Построение треугольника по трем элементам — студенческий портал

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам.

Класс: 7

Тема: Задачи на построение. Построение треугольника по трем элементам. Класс: 7

Дата:

Оборудование: циркуль, транспортир, линейка, компьютер, проектор, презентация, рабочая карточка для каждого ученика (Приложение 1), карточка с домашним заданием для каждого ученика (Приложение 2).

Учебник: Геометрия: учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2012 – 384с.

Форма урока: Изучение нового материала. Практическая работа

Цели урока:

  1. Обобщить знания по теме: «Задачи на построение с помощью циркуля и линейки»;

  2. Отработать навыки построения треугольника по трем его элементам.

  1. Способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

  2. Способствовать развитию памяти учащихся.

  1. Способствовать воспитанию интереса к предмету;

  2. Способствовать воспитанию личностных качеств: активности, самостоятельности, аккуратности в работе.

План урока (45 мин):

  1. Организационный момент (3 мин)

  2. Повторение (8 мин)

  3. Изучение нового материала (20 мин)

  4. Физкультминутка (2 мин)

  5. Первичное закрепление (5 мин)

  6. Итог урока (3 мин)

  7. Ответы на вопросы учащихся (2 мин)

  8. Домашнее задание (2 мин)

Ход урока:

  1. ОПостроение треугольника по трем элементам - Студенческий порталрганизационный момент

  2. Здравствуйте, девочки! Здравствуйте, мальчики! Я вижу у вас хорошее настроение, давайте улыбнёмся друг другу. Пусть хорошее настроение сохранится у вас в течение всего урока. А сейчас займите свои рабочие места. 

Для разминки я предлагаю вам решить три ребуса которые которые помогут вам настроится на урока

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталПостроение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

На дом было задано задание повторить задачи на построение с помощью циркуля и линейки: построить отрезок, равный данному; построить угол, равный данному. А поможет нам в этом компьютер. Итак, все внимание на экран.

(проверка домашнего задания, презентация)

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  • Сумма углов треугольника равна 180˚ значит угол А = 180 – (32+74)=74, т.к угол А=углу С треугольник АВС- равнобедренный
  • Треугольник АВС-равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны. Значит угол А= углу С=(180-40):2=70.
  • Угол ВСД-внешний треугольника АВС и равен сумме двух не смежных с ним углов (угол В+ угол А=64). Значит угол В=64-50=14. Угол 1 и угол ВСД –смежные их сумма =180, значит угол 1=116.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  1. Выбрать верные и неверные утверждения

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  1. Какие теоремы мы использовали при доказательстве равенства треугольнико? (первый, второй и третий признак равенства треугольников)

Учащиеся формулируют эти признаки:

  1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

  2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  1. Таким образом, для успешного изучения задач на построение нам необходимо знать:

  1. Во-первых, как строить отрезок равный данному и угол равный данному.

  2. Во-вторых, признаки равенства треугольников.

  3. Изучение нового материала

Тема сегодняшнего урока: «Построение треугольника по трем его элементам».

Давайте с вами подумаем и ответим на такой вопрос: «Какие элементы есть в треугольнике?» (3 угла и 3 стороны). Таким образом, получается всего 6 элементов. А нам для построения треугольника необходимо всего 3.

Давайте с вами подумаем над таким вопросом: «Какие 3 элемента необходимы для построения треугольника?» (2 стороны и 1 угол, 2 угла и 1 сторона, 3 стороны, а 3 угла – не подходят, т.к. треугольники мы получим не равные, а подобные.

Что это означает, мы с вами будем изучать в 8 классе).

Цель нашего урока: рассмотреть и доказать алгоритмы задач на построение треугольника по трем его элементам с помощью циркуля и линейки. А именно:

  1. Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними;

  2. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к нему углам;

  3. Построить треугольник по трем сторонам.

