Возрастающая функция, убывающая функция — студенческий портал

• Определения
• 1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.
• То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
•    
• 2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
• То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие
•    

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

1. График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).
2. На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).
3. Пример 1.
4. Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:

• Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]
• Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].
• Кратко это записывают так:
•    
•    
• 3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).
• 4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.
• Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.
• Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.
• Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k
• то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.
• 6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие
•    
• то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.
• 7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.
• Пример 2.
• Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:

1. Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].
2. Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].
3. Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.
4. Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?
5. Для этого при условии x2>x1 на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x2)>f(x1) либо f(x2)>f(x1), то есть определить f(x2)-f(x1)>0 или f(x2)-f(x1)x1.
6. f(x1)=x1²+4×1, f(x2)=x2²+4×2,
7. f(x2)-f(x1)=(x2²+4×2)-(x1²+4×1)=x2²+4×2-x1²-4×1=
8. группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:
9. =(x2²-x1²)+(4×2-4×1)=(x2-x1)(x2+x1)+4(x2-x1)=
10. Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:
11. =(x2-x1)(x2+x1+4).

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+40.

Для x1, x2 ∈ (2;+∞) (2-x1)(2-x2)>0. Значит,

Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

Источник: http://www.algebraclass.ru/vozrastanie-i-ubyvanie-funkcij/

Возрастающие функции, убывающие функции

Определение: Функция называется возрастающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.

— растет, если для любых

Свойства возрастающей функции

1. Если функция возрастает на некотором множестве , то большему значению функции соответствует большее значение аргумента из этого множества



2. Сумма нескольких возрастающих на данном множестве функций является возрастающей функцией на этом множестве.
3. Если функция возрастает, то обратная к ней функция также возрастает.
4. Если в составленной функции функция возрастает функция возрастает, то и функция возрастает. Результат последовательного применения двух возрастающих функций — возрастающая функция.
5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.
6. Любая растущая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.

— возрастающая функция

— возрастающая функция

Признак возрастания функции

Если в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.

Примеры функций возрастают на всей области определения

Нисходящая функция

1. Определение: Функция называется убывающей на некотором множестве , если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции.
2. — приходит, если для любых

Свойства убывающей функции

1. Если функция спадаєна некотором множестве , то большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента из этого множества
2. Сумма нескольких нисходящих на данном множестве функций является убывающей функцией на этом множестве.
3. Если функция убывает, то обратная к ней функция также убывает.

4. Если в составленной функции функция убывает и функция убывает, то функция убывает. Результат последовательного применения двух убывающих функций — возрастающая функция.
5. Результат последовательного применения возрастающей и убывающей функции есть функция убывающая.

6. Любая нисходящая на заданном множестве функция каждого приобретает свое значение только в одной точке из этого множества.

— убывающая функция

— убывающая функция

Признак убывания функции

Если в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

Примеры функций, спадающими на всей области определения

Раздел: Функции и графики

• UK
• EN
• PT
• ES
• DE
• ZH
• JA
• HI
• BN
• AR

• Числа и выражения
• Уравнения и неравенства
• Функции и графики
• Алгебра и начала анализа
• Тригонометрия
• Комбинаторика
• Дробные числа
• Обучение по скайпу

Использование Cookies

Если Вы будете продолжать использовать данный веб-сайт, мы предполагаем, что Вы согласны получать все файлы cookie на всех сайтах Cubens. Получить подробную информацию можно здесь.

Источник: https://cubens.com/ru/handbook/functions-and-graphs/increasing-and-nondecreasing-functions

Показательная функция – свойства, графики, формулы

Приведены справочные данные по показательной функции – основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Показательная функция – это обобщение произведения n чисел, равных a: y(n) = an = a·a·a···a, на множество действительных чисел x: y(x) = ax. Здесь a – фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции. Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a.

Обобщение выполняется следующим образом. При натуральном x = 1, 2, 3,…, показательная функция является произведением x множителей: . При этом она обладает свойствами (1.5-8) (см. ниже ⇓), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10).

При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности: , где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x: . При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.

5-8), как и для натуральных x.

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = ax, имеет следующие свойства на множестве действительных чисел (): (1.1)   определена и непрерывна, при , для всех ; (1.2)   при a ≠ 1 имеет множество значений ; (1.

