Параллельный перенос — студенческий портал

а)

б)

в)

Рис. 22. Теорема об эквивалентности пар сил

8.3. ТЕОРЕМА О ПЕРЕНОСЕ ПАРЫ СИЛ В ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПЛОСКОСТЬ

Формулировка: пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной, не меняя её действия (рис. 23).

Доказательство:

В плоскости I была пара сил и .

Силы, внесённые в плоскость II:

В точку перенесены силы и , и , выполнена их замена на уравновешенные силы и , т. е. эти силы исключены.

Таким образом, в плоскости II осталась пара сил и , эквивалентная паре сил и , бывшей в плоскости I.

Рис. 23. Теорема о переносе пары сил в параллельную плоскость

• Из выше доказанного (см. предыдущие теоремы) следуют три свойства пары сил:
• 1) пару сил можно переносить куда угодно в плоскости пары, при этом её действие не меняется;
• 2) можно произвольно менять модули сил и плечи, сохраняя неизменным момент пары сил;
• 3) пару сил можно переносить в плоскость параллельную данной, при этом её действие не изменится.
• Поэтому вектор пары сил в связи с возможным переносом называется свободным.

8.4. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ ПАР СИЛ В ПРОСТРАНСТВЕ

Формулировка: система пар сил в пространстве эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар (рис. 24).

Доказательство:

Рис. 24. Теорема о сложении пар сил в пространстве

1. В плоскости I: и , .
2. В плоскости II: и , .
3. Выполнена замена:

Пара сил и эквивалентна двум исходным парам.

• В общем случае
• 9. ТЕОРЕМА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ
• (ПРИВЕДЕНИЕ СИЛЫК ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ)

Формулировка: силу, приложенную к телу, можно переносить параллельно из данной точки в другую, прибавляя пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы до другой точки (рис. 25).

Доказательство:

Рис. 25. Теорема о параллельном переносе силы

1. и – дополнительные силы:
2. Пара сил и образуют момент .
3. В точке остаётся сила и появляется момент .
4. 10. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
5. ( ПЛОСКОЙ ИЛИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ)
6. СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ
7. В этом случае система сил , , , … , заменяется одной силой и суммой моментов, а именно произведений каждой из этих сил на расстояние от точки её приложения до некоторого центра

Источник: http://fiziku5.ru/uchebnye-materialy-po-fizike/teorema-o-perenose-pary-sil-v-parallelnuyu-ploskost

Лекция на тему: Параллельный перенос, симметрия

Параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.

Цель:

• Сформировать понятие параллельного переноса;
• Рассмотреть симметрию относительно плоскости.

• Параллельный перенос
• Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
• Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
• Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор.

1. Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.
2. Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.
3. Параллельный перенос используется для конструирования графиков функций.
4. На рисунке изображена парабола и два результата параллельного переноса.

Иногда параллельный перенос встречается в необычных ситуациях:

Симметрия

Термин «cимме́три́я» — (др.-греч. συμμετρία) по гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855-1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

Перечислим виды симметрии.

Виды симметрии

Осевая симметрия

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точу А, при этом отрезок AA´  l , называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси l, то она симметрична самой себе, т.е. A совпадает с A´.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси l,

фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси l, а ось l называется ее осью симметрии.

Центральная симметрия

Преобразования, переводящее каждую точку A фигуры или тела в точку A´, симметричную ей относительно центра O, называетсяпреобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет.

Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра O.при этом центр O называется центром симметрии фигуры F.

Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т.д.

Знакомые понятия поворота и параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

Трансляционная симметрия

Поворот

Преобразование, при котором каждая точка A фигуры или тела поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра O, называется вращением или поворотом плоскости.Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка O является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры или тела на 180˚.

Параллельный перенос

Преобразование при котором каждая точка фигуры или тела перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно задать вектор .

Скользящая симметрия

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1. отрезок переходит в равный ему отрезок;

2. угол переходит в равный ему угол;

3. окружность переходит в равную ей окружность;

4. любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.

5. параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

* В стереометрии вводится еще один вид симметрии –

Источник: https://infourok.ru/lekciya-na-temu-parallelniy-perenos-simmetriya-3771812.html

Параллельный перенос — презентация, доклад, проект

Слайд 1Описание слайда:

Параллельный перенос Подготовил Сухарев Алексей, ученик 11 А

Слайд 2Описание слайда:

Параллельный перенос в жизни Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

Слайд 3Описание слайда:

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Слайд 4Описание слайда:

Примеры из жизни В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве.

Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве. А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

Слайд 5Слайд 6Слайд 7Слайд 8Слайд 9

Источник: https://myslide.ru/presentation/531926_skachat-parallelnyj-perenos

Параллельный перенос и его свойства — Гипермаркет знаний

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 8 класс>>Математика: Параллельный перенос и его свойства

Параллельный перенос и его свойства

Общие сведения о параллельном переносе

Наглядно параллельный перенос определяется как преобразование, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние (рис. 198).

Такое определение не является математически строгим, потому что в нем употребляется выражение «в одном и том же направлении», которое само нуждается в точном определении.

В связи с этим параллельному переносу мы дадим другое, отвечающее тому же наглядному представлению, но уже строгое определение.

Эти формулы выражают координаты х', у' точки, в которую переходит точка (х; у) при параллельном переносе.

Свойства параллельного переноса

• Параллельный перенос есть движение.
• Действительно, две произвольные точки А(х1; у1) к В (х2; у2) переходят при параллельном переносе в точки А' (х1 +а; у1 + b), В'(х2 + а; y2+b). ПоэтомуАВ2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2
• A'B»2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2

Отсюда АВ=А'В'.

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Название «параллельный перенос» оправдывается тем, что при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Действительно, пусть точки A (x1; y1) и В (x2; y2) переходят в точки A'(x1+а; y1 + b) и В' (х2 + а; y2 + b) (рис. 200). Середина отрезка АВ' имеет координаты

Те же координаты имеет и середина отрезка А'В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА'В'В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны А А' и ВВ' параллельны и равны.

Заметим, что у параллелограмма АА'В'В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А 'В'. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Замечание. В предыдущем доказательстве предполагалось, что точка В не лежит на прямой АА'. В случае, когда точка В лежит на прямой АА', точка В' тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 201). Значит, все точки А, В, А', В' лежат на одной прямой. Далее,

1. 
2. Таким образом, в этом случае точки АиВ смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние  а прямая АВ переходит в себя. 

Повторение темы о параллельном переносе

Мы с вами уже познакомились с такой темой, как параллельный перенос. На этом уроке вы узнали, что такое преобразование на плоскости, где все точки перемещаются на одно и то же расстояние, считается параллельным переносом.

• Из данного урока, каждому из вас стало понятно, что параллельный перенос является движением, так как при таком переносе любая прямая переходит в такую же параллельную ей прямую.
• 

• Если мы посмотрим на рисунок, то можем наглядно представить такое движение, как сдвиг площади в направлении данного вектора на его длину.

Свойства, которыми обладает параллельный перенос в пространстве

• Во-первых, параллельный перенос является движением;
• Во-вторых, при выполнении этого действия все точки смещаются по параллельным прямым и притом на одно и то же расстояние;
• В-третьих, при таком переносе прямая имеет свойство переходить в такую же параллельную прямую или в себя саму;
• В-четвертых, независимо от того, какими точками были A и A', но точка A переходит в точку A'. • В-пятых, при таком переносе, т.е параллельном переносе в пространстве, в любом случае плоскость имеет свойство переходить в себя саму или же такую же параллельную ей плоскость.

Истрия и применение в науке

Как правило, в каждого понятия есть свой первооткрыватель, но автор параллельного переноса в пространстве, на жаль, нам неизвестен. А вот применение параллельного переноса в пространстве довольно широко. Как правило, такой перенос используют при преобразовании графической функции в математике, в механике, а также в кристаллографии.

Но если рассматривать трансляция или кристаллографию, то в этом случае перенос приобретает симметричное преобразование, в котором узел пространственной решётки должен совпасть с идентичным ближайшим узлом.