Таким образом, чтобы построить треугольник по трем элементам, нужно сначала уметь строить отрезок, равный данному и угол равный данному. Конечно, это можно сделать с помощью линейки с делениями и транспортиром, но в математике требуется еще и уметь выполнять построения с помощью циркуля и линейки без деления.

Любая задача на построение состоит из 4 основных этапов:

  1. Анализ

  2. Построение

  3. Доказательство

  4. Исследование

Анализ. На этом этапе происходит отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение.

Построение – происходит построение по намеченному плану.

Доказательство. Когда искомая фигура построена, необходимо доказать, что она удовлетворяет всем требованиям задачи.

Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько именно.

Обращаю ваше внимание на то, что в 7 классе этап анализа решения задачи не проводится, т.е. мы ограничиваемся только тремя этапами: построение, доказательство, исследование.

Итак, приступим к построению треугольника по 3 его элементам.

Начнем с задачи №1: Построить треугольник по 2 сторонам и углу между ними.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  • Задача №2: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
  • Задача №3: Построить треугольник по трем сторонам.

После отдыха учащиеся самостоятельно решают задачи, а учитель ходит и контролирует правильность выполнения заданий. Если кто-то не справляется, учитель объясняет план решения задачи. Те учащиеся, которые самостоятельно справились с решением задач, получают оценки. (Приложение 1)

  1. Построить треугольник ОДЕ, у которого ОД=4 см, ДЕ=2 см, ЕО=3см.
  1. Что нового узнали на уроке? (С помощью циркуля и линейки можно строить не только отрезок равный данному и угол равный данному, а еще и треугольники по трем его элементам)

  2. Всегда ли можно построить треугольник по трем его сторонам? (Нет, это возможно, только если выполняются неравенства треугольника, т.е. каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон)

  3. Выставление оценок за урок.

Вопросы: 19,20 стр. 90. № 287, 289.

10

Источник: https://multiurok.ru/files/postroieniie-trieughol-nika-po-triem-eliemientam.html

Построение треугольника по трём элементам

При решении задач на построение требуется построить фигуру при помощи двух инструментов: циркуля и линейки без делений.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  • Также с помощью линейки без делений можно провести произвольную прямую и построить прямую, проходящую через две точки.
  • С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса и окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
  • Пример.
  • Построить треугольник по трём заданным его сторонам.
  • Пусть даны отрезки:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Отложим один из отрезков на произвольной прямой:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построим окружность с центром в точке А и радиусом b и окружность с центром в точке В и радиусом а:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Соединили точку С с точками А и В и получили искомый треугольник АВС.

Построение верно, так как у полученного треугольника АВС, АВ=c, АС=b, ВС=а.

Задача имеет решение, если для данных отрезков выполняется неравенство:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

  1. Если решение этой задачи существует, то оно является единственным, так как все построенные треугольники будут равны по трём сторонам, то есть по третьему признаку равенства треугольников.
  2. Пример.
  3. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Пусть даны отрезки а и b и ∠С1. Проведём произвольную прямую и на ней отметим точку С. И построить ∠С=∠С1.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке С1:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Окружность пересекает стороны угла в точках А1 и В1.

Проведём окружность такого же радиуса с центром в точке С:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Она пересекает луч СM в точке О.

Построим окружность с центром в точке О радиуса А1В1:

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Окружности с центрами в точках С и О пересекаются в двух точках. Обозначим одну из них буквой Е. Докажем, что угол МСЕ — искомый угол.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Рассмотрим треугольники А1В1С1 и ОСЕ. Отрезки С1А1 и С1В1 равны как радиусы окружности с центром в точке С1. А отрезки СО и СЕ — как радиусы окружности с центром в точке С. А так как по построению данные окружности имеют равные радиусы, то отрезки С1А1, С1В1, СО и СЕ равны между собой. А также у нас по построению В1А1=ОЕ.

Следовательно, треугольники А1В1С1 и ОСЕ равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому ∠А1В1С1=∠ОСЕ. То есть построенный ∠МСЕ равен углу с вершиной в точке С1.

