно взять около  дробей в скобках, чтобы получить оценку Архимеда. Однако сам Мадхава немного улучшил свою формулу и получил  точных знаков после запятой для числа.

Развитие математических методов в целом давало и новые возможности уточнения значения числа . Например, Исаак Ньютон предложил удобную формулу, которая использует тригонометрические функции. В XIX веке получили уже более  знаков числа .

В эпоху компьютеров стало возможным вычислить невероятное число знаков десятичного разложения числа . Сейчас они оцениваются триллионами или больше.

• Итак, определение числа  – это отношение длины окружности к ее диаметру:
• Переписывая это выражение в привычном виде, получаем известную формулу длины окружности:
• Таким образом, формула длины окружности не требует какого-то доказательства, а представляет собой эквивалентное определение числа .
• Рассмотрим пример задачи, для решения которой пригодится формула длины окружности.

Задача 1. Какое расстояние нужно проплыть, чтобы перебраться в диаметрально противоположную точку берега круглого озера, длина береговой линии которого равна  км?

1. Решение
2. Нам необходимо вычислить диаметр окружности, длина которой равна . Формула:

Подумаем о том, что даже достаточно «круглое» озеро в реальности все-таки отличается от настоящего круга. Тот факт, что в условии дана длина берега  км, наводит на мысль, что это тоже сильно приближенное значение. Тогда привычное приближение  будет совершенно излишним и мы вполне можем считать:

• Тогда пловцу придется преодолеть путь:
• Более того, в условиях такой низкой точности вполне оправданно считать этот диаметр приблизительно  метров.
• Ответ:  м.

Задача 2. Какого диаметра необходимо изготовить колесо, чтобы длина его обода была  см?

1. Решение
2. Задача аналогична предыдущей и решается с помощью той же самой формулы:

Разница в точности вычислений. Размеры даны в см, и, следовательно, наш результат не должен иметь погрешность больше  см.

• Подставим различные приближения  в формулу:
• Необходимой точности мы достигли только при приближении:
• Ответ:  см.

Иногда требуется найти длину не всей окружности, а только ее части – дуги (см. рис. 9). Дуга окружности, кроме линейной меры (длины), имеет и градусную меру, которая совпадает с градусной мерой соответствующего центрального угла.

Рис. 9. Дуга окружности

Понятно, что длина дуги пропорциональна градусной мере. Если градусная мера равна , то длина дуги равна  длины окружности, т. е.:

1. Для произвольного угла  получаем формулу длины дуги:
2. Если же значение угла дано в радианах, то формула принимает вид:
3. (так как  рад).

Формула площади круга, в отличие от формулы длины окружности, уже требует доказательства. Одним из первых его вариантов является доказательство, которое придумал Архимед.

Сводится оно к тому, что, разрезая круг на части, Архимед складывает из них фигуры, приближающиеся к прямоугольнику, и вычисляет его площадь.

Разрезав пиццу на 8 частей, можно сложить из нее фигуру, достаточно близкую к прямоугольнику (см. рис. 10) (по рисунку, конечно, больше похоже на параллелограмм, но по мере увеличения количества кусков, на которые мы круг разрезаем, угол между сторонами будет все ближе к прямому).

Боковые стороны здесь равны радиусу, а верхняя и нижняя являются половинами окружности, т. е. длина каждой – .Тогда площадь этой фигуры примерно равна:

На самом деле, это равенство уже точное. Пиццу очень мелко делить не получится, поэтому перейдем к обычному кругу.

Делим его на большее количество частей и складываем по тому же принципу. Получаем фигуры, все больше похожие на прямоугольник со сторонами  и .

Не вызывает сомнения, что можно сложить фигуру, близкую к прямоугольнику с любой точностью. Но площади всех этих фигур равны площади исходного круга. Следовательно, его площадь:

Часть круга, ограниченная двумя радиусами, называется сектором (см. рис. 11).

Рис. 11. Сектор

Понятно, что площадь сектора пропорциональна углу между радиусами. Если угол равен , то сектор совпадает с целым кругом, если угол равен , то сектор – это половина круга. Если угол равен , то площадь такого сектора равна  от площади круга:

• Для произвольного угла  получаем формулу площади сектора:
• Опять же, если угол дан в радианах, то:

Часть круга, которую отсекает хорда, называется сегментом (см. рис. 12).

