Параллельный перенос — студенческий портал

Параллельный перенос - Студенческий портал

а)

Параллельный перенос - Студенческий портал

б)

Параллельный перенос - Студенческий портал

в)

Рис. 22. Теорема об эквивалентности пар сил

8.3. ТЕОРЕМА О ПЕРЕНОСЕ ПАРЫ СИЛ В ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ

Формулировка: пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной, не меняя её действия (рис. 23).

Доказательство:

В плоскости I была пара сил и .

Параллельный перенос - Студенческий портал

Силы, внесённые в плоскость II:

Параллельный перенос - Студенческий портал

В точку перенесены силы и , и , выполнена их замена на уравновешенные силы и , т. е. эти силы исключены.

Таким образом, в плоскости II осталась пара сил и , эквивалентная паре сил и , бывшей в плоскости I.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рис. 23. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость

  • Из выше доказанного (см. предыдущие теоремы) следуют три свойства пары сил:
  • 1) пару сил можно переносить куда угодно в плоскости пары, при этом её действие не меняется;
  • 2) можно произвольно менять модули сил и плечи, сохраняя неизменным момент пары сил;
  • 3) пару сил можно переносить в плоскость параллельную данной, при этом её действие не изменится.
  • Поэтому вектор пары сил в связи с возможным переносом называется свободным.

8.4. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ

Формулировка: система пар сил в пространстве эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар (рис. 24).

Доказательство:

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рис. 24. Теорема о сложении пар сил в пространстве

  1. В плоскости I: и , .
  2. В плоскости II: и , .
  3. Выполнена замена:

Параллельный перенос - Студенческий портал

Пара сил и эквивалентна двум исходным парам.

Параллельный перенос - Студенческий портал
Параллельный перенос - Студенческий портал

  • В общем случае
  • 9. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ
  • (ПРИВЕДЕНИЕ СИЛЫК ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ)

Формулировка: силу, приложенную к телу, можно переносить параллельно из данной точки в другую, прибавляя пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы до другой точки (рис. 25).

Доказательство:

Рис. 25. Теорема о параллельном переносе силы

  1. и – дополнительные силы:
  2. Пара сил и образуют момент .
  3. В точке остаётся сила и появляется момент .
  4. 10. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
  5. ( ПЛОСКОЙ ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ)
  6. СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ
  7. В этом случае система сил , , , … , заменяется одной силой и суммой моментов, а именно произведений каждой из этих сил на расстояние от точки её приложения до некоторого центра

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/teorema-o-perenose-pary-sil-v-parallelnuyu-ploskost

Лекция на тему: Параллельный перенос, симметрия

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Цель:

  • Сформировать понятие параллельного переноса;
  • Рассмотреть симметрию относительно плоскости.
  • Параллельный перенос
  • Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
  • Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
  • Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

Параллельный перенос - Студенческий портал

  1. Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.
  2. Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.
  3. Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.
  4. На рисунке изображена парабола и два результата параллельного переноса.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Иногда параллельный перенос встречается в необычных ситуациях:

Параллельный перенос - Студенческий портал

Симметрия

Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

Перечислим виды симметрии.

Виды симметрии

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´  l , называется осевой симметрией.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l,

фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Центральная симметрия

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называетсяпреобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет.

Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F.

Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости.Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос

Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .

Параллельный перенос - Студенческий портал

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

  1. отрезок переходит в равный ему отрезок;

  2. угол переходит в равный ему угол;

  3. окружность переходит в равную ей окружность;

  4. любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.

  5. параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

* В стереометрии вводится еще один вид симметрии –

Источник: https://infourok.ru/lekciya-na-temu-parallelniy-perenos-simmetriya-3771812.html

Параллельный перенос — презентация, доклад, проект

Слайд 1Параллельный перенос - Студенческий порталОписание слайда:

Параллельный перенос Подготовил Сухарев Алексей, ученик 11 А

Слайд 2Параллельный перенос - Студенческий порталОписание слайда:

Параллельный перенос в жизни Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

Слайд 3Параллельный перенос - Студенческий порталОписание слайда:

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Слайд 4Параллельный перенос - Студенческий порталОписание слайда:

Примеры из жизни В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве.

Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве. А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

Слайд 5Параллельный перенос - Студенческий порталСлайд 6Параллельный перенос - Студенческий порталСлайд 7Параллельный перенос - Студенческий порталСлайд 8Параллельный перенос - Студенческий порталСлайд 9Параллельный перенос - Студенческий портал

Источник: https://myslide.ru/presentation/531926_skachat-parallelnyj-perenos

Параллельный перенос и его свойства — Гипермаркет знаний

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Параллельный перенос и его свойства

Параллельный перенос и его свойства

Общие сведения о параллельном переносе

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198).

Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении.

В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

Введем на плоскости декартовы координаты х, у. Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у) переходит в точку (х + а; у +  b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами  x' = x + а, у' = у + b.

Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Свойства параллельного переноса

  • Параллельный перенос есть движение.
  • Действительно, две произвольные точки А(х1; у1) к В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А' (х1 +а; у1 + b), В'(х2 + а; y2+b). ПоэтомуАВ2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2
  • A'B»2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2
Читайте также:  Квантовая система в поле электромагнитной волны - студенческий портал

Отсюда АВ=А'В'.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Параллельный перенос - Студенческий портал Действительно, пусть точки A (x1; y1) и В (x2; y2) переходят в точки A'(x1+а; y1 + b) и В' (х2 + а; y2 + b) (рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты

Параллельный перенос - Студенческий порталТе же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны А А' и ВВ' параллельны и равны.

Заметим, что у параллелограмма АА'В'В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А 'В'. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 201). Значит, все точки А, В, А', В' лежат на одной прямой. Далее,

  1. Параллельный перенос - Студенческий портал
  2. Таким образом, в этом случае точки АиВ смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние  а прямая АВ переходит в себя. 

Повторение темы о параллельном переносе

Мы с вами уже познакомились с такой темой, как параллельный перенос. На этом уроке вы узнали, что такое преобразование на плоскости, где все точки перемещаются на одно и то же расстояние, считается параллельным переносом.

  • Из данного урока, каждому из вас стало понятно, что параллельный перенос является движением, так как при таком переносе любая прямая переходит в такую же параллельную ей прямую.
  • Параллельный перенос - Студенческий портал

  • Если мы посмотрим на рисунок, то можем наглядно представить такое движение, как сдвиг площади в направлении данного вектора на его длину.

Свойства, которыми обладает параллельный перенос в пространстве

• Во-первых, параллельный перенос является движением;
• Во-вторых, при выполнении этого действия все точки смещаются по параллельным прямым и притом на одно и то же расстояние;
• В-третьих, при таком переносе прямая имеет свойство переходить в такую же параллельную прямую или в себя саму;
• В-четвертых, независимо от того, какими точками были A и A', но точка A переходит в точку A'. • В-пятых, при таком переносе, т.е параллельном переносе в пространстве, в любом случае плоскость имеет свойство переходить в себя саму или же такую же параллельную ей плоскость.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Истрия и применение в науке

Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Примеры из жизни

В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве. Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве.

А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

Параллельный перенос - Студенческий портал

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%81_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

Матвокс ⋆ построение фигуры при помощи параллельного переноса. метод 2 ⋆ энциклопедия математики

Skip to content

  • Параллельный перенос фигуры – это перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
  • Пусть дана фигура F.
  • Нужно построить фигуру F1 при помощи параллельного переноса фигуры F на произвольный вектор a.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Метод построения фигуры параллельным переносом, если не известны координаты

Так как вектор переноса произвольный, то не имеет значения под каким углом к плоскости и в каком направлении задавать направление переноса.

Поэтому через точку А проведем произвольную прямую.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 1

Через другие вершины проведем прямые, параллельные прямой, проведенной на шаге 1.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 2

На прямой, построенной на шаге 1, проведем отрезок АА1 произвольной длины a.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 3

На оставшихся построенных прямых отложим отрезки в том же направлении и той же длины, что и отрезок а.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 4

Соединим полученные точки вершинами. В результате получим фигуру F1, образованную параллельным переносом фигуры F на произвольный вектор a.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 5

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/simmetriya-dvijenie/glava-4-parallelnii-perenos/postroenie-figuri-pri-pomoschi-parallelnogo-perenosa-metod-2/

Операции преобразования на плоскости

  • Для описания произвольного перемещения фигуры на плоскости необходимо рассмотреть несколько простейших движений, таких как параллельный перенос, поворот относительно оси и зеркальное отражение относительно оси и точки (полюса), потому что любое сложное движение всегда можно представить как совокупность простых движений.
  • Параллельный перенос
    Параллельный перенос на вектор переносит точку M(x,y) в точку M'(x',y'). При этом координаты точек будут изменяться на величину проекции вектора параллельного переноса на соответствующую ось
  • x' = x + ax , y' = y + ay. (1)

При параллельном переносе отрезок перемещается параллельно самому себе, его длина и ориентация не изменяется (рис.1).