Построив ∠С=∠С1, отложим на одной стороне угла отрезок СА=b, а на другой — СВ=а. Затем соединим точки А и В и получим треугольник АВС, который и является искомым.

  • Действительно верно, так как по построению сторона СВ=а, сторона СА=b, а ∠С=∠С1.
  • Решение этой задачи всегда существует и является единственным, так как все построенные треугольники будут равны по первому признаку равенства треугольников.
  • Пример.
  • Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
  • Пусть даны отрезок а и углы В1 и С1.

Отложим на произвольной прямой отрезок ВС=а и построим угол равный углу В1 с вершиной в точке В и угол равный углу С1 с вершиной в точке С. Точку пересечения лучей этих углов обозначим буквой А. В результате получим:

  1. Получили треугольник АВС, который и является искомым.
  2. Решение данной задачи существует только, если выполняется условие:
  3. И если решение существует, то оно единственное, так как все построенные треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Читайте также:  Пергам, Понт и Северное Причерноморье в эпоху Эллинизма: исторические сведения

Источник: https://videouroki.net/video/26-postroieniie-trieughol-nika-po-triom-eliemientam.html

Построение треугольника по трем элементам — презентация, доклад, проект

Слайд 1Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталСлайд 2Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал Слайд 3Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Давай- те вспомним Задача 1 : на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Решение. Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч ОС и отрезок АВ. Затем циркулем построим окружность радиуса АВ с центром О . Эта окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D. С С Отрезок OD – искомый.

Слайд 4Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Задача 2: отложить от данного луча угол, равный данному. Решение. Изобразим фигуры, данные в условии: угол с вершиной А и луч ОМ. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С.

Слайд 5Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность с центром D, радиус, которой равен ВС. Окружности пересекаются в двух точках. Одну обозначим буквой Е. Получим угол МОЕ

Слайд 6Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение: Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Решение: Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить. Даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 угол hк . Р1 Q1 Р2 Q2 h к

Слайд 7Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р1Q1 и Р2Q2, а угол А между этими сторонами равен данному углу hк.

Слайд 8Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1 Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hк. (как это сделать, мы знаем). На луче АМ отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2, и проведем отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый. В самом деле, по построению АВ= Р1Q1, АС= Р2Q2, А=hк.

Слайд 9Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталСлайд 10Построение треугольника по трем элементам - Студенческий порталОписание слайда:

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках Р1Q1, Р2Q2 и данном неразвернутом угле hк искомый треугольник построить можно.

Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Слайд 11Описание слайда:

Задача 2 Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Р1 Q1 h m к п

Слайд 12Описание слайда:

C a A B как выполнялось построение? всегда ли задача имеет решение?

Слайд 13Описание слайда:

Задача 3 Построить треугольник по трем его сторонам. Решение. Пусть даны отрезки Р1Q1, Р2Q2 и Р3Q3. Требуется построить треугольник АВС, в котором АВ = Р1Q1, AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 . Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку Р1Q1 . Затем построим две окружности: одну — с центром А и радиусом Р2Q2.,

Слайд 14Описание слайда:

а другую — с центром В и радиусом Р3Q3 . Пусть точка С — одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС. Р1 Q1 Р2 Q2 Р3 Q3

Слайд 15Описание слайда:

C A B а Построение треугольника по трем сторонам.

Слайд 16Описание слайда:

В самом деле, по построению АВ = Р1Q1, AC= Р2Q2, BC= Р3Q3 , т.е. стороны треугольника АВС равны данным отрезкам. Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Слайд 17Описание слайда:

Итог урока. Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Она состоит из частей: 1. Отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи.

Анализ дает возможность составить план решения задачи на построение. 2. Выполнение построения по намеченному плану. 3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4. Исследование задачи, т.е.

выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

Слайд 18Описание слайда:

№286 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла. Решение.

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС, равна данному отрезку P1Q1, угол А равен данному углу hк, а биссектриса АD этого треугольника равна данному отрезку P2Q2.

