Решение квадратных уравнений. теорема виета — студенческий портал

• Вопросы занятия:
• ·  повторить такое понятие как «приведённое квадратное уравнение»;
• ·  повторить формулы для вычисление корней квадратного уравнения, теорему Виета, обратную теорему;
• ·  рассмотреть применение теоремы Виета для решения задач разного уровня сложности.
• Материал урока
• Мы говорили, что квадратные уравнения имеют вид:

Но, если коэффициент a = 1, то такие квадратные уравнения носят специальное название – приведённое квадратное уравнение.

В принципе любое квадратное уравнение можно сделать приведённым.

Например,

Для нахождения корней приведённого квадратного уравнения часто используют теорему Виета. Но надо помнить, что сначала надо удостовериться, что уравнение имеет корни, а для этого обязательно надо определить знак дискриминанта, сам дискриминант находить не надо.

Давайте вспомним эту теорему.

Теорема Виета.

Сразу давайте вспомним и обратную теорему.

Обратная теорема.

Использовать эту теорему для решения квадратных уравнений несложно. Достаточно подобрать такую пару целых чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

1. Важно помнить, что теорема Виета применяется только для приведённых квадратных уравнений.
2. Теперь давайте рассмотрим применение теоремы Виета на конкретных примерах.
3. Пример.

Пример.

Пример.

Для квадратного уравнения общего вида теорему Виета можно записать так.

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида:

• Но как правило, с помощью теоремы Виета решают те уравнения, у которых при делении на коэффициент а коэффициенты остаются целыми числами.
• Рассмотрим такое задание.
• Задача.
• Рассмотрим ещё такую задачу.
• Задача.
• Давайте рассмотрим такой пример.
• Пример.
• Рассмотрим такое задание.
• Задание.
• Итоги урока
• Сегодня мы повторили такое понятие как приведённое квадратное уравнение, формула для вычисления корней приведённого квадратного уравнения, вспомнили теорему Виета, обратную теорему и рассмотрели применение теоремы Виеты для решения задач разного уровня сложности.

Источник: https://videouroki.net/video/20-tieoriema-viieta.html

Теорема Виета. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Французский математик Франсуа Виет, изучая квадратные уравнения, обнаружил изящную связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Теорема Виета – цель нашего урока.

Вспомним.

Уравнение можно почленно разделить на :

Цель – получить приведенное квадратное уравнение:

• Вспомним формулу корней квадратного уравнения:
• ;
• Теорему Виета сформулируем для приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета утверждает, что квадратное уравнение и система одновременно разрешимы или неразрешимы.

Корни уравнения дают все решения системы . И наоборот, все решения системы дают корни уравнения.

Система симметрическая относительно  и , т. е. если пара  является решением, то пара  тоже является решением. Потому что система не изменится, если в системе  и  мы поменяем местами, а значит, в формулировке теоремы мы можем заменить пару  на пару .

Докажем теорему Виета.

1. Доказать: .
2. Доказательство
3. Итак, мы знаем формулу корней квадратного уравнения:
4. ,
5. Сложим их:

• Первое равенство системы доказано.
• Если  и  удовлетворяют уравнению, то их сумма равняется .
• Перемножим  и :

1. Числитель мы сократили по формуле разности квадратов.
2. Вспомним, что такое дискриминант.
3. Подставим:

Что и требовалось доказать.

Итак, первая часть теоремы Виета доказана. Если  и  – корни квадратного приведенного уравнения, то они удовлетворяют системе .

Продолжим доказательство.

Дано:  – решение системы .

Доказательство

Мы имеем:

Итак, мы доказали, что если выполняются требования системы, то  – корень квадратного уравнения, но так как наша система симметрична, то можно  заменить на  и наоборот. Значит: , т. е.  тоже корень уравнения .

Итак, в обратную сторону теорема доказана.

А именно, доказано, что если числа  и  образуют пару, которая удовлетворяет системе , то эти числа являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения доказана полностью.

• Вспомним, что , .
• Числа ,  являются корнями уравнения  тогда и только тогда, когда пара  является решением системы:
• Рассмотрим эти соотношения.

Нарисуем оси координат. Предположим, что , т. е. ветви параболы направлены вверх. Предположим, что дискриминант , имеются два корня,  и , и есть ось симметрии у параболы. Вспомним, что  или  (если есть корни). В терминах , это записывается так:

То есть первое уравнение  отражает симметрию параболы относительно прямой  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Симметрия параболы

1. Что показывает второе уравнение ?
2. Оно показывает, каковы знаки у корней.
3. Если , то корни одного знака.
4. Если , то корни разных знаков.

