Сумма углов треугольника. теорема о сумме углов треугольника — студенческий портал

Урок-КВМ по теме «Сумма углов треугольника»

Карабетова Марет Ереджибовна, учитель математики

Цель урока:  повторить основные вопросы данного параграфа, т.е. теорему о сумме углов треугольника, признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельности прямых и секущей, внутренние односторонние и внутренние накрест лежащие углы, прямоугольный треугольник, название его сторон, формулировка признаков равенства прямоугольных треугольников.

Оборудование и материалы для урока: кодоскоп с кодограммами, цветные карточки для оценивания в личном первенстве, карточки с заданиями, таблица для выставления баллов по результатам конкурсов, компьютер, проектор, экран (интерактивная доска), интерактивная презентация для сопровождения урока.

Ход урока:

Урок начинается. Учащиеся рассаживаются за столами так чтобы, члены одной команды сидели за одним столом.Основные вопросы данного параграфа – три команды КВМ:

1 команда – Треугольник,2 команда – Параллель,3 команда – Перпендикуляр.

На груди у каждого капитана и членов команды соответствующие эмблемы:

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Мы начинаем КВМ!Для чего? Для чего?Чтоб не осталось в сторонеНикого! Никого!Пусть не решить нам всех проблемНе решить всех проблем,

  • Но станет радостнее всем, веселей, станет всем!
  • – А теперь, ребята, приветствие команд.
  • Команда «Треугольник» приветствует другие команды:
  • Хвастать милые не станем,Знаем, что мы говоримВ КВМ всех приглашаем,Гарантируем всем смех.Если все же взгрустнетсяТреугольник тут как тут,А без перпендикуляров и параллелей
  • Нам не жить.
  • Слово предоставляется команде «Параллель»:

Треугольник и Перпендикуляр,Шлет привет вам наша славная команда.Мы желаем всем вам от душиГеометрию прославить в КВМе.И тогда навернякаМатематика рукаВам подарит всемОтличные оценки.С голубого ручейкаНачинается река,Геометрия начинается

  1. С прямой и точки.
  2. А теперь слово команде «Перпендикуляр»:

Мы на КВМе, мы на КВМеВстретимся с друзьями геометрииИ сражаться честно, и болеть за всехБудем сегодня от души.Дважды два – четыре,Дважды два – четыре,А не три, а не пять,Это ясно всем.Без прямой и точки,Без прямой и точки

В Геометрии нет и нет успеха.

I. Первый конкурс, ребята, это разминкакоманд. Каждый член команды получает карточки (Приложение 1) и отвечает на свои вопросы. Листочки с решениями собирают помощники (из другого класса), быстро просматривают и откладывают в сторону те, где есть ошибки. Количество отложенных листочков – это вычтенные баллы.

IIВторой конкурс: блиц-турнирI (проводится в то время, когда помощники трудятся над проверкой работ предыдущего конкурса). Каждая команда получает задание:1. Найти ошибку:

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Для 2 команды:

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Для 3 команды:

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Команде, от которой поступило первое указание на ошибку, присуждается 5 баллов, за более рациональное решение и за лучшее объяснение еще 1-5 баллов. Баллы, заработанные всей командой, фиксируются в итоговой таблице.

2. Решите задачу:

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  • 1) Для 1 команды:                 
  • Дано:
  • a║bс – секущая, ________________________________________________________________
  • Найдите:
  • Решение:
  • Так как a║b, то сумма внутренних односторонних углов
  • 2) Для 2 команды:                 
  • Дано:a║b, с – секущая,_______________________________________________________________
  • Найдите:
  • Решение:
  • Так как a║b, то сумма внутренних односторонних углов
  • 3) Для 3 команды:                 
  • Дано:a║b,с – секущая,
  •  ٪ от ___________________________________________________
  • Решение:
  • 80 ٪ = 0,8,
  • III. Третий конкурс – Домашнее задание

Найдите:

Все тетради, собранные заранее,  уже проверенны помощниками. Они докладывают классу о результатах и отмечают ошибки. Все баллы, присужденные в этом конкурсе, фиксируются в итоговой таблице.

1.Задачи:

№40

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  1. Решение:
  2. 1) Так как
  3. 2) Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
  4. Ответ:
  5. № 41.
  6. Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий порталРешение:
  7. 1) Так как ВД ┴ АС, то ∆ АВD – прямоугольный, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, поэтому
  8. 2) Так как
  9. Ответ: 
  10. 2. Теоремы

По одному представителю с каждой команды подходят к столу и берут карточки с номерами. Потом все члены команды готовят эту теорему. Один представитель команды доказывает теорему у доски (по желанию учителя), получает карточку (синюю, зеленую или красную). В конце урока получит оценку «3», «4» или «5» в зависимости от цвета карточки.