Даны отрезки P1 Q1 и P2Q2 и угол hк (рисунок а). P1 Q1 P2 Q2 h рисунок а к

Слайд 19Описание слайда:

Построение (рисунок б). Построение (рисунок б). 1) Построим угол ХАУ, равный данному углу hк. 2)На луче АУ отложим отрезок АС, равный данному отрезку P1Q1. 3)Построим биссектрису АF угла ХАУ.

4) На луче АF отложим отрезок АD, равный данному отрезку Р2Q2 5) Искомая вершина В — точка пересечения луча АХ с прямой СD.

Построенный треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи: АС=Р1Q1, А = hк, АD = Р2Q2 , где АD — биссектриса треугольника АВС.

Слайд 20Описание слайда:

рисунок б р

Слайд 21Описание слайда:

Домашнее задание. Вопросы: 18,20 стр. 88. № 283, 287.

Слайд 22

Источник: https://myslide.ru/presentation/skachat-postroenie-treugolnika-po-trem-elementam

Как нарисовать треугольник по трем точкам

Skip to content

  • Пусть даны три отрезка.
  • Нужно построить треугольник из данных отрезков.
  • Прежде, чем строить треугольник, нужно проверить, что длины данных отрезков удовлетворяют условию неравенства треугольника.
  • Если это так, то значит из них можно построить треугольник.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построить треугольник по трем сторонам

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 1

На прямой a отложим отрезок, равный длине отрезка b. Обозначим его АС.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 2

С помощью циркуля проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным длине отрезка a.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 3

С помощью циркуля проведем окружность с центром в точке С и радиусом, равным длине отрезка c.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 4

Окружности пересекаются в двух точках. Выберем любую из точек пересечения и обозначим ее буквой В.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 5

Соединим точку А с точкой В. Отрезок АВ будет равен длине отрезка a, так как по построению радиус окружности равен a.

Соединим точку С с точкой В. Отрезок ВС будет равен длине отрезка c, так как по построению радиус окружности равен c.

Таким образом, мы построили треугольник, стороны которого равны длинам заданных отрезков a, b, c.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построение треугольника по трем сторонам. Шаг 6

MATHVOX

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-1/kak-narisovat-treugolnik-po-trem-storonam/

Видеоурок «Построение треугольника по трем элементам»

Содержание:

§ 1  Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Построение геометрической фигуры — одна из интересных задач в геометрии. Получить необходимую фигуру только при помощи циркуля и линейки без делений не просто.

Фигура треугольник часто используется в решении задач, но как его правильно построить?

Пусть необходимо построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Во-первых, что такое две стороны – это два произвольных отрезка, например, P1Q1 и P2Q2, а также произвольный угол альфа. Все эти элементы уже построены, другими словами, эти элементы – дано задачи.

Во-вторых, необходимо определить последовательность построения: сначала необходимо построить одну сторону треугольника, затем угол и потом вторую сторону треугольника.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Итак, перед нами белый лист, проведем прямую а и отметим на ней точку А, затем возьмем циркуль и отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Далее выберем произвольный раствор циркуля и проведем одну окружность с центром в вершине угла альфа и другую с центром в точке А.

Первая окружность пересечет лучи угла альфа в точках Р и К, а вторая окружность пересечет прямую а в точке М. Проведем отрезок РК. Затем возьмем раствор циркуля, равный отрезку РК, и построим окружность с центром в точке М. Окружность с центром в точке М пересечет окружность с центром в точке А, пусть эта точка будет М1. Проведем луч АМ1.

Затем на луче АМ1 отложим отрезок АС, равный отрезку Р2Q2. Соединим точки В и С отрезком. Полученный треугольник АВС – искомый.

Теперь докажем, что полученный треугольник АВС искомый. На самом деле отрезок АВ равен отрезку P1Q1 и отрезок АС равен отрезку P2Q2 по построению. Угол альфа также по построению равен углу САВ.

