Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям — студенческий портал

На этом уроке мы рассмотрим, как текстовые задачи решаются с помощью квадратных уравнений, и познакомимся с универсальным алгоритмом для решения любой текстовой задачи.

На этом уроке мы выясним, как решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений.

Как вы уже знаете, при решении любой задачи необходимо сначала перевести её условие на математический язык, составить нужное уравнение (или не одно, а несколько уравнений – систему уравнений), а затем решить его.

На этом уроке мы поговорим о таких задачах, в которых уравнения будут получаться не линейные, как это было раньше, а квадратные. Или сводящиеся к квадратным.

Рассмотрим такую геометрическую задачу.

Задача

Периметр прямоугольника равен  см, а его диагональ –  см (Рис. 1). Найти стороны прямоугольника.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая –  см, так как удвоенная сумма сторон (периметр) равна  см. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который образован смежными сторонами прямоугольника и его диагональю, и составим уравнение.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

  • По теореме Виета:

Это и есть длины сторон. Логично, что получилось два ответа: за  ведь можно было взять как меньшую сторону, так и большую.

Ответ:  см и  см.

Три основных типа текстовых задач в математике – на движение, на работу и на смеси. На смеси очень редко бывают задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, так что о них сейчас говорить не будем. Рассмотрим задачу на движение.

Задача

Катер прошел  км по течению реки и  км по озеру, затратив на весь путь  час. Скорость течения равна  км/ч. Найти скорость катера по течению.

Решение (первый способ)

Как всегда в подобных задачах, лучше всего за  брать то, что спрашивают. Тогда мы не ошибемся, если, найдя , сразу запишем его в ответ.

Итак, пусть  км /ч – скорость катера по течению. Тогда скорость катера по озеру меньше ровно на скорость течения – ведь в озере течения нет. Значит, по озеру катер двигался со скоростью  км/ч. При этом мы также знаем пути, которые катер прошёл по реке и по озеру. Вспомним уравнение движения: . Найдем время : по озеру , а по реке – .

Чтобы было удобнее, запишем все данные в следующую таблицу.

По течению
По озеру

Теперь вспомним, что в общей сложности катер плыл  час, получаем уравнение:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

  1. По теореме Виета:

 – не подходит, так как скорость катера по течению не может быть меньше скорости течения. Значит, ответ:  км/ч.

Решение (второй способ)

Как вы уже заметили, в таких задачах очень важно переписать условие на математический язык, то есть язык формул и уравнений. В этой задаче это получилось, но проблема первого способа в том, что он работает только для этой конкретной задачи. Хочется чего-то более универсального. Попробуем это сделать.

Итак, перечитаем условие и попробуем записать текст в виде формул. Пока не будем задумываться, не много ли обозначений мы ввели, просто перепишем условие на математическом языке.

  1. По течению: Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал.
  2. По озеру: Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал.
  3. В сумме плыл один час:  час.
  4.  км/ч.
  5.  – ?

Теперь второй шаг. Воспользовавшись формулой , запишем эти данные в виде системы: .

  • Теперь про условие задачи можно вообще забыть: мы свели решение задачи к решению системы уравнений, дальше дело техники.
  • Решив полученное уравнение (для сокращения записи можно заменить  – получим то же уравнение, что и в первом способе), получим тот же самый ответ.
  • Ответ:  км/ч.
  • Повторим шаги алгоритма, позволяющего решить любую текстовую задачу.
  1. Переписать условие на математический язык.
  2. Составить уравнение или систему уравнений.
  3. Решить полученное уравнение или систему.
  4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

Так, в рассмотренной задаче про катер получилось два значения неизвестной, и чисто алгебраически оба они являются решениями уравнения (системы). Однако для одного из значений скорость катера против течения реки получается отрицательной – это и есть анализ: в ответ записываем только второе значение.

Рассмотрим ещё один тип задач, на совместную работу.

Задача

Бассейн наполняется двумя трубами за  часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на  ч быстрее, чем вторая?