Параллельный перенос - Студенческий портал

  1. Демонстрация параллельного переноса на JS
  2. Поворот
    Поворот точки вокруг координатной оси против часовой стрелки на угол χ (рис. 2а) изменяет координаты точки таким образом, что расстояние от точки до начала координат не изменяется:
  3. x′ = x cosχ − y sinχ,

y′ = x sinχ + y cosχ. (2)

При повороте отрезок не изменяет своей длины, а также не изменяются углы между совместно поворачиваемыми отрезками (рис. 2а).

Если необходимо выполнить поворот относительно произвольной точки, несовпадающей с началом координат, то сначала выполняется параллельный перенос полюса и поворачиваемого объекта на вектор a, при котором полюс совпадет с началом координат. Затем выполняется поворот, а затем параллельный перенос на вектор (-a ) (рис. 2б).

Параллельный перенос - Студенческий портал

Демонстрация поворота фигуры на JS

Отражение
Зеркальное отражение относительно оси абсцисс (рис. 3) приведет к тому, что координата x точки не меняется, а координата y меняет знак на противоположный
x' = x, y' = — y .

(3)
При отражении относительно оси ординат знак меняется у координаты x , а у координаты y знак не изменяется
x' = — x, y' = y .

(4)
Отражение относительно начала координат изменяет знаки на противоположные у обеих координат:

x' = — x, y' = — y . (5)

В том случае, если отражение производится относительно произвольной оси, то до выполнения отражения необходимо будет выполнить параллельный перенос объекта и оси на вектор a так, чтобы ось отражения совпала с одной из координатных осей, затем выполнить отражение, а после этого выполнить параллельный перенос на вектор (− a).
При отражении относительно произвольного полюса вначале выполняется параллельный перенос, совмещающий полюс с началом координат, затем отражение относительно начала координат и после этого параллельный перенос для возврата полюса в первоначальное положение.
Параллельный перенос - Студенческий портал

Масштабирование и деформация
Кроме перемещений объекта по поверхности его можно деформировать. В случае если деформация будет пропорциональной, то ее можно рассматривать как масштабирование объекта. При деформации объекта координаты его точек изменяются на некоторую константу

x'= αx, y' = βy . (6)

Если α=β, то деформация будет пропорциональной (масштабирование (рис.4)). Если константы α и β будут положительными, то производится только деформация, а если отрицательными, то кроме деформации происходит еще и отражение.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Демонстрация масштабирования фигуры на JS

  • Параллельный перенос - Студенческий портал
  • Кардиограф
  • Харманский Александр
  • Среда программирования: JavaScript

Источник: http://grafika.me/node/11

Свойства движения. Параллельный перенос. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды – осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

  • Тема: Движение
  • Урок: Движение. Свойства движения
  • Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок.
Читайте также:  Материк Евразия: географическое положение континента, история исследования

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M1 и N1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1, и наоборот, в каждую точку Q1 отрезка M1N1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рис. 1.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р1' плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M1N1,                MР = M1Р1', РN = Р1'N1.

Из этих равенств следует, что M1Р1', M1Р1'+ Р1'N1 = MР + РN = MN = M1N1, то есть, точка Р1' принадлежит отрезку M1N1 и совпадает с точкой P1, в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника       M1Р1'+ Р1'N1 > M1N1.

То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1. Вторая часть теоремы (касательно точки Q1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О1, а точки А и В – соответственно в точки А1 и В1.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А1, О1 и В1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин        АО = А1О1, ОВ = О1В1 и АВ = А1В1. Таким образом, АОВ = А1О1В1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О1.

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рассмотрим еще один вид движения – параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор  называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, чтобы   (Рис. 3).

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рис. 3.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М1, а точка N – в точку N1. При этом выполнены условия параллельного переноса:   и  . Рассмотрим четырехугольник

 ММ1N1N. У него две противоположные стороны (MM1 и NN1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M1N1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Рис. 4.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол – в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Российский общеобразовательный портал (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/dvizhenie/svoystva-dvizheniya-parallelnyy-perenos

Параллельный перенос

Если нам дан вектор , то параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором произвольная точка Е отображается в такую точку Е1, что .