При данном ходе построения для любых данных отрезков P1Q1 и P2Q2 и неразвернутом угле альфа искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

Читайте также:  Аксиологический подход в педагогике - студенческий портал

Все эти треугольники равны друг другу по первому признаку равенства треугольников, поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

§ 2  Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Теперь рассмотрим задачу построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Итак, нам дан отрезок PQ и два угла альфа и бета. Проведем прямую а и отметим на ней произвольную точку А. Отложим от точки А отрезок АВ, равный отрезку PQ. Затем построим угол М1АВ с вершиной в точке А, равный углу альфа, и угол М2ВА с вершиной в точке В, равный углу бета. Точка пересечения лучей АМ1 и ВМ2 будет точка С. Треугольник АВС искомый.

Докажем это: отрезок АВ равен отрезку PQ по построению, также по построению угол САВ равен углу альфа, а угол СВА равен углу бета.

Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому при данном ходе построения искомый треугольник АВС возможно построить только, если сумма углов альфа и бета будет меньше 180 градусов. Если же сумма данных углов будет больше или равна 180 градусом, треугольник построить невозможно.

В этой задаче, как и в предыдущей, прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, а значит, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу по второму признаку равенства треугольников, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

§ 3  Построение треугольника по трем сторонам Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Построить треугольник по трем сторонам является третьей задачей построения треугольника.

Пусть нам даны три отрезка P1Q1, P2Q2 и P3Q3. необходимо построить треугольник АВС, в котором АВ равно P1Q1, ВС равно P2Q2 и СА равно P3Q3.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P1Q1. Затем построим две окружности: одну – с центром в точке А и радиусом P3Q3, а другую – с центром в точке В и радиусом P2Q2.

Пусть точка С – одна из точек пересечения этих окружностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим искомый треугольник АВС.

В самом деле, по построению АВ равно P1Q1, BC равно P2Q2 и СА равно P3Q3, то есть стороны треугольника равны данным отрезкам.

Рассмотренная задача не всегда имеет решение в силу действия неравенства треугольника, то есть в любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому, если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Список использованной литературы:

  1. Атанасян Л.С. Учебник: Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2013. –383 с.
  2. Геометрия. Ч.I. Планиметрия: учебное пособие/ И.Б. Барский, Г.Н. Тимофеев. – Йошкар-Ола: изд-во Марийского гос. ун-та, 2006 и 2008. – 636с

Источник: https://znaika.ru/catalog/7-klass/geometry/Postroenie-treugolnika-po-trem-elementam

Урок "Построение треугольника по трём элементам"

Бесплатно Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Видеоурок «Построение треугольника по трем элементам» содержит примеры решения трех задач  на построение треугольника по трем заданным его элементам. Данная тема имеет важное практическое значение. Сформированное умение производить корректные построения треугольников является важной основой для дальнейшего освоения умений и навыков геометрических построений, решения задач. Поэтому задача данного видеоурока – сформировать представление о корректном решении практических задач на построение треугольника по трем элементам. Видеоматериал может сопровождать объяснение учителя по теме, служа для подачи примеров, которые параллельно закрепляются соответствующими аналогичными построениями в тетради. Также материал может быть использован вместо объяснения учителя в качестве самостоятельной части урока.

Решить задачи урока учителю помогают инструменты видеоматериала, облегчающие понимание и запоминание его. Высокая наглядность объяснения достигается при помощи анимационных эффектов, возможности выделения цветом понятий и деталей построения. «Живая» подача материала позволяет удержать внимание учеников на изучаемом предмете, углубляет понимание процессов при решении геометрических задач.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

После представления темы видеоурока, демонстрация начинается с формулировки условия первой задачи. Предлагается построить треугольник по заданным двум сторонам его и углу, образованным ними. Формируя навыки решения геометрических задач, напоминается необходимость разбора задачи на условие и вопрос.