  • IV. Четвертый конкурс – конкурс капитанов
  • Под песню:
  • Капитан, капитан улыбнитесь,Ведь улыбка, это флаг корабля,Капитан, капитан подтянитесь,
  • Только смелым покоряются жюри.
  • капитаны подходят к столу и берут карточки с номерами оставшихся теорем и готовят теоремы на доске.

В это время, пока готовятся капитаны, мы продолжаем блицтурнир II.Всем командам задаются вопросы, кто быстрее ответит?

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  1. Назовите угол который образует с углом АВD (рис.1).

  2. Назовите пару внутренних односторонних углов (рис.1).

  3. Назовите пару внутренних накрест лежащих углов (рис.1)

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  1. Прямые а и b параллельны,

  2. Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол при вершине С треугольника АВС равен 40º. Чему равна сумма углов А и В этого треугольника?

  3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30º. Чему равен второй острый угол?

  4. Кто больше назовет геометрических терминов за 1 минуту?

  5. Какие углы называются смежными?

  6. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

  7. Какой треугольник называется прямоугольным?

  8. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

  9. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

  10. Какие прямые называются параллельными?

  11. Аксиома параллельных прямых.

  12. Теорема о двух прямых, параллельных третей.

  13. Каким методом доказывается эта теорема?

  14. Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

Теперь слово предоставляется капитанам. Они доказывают теоремы и отвечают на вопросы. За ответы капитаны получают карточку (синюю, зеленую или красную). В конце урока получат оценку «3», «4» или «5» в зависимости от цвета карточки.

Читайте также:  Построение треугольника по трем элементам - студенческий портал

V. Так как на следующем уроке контрольная работа, то каждой команде предлагаются задачи на признаки параллельности прямых и на сумму углов треугольника.

  1. Задача №1
  2. Параллельны ли прямые а и b (рис.3),если:Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий порталРешение:
  3. 1) Так как  2) Так как 1 =  3) Так как 4) Так как Ответ: прямые а и b параллельны.
  4. Задача №2.
  5. Используя данные на рисунке 4, найдите углы 1, 2 и 3.Решение:
  1. Так как 

  2. Так как прямые а и b параллельны и

  3. Так как

  4. Так как

Ответ:

Задача №3.

Внутренние односторонние углы, образованны при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, относятся как 2 : 3 (рис. 5). чему равны эти углы?

                                                                                                            С

Решение:

  1. Так как  а║b, то

  2. Обозначим  коэффициент подобия через к, тогда

  3. Из равенства (1) следует, что 2к + 3к = 180; 5к = 180; к = 36º.

Ответ:

Урок КВМ заканчивается подведением итогов. Вручаются грамоты и медали с надписями (Презентация, слайд 1, слайд 2, слайд 3).

Источник: https://multiurok.ru/files/urok-kvm-po-tiemie-summa-ughlov-trieughol-nika.html

Теорема о сумме внутренних углов треугольника

  • Тема: Теорема о сумме внутренних углов треугольника».
  • Цели:
  • — ознакомить учащихся с теоремой о сумме внут­ренних углов треугольника;
  • — развитие творческих спо­собностей, познавательной активности, зрительной
  • па­мяти, математически грамотной речи, логического мышления и
  • вычислительных навыков при решении за­дач;
  • — воспитание трудолюбия, культуры общения и диа­лога, привитие
  • сознательного отношения к предмету.
  • Оборудование:
  • компьютер, различные виды треугольни­ков, плакаты, таблицы, геометрические принадлежности.
  • Тип урока: знакомство с новым материалом.

Исп. метод: исследование, работа в малых группах.

Форма контроля: устный.

Блок-схема урока.

Этапы урока Время
1 Организационный момент 2 мин
2 Подведение к теме урока 3 мин
3 Работа над новым материалом 15 мин
4 Закрепление нового материала 20 мин
5 Подведение итогов урока 2 мин
6 Домашнее задание 3 мин

Ход урока

I. Орг.момент. Вступительное слово.

II.Устное повторение ранее изученных тем.

На экране несколько видов треугольников (1—8).

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

1) Назовите тупоугольные треугольники (3,8).

2) Какие треугольники прямоугольные? (1,4).

3) Какие треугольники равнобедренные? (2,7).

4) Какого вида еще треугольники изображены на экране?

5) Из каких треугольников можно получить прямо­угольник? (1,4). Чему равна сумма углов прямоуголь­ника? (360°). Почему? (Потому что каждый угол равен 90°, всего 4 угла, 4*90=360. Значит, сумма углов тре­угольника равна 180 ° и составляет половину).

III. Работа над содержанием новой темы.

Активизирующие упражнения.

Задача 1. Даны треугольники.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Транспортиром измерьте все три угла Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал АВС, Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий порталMNT, Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий порталPQR.