Рис. 12. Сегмент

Названия похожи, старайтесь не путать. Сегмент, как и сектор, определяется радиусом и величиной центрального угла или равной ей градусной мерой дуги.

Видно, что сегмент является частью соответствующего сектора. Его площадь обычно находят как разность площадей сектора и равнобедренного треугольника:

Задача 3. Найти длину дуги окружности радиуса  м, градусная мера которой равна . Найти площади соответствующих сектора и сегмента (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

1. Решение
2. Найдем длину дуги:
3. Такая запись считается конечной и пишется в ответ.
4. Можно вычислить это значение приближенно, если необходимо:
5. Найдем площадь сектора:
6. Для вычисления площади сегмента нам понадобится площадь равнобедренного треугольника. Воспользуемся формулой:
7. Найдем площадь сегмента:
8. Ответ: .
9. При небольших углах сектор почти целиком состоит из треугольника, а на сегмент приходится совсем небольшая часть.

Мы рассмотрели основные характеристики окружности и круга: радиус, диаметр, длину окружности, площадь. Рассмотрели характеристики частей окружности и круга: дуги, сектора и сегмента.

Теперь рассмотрим взаимное расположение окружности и прямой. Это важно хотя бы по той причине, что все многоугольники состоят из отрезков, т. е. частей прямых. А значит, любая задача на окружность и многоугольник сводится к изучению взаимного расположения окружности и прямой.

Для окружности и прямой существует три типа возможного расположения (см. рис. 14):

1. прямая пересекает окружность в двух точках;
2. прямая касается окружности в одной точке;
3. прямая и окружность не имеют общих точек.

Рис. 14. Три типа возможного расположения окружности и прямой

Опустим перпендикуляр из центра  на прямую. Его длина  – это расстояние от центра до окружности.

Легко видеть следующее (см. рис. 15):

1. В случае пересечения прямой и окружности – это расстояние меньше радиуса. В самом деле, в равнобедренном треугольнике  высота меньше его боковых сторон.
2. Если расстояние больше радиуса, то прямая не имеет общих точек с окружностью. В самом деле, основание перпендикуляра  находится вне окружности. Любая наклонная  длиннее перпендикуляра, значит, любая точка  прямой находится от  еще дальше, чем .
3. В случае касания расстояние от центра до прямой равно радиусу.

Рис. 15. Расстояние от центра до окружности меньше радиуса; равно радиусу; больше радиуса окружности

Несложно убедиться, что это в самом деле так. Если  не перпендикуляр, то это наклонная. Но тогда должен существовать перпендикуляр , который должен быть короче, чем , что невозможно.

Верно и обратное: если прямая проходит через конец радиуса и перпендикулярна ему, то она является касательной (см. рис. 16). В этом случае надо показать, что общая точка  единственная. Если бы это было не так, т. е.

Перпендикулярность касательной к радиусу, проведенному в точку касания, очень важный факт, и мы будем часто использовать его в решении задач.

Рис. 16. Касательная

Из перпендикулярности касательной и радиуса следует еще один важный факт. Проведем из точки  вне окружности две касательные. Получили два треугольника,  и . Они прямоугольные, так как касательные перпендикулярны радиусам и равны по катету и гипотенузе (см. рис. 17).

Рис. 17. Отрезки касательных, проведенных из одной точки

Нам здесь важно, что тогда равными получаются отрезки касательных  и , а также углы  и . Эти факты тоже часто используются при решении различных задач.

В уроке о вписанных и описанных многоугольниках мы рассмотрели понятие центрального и вписанного углов.

Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а вписанный – на самой окружности (см. рис. 18).

Рис. 18. Центральный угол  и вписанный угол

Центральный угол  опирается на дугу  и равен ее градусной мере. Вписанный угол  опирается на ту же дугу  и равен половине ее градусной меры (несложно доказать, что он равен половине соответствующего центрального угла и, как следствие, половине дуги, на которую опирается).