Уточняется, то в данной задаче заданы величины некоторых двух сторон треугольника и величина угла, которые они образуют. На экране изображены отрезки, которые составят стороны треугольника – для первой стороны P1 Q1 и отрезок для построения второй стороны P2 Q2, а также угол ∠hk. Предлагается решить данную задачу на построение при помощи циркуля и обычной линейки без делений.

В результате построения должен получиться треугольник ΔABC, в котором AB=P1 Q1, AC=P2 Q2, а величина угла ∠A между ними равна заданному углу ∠hk. Построение начинается с откладывания на прямой a отрезка AB=P1 Q1, при помощи циркуля. Затем из точки A строится луч AM, который образует с прямой a угол, равный ∠hk. Далее на данном луче откладывается отрезок AC=P2 Q2.

Концы полученных отрезков AB и AC соединяем отрезком BC. Таким образом, искомый треугольник с заданными сторонами и углом, построен. Отмечается, что всех заданные условия выполнены по построению. Такая задача выполнима. Так как при построении имеется возможность выбирать произвольно прямую и точку для начала построения, то таких треугольников будет бесконечно много.

Все такие треугольники будут равными между собой по первому признаку равенства. Сообщается, что в связи с этим считается, что данная задача имеет единственное решение.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Далее в ходе видеоурока предлагается решить вторую задачу на построение. Необходимо построить треугольник с заданными стороной и двумя прилежащими к ней углами. На экране продемонстрированы условия данного задания – имеющиеся отрезок MN, углы ∠α и ∠β.

Необходимо построить треугольник ΔABC, сторона которого AB равна имеющемуся отрезку, а величина прилежащих углов ∠A и ∠B равна величинам имеющихся углов ∠α и ∠β. Построение начинается с откладывания циркулем на прямой a стороны AB, равной отрезку MN.

Из точки A откладывается угол, который равен имеющемуся углу ∠α. Из точки B откладывается угол, равный ∠β. Построенная таким образом точка пересечения построенных лучей, которые являются частью отмеренных углов, есть третья вершина ΔABC.

Построенный треугольник является искомой геометрической фигурой. На рисунке демонстрируется соответствие условий задачи сделанному построению.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

В последней части видеоурока предлагается построить треугольник по заданным трем сторонам. Для построения треугольника задаются три отрезка, отображающиеся на экране – первый P1 Q1, второй P2 Q2 и третий P3 Q3.

Необходимо построить треугольник ΔABC, в котором стороны будут равны длинам заданных отрезков: AB=P1 Q1, CA=P2 Q2, сторона BC=P3 Q3. Построение начинается с откладывания отрезка AB на некоторой прямой a. Его длина откладывается равной длине P1 Q1. Для построения следующих сторон проводятся окружности в точках A и B.

Радиус первой окружности равен длине P2 Q2, длина P3 Q3 определяет радиус второй окружности. После построения окружностей получается две точки их пересечения. Отмечаем одну из точек как C – последнюю оставшуюся недостроенной вершину треугольника ΔABC. Соединив построенную вершину C сточками A и B, получили решение задачи.

Отмечается, что все стороны треугольника соответствуют условию задачи и равны соответственно заданным вначале отрезкам. При этом отмечается особенность данной задачи – она не всегда может иметь решение. Ученикам напоминается, что из изученной ранее теоремы известно, что любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух его других сторон.

Поэтому для случаев, когда длина одного заданного отрезка равна сумме двух оставшихся или больше ее, то задача не имеет решения — условие неравенства треугольника не выполняется.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Видеоурок «Построение треугольника по трем элементам» может быть использован учителем на уроке геометрии в школе. Также материал поможет сформировать навыки решения рассматриваемых задач на построение при самостоятельном изучении материала, может быть рекомендован для дистанционного обучения.

Источник: https://urokimatematiki.ru/urok-postroenie-treugolnika-po-tryom-elementam-523.html

Построение треугольника по трем его сторонам

  • Задача:
  • Построить треугольник по трем его сторонам.
  • Дано: отрезки МК, ОЕ, FG.
  • Построить АВС так, что АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ.
  • Решение:

С помощью линейки проводим прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой ставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой обозначаем В.