Мы доказали теорему Виета. Но чем же она хороша?

• Во-первых, она иногда позволяет относительно просто решить само уравнение.
• Решите уравнение .
• Решение
• Это уравнение можно решить через дискриминант, но это довольно утомительно.

Подметим особенность этого уравнения. Если  мы опустим, то получим .

1. Значит,  – это очевидный корень уравнения.
2. Но если мы знаем один корень, то легко найдем и второй корень.
3. Но так как первый корень нам уже известен, то:
4. Ответ: , .
5. Итак, мы нашли корни уравнения по теореме Виета.
6. Давайте посмотрим, что нам надо было бы сделать, если бы мы захотели решить эту задачу через дискриминант:
7. Разница в удобстве решения очевидна.
8. Рассмотрим еще один пример.
9. Решите уравнение .
10. Решение
11. Это задание можно решить двумя способами.
12. 1 способ (через дискриминант):
13. , ;
14. 2 способ (теорема Виета):
15. Тут очень просто подобрать корни:
16. , ;
17. Ответ: , .
18. Здесь теорема Виета дала способ подбора корней.
19. Рассмотрим еще один пример.
20. Определите число корней и знаки корней уравнения .
21. Решение
22. Для того чтобы решить эту задачу, нам даже не нужно решать само уравнение.
23. Чтобы узнать, сколько корней в уравнении, найдем дискриминант.
24.  – значит, имеем два корня: .
25. Первую часть задачи мы решили.
26. Для определения знаков корней привлекаем теорему Виета:
27.  – произведение корней – отрицательное число, соответственно, корни уравнения разных знаков.
28. Итак, теорема Виета дала нам возможость определить знаки корней уравнения.
29. Ответ: 2 корня разных знаков.

Итак, мы доказали и обсудили важную теорему – теорему Виета. Привели задачи на ее применение.

Список литературы

1. Баш­ма­ков М.И. Ал­геб­ра 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2004.
2. До­ро­фе­ев Г.В., Су­во­ро­ва С.Б., Бу­ни­мо­вич Е.А. и др. Ал­геб­ра 8. 5-е изд. – М.: Про­све­ще­ние, 2010.
3. Ни­коль­ский С.М., По­та­пов М.А., Ре­шет­ни­ков Н.Н., Шев­кин А.В. Ал­геб­ра 8 класс. Учеб­ник для об­ще­об­ра­зо­ва­тель­ных учре­жде­ний. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Дано квадратное уравнение  укажите сумму и произведение корней.
2. Корнями квадратного уравнения  являются -13 и 2.Чему равны коэффициенты  и ?
3. Решите уравнение .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/teorema-vieta-2?book_id=5

Урок 30. решение приведённых квадратных уравнений. теорема виета — Алгебра — 8 класс — Российская электронная школа

Конспект

Квадратное уравнение x2 – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x1 = 2; x2 = 4.
x1 • x2 = 8 – равно свободному члену;
x1 + x2 = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x2 + px + q = 0.

D = p2 – 4q.
Пусть D > 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:
и .

• Таким образом, если x1 и x2 – корни приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0, то
  x1 + x2 = –p;
  x1 • x2 = q.
• Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.
• Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x2 + 9x + 7 = 0.

D = b2 – 4ac = 92 – 4 • 2 • 7 = 25 > 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x2 + px + q = 0.

Запишем уравнение x2 + px + q = 0 в виде x2 – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:
y2 – (y + z)y + y • z = 0.

1. Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.
2. Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.
3. С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Уравнение x2 – 5x + 6 = 0 имеет два корня x1 = 2; x2 = 3. Покажем, что корни найдены верно:
x1 + x2 = 5;
x1 • x2 = 6.

• Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.
• С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.
• x2 + 13x + 40 = 0
  D = 132 – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 > 0, значит, уравнение имеет два корня.
• Подберём такие x1 и x2, чтобы
  
• Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x1 = –5; x2 = –8.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Источник: https://resh.edu.ru/subject/lesson/1552/main/

Теорема Виета

• Обратная теорема
• Решение примеров

• Теорема:
• Сумма корней приведённого квадратного уравнения
• x2 + px + q = 0
• равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
• x1 + x2 = -p,   x1 · x2 = q
• Доказательство:
• Если приведённое квадратное уравнение имеет вид
• x2 + px + q = 0
• то его корни равны:

где D = p2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

а теперь найдём их произведение:

1. Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:
2. x1 + x2 = -p
3. x1 · x2 = q
4. называются формулами Виета.