Отсюда мы получили два важных следствия:

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, потому как опирается на дугу в .
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны друг другу.

Проведем две хорды окружности так, чтобы они пересеклись (см. рис. 19).

Рис. 19. Две хорды пересекаются

Понятно, что углы  равны как вертикальные. Но нужно заметить, что угол . Это так, потому что они опираются на одну и ту же дугу .

Рис. 20. Равные пары углов:  и

Но тогда два треугольника, которые мы получили, подобны. Таким образом, две хорды, пересекаясь, образуют подобные треугольники  и . Из подобия треугольников следует:

• Что можно переписать так:
• Произведения отрезков хорд, которые получаются при пересечении, равны.
• Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)
2. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Центральный угол больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, на . Найти градусную меру вписанного угла.
2. Найти длину дуги окружности радиуса , если ее градусная мера равна .
3. Площадь круга, описанного около равностороннего треугольника, больше площади вписанного в него круга на . Найти радиус вписанного круга.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/okruzhnost/okruzhnost-i-krug-obobschenie

Площадь круга и его частей, формулы

Формулы площади коуга

Площадь пруга:

R — радиус; D — диаметр; с — длина дуги окружности.
Формула площади круга
Определение

Круговой сектор — это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

R — радиус круга; a0 или a — радиан, соответствующий центральный угол; l — длина дуги сектора.
Формула кругового сектора
Определение Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная дугой окружности и стягивающая ее хордой. R — радиус круга; a0 или a радиан — дуга сегмента (угол AOB).
Свойство 1

a0 < 180? (a < ?):

Формула сегмента:
Свойство 2

a0 > 180? (a > ?):

Формула сегмента:
Свойство 3

a0 = 180? (a = ?):

Формула сегмента:

• а
• б
• в
• г
• д
• е
• з
• и
• к
• л
• м
• н
• о
• п
• р
• с
• т
• у
• ф
• х
• ц
• ч
• э

© 2020 Все права защищеныПри использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

Источник: https://formula-xyz.ru/ploshchad-kruga-i-ego-chastej.html

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Окружность и круг

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность		Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга		Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор		Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент		Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник		Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
	Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

1. Рис.1
2.       Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

•       Следовательно,
•       Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.
•       Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
• S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

1. Рис.2
2.       Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна

• то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
• откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
• C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

1.       Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
2. Рис.

   3

3.       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
4. из которой вытекает равенство:
5.       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
6. из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

•       Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
• Рис.4
•       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
• из которой вытекает равенство:
•       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
• из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

1.       Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
2. Рис.

   5

3.       Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.

   5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

•       Следовательно,
•       В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Все что нужно знать об окружности

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-09-13

Главная » СТАТЬИ » ПЛАНИМЕТРИЯ » Все, что нужно знать об окружности

• Эта статья содержит минимальный набор сведений об окружности, необходимый для успешной сдачи ЕГЭ по математике.
• Окружностью называется множество точек, расположенных на одинаковом  расстоянии от данной точки, которая называется центром окружности.
• Для любой точки , лежащей на окружности выполняется равенство ( Длина отрезка равна радиусу окружности.
• Отрезок, соединяющий две точки окружности называется хордой.
• Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром окружности ().
• 

Длина окружности:

Площадь круга:

Дуга окружности:

Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой окружности. Две точки окружности определяют две дуги. Хорда  стягивает две дуги: и . Равные хорды стягивают равные дуги.

1. Угол между двумя радиусами называется центральным углом:
2. Чтобы найти длину дуги , составляем пропорцию:
3. а) угол дан в градусах:
4. Отсюда
5. б) угол дан в радианах:
6. Отсюда
7. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и дуги, которые она стягивает пополам:
8. Если  хорды и окружности пересекаются в точке , то произведения отрезков хорд, на которые они делятся точкой равны между собой:

Касательная к окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку называется касательной к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки называется секущей.

• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к  точке касания.
• Если из данной точки  проведены к окружности две касательные, то отрезки касательных  равны между собой и центр окружности лежит на биссектрисе угла с вершиной в этой точке:
• Если из данной точки проведены к окружности касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной  равен произведению  всего отрезка секущей на его внешнюю часть:
• Следствие: произведение всего отрезка одной секущей на его внешнюю часть равно произведению всего отрезка другой секущей на его внешнюю часть:

Углы в окружности.

1. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается:
2. ∠ ⌣
3. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом.

     Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

4. ∠∠
5. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
6. ∠∠∠
7. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны:
8. ∠∠∠
9. Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду равны или их сумма равна
10. ∠∠
11. ∠∠∠
12. Вершины треугольников с заданным основанием и равными углами при вершине лежат на одной окружности:
13. Угол между двумя хордами (угол с вершиной внутри окружности) равен полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри данного угла и внутри вертикального угла.
14. ∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )
15. Угол между двумя секущими (угол с вершиной вне окружности) равен полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла.
16. ∠ ∠∠( ⌣ ⌣ )

 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

• Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.
• Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле
• ,
• здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.
• Отсюда радиус вписанной окружности равен
• Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен . Здесь

Описанная окружность.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определенного любыми тремя вершинами данного многоугольника:

1. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна .
2. ∠+∠=∠+∠
3. Около любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Ее центр лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника:
4. Радиус описанной окружности вычисляется по формулам:
5. Где — длины сторон треугольника, — его площадь.

Теорема Птолемея

• Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

Источник: https://ege-ok.ru/2014/09/13/vse-chto-nuzhno-znat-ob-okruzhnosti

Круг

• Площадь круга
• Сектор круга. Площадь сектора
• Сегмент. Площадь сегмента

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности – радиусом круга:

O – центр круга, OA – радиус круга.

Площадь круга

• Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
• S = πr2
• где S – площадь круга, а r – радиус круга.
• Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
• следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S  =  π(	D	)2  =  π	D2	=  π	D2
2	22	4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор – это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит n°, надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Формула площади сектора:

S =	πr2	· n =	πr2n	,
360	360

где S – площадь сектора. Выражение

можно представить в виде произведения

πr2n	= n ·	πr	·	r	, где	nπr	– это длина дуги сектора.
360	180	2	180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S – это площадь сектора, s – длина дуги данного сектора, r – радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S – это площадь сегмента, r – радиус круга, s – длина дуги AB, а BC – длина половины хорды двойной дуги.

Новое на сайте	|	contact@izamorfix.ru
2018 − 2020	©	izamorfix.ru

Источник: https://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/krug.html

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся Старт в науке

Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Надо только постараться и запомнить

Всё, как есть: 3, 14, 15, 92 и 6.

Введение

Данная тема представляет определенный интерес, поскольку её истоки относятся к древности:с давних пор люди пытались решать задачи, связанные с кругом – измерять длину окружности, находить площадь круга.

Любой школьник сегодня должен уметь находить длину окружности и площадь круга, первый опыт вычислений происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными, и уже через годмало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то число, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14.

• В ходе работы над проектом появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, нои приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.
• Актуальность проекта заключается в том, что появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, но и создать информационный продукт в виде буклета, который будет содержать не только основные понятия и формулы по теме «Длина окружности и площадь круга», но и интересные факты и исторические сведения.
• Гипотеза: Длина окружности, её радиус и площадь связаны между собой посредством формул.

Цель работы: Исследование числа π и выявление его роли в окружающей среде . Задачи работы: 1. Познакомиться подробнее с числом π. 2. Провести практическую работу нахождения числа π. 3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

4.Изучить формулу площади круга.

5.Научится создавать буклеты с помощью текстового процессора MicrosoftWord.Предмет исследования: окружность.

Объект исследования: отношение длины окружности к диаметру.

Методы исследования: эксперимент, наблюдение, анализ.

Ожидаемые результаты: Некоторые данные и формулы достаточно трудно запоминаются, но с помощью открытия интересных фактов о числах или понятиях, можно лучше запомнить формулы, правила. Создание буклета с помощью MicrosoftOffice.

Глава 1. Теоретическая часть

1. У круга есть одна подруга.
2. Известна всем её наружность.
3. Она идёт по краю круга
4. и называется ……

1.1. Понятие окружности

Окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Точка О – центр окружности. R –радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой). По-латыни radius – это спица колеса.