Заполните таблицу по результатам вычислений. Какое свойство вы заметили? Выразите его в одном предложении.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

2. Работа с раздаточным материалом.

Каждому ученику раздаются треугольникис обо­значенными углами Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал 1, Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал 2, Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал 3. Необходимо оторвать их углы таким образом, чтобы можно было сложить их на одной прямой.

Какой вывод можно сделать?

Теорема: Сумма внутренних углов треугольникаравна 180°.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  1. Дано: АВС.
  2. Доказать:
  3. А+ В+ С=180°.
  4. Доказательство:
  5. Проведем через вершину А прямую а||ВС .
  6. 1= 4 как накрест лежащие углы при а||ВС и АВ секущей.
  7. 3=5 как накрест лежа­щие углы при а||ВС и АС секущей.
  8. 4+2+5=180°, l+ 2+ 3 =180°.
  9. A+B+C=180°.
  10. IV. Закрепление темы:
  11. № 1 устно; № 2 устно;
  12. № 4 (a, b).

а) 1= 5°, 2 =55°, С=120°. 5+55+120=180° . Ответ: существует.

Ь ) 1=100°, 2=20°, 3=50°. 100+20+50=170. Ответ: не существует.

5) Дано: АВС. А =60°, С=40°

Найти В. .

  • Решение:
  • А+ В+ С=180°.
  • В=180°-(60°+40°)=80°.
  • Ответ: В=80°.
  • 6) Дано: АВС, С=90° и С=45°.
  • Найти В.
  • Решение:

В=180°-(90°+45°)=45°. Ответ: В=45°.

A 70 10 100
B 90 60
C 70

1) Первый треугольник какой? (Равнобедренный).

2) 2-й треугольник какой?

3) 3-й треугольник какой?

5. Анаграмма.

  1. Поменяйте местами буквы и получите слово.
  2. УЛОГ УГОЛ
  3. САМУМ СУММА
  4. ГУРДАС ГРАДУС
  5. МТЕР МЕТР

Какое слово не относится к сегодняшней теме? Где используется эта мера? Какие профессии пользуются этой мерой измерения? (Ответы детей).

6. Психологический тест.

Ученикам предлагаются вырезанные из цветной бума­ги фигуры. Каждый из них выбирает одну из этих фигур.

Если вашей основной формой оказался квадрат, то вы — неутомимый труженик. Трудолюбие, усердие, потребность доводить на­чатое дело до конца, упорство — вот чем, прежде всего, знамениты истинные квадраты.

  • Психологическая характеристика тре­угольника: символизирует лидерство (далее зачитываются особенности треугольника).
  • Психологическая характеристика прямоугольника: символизирует состояние перехода и измене­ний
  • Круг — это мифологический символ гармонии (зачитывается характеристика» круга).

Подведение итогов урока. Оценивание учащихся.

VI. Домашняя работа: № 7, 8 стр 16 учебника.

Источник: https://xn--j1ahfl.xn--p1ai/library/teorema_o_summe_vnutrennih_uglov_treugolnika_144624.html

Сумма углов треугольника — урок. Геометрия, 7 класс

Сумма углов треугольника равна (180°).

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  • Доказательство
  • Рассмотрим произвольный треугольник (KLM) и докажем, что ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (M =) 180°.
  • Проведём через вершину (L) прямую (a), параллельную стороне (KM).
  • Углы, обозначенные (1), являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (KM) секущей (KL), а углы, обозначенные (2) — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (ML).

Очевидно, сумма углов (1), (2) и (3) равна развёрнутому углу с вершиной (L), т. е. ∡ (1) (+) ∡ (2) (+) ∡ (3 =) 180°, или ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (M =) 180°.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2.  В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Читайте также:  Органический мир океанов - студенческий портал

Следствие 3.  В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4.  В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Доказательство

Из равенств ∡ (KML) (+) ∡ (BML=) 180° и ∡ (K) (+) ∡ (L) (+) ∡ (KML =) 180° получаем, что ∡ (BML =) ∡ (K) (+) ∡ (L).

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

У треугольника (KLM) все углы острые.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

  1. У треугольника (KMN) угол (K = 90)°.
  2. У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.
  3. На рисунке (MN) — гипотенуза, (MK) и (KN) — катеты.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

У треугольника (KLM) один угол тупой.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-9155/summa-uglov-treugolnika-9171/re-b78850d5-a0e0-4093-bad3-7e82a520e7d7

Сумма углов треугольника. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 7 класс. Полные уроки>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки

ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.

Цели урока:

  • Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
  • Доказательство свойства углов треугольника;
  • Применение этого свойства при решении простейших задач;
  • Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
  • Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.

Задачи урока:

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока:

  1. Треугольник;
  2. Теорема о сумме углов треугольника;
  3. Пример задач.

Треугольник.