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок ОЕ и строим окружность с центром в точке А радиуса ОЕ (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом).

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Далее, с помощью циркуля измеряем отрезок FG и строим окружность с центром в точке B радиуса FG (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное зеленым цветом).

Построение треугольника по трем элементам - Студенческий портал

Точку пересечения окружностей с центрами в точках А и В радиусами ОЕ и FG соответственно обозначаем С. Соединяем с помощью линейки точки А и В с точкой С.

Получаем треугольник АВС, в котором по построению АВ = МК, ВС = FG, АС = ОЕ, следовательно, АВС искомый.

Читайте также:  Аудиторские стандарты, их виды и назначение - студенческий портал

Данная задача не всегда имеет решение.

Так как для каждого треугольника должно выполняться неравенство треугольника, которое говорит о том, что во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Если же какой-нибудь из данных отрезков будет больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Теорема о сумме углов треугольника
  2. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
  3. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
  4. Неравенство треугольника
  5. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  6. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  7. Уголковый отражатель
  8. Расстояние от точки до прямой
  9. Расстояние между параллельными прямыми
  10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  11. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
  12. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 291, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 292, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 313*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 315, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 627, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 630, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1300, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3448

Презентация к уроку по геометрии (7 класс) на тему: построение треугольника по трем элементам | Социальная сеть работников образования

Слайд 1

1. Доказать, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к этой прямой. 2. Доказать, что все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. 3. Решить задачу № 274.

Слайд 2

3.Укажите наклонные, проведенные из точки А к прямой BD . 4. Что называется расстоянием от точки до прямой? 5. Что называется расстоянием между двумя параллельными прямыми? 1. Укажите отрезок, который является перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой BD . 2. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой.

Слайд 3

Найти расстояние от точки А до прямой а. Дано: КА = 7 см. Найти: расстояние от точки А до прямой а. Рис. 4.192.

Слайд 4

1. Объяснить, как отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному. 2. Объяснить, как отложить от данного луча угол, равный данному. 3. Объяснить, как построить биссектрису данного угла. 4.

Объяснить, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. 5. Объяснить, как построить середину данного отрезка.

Построение треугольника по трём элементам.

Слайд 5

1 ряд. Дано: Рис. 4.193. Построить : АВС такой, что АВ = PQ, A= М, В = N, с помощью циркуля и линейки без делений. 2 ряд. Дано: Рис. 4.194. Построить: АВС такой, что АВ = MN, AC= RS, A= Q, с помощью циркуля и линейки без делений. 3 ряд. Дано: Рис. 4.195. Построить: АВС такой, что АВ = MN, ВС = PQ, AC= RS, с помощью циркуля и линейки без делений.

Слайд 6

D С Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. hk h Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному. Отложим отрезок АС, равный P 2 Q 2 . В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезки Р 1 Q 1 и Р 2 Q 2 , Q 1 P 1 P 2 Q 2 а k Док-во : По построению AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 , A= hk . Построить . Построение.

Слайд 7

При любых данных отрезках AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 и данном неразвернутом hk искомый треугольник построить можно.

Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.

Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Слайд 8

D С Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам . h 1 k 1 , h 2 k 2 h 2 Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим угол, равный данному h 1 k 1 . Построим угол, равный h 2 k 2 . В А Δ АВС искомый. Дано: Отрезок Р 1 Q 1 Q 1 P 1 а k 2 h 1 k 1 N Док-во : По построению AB=P 1 Q 1 , В = h 1 k 1 , А= h 2 k 2 . Построить Δ . Построение.

Слайд 9

С Построим луч а . Отложим отрезок АВ, равный P 1 Q 1 . Построим дугу с центром в т. А и радиусом Р 2 Q 2 . Построим дугу с центром в т.В и радиусом P 3 Q 3 . В А Δ АВС искомый .