В принципе, трансляцию можно отнести к частному случаю параллельного переноса, так как при сдвиге на определенный вектор ее свойства в данной системе не изменяются, а являются вектором трансляции и для нее свойственна трансляционная симметрия.

Примеры из жизни

В повседневной жизни мы с вами также постоянно сталкиваемся с примерами параллельного переноса в пространстве. Таким наглядным примером может быть, применяемая в строительной индустрии скользящая опалубка, этот процесс мы можем наблюдать и при перестановке мебели в квартире, да и следы от подошвы нам также напоминают о параллельном переносе в пространстве.

А также, параллельный перенос можно встретить и в таких необычных ситуациях:

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%81_%D0%B8_%D0%B5%D0%B3%D0%BE_%D1%81%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

Матвокс ⋆ построение фигуры при помощи параллельного переноса. метод 2 ⋆ энциклопедия математики

Skip to content

• Параллельный перенос фигуры – это перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
• Пусть дана фигура F.
• Нужно построить фигуру F1 при помощи параллельного переноса фигуры F на произвольный вектор a.

Метод построения фигуры параллельным переносом, если не известны координаты

Так как вектор переноса произвольный, то не имеет значения под каким углом к плоскости и в каком направлении задавать направление переноса.

Поэтому через точку А проведем произвольную прямую.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 1

Через другие вершины проведем прямые, параллельные прямой, проведенной на шаге 1.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 2

На прямой, построенной на шаге 1, проведем отрезок АА1 произвольной длины a.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 3

На оставшихся построенных прямых отложим отрезки в том же направлении и той же длины, что и отрезок а.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 4

Соединим полученные точки вершинами. В результате получим фигуру F1, образованную параллельным переносом фигуры F на произвольный вектор a.

Построение фигуры при помощи параллельного переноса. Шаг 5

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/simmetriya-dvijenie/glava-4-parallelnii-perenos/postroenie-figuri-pri-pomoschi-parallelnogo-perenosa-metod-2/

Операции преобразования на плоскости

• Для описания произвольного перемещения фигуры на плоскости необходимо рассмотреть несколько простейших движений, таких как параллельный перенос, поворот относительно оси и зеркальное отражение относительно оси и точки (полюса), потому что любое сложное движение всегда можно представить как совокупность простых движений.
• Параллельный перенос
  Параллельный перенос на вектор переносит точку M(x,y) в точку M'(x',y'). При этом координаты точек будут изменяться на величину проекции вектора параллельного переноса на соответствующую ось
• x' = x + ax , y' = y + ay. (1)

При параллельном переносе отрезок перемещается параллельно самому себе, его длина и ориентация не изменяется (рис.1).

1. Демонстрация параллельного переноса на JS
2. Поворот
   Поворот точки вокруг координатной оси против часовой стрелки на угол χ (рис. 2а) изменяет координаты точки таким образом, что расстояние от точки до начала координат не изменяется:
3. x′ = x cosχ − y sinχ,

y′ = x sinχ + y cosχ. (2)

При повороте отрезок не изменяет своей длины, а также не изменяются углы между совместно поворачиваемыми отрезками (рис. 2а).

Если необходимо выполнить поворот относительно произвольной точки, несовпадающей с началом координат, то сначала выполняется параллельный перенос полюса и поворачиваемого объекта на вектор a, при котором полюс совпадет с началом координат. Затем выполняется поворот, а затем параллельный перенос на вектор (-a ) (рис. 2б).

Демонстрация поворота фигуры на JS

Отражение
Зеркальное отражение относительно оси абсцисс (рис. 3) приведет к тому, что координата x точки не меняется, а координата y меняет знак на противоположный
x' = x, y' = — y .

(3)
При отражении относительно оси ординат знак меняется у координаты x , а у координаты y знак не изменяется
x' = — x, y' = y .