1.2. Длина окружности.

Если разрезать окружность в какой-либо точке и распрямить её, то получим отрезок, длина которого и есть длина окружности.

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π.

• Более точное его значение 3,1415926535897932… [1, стр.189]
• Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой d , то, тогда формулы для вычисления длины окружности С = πd.
• Если известен радиус окружности, то формула длины окружности будет выглядеть следующим образомC = 2πr.

1.3. Круг. Площадь круга

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга вычисляется по формуле: S=R2[2, «Окружность. Круг»]

1.4. Исторические сведения

Ещё в древности пытались решать задачи связанные с кругом.

Измерение длины окружности имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернут её и приложить к линейке ил же отметить на окружности точку и «прокатить» её вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность).

Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Древние египтяне считали, что длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12 раза.

Однако древнегреческих математиков такой опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял. К тому же такой подход не позволял определить площадь круга. Выход был найден, впервые известным учёным Архимед предложил первый математический метод вычисления числа π, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников.

Это позволяло вычислять значение π не практически – ниткой и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. [3, стр. 65-72]

Известный ученый Архимед нашел значение π =, что дает величину 3.1428. В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу π = .

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение π =3,1416927… .

Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) Лудольф ван Цейлен затратил 10 лет на вычисление числа Пи и нашел 32 правильных знака после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: « У кого есть охота, пусть идёт дальше». С тех пор (1615г.) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. [5]

В настоящее время число Пи вычислено с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

1. Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

2. Если рассчитать длину экватора с точностью до 1 см – предполагая, что мы знаем длину его диаметра вполне точно – нам достаточно было бы взять π всего с 9 цифрами после запятой. А взяв вдвое больше цифр (18) , мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0003 мм (волос в 100 раз толще этой возможной ошибки!)

3. В штате Иллинойс (США) официально принят закон о том, чтобы чисто Пи считать равным 4! [6]

4. Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг – фигура с бесконечным количеством углов». Здорово, правда?!

5. Есть такая поговорка английского математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».

6. 14 марта объявлено Всемирным днем числа π. [7]

Вывод: Число π захватывает умы гениев всего мира.

(приложение 1. Портрет числа π)

Глава 2. Исследовательская часть 2.1. Эксперимент 1. Нахождение длины окружности с помощью нити

Практическая работа состояла в том, чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру.

1. Берём шесть круглых предметов, в частности вазу, несколько стаканов и чашек разных размеров.

2. С помощью нити измеряем длину окружности.

3. Поставив предмет на лист бумаги, обводим его карандашом, вырезаем бумажный круг, сгибаем пополам и линейкой измеряем длины диаметров.(приложение 2)

Составим таблицу с измеренными данными, последний столбец таблицы вычислительного характера: вычислим с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3) .

Длина окружности (длина нити в см)	Диаметр окружности	Отношение длины окружности к диаметру
1	2	3	4
Измерение №1	30,2	9,5	3,17894
Измерение №2	26,5	8,4	3,15476
Измерение №3	24	7,6	3,15795
Измерение№4	37,7	12,5	3,11362
Измерение №5	20,5	6,3	3,15068
Измерение № 6	66,7	33,1	3,12035

Вывод: Результаты оказались близки к числу 3,14 но с числом 3,14 ни одно измерение не совпало.

Я представила, что если бы мне попалась, например, ваза с круглым дном, диаметром в 100 мм, а длиной окружности 314мм, то при измерении ниткой длины окружности ошибка хотя бы в 1 мм весьма вероятна, тогда число π окажется равным 3,13 или 3,15, а если принять во внимание, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, для «пи» получаются довольно широкие пределы : от . В десятичных дробях число от 3,09 до 3,18. И это измерение с погрешностью всего в 1 мм.

2.2. Эксперимент 2. «Ищем взаимосвязь величин» с помощью робота NXT

Для следующего эксперимента нам потребуется три вида колёс конструктора EducationMindstormsNXT (перворобот NXT). На них есть маркировки «56», «43,2», «74» – это указан диаметр колеса в миллиметрах.

По форме колесо нашего робота является окружностью.