Параллельный перенос - Студенческий портал

Доказательство:

  • Дано: точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 при параллельном переносе на .
  • Доказать: параллельный перенос — движение.
  • Доказательство:
  • 1 случай
  • Точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору .

Параллельный перенос - Студенческий портал

По условию точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, и , значит, ЕЕ1КК1 (т.к. точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору ) и ЕЕ1 = КК1. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ЕЕ1К1К — параллелограмм, поэтому по свойству параллелограмма ЕК = Е1К1, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1.

Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

  1. 2 случай
  2. Точки Е и К лежат на одной прямой параллельной вектору .
  3. По условию точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, , значит, ЕЕ1 = КК1(1)

ЕК = КК1 + ЕК1, Е1К1 = ЕЕ1 + ЕК1, тогда, учитывая (1), получим: ЕК = Е1К1, т.е.

расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1.

Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

Пример

  • Построить А1В1С1, который получается из АВС параллельным переносом на вектор .
  • Дано: АВС, вектор .
  • Построить: А1В1С1 параллельным переносом на вектор .
  • Решение:

Построим точки А1, В1, С1, которые получаются из точек А, В, С соответственно, параллельным переносом на вектор  .

Для этого от точек А, В и С отложим векторы, равные вектору . Соединяя попарно точки А1, В1, С1 отрезками, получим искомый А1В1С1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Отображение плоскости на себя
  2. Понятие движения
  3. Наложения и движения
  4. Поворот
  5. Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 1162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1163, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1164, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1165, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1178, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1179, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1182, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1301, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3583

Параллельный перенос

Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.

Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.

Параллельный перенос - Студенческий портал

Другими словами, параллельным переносом на вектор  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка  отображается в такую точку , что вектор  равен вектору .

То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.

Пусть при параллельном переносе на вектор  точки  и  отображаются в точки  и . Так как векторы  и , то значит, эти векторы равны между собой . То есть они параллельны  и их длины равны, поэтому четырёхугольник  – параллелограмм. Следовательно, , то есть расстояние между точками  и  равно расстоянию между точками  и .

Случай, когда точки  и  лежат на прямой параллельной вектору , вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между точками  и  будет равно расстоянию между точками  и .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора  на его длину.

  • В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.
  • Свойства параллельного переноса:
  • ·               При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.
  • ·               Угол переходит в равный ему угол.
  • ·               Окружность переходит в равную ей окружность.
  • ·               Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.
  • ·               Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
  • ·               Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
  • Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.
  • Определение:
  • Параллельным переносом на вектор  называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в такую точку  что .
  • Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.
  • При параллельном переносе точки пространства  и  переходят в такие точки  и , что вектора  и .
  • Сложим по правилу треугольника векторы
  • Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.
  • Значит, можно записать, что .
Читайте также:  Тушинский лагерь - студенческий портал

Заменим вектора  и  на вектор . Получим, что . Отсюда получаем, что вектор . Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть . То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

  1. Сформулируем свойства параллельного переноса.
  2. Свойства параллельного переноса:
  3. ·                   Параллельный перенос является примером движения пространства.
  4. ·                   При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.
  5. ·                   При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).
  6. ·                   Каковы бы не были две точки  и , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка  переходит в точку .
  7. ·                   При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
  8. Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.
  9. Свойства движения пространства:
  10. ·                   Движение сохраняет расстояние между точками.
  11. ·                   При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
  12. Решим несколько задач.

Задача: начертить отрезок  и вектор . Построить отрезок , который получится из отрезка параллельным переносом на вектор .

Решение: для того, чтобы построить отрезок , отобразим точку  в точку , точку  в точку  с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки ,  мы получим отрезок .

Задача: начертить треугольник  и вектор . Построить треугольник , который получится из треугольникa параллельным переносом на вектор .

Решение: отобразим с помощью параллельного переноса точки , ,  в точки , ,. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .

Задача: начертить пятиугольник  и вектор . Построить пятиугольник , который получится из пятиугольника параллельным переносом на вектор .

Решение: решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.

Источник: https://videouroki.net/video/11-paralliel-nyi-pierienos.html

PARTA — онлайн школа подготовки к ЕГЭ

ГОТОВИМ К ЕГЭ И ОГЭ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ В РЕЖИМЕ ОНЛАЙН

Объясняем сложное простым языком!