(4)
Отражение относительно начала координат изменяет знаки на противоположные у обеих координат:

x' = — x, y' = — y . (5)

В том случае, если отражение производится относительно произвольной оси, то до выполнения отражения необходимо будет выполнить параллельный перенос объекта и оси на вектор a так, чтобы ось отражения совпала с одной из координатных осей, затем выполнить отражение, а после этого выполнить параллельный перенос на вектор (− a).
При отражении относительно произвольного полюса вначале выполняется параллельный перенос, совмещающий полюс с началом координат, затем отражение относительно начала координат и после этого параллельный перенос для возврата полюса в первоначальное положение.

Масштабирование и деформация
Кроме перемещений объекта по поверхности его можно деформировать. В случае если деформация будет пропорциональной, то ее можно рассматривать как масштабирование объекта. При деформации объекта координаты его точек изменяются на некоторую константу

x'= αx, y' = βy . (6)

Если α=β, то деформация будет пропорциональной (масштабирование (рис.4)). Если константы α и β будут положительными, то производится только деформация, а если отрицательными, то кроме деформации происходит еще и отражение.

Демонстрация масштабирования фигуры на JS

• 
• Кардиограф
• Харманский Александр
• Среда программирования: JavaScript

Источник: http://grafika.me/node/11

Свойства движения. Параллельный перенос. Видеоурок. Геометрия 9 Класс

Темой этого видеоурока будут свойства движения, а также параллельный перенос. В начале занятия мы еще раз повторим понятие движения, его основные виды – осевую и центральную симметрию. После этого рассмотрим все свойства движения. Разберем понятие «параллельный перенос», для чего он используется, назовем его свойства.

• Тема: Движение
• Урок: Движение. Свойства движения
• Докажем теорему: при движении отрезок переходит в отрезок.

Расшифруем формулировку теоремы с помощью Рис. 1. Если концы некоторого отрезка MN при движении отобразились в некоторые точки M1 и N1 соответственно, то любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1, и наоборот, в каждую точку Q1 отрезка M1N1 обязательно отобразится некоторая точка Qотрезка MN.

Рис. 1.

Доказательство.

Как видно из рисунка, MN = MР + РN.

Пусть точка Р переходит в некоторую точку Р1' плоскости. Из определения движения следует равенство длин отрезков MN = M1N1,                MР = M1Р1', РN = Р1'N1.

Из этих равенств следует, что M1Р1', M1Р1'+ Р1'N1 = MР + РN = MN = M1N1, то есть, точка Р1' принадлежит отрезку M1N1 и совпадает с точкой P1, в противном случае вместо приведенного равенства было бы справедливо неравенство треугольника       M1Р1'+ Р1'N1 > M1N1.

То есть мы доказали, что при движении любая точка любая точка Р отрезка MN обязательно перейдет в некоторую точку Р1 отрезка M1N1. Вторая часть теоремы (касательно точки Q1) доказывается абсолютно аналогично.

Доказанная теорема справедлива для любых движений!

Теорема: при движении угол переходит в равный ему угол.

Пусть дан ÐАОВ (Рис. 2). И пусть задано некоторое движение, при котором вершина ÐО переходит в точку О1, а точки А и В – соответственно в точки А1 и В1.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. По условию теоремы, точки А, О и В переходят при движении в точки А1, О1 и В1 соответственно. Следовательно, имеет место равенство длин        АО = А1О1, ОВ = О1В1 и АВ = А1В1. Таким образом, АОВ = А1О1В1 по трем сторонам. Из равенства треугольников вытекает равенство соответствующих углов О и О1.

Итак, любое движение сохраняет углы.

Из основных свойств движения вытекает масса следствий, в частности то, что любая фигура при движении отображается на равную ей фигуру

Рассмотрим еще один вид движения – параллельный перенос.

Параллельным переносом на некоторый заданный вектор  называется такое отображение плоскости на саму себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М1 той же плоскости, чтобы   (Рис. 3).

Рис. 3.