Дано: Отрезки Р 1 Q 1 , Р 2 Q 2 , P 3 Q 3 . Q 1 P 1 P 3 Q 2 а P 2 Q 3 Построение треугольника по трем сторонам. Док-во : По построению AB=P 1 Q 1 , AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3 , т. е.

стороны Δ ABC равны данным отрезкам. Построить Δ . Построение.

Слайд 10

Задача не всегда имеет решение. Во всяком треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны, поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равнялись бы данным отрезкам.

  • Слайд 11
  • Задача № 286, 288.
  • Слайд 12

Домашнее задание: § 23, 37 — повторить, § 38!!! Вопросы 19, 20 с. 90. Решить задачи № 273, 276, 287, Разобрать задачу № 284.

Источник: https://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/12/04/postroenie-treugolnika-po-trem-elementam

Построение треугольника по трем элементам

 Наименование параметра  Значение
Тема статьи: Построение треугольника по трем элементам
Рубрика (тематическая категория) Технические дисциплины
Articles-ads

В геометрии весьма распространены так называемые задачи на построение. Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему выполнения таких задач:

  1. Анализ задачи.

  2. Построение.

    Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.

  3. Доказательство.

  4. Исследование.

    Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.

Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок, угол и т.д. К ϶тому моменту эти навыки у у Вас должны иметься.

Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними

Пример 1

Анализ.

Составим план построения:

  1. Проведем прямую a и построим на ней отрезок AB .
  2. Принимая AB за одну ᴎɜ сторон угла, отложим от нее угол BAM , равный углу α .
  3. На прямой AM отложим отрезок AC .
  4. Соединим точки B и C .

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).

  • Доказательство.
  • Из построения видно, что всœе начальные условия выполнены.
  • Исследование.

Так как сумма углов треугольника равняется 180^circ . Значит, если угол α будет больше или равен 180^circ , то задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Следует отметить, что так как прямая a — произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как всœе равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение задачи единственно.

Построение треугольника по трем сторонам

Пример 2

Анализ.

Пусть даны отрезки AB и AC и BC . Нам нужно построить треугольник ABC .

Составим план построения:

  1. Проведем прямую a и построим на ней отрезок AB .
  2. Построим 2 окружности: первую с центром A и радиусом AC , и вторую с центром B и радиусом BC .
  3. Соединим одну ᴎɜ точек пересечения окружностей (которая будет точкой C ) с точками A и B .

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).

  1. Доказательство.
  2. Из построения видно, что всœе начальные условия выполнены.
  3. Исследование.

Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Отсюда следует, что, когда такое неравенство не выполняется исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.

Так как окружности ᴎɜ построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение задачи единственно.

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пример 3

Постройте треугольник, если дана одна стороны и углы α и β , прилегающие к ней.

Анализ.

Пусть дан отрезок BC и углы α и β . Нам нужно построить треугольник ABC , где ∠B=α , а ∠C=β .

Составим план построения:

  1. Проведем прямую a и построим на ней отрезок BC .
  2. Построим в вершине B к стороне BC угол ∠ K=α .
  3. Построим в вершине C к стороне BC угол ∠ M=β .
  4. Соединим точку пересечения (϶то и будет точка A ) лучей ∠ K и ∠ M с точками C и B ,

Построение.

Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).

  • Доказательство.
  • Из построения видно, что всœе начальные условия выполнены.
  • Исследование.
  • Так как сумма углов треугольника равняется 180^circ , то, если α+β≥180^circ задача решений иметь не будет.

В другом случае решение есть. Следует отметить, что так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение задачи единственно.

Построение треугольника по трем элементам — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Построение треугольника по трем элементам»2018-2019.

  • — Построение треугольника по трем элементам

    Задачи на построениеВ геометрии довольно распространены так называемые задачи на построение. Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку…. [читать далее].

  • Источник: http://referatwork.ru/info-lections-55/tech/view/519_postroenie_treugol_nika_po_trem_elementam

    Ссылка на основную публикацию