Решение

Для начала вспомним формулу для вычисления объёма проделанной работы: . Обратите внимание на то, что здесь есть полное соответствие задачам на движение: путь – объём работы, скорость – производительность, время – время.

Эту задачу можно решить ровно по тому же алгоритму, что и предыдущую. Сначала перепишем условие на математическом языке.

  1. Работа по наполнению бассейна объёмом  выполнена двумя трубами одновременно с общей скоростью  за время  ч.
  2. Первая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
  3. Вторая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
  4. Разница между временем  и временем  равна  ( на  ч)

Обратите внимание на то, что в подобных задачах на совместную работу производительности складывать можно, а времена – нет.

Второй шаг – составляем систему: .

Так как трубы заполняют один и тот же бассейн, то есть выполняют одинаковую работу, то можно принять работу за . Обратите внимание, речь не идет об  литре или кубометре,  в данном случае – это  бассейн. Так что и производительность в этом случае будет измеряться не в литрах в час, а в бассейнах в час, то есть какую часть бассейна заполнит труба за час.

  1. Третий шаг – решаем систему: .
  2. Получаем:
  3. По теореме Виета:
  4. И теперь анализ: время не может быть отрицательным, так что ответ –  часов.
  5. Ответ:  ч.
  6. Рассмотрим пример ещё одной, не совсем стандартной текстовой задачи.
  7. Задача

На шахматном турнире каждый сыграл с соперником по  партии. Всего было сыграно  партий. Сколько участников было на турнире?

Решение

Пусть участников было . Тогда каждый сыграл  партию. Итого,  партий… Казалось бы, приравняли к , решаем… А целого ответа нет. Почему так? Да потому, что мы каждую партию посчитали дважды (например, партия Вася – Петя и Петя – Вася посчитаны как разные партии, но ведь это одна и та же партия). Значит, количество партий . Тогда получаем: .

  • По теореме Виета:
  • Второй вариант не подходит, так что участников было .
  • Ответ:  участников.

На этом уроке мы разобрали ряд текстовых задач, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Помимо этого, мы рассмотрели универсальный алгоритм, который используется при решении любой текстовой задачи.

  1. Переписать условие на математическом языке.
  2. Составить уравнение или систему уравнений.
  3. Решить полученное уравнение или систему уравнений.
  4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

Список рекомендованной литературы

  1. Алгебра. 8 класс. С углубленным изучением математики, Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. – М.: Просвещение, 2010.
  2. Алгебра. 8 класс, Алимов Ш.А. – М.: Просвещение, 2012.
  3. Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь, Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии своей подруги, потребовалось  фотографий. Сколько было подруг?
  2. Токарь должен был отработать  деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на  деталей в день больше и закончил работу на  день раньше. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за  день?
  3. Периметр прямоугольного треугольника равен  см, один его катет на  см больше другого. Чему равны стороны этого треугольника?

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/reshenie-zadach-s-pomoschyu-kvadratnyh-uravneniy?block=player

Уравнения, приводимые к квадратным

  • Продолжим на конкретных примерах рассматривать уравнения, приводимые к квадратным.
  •     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  • ОДЗ: x∈R.
  • 1-й способ
  • При x=0
  •     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
Читайте также:  Длина волны - студенческий портал

то есть нуль не является корнем данного уравнения. Следовательно, деление обеих частей уравнения на x² не приведёт к потере корней.

  1.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  2.     [ = 10{x^2}\_\_\_left| {:{x^2}} 
ight. 
e 0]
  3.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  4. После упрощения получаем уравнение
  5.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  6. Обозначим
  7.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  8. тогда придём к квадратному уравнению относительно переменной t:
  9.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  10. По теореме, обратной теореме Виета
  11.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  12. Возвращаемся к исходной переменной.
  13.     Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  14. Перепишем уравнение в виде
  15. и применим основное свойство пропорции:
  16. Корни этого уравнения —
  17. Так как b= -4 — чётное число, удобно применить формулу дискриминанта, делённого  на 4:
  18. Ответ:
  19. 2-й способ
  20. Это уравнение также можно решить введением параметра.
  21. Пусть
  22. тогда
  23. Это уравнение является квадратным как относительно переменной x, так и относительно переменной t. Рассмотрим его, например, как квадратное относительно переменной t:
  24. В данном случае не важно, с каким знаком раскрывается модуль, поскольку в любом случае мы получим одинаковые корни
  25. Вернувшись к исходной переменной, получаем
  26. Далее — аналогично.
  27. ОДЗ: x∈R.

