- Определения
- 1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.
- То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
-
- 2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
- То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
-
Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.
- График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).
- На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).
- Пример 1.
- Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:
- Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]
- Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].
- Кратко это записывают так:
-
-
- 3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).
- 4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.
- Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.
- Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.
- Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k
- то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.
- 6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие
-
- то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.
- 7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.
- Пример 2.
- Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:
- Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].
- Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].
- Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.
- Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?
- Для этого при условии x2>x1 на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x2)>f(x1) либо f(x2)>f(x1), то есть определить f(x2)-f(x1)>0 или f(x2)-f(x1)x1.
- f(x1)=x1²+4×1, f(x2)=x2²+4×2,
- f(x2)-f(x1)=(x2²+4×2)-(x1²+4×1)=x2²+4×2-x1²-4×1=
- группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:
- =(x2²-x1²)+(4×2-4×1)=(x2-x1)(x2+x1)+4(x2-x1)=
- Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:
- =(x2-x1)(x2+x1+4).
Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.
Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+40.
Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).
Что и требовалось доказать.
Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной (начала математического анализа — производную и её применение — проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).
Источник: http://www.algebraclass.ru/vozrastanie-i-ubyvanie-funkcij/
Возрастающие функции, убывающие функции
Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
— растет, если для любых
Свойства возрастающей функции
- Если функция возрастает на некотором множестве , то большему значению функции соответствует большее значение аргумента из этого множества
- Сумма нескольких возрастающих на данном множестве функций является возрастающей функцией на этом множестве.
- Если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает.
- Если в составленной функции
функция возрастает функция возрастает, то и функция возрастает. Результат последовательного применения двух возрастающих функций — возрастающая функция.
- Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
- Любая растущая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.
— возрастающая функция
— возрастающая функция
Признак возрастания функции
Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.
Примеры функций возрастают на всей области определения
Нисходящая функция
- Определение: Функция называется убывающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
- — приходит, если для любых
Свойства убывающей функции
- Если функция спадаєна некотором множестве , то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента из этого множества
- Сумма нескольких нисходящих на данном множестве функций является убывающей функцией на этом множестве.
- Если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.
- Если в составленной функции функция убывает и функция убывает, то функция убывает. Результат последовательного применения двух убывающих функций — возрастающая функция.
- Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
- Любая нисходящая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.
— убывающая функция
— убывающая функция
Признак убывания функции
Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.
Примеры функций, спадающими на всей области определения
Раздел: Функции и графики
- UK
- EN
- PT
- ES
- DE
- ZH
- JA
- HI
- BN
- AR
- Числа и выражения
- Уравнения и неравенства
- Функции и графики
- Алгебра и начала анализа
- Тригонометрия
- Комбинаторика
- Дробные числа
- Обучение по скайпу
Использование Cookies
Если Вы будете продолжать использовать данный веб-сайт, мы предполагаем, что Вы согласны получать все файлы cookie на всех сайтах Cubens. Получить подробную информацию можно здесь.
Источник: https://cubens.com/ru/handbook/functions-and-graphs/increasing-and-nondecreasing-functions
Показательная функция – свойства, графики, формулы
Приведены справочные данные по показательной функции – основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Показательная функция – это обобщение произведения n чисел, равных a: y(n) = an = a·a·a···a, на множество действительных чисел x: y(x) = ax. Здесь a – фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции. Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a.
Обобщение выполняется следующим образом. При натуральном x = 1, 2, 3,…, показательная функция является произведением x множителей: . При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10).
При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности: , где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x: . При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.
5-8), как и для натуральных x.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции».
Свойства показательной функции
Показательная функция y = ax, имеет следующие свойства на множестве действительных чисел (): (1.1) определена и непрерывна, при , для всех ; (1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ; (1.
3) строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ; (1.4) при ; при ; (1.5) ; (1.6) ; (1.7) ; (1.8) ; (1.9) ; (1.10) ; (1.
11) , .
Другие полезные формулы. . Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени: При b = e, получаем выражение показательной функции через экспоненту:
Частные значения
, , , , .
Графики показательной функции
Графики показательной функции y = ax при различных значениях основания a.
На рисунке представлены графики показательной функции y(x) = a x для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем сильнее убывание.
Возрастание, убывание
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
y = ax, a > 1 | y = ax, 0 < a < 1 | |
Область определения | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
Нули, y = 0 | нет | нет |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Обратная функция
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.
Если , то . Если , то .
Дифференцирование показательной функции
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e, применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов и формулу из таблицы производных: .
Пусть задана показательная функция: . Приводим ее к основанию e: Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную Тогда Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z): . Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна . По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
. Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Пример дифференцирования показательной функции
- Найти производную функции y = 35x
- Решение
- Выразим основание показательной функции через число e. 3 = e ln 3 Тогда
- .
- .
Вводим переменную Тогда Из таблицы производных находим: . Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна: . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .
Ответ
Интеграл
.
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z: f(z) = a z где z = x + iy; i2 = – 1. Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ: a = r e i φ Тогда . Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде φ = φ0 + 2πn, где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение .
Разложение в ряд
.
Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/pokazatelnaya/
Внеклассный урок — Монотонность функции (возрастание или убывание функции)
Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.
Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.
Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.
- Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
- Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.