Файл:O.gifТреугольник прямолинейный, часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых (стороны Треугольника (в геометрии)), имеющими попарно по одному общему концу (вершины Треугольника (в геометрии)).

Треугольник, у которого длины всех сторон равны, называется равносторонним, или правильным, Треугольник с двумя равными сторонами — равнобедренным.

Треугольник называется остроугольным, если все углы его острые; прямоугольным  — если один из его углов прямой; тупоугольным — если один из его углов тупой.

Более одного прямого или тупого угла Треугольник (в геометрии) иметь не может, так как сумма всех трёх углов равна двум прямым углам (180° или, в радианах, p). Площадь Треугольник (в геометрии) равна ah/2, где а — любая из сторон Треугольника, принимаемая за его основание, a h — соответствующая высота. Стороны Треугольника подчинены условию: длина каждой из них меньше суммы и больше разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий порталФайл:10012011 1.gif

Файл:O.gifТреугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.

Любой многоугольник можно разбить на треугольники — этот процесс называется триангуляция.

Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — Тригонометрия.

Теорема о сумме углов треугольника.

Файл:T.gifТеорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°. Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Доказательство':

Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC).

Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°.

Теорема доказана.

  • Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал
  • Следствия.
  • Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • Доказательство:

Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.

  1. Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал
  2. Следствия.
  3. Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
  4. Математика > Математика 7 класс

Источник: http://edufuture.biz/index.php?title=%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0._%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B8

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема

Сумма углов треугольника равна 1800

Данная теорема является одной из важнейших теорем геометрии.

Доказательство

  • Дано: ABC
  • Доказать: A+B+C=1800
  • Доказательство:
  • Нам дан ABC

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Проведем прямую aAC, проходящую через вершину B и обозначим углы.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Углы 1 и 4; 3 и 5 будут являться накрест лежащими углами при параллельных прямых a и AC, секущих AB и BC соответственно, 4 =1, 5 =3.

Из построения мы видим, что сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной B, значит 4+2+5 = 1800. , учитывая то, что 4 =1, 5 =3, можем записать, что 1+2+3 = 1800, или A+B+C = 1800. Что и требовалось доказать.

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник, в котором  3 и 4 смежные (т.е. 4 является внешним углом данного треугольника)

Так как данные углы смежные мы можем записать, что 3 +4 = 1800, а по теореме о сумме углов треугольника (1 +2) + 3 = 1800. Из данных выражений мы видим, что  4 = 1 +2. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

  1. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
  2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника
  3. Неравенство треугольника
  4. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
  5. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  6. Уголковый отражатель
  7. Расстояние от точки до прямой
  8. Расстояние между параллельными прямыми
  9. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
  10. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
  11. Построение треугольника по трем его сторонам
  12. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Читайте также:  Государственный строй и политическая жизнь древней руси - студенческий портал

Правило встречается в следующих упражнениях:

  • 7 класс
  • Задание 257, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 335, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 636, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 637, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 718, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 856, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1027, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  • Задание 1286, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
  1. © budu5.com, 2020
  2. Пользовательское соглашение
  3. Copyright
  4. Нашли ошибку?
  5. Связаться с нами

Источник: https://budu5.com/manual/chapter/3413

Сумма углов треугольника — чему она равна?

07.02.2019 Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика Популярность

Сумма углов треугольника — важная, но достаточно простая тема, которую проходят в 7 классе на геометрии. Тема состоит из теоремы, короткого доказательства и нескольких логичных следствий. Знание этой темы помогает в решении геометрических задач при последующем изучении предмета.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Теорема — чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит — если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

  • для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
  • между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
  • угол 1 признают равным углу А, а угол 2 — равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
  • таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В — и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

  • Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
  • Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
  • Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
  • Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило — в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.

Также нужно знать, что предусмотрены специальные названия для сторон прямоугольных треугольников. «Длинная» сторона, которая расположена напротив прямого угла, называется гипотенузой, а оставшиеся «короткие» стороны носят название катетов. В последующих темах геометрии эти названия упоминаются очень часто.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

Поделиться в соцсетях:

Случайная статья

Источник: http://infoogle.ru/summa_uglov_treugolnika_chemu_ona_ravna.html

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника - Студенческий портал

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х.  Получим уравнение

  •  и найдем .
  • Тогда .
  • Ответ: 51.

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен , а два других равны .

Ответ: 41.

3. На рисунке угол  равен , угол  равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

  1. Сначала найдем угол .
  2. Он равен
  3. Тогда
  4. ,
  5. Угол , смежный с углом  равен .
  6. Ответ: .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

4. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны ,  и . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

  • Тогда .
  • Ответ: .

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол  равен углу  (они накрест лежащие). Угол  равен углу  (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/summa-uglov-treugolnika/

Ссылка на основную публикацию