Онлайн-школа подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам Параллельный перенос - Студенческий портал

САМАЯ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ОНЛАЙН-ШКОЛА ЕГЭ В РОСCИИ

СРЕДНИЙ БАЛЛНАШИХ УЧЕНИКОВ

БОЛЕЕ 92 % НАШИХ ВЫПУСКНИКОВ ПОСТУПАЮТ В ВУЗ СВОЕЙ МЕЧТЫ

8 345 выпускников онлайн-школы PĀRTA уже поступили в желаемые ВУЗы Хочешь узнать как им это удалось?

НАШИ УЧЕНИКИ ГОТОВЯТСЯ К ЕГЭ В 2,5 РАЗА ЭФФЕКТИВНЕЕ, ЧЕМ ИХ ОДНОКЛАССНИКИ

Мы сравнили результаты выпускников за 5 лет, и оказалось, что наши ученики сдают ЕГЭ в 2,5 раза лучше, чем те, кто занимаются с репетиторами, и в 3,8 раз лучше, чем те, кто готовится самостоятельно.

Благодаря этому они набирают максимальные баллы на ЕГЭ

Получите по одному занятию на каждый предмет бесплатно!

Для этого просто нажмите на кнопку ниже и авторизуйся через ВК. Занятия придут в личные сообщения.

ПОЛУЧИТЬ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ

КАК ПРАВИЛЬНО ГОТОВИТЬСЯ К ЕГЭ?

С чего начать подготовку к ЕГЭ по каждому предмету?

Как оценить свой уровень знаний и составить программу на весь год?

Где искать полезные и как не наткнуться на бесполезные пособия?

Где найти примеры задач, которые могут попасться на ЕГЭ?

Как избежать ошибок, которые допускают 93% учеников?

БЕСПЛАТНО ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К КУРСУ НЕ ТРАТЬТЕ ВРЕМЯ НА ДОРОГУ: ВСЕ ОБУЧЕНИЕ ПРОХОДИТ ОНЛАЙН ПОСЛЕ КАЖДОГО ЗАНЯТИЯ МЫ ВЫДАЕМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ, КОТОРЫЕ ПРОВЕРЯЮТСЯ ВАШИМ ЛИЧНЫМ КУРАТОРОМ За неделю вы выполняете 3 домашних задания по каждому предмету. На выполнение каждого уходит не больше 2 часов. Уже через 2 недели наши ученики начинают обгонять своих одноклассников.

ПОДДЕРЖКА КУРАТОРОВ 24/7 И ЗАКРЫТЫЕ ЧАТЫ

Все ученики добавляются в закрытые чаты, где в любой момент могут попросить помощи у куратора или других ребят.

ПОДДЕРЖКА КУРАТОРОВ 24/7 И ЗАКРЫТЫЕ ЧАТЫ

Все ученики добавляются в закрытые чаты, где в любой момент могут попросить

помощи у куратора или других ребят.

По эффективной подготовке на каждый предмет от лучших преподавателей PĀRTA

Авторизуйтесь через ВК и мы сразу же вышлем пособия по подготовке в личном сообщении

ЗНАКОМЬТЕСЬ: НАШИ ПРЕПОДАВАТЕЛИ

ЗНАКОМЬТЕСЬ: НАШИ ПРЕПОДАВАТЕЛИ

КАЖДУЮ НЕДЕЛЮ МЫ ПРОВОДИМ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ

Подпишитесь на уведомления, чтобы ничего не пропустить Подпишитесь и мы будем оповещать вас в личных сообщениях обо всех вебинарах

КАЖДУЮ НЕДЕЛЮ МЫ ПРОВОДИМ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ

Подпишитесь на уведомления, чтобы ничего не пропустить

Подпишитесь и мы будем оповещать вас в личных сообщениях обо всех вебинарах

НАМ ВАЖНО МНЕНИЕ КАЖДОГО УЧЕНИКА И ЕГО РОДИТЕЛЕЙ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКТА

Отзывы родителей Отзывы учеников НАШИ КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

3 онлайн-занятия. Изучение одного раздела

В курс входит 3 онлайн-занятия с домашними заданиями и их проверкой. На них ты изучишь один из разделов по выбранному предмету и научишься решать задания, которые могут попасться на ЕГЭ. Глубоко вникаем с тобой в тему и доводим решение задач по ней до автоматизма.