3)   строго возрастает при , строго убывает при , является постоянной при ; (1.4)     при ;   при ; (1.5)   ; (1.6)   ; (1.7)   ; (1.8)   ; (1.9)   ; (1.10)   ; (1.

11)   ,   .

Другие полезные формулы. . Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени: При b = e, получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

,   ,   ,   ,   .

Графики показательной функции

Графики показательной функции y = ax при различных значениях основания a.

На рисунке представлены графики показательной функции y(x) = a x для четырех значений основания степени: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a, тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a, тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

y = ax, a > 1	y = ax, 0 < a < 1
Область определения	– ∞ < x < + ∞	– ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
+ ∞	0
0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a.

Если    ,   то . Если    ,   то .

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e, применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов и формулу из таблицы производных: .

Пусть задана показательная функция: . Приводим ее к основанию e: Применим правило дифференцирования сложной функции. Для этого вводим переменную Тогда Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z): . Поскольку – это постоянная, то производная z по x равна . По правилу дифференцирования сложной функции:

.

Производная показательной функции

. Производная n-го порядка:

.

Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

• Найти производную функции y = 35x
• Решение
• Выразим основание показательной функции через число e. 3 = e ln 3 Тогда
• .
• .

Вводим переменную Тогда Из таблицы производных находим: . Поскольку 5ln 3 – это постоянная, то производная z по x равна: . По правилу дифференцирования сложной функции имеем: .

Ответ

Интеграл

.

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z: f(z) = a z где z = x + iy;     i2 = – 1. Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ: a = r e i φ Тогда . Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде φ = φ0 + 2πn, где n – целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение .

Разложение в ряд

.

Использованная литература: И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/pokazatelnaya/

Внеклассный урок — Монотонность функции (возрастание или убывание функции)

Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

• Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
• Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.
•  
• Свойства монотонных функций:

1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией. 2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. 3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает. 4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn тоже возрастает (n ∈ N). 5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. 6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c  0. Говоря проще, функция возрастает, если производная положительна. Примечание: Равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе. Функция убывает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) меньше нуля: f ′(x) < 0. Говоря проще, функция убывает, если производная отрицательна. Примечание: равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

Условие существования постоянной функции:

Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная f ′(x) равна нулю:f ′(x) = 0

Монотонность некоторых функций:

Функция	Производная	Монотонность
Линейная функцияy = ax + b	y' = a	При a > 0 возрастает При a < 0 убывает. При a = 0 постоянна.
Прямая пропорциональность y = kx  (k ≠ 0)	y' = k	При k > 0 возрастает.При k < 0 убывает.
Обратная пропорциональность                     k             y = ——   (k ≠ 0)                      x	k          y' = – ——                      x2	При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞).При k < 0 возрастает на (–∞; 0) и (0; +∞)
Квадратичная функцияy = ax2 + bx + c	y' = 2ax + b	При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a] и возрастает на [–b/2a; +∞).При a < 0 возрастает на (–∞; –b/2a] и убывает на [–b/2a; +∞).
Функция корняy = √x	1            y' = ——                    2√x	Возрастает на промежутке [0; +∞)

Источник: http://raal100.narod.ru/index/0-274

Возрастающая функция — это… Что такое Возрастающая функция?

• ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — (increasing function) Функция, значения которой увеличиваются по мере роста аргумента. Если у=f(x), y является возрастающей функцией х, если и только если dy/dx > 0 для всех х. у является строго возрастающей функцией х, если, и только если,… …   Экономический словарь
• ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — такая функция f(x), определенная на нек ром числовом множестве Е, что из условия следует: Иногда такие функции наз. строго возрастающими, а термин В. ф. применяется к функциям, удовлетворяющим для указанных лишь условию (неубывающие функции). У… …   Математическая энциклопедия
• Строго возрастающая функция — …   Википедия
• ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ — (utility function) 1. Выражение, представляющее полезность как функцию индивидуального потребления различных благ и выполнения различных типов работы. Это прямая функция полезности: полезность – возрастающая функция количества каждого… …   Экономический словарь
• Функция правдоподобия — в математической статистике  это совместное распределение выборки из параметрического распределения, рассматриваемое как функция параметра. При этом используется совместная функция плотности (в случае выборки из непрерывного распределения)… …   Википедия
• Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения …   Википедия
• Функция Эйри — График функций Ai(x) (красный) и Bi(x) (синий). Функция Эйри   специаль …   Википедия
• Функция ограниченной вариации — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия
• МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ — функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… …   Математическая энциклопедия
• ПЛЮРИСУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция u=u(z), , п комплексных переменных z=(zl,. . ., zn).в области Dкомплексного пространства , удовлетворяющая следующим условиям: 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z0+la). есть субгармоническая функция переменного в …   Математическая энциклопедия

Источник: https://med.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/849866

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе.

Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля».

На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей.

Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов.

Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Источник: https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/svyaz_s_vozrastaniemubyvaniem_funkcii

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

• Cтраница 1
• Строго возрастающая функция С„ РЅРµ может иметь РЅР° [ Рё0, ut ] более РѕРґРЅРѕРіРѕ нуля, Р° поскольку XQ является нулем, то РґСЂСѓРіРёС… нулей нет.  [1]
• Теорема для строго возрастающих функций доказана полностью.  [2]
• Длина наклонной есть строго возрастающая функция длины СЃРµ проекции.  [3]
• Р�так, для строго возрастающей функции наше утверждение доказано.  [4]
• Пусть / — непрерывная строго возрастающая функция РЅР° [ 0, Р° ], РІ 0 равная 0, Рё пусть g — обратная Рє ней функция.  [5]
• Привести пример непрерывной, строго возрастающей функции, обратная Рє которой разрывна.  [6]

Пусть / — непрерывная, строго возрастающая функция, определенная РЅР° некотором отрезке Рђ, Рё предположим, что если С… лежите Р›, той J Рё [ С… — также лежат РІ Рђ.

РЇСЃРЅРѕ, что это условие необходимо, поскольку если число f ( С…) является целым Рё равно L / ( L С… ]) J или Р“ / f Р“ 1) I. Обратно, если, например, / ( xJ) J L / M J, то РІ силу монотонности Рё непрерывности имеется некоторое Сѓ С… ] Сѓ С…, для которого / ( Сѓ) — целое число, ay целым числом быть РЅРµ может.  [7]

1. Если РѕРґРЅРѕ РёР· слагаемых имеет строго возрастающую функцию распределения, то это же верно Рё для СЃСѓРјРјС‹.  [8]
2. Gn ( zn) — заданные строго возрастающие функции распределения.  [9]
3. Gn ( zn) — заданные строго возрастающие функции распределения.  [10]
4. Пусть F ( С…) — непрерывная строго возрастающая функция распределения Рё F 1 ( С…) — обратная Рє ней функция.  [11]

Р’, СЂ) является непрерывной Рё строго возрастающей функцией Р’ Рё СЂ ( РїСЂРё Р’ mina. РџСЂРё фиксированной энергии СЃ возрастанием СЂ величина Р’ убывает, R ( Р’) также убывает, Р° Р• ( Р’, СЂ) возрастает.  [12]

Предположим, что функция полезности U является строго возрастающей функцией денежного дохода.

Строго говоря, это равенство означает, что если числа, полученные на шагах 1 и 4, не совпадают, то не выполнены предположения, налагаемые на функцию полезности.

РќР° практике эти РґРІР° числа редко оказываются равными СЃ первого раза. Следовательно, эта процедура дает метод приближенного определения функции полезности.  [13]

Р�так, оптимальная, модель распознавания должна вычислять некоторую строго возрастающую функцию отношения правдоподобия Q / z Рё сравнивать результат СЃ величиной c Q ( p2 / Pi), называемой обычно РїРѕСЂРѕРіРѕРј. Этот алгоритм часто называется решающим правилом. Функция 9 ( z) называется дискриминантной функцией. РћРЅР° выбирается так, чтобы вычисления были как можно проще.  [14]

Таким образом, если опасность отказа K ( t) — строго возрастающая функция времени, то уравнение относительно t02 — имеет единственное решение. Для этого необходимо только показать, что левая часть (6.63) неограниченно возрастает РїСЂРё стремлении 02 — Рє бесконечности.  [15]

Страницы:      1    2    3

Источник: https://www.ngpedia.ru/id572469p1.html