Докажем, что параллельный перенос является движением.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок MN (Рис. 4). Пусть при параллельном переносе точка М перешла в точку М1, а точка N – в точку N1. При этом выполнены условия параллельного переноса:   и  . Рассмотрим четырехугольник

 ММ1N1N. У него две противоположные стороны (MM1 и NN1) равны и параллельны, как это продиктовано условиями параллельного переноса. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом согласно одному из признаков последнего. Отсюда вытекает, что и другие две стороны (MN и M1N1) параллелограмма имеют равные длины, что и требовалось доказать.

Таким образом, параллельный перенос, действительно, является движением.

Рис. 4.

Подведем итоги. Мы знакомы уже с тремя видами движений: осевой симметрией, центральной симметрией и параллельным переносом. Мы доказали, что при движении отрезок переходит в отрезок, а угол – в равный ему угол. Кроме того, можно показать, что прямая при движении переходит в прямую и окружность переходит в окружность того же радиуса.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Российский общеобразовательный портал (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 114.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/dvizhenie/svoystva-dvizheniya-parallelnyy-perenos

Параллельный перенос

Если нам дан вектор , то параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором произвольная точка Е отображается в такую точку Е1, что .

Доказательство:

• Дано: точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 при параллельном переносе на .
• Доказать: параллельный перенос — движение.
• Доказательство:
• 1 случай
• Точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору .

По условию точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, и , значит, ЕЕ1КК1 (т.к. точки Е и К не лежат на одной прямой параллельной вектору ) и ЕЕ1 = КК1. Следовательно, по признаку параллелограмма четырехугольник ЕЕ1К1К — параллелограмм, поэтому по свойству параллелограмма ЕК = Е1К1, т.е. расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1.

Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

1. 2 случай
2. Точки Е и К лежат на одной прямой параллельной вектору .
3. По условию точки Е и К отображаются в точки Е1 и К1 соответственно при параллельном переносе на вектор , тогда по определению параллельного переноса и , поэтому , следовательно, , значит, ЕЕ1 = КК1.  (1)

ЕК = КК1 + ЕК1, Е1К1 = ЕЕ1 + ЕК1, тогда, учитывая (1), получим: ЕК = Е1К1, т.е.

расстояние между точками Е и К равно расстоянию между точками Е1 и К1.

Получаем, что параллельный перенос сохраняет расстояния между точками, значит, является частным случаем движения.

Пример

• Построить А1В1С1, который получается из АВС параллельным переносом на вектор .
• Дано: АВС, вектор .
• Построить: А1В1С1 параллельным переносом на вектор .
• Решение:

Построим точки А1, В1, С1, которые получаются из точек А, В, С соответственно, параллельным переносом на вектор  .

Для этого от точек А, В и С отложим векторы, равные вектору . Соединяя попарно точки А1, В1, С1 отрезками, получим искомый А1В1С1.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

1. Отображение плоскости на себя
2. Понятие движения
3. Наложения и движения
4. Поворот
5. Движения

Правило встречается в следующих упражнениях:

• 7 класс
• Задание 1162, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1163, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1164, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1165, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 15, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1178, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1179, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1182, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
• Задание 1301, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

1. © budu5.com, 2020
2. Пользовательское соглашение
3. Copyright
4. Нашли ошибку?
5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3583

Параллельный перенос

Сегодня на уроке мы вспомним, какое отображение плоскости на себя мы называли параллельным переносом, введём понятие параллельного переноса в пространстве. Проверим, будет ли параллельный перенос движением пространства.

Вернёмся в планиметрию и вспомним, что параллельным переносом мы называли преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении и на одно и то же расстояние. Мы говорили, что для того, чтобы задать перенос достаточно задать вектор.

Другими словами, параллельным переносом на вектор  называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка  отображается в такую точку , что вектор  равен вектору .

То, что параллельный перенос является примером движения плоскости, мы уже доказывали. Давайте вспомним это доказательство.

Пусть при параллельном переносе на вектор  точки  и  отображаются в точки  и . Так как векторы  и , то значит, эти векторы равны между собой . То есть они параллельны  и их длины равны, поэтому четырёхугольник  – параллелограмм. Следовательно, , то есть расстояние между точками  и  равно расстоянию между точками  и .