Это уравнение — однородное, так как все его члены имеют одинаковую суммарную степень (в данном случае — 2). Однородные уравнения решаются почленным делением обеих частей на наибольшую из степеней.

Прежде чем делить на (x-5)², нужно проверить, не являются ли те значения x, при которых это слагаемое обращается в нуль, корнями данного уравнения. Если являются, их добавляют в ответ, если нет — деление на слагаемое не приведёт к потере корней.

  • (x-5)²=0 при x=5. Проверяем:
  • следовательно, деление на (x-5)² не ведёт к потере корней.
  • Вводим новую переменную:
  • и приходим к квадратному уравнению относительно t
  • Его корни —
  • Возвращаемся к исходной переменной
  • Ответ: 2,375; 26.

В алгебре многие виды уравнений приводятся к квадратным с помощью замены переменной. Например, с помощью введения параметра могут быть решены некоторые показательные, логарифмические, тригонометрические, иррациональные уравнения.

Источник: http://www.algebraclass.ru/uravneniya-privodimye-k-kvadratnym/

Квадратные уравнения

  • Приведённое квадратное уравнение
  • Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

если   b  = p,  а  c  = q,  то получится   x2 + px + q = 0
a a

Уравнение   x2 + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

  • Например, уравнение:
  • x2 + 10x — 5 = 0
  • является приведённым, а уравнение:
  • -3×2 + 9x — 12 = 0
  • можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:
  • x2 — 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

  1. Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:
  2. ax2 + bx + c = 0
  3. ax2 + 2kx + c = 0
  4. x2 + px + q = 0
  5. Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:
Вид уравненияФормула корней
ax2 + bx + c = 0 Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
ax2 + 2kx + c = 0 Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
x2 + px + q = 0
Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
или
Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
если коэффициент p нечётный
  • Обратите внимание на уравнение:
  • ax2 + 2kx + c = 0
  • это преобразованное уравнение   ax2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

  1. Пример 1. Решить уравнение:
  2. 3×2 + 7x + 2 = 0
  3. Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:
  4. a = 3, b = 7, c = 2
  5. Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

x1 =  -2  = — 1 ,   x2 =  -12  = -2
6 3 6
  • Пример 2:
  • x2 — 4x — 60 = 0
  • Определим, чему равны коэффициенты:
  • a = 1, b = -4, c = -60
  • Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

  1. x1 = 2 + 8 = 10,   x2 = 2 — 8 = -6
  2. Ответ: 10, -6.
  3. Пример 3.
  4. y2 + 11y = y — 25
  5. Приведём уравнение к общему виду:
  6. y2 + 11y = y — 25
  7. y2 + 11y — y + 25 = 0
  8. y2 + 10y + 25 = 0
  9. Определим, чему равны коэффициенты:
  10. a = 1, p = 10, q = 25
  11. Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

  • Ответ: -5.
  • Пример 4.
  • x2 — 7x + 6 = 0
  • Определим, чему равны коэффициенты:
  • a = 1, p = -7, q = 6
  • Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,   x2 = (7 — 5) : 2 = 1

Ответ: 6, 1.

Источник: https://naobumium.info/algebra/kvadratnye_uravneniya.php

Решение задач с помощью квадратных уравнений

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение задач сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений особых трудностей не вызывает, если знать основные формулы.

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

Поэтому очень важно при решении задач научиться составлять квадратные уравнения, т.е. переводить условия задач на математический язык.