Теорема Виета применима к квадратным уравнениям только в том случае, если оно имеет два корня, поэтому, если дискриминант равен нулю, то принято считать, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня. Таким образом, теорема Виета становится верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

• Теорема:
• Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:
• x2 + px + q = 0
• Доказательство:
• Пусть дано x1 + x2 = -p,   значит,   x2 = -p — x1. Подставим это выражение в равенство   x1 · x2 = q, получим:
• x1(-p — x1) = q
• -px1 — x12 = q
• x12 + px1 + q = 0

Это доказывает, что число x1 является корнем уравнения   x2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x2 является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

1. Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.
2. Пример 1. Найти корни уравнения:
3. x2 — 3x + 2 = 0
4. Решение: так как
5. x1 + x2 = -(-3) = 3
6. x1 · x2 = 2
7. очевидно, что корни равны 1 и 2:
8. 1 + 2 = 3
9. 1 · 2 = 2
10. Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:
11. 12 — 3 · 1 + 2 = 0
12. и
13. 22 — 3 · 2 + 2 = 0
14. Ответ: 1, 2.
15. Пример 2. Найти корни уравнения:
16. x2 + 8x + 15 = 0
17. Решение:
18. x1 + x2 = -8
19. x1 · x2 = 15
20. Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:
21. -3 + -5 = -8
22. -3 · -5 = 15
23. Ответ: -3, -5.
24. С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.
25. Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:
26. x1 = -3, x2 = 6.
27. Решение: так как x1 = -3, x2 = 6 корни уравнения x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:
28. p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3
29. q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18
30. Следовательно, искомое уравнение:
31. x2 — 3x — 18 = 0
32. Ответ: x2 — 3x — 18 = 0.
33. Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:
34. x1 = 2, x2 = 3.
35. Решение:
36. p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5
37. q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6
38. Ответ: x2 — 5x + 6 = 0.

Источник: https://naobumium.info/algebra/teorema_vieta.php

Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

• По формулам корней квадратного уравнения:
• , .
• 1. Найдём сумму корней:
• .
• Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:
• = .
• Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:
• = = .
• Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:
• = = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:
• .
• Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.
• 2. Найдём произведение корней:
• =
• = = = = = .
• Докажем это уравнение:
• .
• Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:
• .

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

1. .
2. Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:
3. = .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

• = .
• Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:
• .

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

1. Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:
2. Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:
3. ;
4. .
5. Шаг 3. Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Пример 1

• Задание
• Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.
• Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

. Получается:

. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

1. Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
2. .
3. Ответ
4. 7; 12; 25.

Пример 2

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

и

Пример 3

• Задание
• Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:
• Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Пример 4

1. Задание
2. Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:
3. Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

• Сумма корней нового уравнения будет равна:
• , а произведение .
• По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:
• Ответ
• Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше: 

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
2. Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
3. Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/teorema-vieta-formuly-i-primery-s-resheniem/

Тест по математике на тему: Квадратное уравнение. Теорема Виета

Тест на тему: Квадратное уравнение. Теорема Виета.

• Составил: Небосова Ирина Викторовна
• учитель математики МБОУ «СОШ №13»
• г. Владимир
• 2019 год

Тест на тему: Квадратное уравнение. Теорема Виета.

Тест по математике «Квадратное уравнение. Теорема Виета» предназначен для учащихся 8-9 классов общеобразовательных школ. Он может быть использован как для контроля знаний по теме в 8 классе, так и при подготовке к ОГЭ в 9 классе.

Тест составлен в 4-х вариантах. Вариант 1 и Вариант 2 содержат задания низкого уровня сложности. Вариант 3 и Вариант 4 содержат задания повышенного уровня сложности. Каждое задание имеет 4 варианта ответа, из которых только один правильный.

Правильные Ответы:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
В1	г	в	в	а	а	в	г	а	г	в
В2	в	а	г	а	в	б	б	б	в	в
В3	в	в	г	б	б	а	б	а	б	б
В4	в	г	б	а	в	а	а	а	г	в

Вариант 1

В уравнении укажите его коэффициенты:

а) a=2, b=3, c=5	в) a=3, b=2, c=5
б) a=2, b=3, c=-5	г) a=3, b=2, c=-5

1. Укажите номера неполных квадратных уравнений:
2. 1) ; 3) ;
3. 2) ; 4).