Случай, когда точки  и  лежат на прямой параллельной вектору , вы можете рассмотреть самостоятельно. Но и в этом случае расстояние между точками  и  будет равно расстоянию между точками  и .

Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние между точками и поэтому представляет собой движение. Это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора  на его длину.

• В планиметрии мы говорили, что параллельный перенос обладает некоторыми свойствами.
• Свойства параллельного переноса:
• ·               При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок.
• ·               Угол переходит в равный ему угол.
• ·               Окружность переходит в равную ей окружность.
• ·               Любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник.
• ·               Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
• ·               Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые.
• Теперь давайте определим, что мы будем понимать под параллельным переносом в пространстве.
• Определение:
• Параллельным переносом на вектор  называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в такую точку  что .
• Проверим, будет ли параллельный перенос в пространстве примером движения пространства.
• При параллельном переносе точки пространства  и  переходят в такие точки  и , что вектора  и .
• Сложим по правилу треугольника векторы
• Поскольку левые части равенств равны, значит, равны и правые части равенств.
• Значит, можно записать, что .

Заменим вектора  и  на вектор . Получим, что . Отсюда получаем, что вектор . Поскольку векторы равны, значит, равны и их длины, то есть . То есть расстояние между точками при параллельном переносе в пространстве сохраняется, значит, параллельный перенос в пространстве также является движением, но уже не плоскости, а пространства.

1. Сформулируем свойства параллельного переноса.
2. Свойства параллельного переноса:
3. ·                   Параллельный перенос является примером движения пространства.
4. ·                   При параллельном переносе точки смещаются по параллельным или совпадающим прямым на одно и то же расстояние.
5. ·                   При параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или сама в себя).
6. ·                   Каковы бы не были две точки  и , существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка  переходит в точку .
7. ·                   При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.
8. Движение в пространстве обладает теми же свойствами, что и движение плоскости.
9. Свойства движения пространства:
10. ·                   Движение сохраняет расстояние между точками.
11. ·                   При любом движении пространства отрезок отображается на отрезок, прямая – в прямую, плоскость – в плоскость.
12. Решим несколько задач.

Задача: начертить отрезок  и вектор . Построить отрезок , который получится из отрезка параллельным переносом на вектор .

Решение: для того, чтобы построить отрезок , отобразим точку  в точку , точку  в точку  с помощью параллельного переноса. Тогда соединив точки ,  мы получим отрезок .

Задача: начертить треугольник  и вектор . Построить треугольник , который получится из треугольникa параллельным переносом на вектор .

Решение: отобразим с помощью параллельного переноса точки , ,  в точки , ,. Соединив полученные точки, мы получим искомый треугольник .

Задача: начертить пятиугольник  и вектор . Построить пятиугольник , который получится из пятиугольника параллельным переносом на вектор .

Решение: решать эту задачу будем аналогично тому, как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с помощью параллельного переноса на вектор . Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вспомнили, что мы понимали под параллельным переносом в планиметрии. Ввели понятие параллельного переноса в пространстве. Сформулировали основные свойства параллельного переноса, движения пространства.

Источник: https://videouroki.net/video/11-paralliel-nyi-pierienos.html

PARTA — онлайн школа подготовки к ЕГЭ

ГОТОВИМ К ЕГЭ И ОГЭ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ В РЕЖИМЕ ОНЛАЙН

Объясняем сложное простым языком!

Онлайн-школа подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам

САМАЯ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ОНЛАЙН-ШКОЛА ЕГЭ В РОСCИИ

СРЕДНИЙ БАЛЛНАШИХ УЧЕНИКОВ

БОЛЕЕ 92 % НАШИХ ВЫПУСКНИКОВ ПОСТУПАЮТ В ВУЗ СВОЕЙ МЕЧТЫ

8 345 выпускников онлайн-школы PĀRTA уже поступили в желаемые ВУЗы Хочешь узнать как им это удалось?