Поэтому, если запрограммировать робот на «вращение» колеса один раз, то расстояние, которое пройдёт робот будет равно длине окружности (в данном случае колеса).

Эксперимент «Ищем взаимосвязь величин» заключается в том, что необходимо измерить путь, пройденный роботом за один оборот колеса, используя при этом колёса разного диаметра. [8, стр. 163-165]Приложение 3

1. Программируем робота NXT следующим образом: движение вперёд, ровно на один оборот мотора (в этом случае одно полное вращение колеса).

2. Располагаем на столе рулетку.

3. Ставим робота, чтобы его движение было параллельно расположению измерительной части рулетки.

4. Измерение перемещения робота проводим точно по оси колеса.

5. Результаты записываем в таблицу.

Диаметр колеса, мм	Пройденное расстояние роботом NXT, мм	Отношение пройденного расстояния к диаметру колеса	Вывод: min max	Округление до двух знаков
1	2	3	4	5	6
1	56	177	3,160714	3,16
2	56	176	3,142857	min	3,14
3	43,2	136	3,148148	3,15
4	43,2	137	3,171296	max	3,15
5	74	233	3,148649	3,15
6	74	234	3,162162	3,16

Вывод: Минимальный результат вычислений после проведения эксперимента 3,142857, а максимальный 3,171296. Если данные ответы отношений округлить до сотых, то число 3,14 будет ответом второго опыта-заезда робота.

Теперь понятно, почему Древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру и понадобился гений Архимед, который нашёл значение «пи» без всяких измерений, а одним лишь геометрическим рассуждением.

2.3. Немного истории. Число π и ЭВМ

В настоящее время с помощью компьютеров число π вычислено с точностью до миллионов знаков. Эпоха цифровой техники в ХХ веке привела к увеличению скорости появления рекордов вычисления количества цифр числа π.

Например, Джон фон Нейман в 1949 году, используя первую ЭВМ «ЭНИАК» за 70 часов вычислил 2037 цифр числа π. В 1973 году было вычислено более миллиона цифр.

Заключение

В ходе работы над проектом я узнала, что длина окружности и диаметр связаны между собой посредством числа π. Зная формулы, я смогу применять их при решении практических задач, а если понадобится, то и в повседневной жизни. Кроме того, я узнала много интересных фактов о числе π, а также прочла об учёных, которых раньше не знала.

Познакомившись с темой длина окружности и площадь круга, я создала информационный продукт в виде буклета, который может быть использован в дальнейшем на уроках математики, при решении задач.

Кроме того, в нем содержатся интересные факты о числе π, и исторические сведения.

Поскольку, следующий раз с темой «Длина окружности и площадь» круга мы встретимся в 9 классе, этот буклет можно использовать как памятку.

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика. А. П. Савин, М: 1989 г

2. Виленки Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. М.: Мнемозина, 2014г.

3. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. М: 2011 г.

4. http://i-fakt.ru/interesnye-fakty-o-chisle-pi/

5. http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=dlina_okruznosti_i_ploshad_kruga

6. http://sitefaktov.ru/index.php/home/515-chislopi

7. http://ppt4web.ru/matematika/dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga0.html

8. Колосов Д.Г. Первый шаг в робототехнику. Практикум для 5-6 кл. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2015.

9. Епифанов Е. «Портрет» числа π. Коллекция головоломок // Квант, научно-популярный журнал . №4, 2014г.

Приложение

Приложение 1

Портрет числа π

Таким необычным способом изобразил первые 10000 знаков числа π румынский художник Кристиан Василе. Принцип простой: дуги соединяют сектора, соответствующие последовательным цифрам в десятичной записи числа π.

Например, так как π≈3,1415…, то первая дуга идёь из сектора 3 в сектор 1, вторая – из 1 в 4 и так далее. Цвет дуги совпадает с цветом сектора, из которого она стартует. Этот «портрет» был получен при помощи программы Circos (www.circos.

ca), разработанной специально для построения круговых диаграмм. [9, обложка журнала, стр. 31]

Приложение 2

Исследование 1. Практическая работа

Приложение 3

Источник: https://school-science.ru/2/7/31140