а) 1; 2; 3	в) 1; 2
б) 1; 4	г) 2; 3; 4

Решите уравнение: .

а) 3; 4	в) 0;
б) -4; 0	г) ; 0

Решите квадратное уравнение:

а) 1; 2	в) 1; -2
б) -1; 2	г) -1; -2

Сколько корней имеет квадратное уравнение:

а) 2 корня	в) нет корней
б) 1 корень	г) x — любое число

Чему равна сумма корней квадратного уравнения:

а) 179	в) 6
б) -179	г) -6

Чему равно произведение корней квадратного уравнения:

а) 6	в) 179
б) -6	г) -179

Составьте квадратное уравнение с корнями 2 и -3

а)	в)
б)	г)

Решите уравнение:

а) 0; 1	в) 1; 2
б) 0; -1	г) 0; 2

10) Решите уравнение:

а) 0;	в)
б)	г) нет корней

Вариант 2

В уравнении укажите его коэффициенты:

а) a=-4, b=1, c=3	в) a=1, b=-4, c=-3
б) a=1, b=-4, c=3	г) a=4, b=1, c=3

• Укажите номера неполных квадратных уравнений:
• 1) ; 3) ;
• 2) ; 4).

а) 1; 2	в) 3; 4
б) 1; 3	г) 1; 2; 3

Решите уравнение: 3.

а) 3; -12	в) 2
б) 3; 12	г) 2; -2

Решите квадратное уравнение:

а) -1; -6	в) 1; 6
б) 1; -6	г) -1; 6

Сколько корней имеет квадратное уравнение:

а) нет корней	в) 2 корня
б) 1 корень	г) x — любое число

Чему равна сумма корней квадратного уравнения:

а) -50	в) -16
б) 16	г) -34

Чему равно произведение корней квадратного уравнения:

а) 16	в) 34
б) -34	г) -16

Составьте квадратное уравнение с корнями -2 и 3

а)	в)
б)	г)

Решите уравнение:

а) -2; 0	в) -4; 0
б) 2; -2	г) 0; 4

10) Решите уравнение:

а) ;	в)
б)	г) нет корней

1. Вариант 3
2. В уравнении 3
3. Какое из уравнений не имеет корней:
4. 1) ; 3) ;
5. 2) ; 4).

а) 1; 2	в) 3
б) 2; 3	г) 4

Решите уравнение: .

а)	в) 17,5
б) 0;	г) 0; 17.5

Решите квадратное уравнение:

а) -1,5 ; -4	в) 1,5 ; 4
б) ; 4	г) 1,5 ; -4

Уравнение имеет только один корень. Чему равно значение m?

а) m=2	в) m=4
б) m= -2	г) m= -4

Уравнение Имеет 2 корня: 2 и 3.

Чему равны коэффициенты b и c?

а) b= -5, c= -6	в) b= -5, c=6
б) b=5, c= -6	г) b=5, c=6

Составьте квадратное уравнение с корнями

а)	в)
б)	г)

Дано уравнение . Чему равна сумма квадратов корней уравнения.

а)	в)
б)	г)

При каких значениях m и n корнями уравнения

являются числа 1 и -3?

а) m=1, n=2	в) m= -1, n=2
б) m= -1, n= -2	г) m=1, n= -2

10) При каких значениях m уравнение не имеет корней

а)	в)
б)	г) уравнение всегда имеет корни

Вариант 4

В уравнении 5

а) 12	в) -12
б) 21	г) -21

• Какое из уравнений имеет только один корень:
• 1) ; 3) ;
• 2) ; 4).
• Решите уравнение: .

а) ; 0	в) 7,5; 0
б) -7,5; 0	г) ; 0

Решите квадратное уравнение:

а) ;	в) 0 ;
б) ;	г) ;

Уравнение имеет только один корень. Чему равно значение m?

а) m=6	в) m=6 и m= -6
б) m= -6	г) m= 0

Уравнение Имеет 2 корня: 4 и -3.

Чему равны коэффициенты b и c?

а) b= -1, c= 12	в) b= 1, c=-12
б) b= -1, c= -12	г) b=1, c=12

Составьте квадратное уравнение с корнями

а)	в)
б)	г)

Дано уравнение . Чему равна сумма квадратов корней уравнения.