НАШИ УЧЕНИКИ ГОТОВЯТСЯ К ЕГЭ В 2,5 РАЗА ЭФФЕКТИВНЕЕ, ЧЕМ ИХ ОДНОКЛАССНИКИ

Мы сравнили результаты выпускников за 5 лет, и оказалось, что наши ученики сдают ЕГЭ в 2,5 раза лучше, чем те, кто занимаются с репетиторами, и в 3,8 раз лучше, чем те, кто готовится самостоятельно.

Благодаря этому они набирают максимальные баллы на ЕГЭ

Получите по одному занятию на каждый предмет бесплатно!

Для этого просто нажмите на кнопку ниже и авторизуйся через ВК. Занятия придут в личные сообщения.

ПОЛУЧИТЬ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ

КАК ПРАВИЛЬНО ГОТОВИТЬСЯ К ЕГЭ?

С чего начать подготовку к ЕГЭ по каждому предмету?

Как оценить свой уровень знаний и составить программу на весь год?

Где искать полезные и как не наткнуться на бесполезные пособия?

Где найти примеры задач, которые могут попасться на ЕГЭ?

Как избежать ошибок, которые допускают 93% учеников?

БЕСПЛАТНО ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К КУРСУ НЕ ТРАТЬТЕ ВРЕМЯ НА ДОРОГУ: ВСЕ ОБУЧЕНИЕ ПРОХОДИТ ОНЛАЙН ПОСЛЕ КАЖДОГО ЗАНЯТИЯ МЫ ВЫДАЕМ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ, КОТОРЫЕ ПРОВЕРЯЮТСЯ ВАШИМ ЛИЧНЫМ КУРАТОРОМ За неделю вы выполняете 3 домашних задания по каждому предмету. На выполнение каждого уходит не больше 2 часов. Уже через 2 недели наши ученики начинают обгонять своих одноклассников.

ПОДДЕРЖКА КУРАТОРОВ 24/7 И ЗАКРЫТЫЕ ЧАТЫ

Все ученики добавляются в закрытые чаты, где в любой момент могут попросить помощи у куратора или других ребят.

ПОДДЕРЖКА КУРАТОРОВ 24/7 И ЗАКРЫТЫЕ ЧАТЫ

Все ученики добавляются в закрытые чаты, где в любой момент могут попросить

помощи у куратора или других ребят.

По эффективной подготовке на каждый предмет от лучших преподавателей PĀRTA

Авторизуйтесь через ВК и мы сразу же вышлем пособия по подготовке в личном сообщении

ЗНАКОМЬТЕСЬ: НАШИ ПРЕПОДАВАТЕЛИ

ЗНАКОМЬТЕСЬ: НАШИ ПРЕПОДАВАТЕЛИ

КАЖДУЮ НЕДЕЛЮ МЫ ПРОВОДИМ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ

Подпишитесь на уведомления, чтобы ничего не пропустить Подпишитесь и мы будем оповещать вас в личных сообщениях обо всех вебинарах

КАЖДУЮ НЕДЕЛЮ МЫ ПРОВОДИМ БЕСПЛАТНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВСЕМ ПРЕДМЕТАМ

Подпишитесь на уведомления, чтобы ничего не пропустить

Подпишитесь и мы будем оповещать вас в личных сообщениях обо всех вебинарах

НАМ ВАЖНО МНЕНИЕ КАЖДОГО УЧЕНИКА И ЕГО РОДИТЕЛЕЙ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОДУКТА

Отзывы родителей Отзывы учеников НАШИ КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

3 онлайн-занятия. Изучение одного раздела

В курс входит 3 онлайн-занятия с домашними заданиями и их проверкой. На них ты изучишь один из разделов по выбранному предмету и научишься решать задания, которые могут попасться на ЕГЭ. Глубоко вникаем с тобой в тему и доводим решение задач по ней до автоматизма.

Полный курс подготовки. 16 занятий в месяц

Занятия проводятся в группе до 30 человек. В стоимость включены сами онлайн-уроки, домашняя работа и ее проверка, а также круглосуточная связь с преподавателем. Ты получаешь личного наставника, который следит за ходом обучения и помогает преодолевать сложности.