Решение несколько задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Задача 1. В зрительном зале рядов в 2 раза больше, чем мест в каждом ряду. Если при перепланировке зала число рядов увеличить на 1, а число мест в каждом ряду увеличить на 8, то в зале будет 500 мест. Сколько мест в зале?

Решение:

Обозначим за  – число мест в ряду. Тогда  – число рядов. Число мест после перепланировки будет , а число рядов . Так как по условию задачи после перепланировки число мест в зале будет равно , то можем составить уравнение:

Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите его катеты, если их сумма равна 14 см.

Решение:

По теореме Пифагора Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал, где  и  – катеты,  – гипотенуза. Пусть  (см) – длина одного из катетов. Тогда  см – длина второго катета. По условию задачи известно что гипотенуза прямоугольного треугольника равна  см. Составим уравнение:

Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с в квадрате и не учитывая сопротивление воздуха, найдите, через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м.

  • Решение.
  • Итоги:

Итак, мы решили несколько разных текстовых задач. Обратите внимание, что оформлять решения задач можно и значительно короче. Только необходимо показать, какое неизвестное обозначается буквой. Записать уравнение. Решить его. И сделать вывод о том, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Ну и, конечно же, не забыть ответить на вопрос задачи.

Источник: https://videouroki.net/video/21-rieshieniie-zadach-s-pomoshch-iu-kvadratnykh-uravnienii.html

11.3.4. Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям

  • Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax2+bx+c=0.
  • Примеры.
  • Решить уравнение:

1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2.

  1. (22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:
  2. (2x)2+2∙2x-3=0;
  3. вводим новую переменную: пусть 2x=y;
  4. y2+2y-3=0.
  5. Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Читайте также:  Иоганн Готлиб Фихте - богословские исследования и репетиторство

y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

  • 2x=20;
  • x=0.
  • Ответ: 0.

2) 0,252x-5∙0,52x+4=0.  Решаем аналогично. Представляем 0,252x— в виде степени с основанием 0,5.

  1. (0,52)2x-5∙0,52x+4=0;
  2. (0,52x)2-5∙0,52x+4=0.
  3. 0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:
  4. y2-5y+4=0;
  5. Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  6. y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х:
  7. 1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.
  8. 0,52x=0,50;
  9. 2x=0;
  10. x=0.
  11. 2) 0,52x=4; приведем степень  0,52x  к основанию 2, применив формулу:   (1/a)=а-х 
  12. (1/2)2x=22;
  13. 2-2x=22; приравниваем показатели:
  14. — 2x=2 |:(-2)
  15. x=-1.
  16. Ответ: -1; 0.
    Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям - Студенческий портал
  17. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а-х=1/ax  и ax∙ay=ax+y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета:  сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Запись имеет метки: показательные уравнения

Источник: https://www.mathematics-repetition.com/11-klass-algebra/11-3-4-reshenie-pokazatelynh-uravneniy-privodyashtihsya-k-kvadratnm-uravneniyam.html

Материал по алгебре по теме: Уравнения, приводимые к квадратным | Социальная сеть работников образования

Урок алгебры по теме «Уравнения, приводимые к квадратным». 9-й класс

Цели урока:

  • Образовательные: повторить  способы решения уравнений, приводимых к квадратным,  способствовать выработке навыка решения уравнений с помощью введения вспомогательной переменной,  проверить усвоение темы на базовом уровне,  обучать умению работать с тестовыми заданиями.
  • Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся знания в конкретной ситуации, развивать умение сравнивать, обобщать, правильно формулировать и излагать мысли, развивать память, логическое мышление,  интерес к предмету через содержание учебного материала.
  • Воспитательные:продолжать воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, воспитывать у учащихся аккуратность, культуру общения, воспитывать такие качества характера, как чувство ответственности, настойчивости в достижении цели, умения не растеряться в проблемной ситуации, взаимоуважение.
  • Оборудование: проектор, экран, карточки с заданием,  карточки с контролирующим тестом  и карточки «Математический тренажер».
  • ХОД УРОКА
  • 1. Организационный момент

– Сегодня мы будем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В решение таких уравнений большой вклад внесли итальянские математики ХVI в.