а)	в)
б)	г)

При каких значениях m и n корнями уравнения являются числа -2 и 5

а) m=1, n=3	в) m= -1, n= -3
б) m=1, n= -3	г) m= -1, n= 3

10) При каких значениях m уравнение не имеет корней

а)	в)
б)	г)

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/test_po_matematike_na_temu_kvadratnoe_uravnenie_175217.html

Теорема Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Запомните!

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:

x2 + px + q = 0

• Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x2 + px + q = 0» коэффициент «а = 1».
• Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2 + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0», то становится видно, что «p = b», а «q = c».
• Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Уравнение Коэффициенты Вывод

x2 − 7x + 1 = 0	Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета.
3×2 − 1 + x = 0 Приведем уравнение к общему виду: 3×2 + x − 1 = 0	Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета.
−x2 = −3 + 2x Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 −x2 − 2x + 3 = 0	Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Запомните!

Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит что справедливо следующее:

, где «x1» и «x2» — корни этого уравнения.

1. Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить: «Коэффициент «p» — значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».
2. Рассмотрим пример.
3. x2 + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

x1 + x2 = −4

x1 · x2 = −5

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x1 = −5» и «x2 = 1». Запишем ответ.

• Ответ: x1 = −5; x2 = 1
• Рассмотрим другой пример.
• x2 + x − 6 = 0
• Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

x1 + x2 = −1

x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

Важно!

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

1. Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.
2. 2×2 − 16x − 18 = 0
3. Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2×2 − 16x − 18 = 0            | (:2) 2×2(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0 x2 − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

x1 + x2 = −(−8)

x1 · x2 = −9

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = 9» и «x2 = −1». Запишем ответ.

Ответ: x1 = 9; x2 = −1

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x1» и «x2» квадратного уравнения «x2 + px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x2 = 3×1». Найти «p», «x1», «x2».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x2 + px + 3 = 0

По условию дано, что «x2 = 3×1». Подставим это выражение в систему вместо «x2».

x1 + 3×1 = −p

x1 · 3×1 = 3

Решим полученное квадратное уравнение «x12 = 1» методом подбора и найдем «x1».

   x12 = 1

• (Первый корень) x1 = 1
• (Второй корень) x1 = −1

Мы получили два значения «x1». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x1 = 1 Найдем «x2» x1 · x2 = 3 1 · x2 = 3 x2 = 3 Найдем «p»

x1 + x2 = −p 1 + 3 = −p 4 = −p p = −4; (Второй корень) x1 = −1 Найдем «x2» x1 · x2 = 3 −1 · x2 = 3                  −x2 = 3         | ·(−1) x2 = −3 Найдем «p» x1 + x2 = −p −1 + −3 = −p −4 = −p p = 4 Ответ: (x1 = 1; x2 = 3; p = −4)     и     (x1 = −1; x2 = −3; p = 4)

• В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений, где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.
• В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

x1 + x2 =

x1 · x2 =

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3×2 + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

x1 + x2 =

x1 · x2 =

x1 + x2 = −1

x1 · x2 = −6

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.

Ответ: x1 = −3; x2 = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в которых «a = 1». Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/theorem_of_vieta/how_to_solve_equations_with_vieta.php

Теорема Виета для квадратных и других уравнений

Формулировка и доказательство теоремы Виета для квадратных уравнений. Обратная теорема Виета. Теорема Виета для кубических уравнений и уравнений произвольного порядка.

Содержание

Квадратные уравнения ⇓   Теорема Виета ⇓      Замечание по поводу кратных корней ⇓      Доказательство первое ⇓      Доказательство второе ⇓   Обратная теорема Виета ⇓      Доказательство обратной теоремы Виета ⇓   Теорема Виета для полного квадратного уравнения ⇓Теорема Виета для кубического уравнения ⇓Теорема Виета для уравнения n-й степени ⇓

Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения (1)   . Тогда сумма корней равна коэффициенту при , взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену: ; .

Замечание по поводу кратных корней

Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня: .

Доказательство первое

Доказательство второе

Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то . Раскрываем скобки. . Таким образом, уравнение (1) примет вид:

.

Сравнивая с (1) находим:

;

.

Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения , где

(2)   ;

(3)   .

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим квадратное уравнение (1)   . Нам нужно доказать, что если     и   , то и являются корнями уравнения (1).

Подставим (2) и (3) в (1): . Группируем члены левой части уравнения:

;

; (4)   .

Подставим в (4) : ; . Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Подставим в (4) : ; . Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).

Теорема доказана.