Полный курс подготовки. 16 занятий в месяц

Занятия проводятся в группе до 30 человек. В стоимость включены сами онлайн-уроки, домашняя работа и ее проверка, а также круглосуточная связь с преподавателем. Ты получаешь личного наставника, который следит за ходом обучения и помогает преодолевать сложности.

3 онлайн-занятия. Изучение одного раздела

Курс, состоящий из 3 онлайн-занятий, с домашним заданием и его проверкой. На курсе изучаем один из разделов по предмету и учимся решать задания, которые попадаются на ЕГЭ. На выходе – полное понимание темы и умение решать любые задачи по ней. Сомневаешься?
Начни с бесплатного обучения Открытые и доступные для всех онлайн вебинары, которые проводятся раз в неделю по каждому предмету

ПОДПИШИТЕСЬ НА PĀRTA-РАССЫЛКУ

И можете больше не искать материалы ЕГЭ по просторам интернета — вам это больше не понадобиться Что это такое? Это полезные материалы для выпускников по подготовке к ЕГЭ. В них мы рассказываем о том, как тратить меньше времени на подготовку, как запоминать быстрее и больше информации, где ее искать, где найти мотивацию и т.д. А так же мы разбираем реальные КИМы, которые могут попасться вам на ЕГЭ. Не пропустите! ИНН: 165718176836 ОГРНИП: 318169000052692 ПОДПИСАТЬСЯ НА PARTA-ЖУРНАЛ

Источник: https://partaonline.ru/

math-public:vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos [Президентский ФМЛ №239]

math-public:vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos

Параллельным переносом фигуры называется такое ее преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, то есть на заданный вектор.

Параллельный перенос является движением.

• Рассмотрим произвольный вектор $vec{a}$ и соответствующий ему параллельный перенос $T_{vec{a}}$.
• Необходимо доказать, что для произвольных точек $A$ и $B$ расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$, где $A'=T_{vec{a}}(A), B'=T_{vec{a}}(B)$.
• Действительно, четырёхугольник $AA'B'B$ – это параллелограмм, так как $overrightarrow{AA'}=overrightarrow{BB'}=vec{a}$, то есть $AA'=BB'$ и $AA'parallel BB'$.
• Следовательно, $AB=A'B'$.
• Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, то есть является движением.

1. Параллельный перенос сохраняет направления.
2. Движение, сохраняющее направления, является параллельным переносом.

1. Пусть $X'=T_{vec{a}}(X), Y'=T_{vec{a}}(Y)$.
2. Тогда $overrightarrow{XX'}=overrightarrow{YY'}=vec{a}$.
3. Следовательно, $XX'Y'Y$ – это параллелограмм, и, следовательно $overrightarrow{XY}=overrightarrow{X'Y'}$, откуда следует, что $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, а это и означает, что движение сохраняет направления.
4. Пусть движение $f$ сохраняет направления, то есть для любого вектора $overrightarrow{XY}$ будет выполняться
   $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, где $X'=f(X), Y'=f(Y)$.
5. Так как $f$ – это движение, то $X'Y'=XY$.
6. А так как $overrightarrow{X'Y'}upuparrows overrightarrow{XY}$, то $overrightarrow{XY}=overrightarrow{X'Y'}$.
7. Из этого равенства следует, что $XX'Y'Y$ – параллелограмм, и, следовательно, $overrightarrow{XX'}=overrightarrow{YY'}$.
8. Последнее равенство означает, что движение $f$ переносит любую точку на один и тот же вектор, то есть по определению является параллельным переносом.

Образ точки $X(x_0;y_0)$ при параллельном переносе на вектор $vec{a}(x_a,y_a)$ имеет координаты $X'(x_0+x_a; y_0+y_a)$.

Утверждение теоремы очевидно следует из цепочки равенств:

$X'=overrightarrow{OX'}=overrightarrow{OX}+vec{a}=(x_0;y_0)+(x_a,y_a)=(x_0+x_a;
y_0+y_a)$.

math-public/vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos.txt · Последние изменения: 2016/05/05 11:40 — labreslav

Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/vidy-dvizhenij-parallelnyj-perenos