Слайд 2. Выступление ученицы с исторической справкой.

Спицион Даль Ферро (1465-1526) и его ученик Фиори. Н. Тарталья (ок. 1499-1557).Дж. Кардано (1501-1576) и его ученик Л. Феррари. Р. Бомбели (ок. 1530-1572).  

12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил 30 задач, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одной.

Учитель. Итак, Тарталья за 2 часа решил 30 задач. Мы проведём математический турнир и узнаем, сколько уравнений сможете решить вы за 40 минут? Какие способы решения уравнений при этом изберёте?

  1. 2. Устная работа
  2. Слайды 3-4
  3. 1. Какие из чисел: – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3;  являются корнями уравнений:
  4. а) y3 – y = 0;      (0; 1; –1)б) y3 – 4y = 0;   (0;  2 и – 2)в) y3 + 9y = 0.   (0;)

2.  Сколько решений может иметь уравнение третьей степени?

3.  Как проверить, является ли число корнем уравнения?

4.  Каким способом вы решали бы уравнения первого задания?

  • 5.  Проверьте решение уравнения:
  • x3 – 5×2 + 16x – 80 = 0x2 (x – 5) + 16(x – 5) = 0 (x – 5)( x2 + 16) = 0(x – 5)(x – 4)(x + 4) = 0
  • Ответ:  5;  – 4;  4.
  • Итак,  мы повторили, что называется корнем уравнения, нашли ошибку в решении уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением  на множители. 
  • Отметьте в оценочной карточке, сколько уравнений вы решили на первом этапе урока.  Переходим ко второму этапу
  • 3.  Практическая часть урока
  • 1. Математический тренажёр в парах
Карточка №1Решите уравнения.1. (х + 2)(х – 5) = 02. 3х2 – 27 = 03. х2 = 4х4. х2   = 85. х3 = 276. 5х2 – 10х = 07. (х – 15)(х + 1) = 08. x2 + 9 = 0 Карточка №1 (Ответы)1. – 2 и 5 2. – 3 и 33. 4 и 04. – 2и  25. 36. 0 и 27. – 1 и 15 8. Корней нет

– Пары, поменяйтесь карточками.– Проверьте друг у друга.  (Ответы на экране). Слайд 5– Исправьте ошибки. 

– Поблагодарите друг друга.

2. Работа у доски и в тетрадях. Решение уравнения по цепочке. Слайд 6

9х3 – 18х2 – x + 2 = 0(9х3 – 18х2) – (x – 2) = 09х2(x – 2) – (x – 2) = 0(x – 2)(9х2 – 1) = 0x – 2 = 0  или 9х2 – 1 = 0
x = 2 9х2 = 1×1 = – x2 = 

Ответ:  – ;  ;  2.

3. Работа с карточками: Слайды 7-9

1. Какое уравнение называется биквадратным?(Уравнения вида ах4+ bx2+ c = 0, где а ? 0, являющиеся квадратными относительно х2, называются биквадратными уравнениями)Как его решить?Решим биквадратное уравнение:x4 – 5×2 + 4 = 0 Пусть  x2 = t.  Получим квадратное уравнение с переменной t. t2 – 5t + 4 = 0 D = 25 – 16 = 9t1 =  (5 + 3) : 2 = 4 t2 = (5 – 3) : 2 = 1

  1. x2 = 4           x2 = 1 x = + 2         x = + 1
  2. Ответ: + 2; + 1.
3. (x2 + 2x)2 – 2(x2+ 2x) – 3 = 0Пусть x2 + 2x = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.t2 – 2t – 3 = 0D = (–2)2 – 4 . 1 .(–3) = 16 t1 = – 1;  t2 = 3 x2 + 2x = – 1                 x2 + 2x = 3  x2 + 2x + 1 = 0              x2 + 2x – 3 = 0 D = 0                             D = 16x = – 1 x1 = – 3            x2 = 1Ответ:  – 3;  – 1;  1 (по т. Виета)
  • 2. (x2 – x + 1)( x2 – x – 7) = 65
  • Какой способ наиболее рационально здесь использовать?
  • Пусть  x2