Полный курс подготовки. 16 занятий в месяц

Занятия проводятся в группе до 30 человек. В стоимость включены сами онлайн-уроки, домашняя работа и ее проверка, а также круглосуточная связь с преподавателем. Ты получаешь личного наставника, который следит за ходом обучения и помогает преодолевать сложности.

Полный курс подготовки. 16 занятий в месяц

Занятия проводятся в группе до 30 человек. В стоимость включены сами онлайн-уроки, домашняя работа и ее проверка, а также круглосуточная связь с преподавателем. Ты получаешь личного наставника, который следит за ходом обучения и помогает преодолевать сложности.

3 онлайн-занятия. Изучение одного раздела

Курс, состоящий из 3 онлайн-занятий, с домашним заданием и его проверкой. На курсе изучаем один из разделов по предмету и учимся решать задания, которые попадаются на ЕГЭ. На выходе – полное понимание темы и умение решать любые задачи по ней. Сомневаешься?
Начни с бесплатного обучения Открытые и доступные для всех онлайн вебинары, которые проводятся раз в неделю по каждому предмету

ПОДПИШИТЕСЬ НА PĀRTA-РАССЫЛКУ

И можете больше не искать материалы ЕГЭ по просторам интернета — вам это больше не понадобиться Что это такое? Это полезные материалы для выпускников по подготовке к ЕГЭ. В них мы рассказываем о том, как тратить меньше времени на подготовку, как запоминать быстрее и больше информации, где ее искать, где найти мотивацию и т.д. А так же мы разбираем реальные КИМы, которые могут попасться вам на ЕГЭ. Не пропустите! ИНН: 165718176836 ОГРНИП: 318169000052692 ПОДПИСАТЬСЯ НА PARTA-ЖУРНАЛ

Источник: https://partaonline.ru/

math-public:vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos [Президентский ФМЛ №239]

math-public:vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos

Параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то есть на заданный вектор.

Параллельный перенос является движением.

  • Рассмотрим произвольный вектор $vec{a}$ и соответствующий ему параллельный перенос $T_{vec{a}}$.
  • Необходимо доказать, что для произвольных точек $A$ и $B$ расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$, где $A'=T_{vec{a}}(A), B'=T_{vec{a}}(B)$.
  • Действительно, четырёхугольник $AA'B'B$ – это параллелограмм, так как $overrightarrow{AA'}=overrightarrow{BB'}=vec{a}$, то есть $AA'=BB'$ и $AA'parallel BB'$.
  • Следовательно, $AB=A'B'$.
  • Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, то есть является движением.
  1. Параллельный перенос сохраняет направления.
  2. Движение, сохраняющее направления, является параллельным переносом.
  1. Пусть $X'=T_{vec{a}}(X), Y'=T_{vec{a}}(Y)$.
  2. Тогда $overrightarrow{XX'}=overrightarrow{YY'}=vec{a}$.
  3. Следовательно, $XX'Y'Y$ – это параллелограмм, и, следовательно $overrightarrow{XY}=overrightarrow{X'Y'}$, откуда следует, что $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, а это и означает, что движение сохраняет направления.
  4. Пусть движение $f$ сохраняет направления, то есть для любого вектора $overrightarrow{XY}$ будет выполняться
    $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, где $X'=f(X), Y'=f(Y)$.
  5. Так как $f$ – это движение, то $X'Y'=XY$.
  6. А так как $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, то $overrightarrow{XY}=overrightarrow{X'Y'}$.
  7. Из этого равенства следует, что $XX'Y'Y$ – параллелограмм, и, следовательно, $overrightarrow{XX'}=overrightarrow{YY'}$.
  8. Последнее равенство означает, что движение $f$ переносит любую точку на один и тот же вектор, то есть по определению является параллельным переносом.

Образ точки $X(x_0;y_0)$ при параллельном переносе на вектор $vec{a}(x_a,y_a)$ имеет координаты $X'(x_0+x_a; y_0+y_a)$.

Утверждение теоремы очевидно следует из цепочки равенств:

$X'=overrightarrow{OX'}=overrightarrow{OX}+vec{a}=(x_0;y_0)+(x_a,y_a)=(x_0+x_a;
y_0+y_a)$.

math-public/vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos.txt · Последние изменения: 2016/05/05 11:40 — labreslav

Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos

Ссылка на основную публикацию