Теорема Виета для полного квадратного уравнения

Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение (5)   , где , и есть некоторые числа. Причем .

Разделим уравнение (5) на : . То есть мы получили приведенное уравнение

,

где ;   .

• Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.
• Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения . Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
• ;

.

Теорема Виета для кубического уравнения

Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение (6)   , где , , , есть некоторые числа. Причем . Разделим это уравнение на : (7)   , где , , . Пусть , , есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда .

Сравнивая с уравнением (7) находим: ; ; .

Теорема Виета для уравнения n-й степени

Тем же способом можно найти связи между корнями , , … , , для уравнения n-й степени .

Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид: ; ; ; .

Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде: . Затем приравниваем коэффициенты при , , , … , и сравниваем свободный член.

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/ratsionalnye/mnogochleny/kvadratnye-uravneniya/teorema-vieta/

Видео урок Приведенные квадратные уравнения. Теорема Виета — Мрия-Урок

Приведенное квадратное уравнение обладает одним любопытным свойством, которое иногда помогает найти его корни, или проверить правильность найденного решения. Свойство это называется теоремой Виета.

• Больше уроков на сайте  https://mriya-urok.com/
• Сегодня на уроке мы продолжим изучать квадратные уравнения и познакомимся с еще одним их видом  – приведенными квадратными уравнениями.
• Рассмотрим квадратное уравнение, записанное в общем виде :
• ax2 + bx + c = 0
• Если старший коэффициент этого уравнения равен единице —  число   a = 1, то уравнение будет иметь вид: x2 + bx + c = 0 , такое уравнение называется приведенным.

В виде приведенного можно записать любое квадратное уравнение, разделив все его коэффициенты на число a, не равное нулю. a – это старший коэффициент уравнения.

Приведенное квадратное уравнение обладает одним любопытным свойством, которое иногда помогает найти его корни, или проверить правильность найденного решения. Свойство это таково: если приведенное квадратное уравнение имеет 2 корня, то

их произведение равно третьему коэффициенту — свободному члену, а сумма  противоположна второму коэффициенту – коэффициенту линейного слагаемого.

Пример:   уравнение  x2 + 14x + 40 =0  приведенное, его корнями являются числа  10 и 4. Сумма этих корней равна 14,  то есть противоположна -14, а произведение равно 40.

Это утверждение называется Теоремой Виета (по имени французского математика Франсуа Виета, жившего в 16 веке) для квадратного уравнения.  Эта теорема открывает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

С ее помощью можно составить квадратное уравнение, имеющее заданные корни.

При помощи  теорема Виета можно  найти корни приведенного квадратного уравнения (если таковые есть).  Имея приведенное квадратное уравнение, можно, опираясь на его коэффициенты,  найти его корни.

Вот так, ориентируясь на знаки коэффициентов,  можно находить целочисленные корни, пользуясь беглым счетом.  Еще примеры – перед тобой столбик примеров
В каждом из этих примеров свободный член – положителен, и это говорит о том, что корни уравнения имеют одинаковые знаки. По знаку второго коэффициента можем определить, что сумма корней положительна, значит и сами корни положительны.

Еще один столбик  примеров:

В каждом из этих примеров свободный член – отрицателен, и это говорит о том, что корни уравнения имеют разные знаки. По знаку второго коэффициента можем определить, что   корень с большим модулем положителен.

И последняя задача на сегодня.

И, заканчивая этот урок, вспомним о том, что было изучено на прошлом, когда речь шла о неполных квадратных уравнениях.  Неполное квадратное уравнение можно сделать приведенным.

x2 + 23x =0,      x2 — 10 =0.   И для него  будет выполняться теорема Виета.  Повторим итоги прошлого урока. 2 различных корня неполное уравнение имеет в тех случаях, когда

Коэффициент с  = 0	Коэффициент   = 0
ax2 + bx  = 0	ax2 + c = 0
x2 + x  = 0	x2 +   = 0
При этом один из корней равен нулю. Соответственно, произведение корней тоже равно нулю. А это произведение равно третьему коэффициенту	При этом корни уравнения – противоположные числа, сумма которых равна нулю, а сумма корней – это «минус» второй коэффициент .

Второе условие теорема Виета будет выполнено для обоих случаев. Проверь это самостоятельно.

Итак, результаты, полученные при подробном исследовании неполных квадратных уравнений, совпадают  с условиями теоремы Виета.

Источник: https://mriya-urok.com/video/privedennye-uravneniya-teorema-vieta/