 – x = t, (t + 1)(t – 7) = 65 t2 – 7t + t – 7 – 65 = 0 t2 – 6t – 72 = 0 D = 36 + 288 = 324 t = 12,   t = – 6 x2 – x = 12                      x2 – x = –6 x2 – x – 12 = 0                x2 – x + 6 = 0 D = 49                            D = – 23

  1. x1 = – 3;  x2 = 4                         корней нет
  2. Ответ:  – 3;  4.
№221 в.(x2 + x)(x2 + x – 5) = 84 Пусть x2 + x = t. Получим квадратное уравнение с переменной t.t(t – 5) = 84 t2 – 5t – 84 = 0 D = 25 + 336 = 361t1 = (5 + 19) : 2 = 12t2 = (5 – 19) : 2 = – 7 x2 + x = 12                   x2+ x = –7 x2 + x – 12 = 0             x2 + x + 7 = 0 D = 1 + 48 = 49           D = 1 – 28 = – 27×1 = – 4;  x2 =  3;        корней нет Ответ: – 4; 3.
  • Сосчитайте количество верно решённых уравнений, занесите в таблицу.
  • 4. Контролирующая часть урока
  • Тест
  • Вариант 1
  • Часть 1

1. Какое из уравнений имеет корни, равные  – 1;  3;  – 3?

А.  (x – 1)(x2 – 9) = 0Б.  (x + 1)(x2 – 9) = 0В.  (x + 1)(x2 + 9) = 0Г.  (x – 1)(x2 + 9) = 0

2. Найдите корни уравнения (2x – 3)(x + 4) = 0.

А.  1,5 и – 4Б.  – 1,5 и 4В.  1,5 и 4

Г.  – 1,5 и – 4

  1. 3.  Решите уравнение: 5 x2 = 25x
  2. Ответ:________________________________
  3. Часть 2
  4. 4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения  x4 – 2×2 –  8 = 0   равно числу   …»
  5. 5. Решите уравнение  ( решение и ответы оформите на отельном листе)
  6. (x2 + 4x)(x2 + 4x – 17) = – 60
  7. Верно выполненные задания:
  8. части 1 оцениваются в 0,5 балла;  части 2:  1 – в 2 балла; 2 – в 4 балла
  9. Критерии оценки:

Оценка «3» – 1,5 балла;Оценка «4» – 3,5 балла;

Читайте также:  Пергам, Понт и Северное Причерноморье в эпоху Эллинизма: исторические сведения

Оценка «5» – 7,5 балла.

  • Вариант 2
  • Часть 1

1. Какое из уравнений имеет корни, равные  – 2;  5  – 5?

А.  (x – 2)(x2 – 25) = 0Б.  (x + 2)( x2 + 25) = 0В.  (x + 2)( x2 –  25) = 0Г.  (x – 2)( x2 + 25) = 0

2.   Найдите корни уравнения (2x + 7)(x – 4) = 0.

А. 3,5 и – 4Б.  – 3,5 и – 4В. 3,5 и 4

Г. – 3,5 и 4

  1. 3.  Решите уравнение:     3x –  x2 =  0
  2. Ответ:________________________________
  3. Часть 2
  4. 4. Закончи фразу: «Произведение корней уравнения x4 – 8×2 – 9 = 0   равно числу   …»
  5. 5. Решите уравнение ( решение и ответы оформите на отельном листе)
  6. (x2 – 5x)(x2 – 5x  + 10) + 24  = 0
  7. Верно выполненные задания:
  8. части 1 оцениваются в 0,5 балла;  части 2:  1 – в 2 балла; 2 – в 4 балла
  9. Критерии оценки:

Оценка «3» – 1,5 балла;Оценка «4» – 3,5 балла;

Оценка «5» – 7,5 балла. 