- Свойства монотонных функций:
|
Условие существования постоянной функции:
Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная f ′(x) равна нулю:f ′(x) = 0 |
Монотонность некоторых функций:
Функция | Производная | Монотонность |
Линейная функцияy = ax + b | y' = a |
|
Прямая пропорциональность y = kx (k ≠ 0) | y' = k | При k > 0 возрастает.При k < 0 убывает. |
Обратная пропорциональность k y = —— (k ≠ 0) x | k y' = – —— x2 | При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞).При k < 0 возрастает на (–∞; 0) и (0; +∞) |
Квадратичная функцияy = ax2 + bx + c | y' = 2ax + b | При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a] и возрастает на [–b/2a; +∞).При a < 0 возрастает на (–∞; –b/2a] и убывает на [–b/2a; +∞). |
Функция корняy = √x | 1 y' = —— 2√x | Возрастает на промежутке [0; +∞) |
Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-274
Возрастающая функция — это… Что такое Возрастающая функция?
- ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — (increasing function) Функция, значения которой увеличиваются по мере роста аргумента. Если у=f(x), y является возрастающей функцией х, если и только если dy/dx > 0 для всех х. у является строго возрастающей функцией х, если, и только если,… … Экономический словарь
- ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — такая функция f(x), определенная на нек ром числовом множестве Е, что из условия следует: Иногда такие функции наз. строго возрастающими, а термин В. ф. применяется к функциям, удовлетворяющим для указанных лишь условию (неубывающие функции). У… … Математическая энциклопедия
- Строго возрастающая функция — … Википедия
- ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ — (utility function) 1. Выражение, представляющее полезность как функцию индивидуального потребления различных благ и выполнения различных типов работы. Это прямая функция полезности: полезность – возрастающая функция количества каждого… … Экономический словарь
- Функция правдоподобия — в математической статистике это совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра. При этом используется совместная функция плотности (в случае выборки из непрерывного распределения)… … Википедия
- Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия
- Функция Эйри — График функций Ai(x) (красный) и Bi(x) (синий). Функция Эйри специаль … Википедия
- Функция ограниченной вариации — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… … Википедия
- МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ — функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия
- ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция u=u(z), , п комплексных переменных z=(zl,. . ., zn).в области Dкомплексного пространства , удовлетворяющая следующим условиям: 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z0+la). есть субгармоническая функция переменного в … Математическая энциклопедия
Источник: https://med.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/849866
Связь производной с возрастанием/убыванием функции
Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.
Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.
Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе.
Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин.
Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.
Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.
Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля».
На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей.
Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.
Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов.
Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков.
К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.
Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.
Источник: https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/svyaz_s_vozrastaniemubyvaniem_funkcii
Большая Рнциклопедия Нефти Рё Газа
- Cтраница 1
- Строго возрастающая функция ф не может иметь на [ и0, ut ] более одного нуля, а поскольку XQ является нулем, то других нулей нет. [1]
- Теорема для строго возрастающих функций доказана полностью. [2]
- Длина наклонной есть строго возрастающая функция длины се проекции. [3]
- �так, для строго возрастающей функции наше утверждение доказано. [4]
- Пусть / — непрерывная строго возрастающая функция РЅР° [ 0, Р° ], РІ 0 равная 0, Рё пусть g — обратная Рє ней функция. [5]
- Привести пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная к которой разрывна. [6]
Пусть / — непрерывная, строго возрастающая функция, определенная РЅР° некотором отрезке Рђ, Рё предположим, что если С… лежите Р›, той J Рё [ С… — также лежат РІ Рђ.
РЇСЃРЅРѕ, что это условие необходимо, поскольку если число f ( С…) является целым Рё равно L / ( L С… ]) J или Р“ / f Р“ 1) I. Обратно, если, например, / ( xJ) J L / M J, то РІ силу монотонности Рё непрерывности имеется некоторое Сѓ С… ] Сѓ С…, для которого / ( Сѓ) — целое число, ay целым числом быть РЅРµ может. [7]
- Если одно из слагаемых имеет строго возрастающую функцию распределения, то это же верно и для суммы. [8]
- Gn ( zn) — заданные строго возрастающие функции распределения. [9]
- Gn ( zn) — заданные строго возрастающие функции распределения. [10]
- Пусть F ( С…) — непрерывная строго возрастающая функция распределения Рё F 1 ( С…) — обратная Рє ней функция. [11]
В, р) является непрерывной и строго возрастающей функцией В и р ( при В mina. При фиксированной энергии с возрастанием р величина В убывает, R ( В) также убывает, а Е ( В, р) возрастает. [12]
Предположим, что функция полезности U является строго возрастающей функцией денежного дохода.
Строго говоря, это равенство означает, что если числа, полученные на шагах 1 и 4, не совпадают, то не выполнены предположения, налагаемые на функцию полезности.
На практике эти два числа редко оказываются равными с первого раза. Следовательно, эта процедура дает метод приближенного определения функции полезности. [13]
Р�так, оптимальная, модель распознавания должна вычислять некоторую строго возрастающую функцию отношения правдоподобия Q / z Рё сравнивать результат СЃ величиной c Q ( p2 / Pi), называемой обычно РїРѕСЂРѕРіРѕРј. Ртот алгоритм часто называется решающим правилом. Функция 9 ( z) называется дискриминантной функцией. РћРЅР° выбирается так, чтобы вычисления были как РјРѕР¶РЅРѕ проще. [14]
Таким образом, если опасность отказа K ( t) — строго возрастающая функция времени, то уравнение относительно t02 — имеет единственное решение. Для этого необходимо только показать, что левая часть (6.63) неограниченно возрастает РїСЂРё стремлении 02 — Рє бесконечности. [15]
Страницы: 1 2 3
Источник: https://www.ngpedia.ru/id572469p1.html