  • Слайд  10
  • Дополнительное задание
  • Решите уравнение итальянских математиков:
  • (3×2 + x – 4) + 3×2 + x = 4 .
  • Решите уравнение:  х3 – х2 – 4(x – 1)2 = 0
  • x2(x – 1) – 4(x – 1)2 = 0(x – 1)( x2 – 4(x – 1)) = 0 x – 1 = 0 или (x2 – 4(x – 1)) = 0x = 1    x2 – 4x + 4 = 0(x – 2)2 = 0x = 2
  • Ответ: 1;  2.
  • Слайд  11
  • Ответы к тесту
№ варианта Часть 1 Часть 2
1 2 3 4 5
1 Б А 0 и 5 Б – 5; 1; 2; – 6.
2 В Г 0 и 3 Б 1; 2; 3; 4.

Поменяйтесь тестами.Проверьте друг у друга. (Ответы на экране). Исправьте ошибки.Поставьте оценки.

Поблагодарите друг друга.

  1. Занесите количество верных уравнений в оценочную таблицу.
  2. Слайд 12

5. Итог урока. Оценки

– Сколько уравнений решили сегодня на уроке? Какие способы решения вы применяли?

  • Слайд 13
  • Критерии оценок за работу на уроке: «5» – за 21-23 правильно решенных уравнений, «4» – 19-20 уравнений, «3» – 16 -18 уравнений.
  • Победители турнира:
  • Слайд 14
  • 6. Домашнее задание
  • №  Слайд № 15
  • Оценочная таблица

Предмет__________________Ф.И. ученика_______________________

Этапы урока Первый (устная работа)Самооценка Второй Третий (тестовый контроль) (Дополнительные задания) Итог
Математический тренажер Практическая часть
Количество верно выполненных заданий

Список литературы:

Источник: https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2014/05/13/uravneniya-privodimye-k-kvadratnym-0

Решение приведённых квадратных уравнений

Конарева Л.А.,

учитель математики МОУ «Школа №97 г.Донецка»

Решение приведённых квадратных уравнений.

Часто приходится сталкиваться с тем, что учащиеся не умеют решать устно приведённые квадратные уравнения, а это умение даёт значительную экономию времени при решении дробных рациональных уравнений, задач на составление уравнения. Хочу поделиться своим опытом в обучении учащихся нахождению целых корней приведённых квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и теоремы обратной теореме Виета.

Уравнение x2+px+q=0 приведённое квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней его х1+х2= — p, а произведение корней уравнения равно свободному члену х1х2=q. В первую очередь смотрим на свободный член, чтобы определить знаки корней приведённого квадратного уравнения, а для этого вспомним таблицу знаков при умножении двух чисел:

  • * *
  • * *
  • При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, тогда если произведение двух чисел положительно, то множители имеют одинаковые знаки.
  • При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, тогда если произведение двух чисел отрицательное число, то множители имеют разные знаки.
  • Далее вспомним правило сложения чисел с разными знаками…и рассмотрим примеры:
  • а) -5+7=2; б)-12+17=5; в)6+(-9)= -3; г)-15+8 =7.
  • Сделаем вывод: если сумма двух чисел с разными знаками положительная, то больше по модулю положительное число, если сумма двух чисел с разными знаками отрицательна, то по модулю больше отрицательное слагаемое.
  • а) х2-6х+8=0
  • По теореме Виета: х1+х2=6
  • Х1Х2=8

Так как произведение корней положительное число, то корни имеют одинаковые знаки либо оба корня положительные, либо оба числа отрицательные, сумма корней положительна, следовательно оба корня положительные числа. Число 8 можно представить в виде произведения 1*8=2*4, но 1+8=9 не равно 6, а 2+4=6 и2*4=8, следовательно по теореме обратной теореме Виета х1=2; х2=4.

  1. б) х2+6х+8=0
  2. По теореме Виета: х1+х2= -6;
  3. х1х2= 8
  4. Так как произведение корней положительно, а сумма отрицательна, то оба корня являются отрицательными числами и8=1*8=2*4,следовательно х1= — 4; х2= — 2 по
  5. теореме обратной теореме Виета эти числа есть корни уравнения, так как х1+х2=-4+(-2)=
  6. = -6=-p; х1х2= -4(-2)=8=q.
  7. в) х2-2х-8=0
  8. По теореме Виета: х1+х2=2
  9. х1х2 = -8
  10. Произведение корней равно -8, то корни имеют разные знаки, сумма корней положительна, тогда по модулю больше положительный корень, следовательно х1= -2; х2=4 и по теореме обратной теореме Виета эти числа являются корнями данного уравнения, так как х1+х2= -2+4=2; х1х2= -8.
  11. г) х2+2х-8=0
  12. По теореме Виета: х1+х2= -2
  13. х1х2 = -8
  14. Произведение корней меньше нуля, то корни имеют разные знаки, сумма корней тоже меньше нуля, значит по модулю больше отрицательный корень и х1= -4; х2=2 и по теореме обратной теореме Виета эти числа есть корнями уравнения.
  15. д) х2+11х+10=0
  16. По теореме Виета х1+х2= -11
  17. х1х2=10
  18. Произведение корней положительное, следовательно корни имеют одинаковые знаки, а так как сумма корней отрицательная, то оба корня отрицательные х1= -10; х2= -1 и по теореме обратной теореме Виета эти числа являются корнями данного уравнения.
  19. е) х2- 9х- 10=0
  20. ПО теореме Виета х1+х2= 9
  21. х1х2= -10
  22. х1=10; х2= -1, а так как х1+х2=10+( -1)=9= -p и х1х2=10*( -1)= -10=q, то полученные числа по теореме обратной теореме Виета являются корнями данного уравнения.
  23. Далее коллективно решаются уравнения:
  24. а)х2- 7х+10=0 (х1=2; х2=5); б) х2-3х-10=0 (х1= -2; х2=5); в) х2+7х+12=0 (х1= -4; х2= -3);
  25. г) х2-х-12=0 (х1= -3; х2=4); д) х2- 7х+6=0 (х1= 1; х2= 6); е) х2-5х-6=0 (х1= -1; х2=6).
  26. Потом проводим математический спринт (работа в парах):
  27. а)х2-8х+15=0; б)х2-2х-15=0; в) х2-9х+20=0; г) х2+9х+18=0; д) х2+14х+48=0; е) х2-х-56=0;
  28. Далее предлагается решить уравнение х2-4х+2=0. Чаще всего ребята принимаются решать

Данное уравнение как и ранее подбором корней, но это сделать не возможно. Решаем уравнение по второй формуле а=1; k=== -2; с=2.

  • D1=k2- ac=(-2)2-1*2=4-2=2
  • X1=;X2=; получим Х1=2+; Х2=2-
  • Вывод: не все приведённые квадратные уравнения можно решить подбором корней, а вот проверку можно выполнить, используя теорему обратную теореме Виета:
  • Х1+Х2=(2+)+(2-)=4=b; Х1Х2=(2+(2-)=22- ()2=4-2=2=q.
  • Решим дробное рациональное уравнение:
  • + = ; ОДЗ: х = -3; х = 3.
  • — =;
  • 3( х+3) – 6( х -3) = 1(х-3)2;
  • х2 – 3х -18 =0;
  • По теореме Виета х1+х2 =3
  • х1х2 = — 18
  • х1= 6; х2= — 3 не входит в ДОЗ.
  • Ответ: х = 6.
  • Рассмотрим решение задачи на совместную работу:

Две бригады рабочих, работая вместе, могут выполнить задание за 3 часа. Сколько времени потребуется каждой бригаде для выполнения этого задания, если первая бригада может сама выполнить его на 8 часов быстрее второй ?

Задание 1 часть. Пусть первая бригада сама выполнит задание за х часов, то вторая за (х+8) часов. За 1 час первая бригада выполняет часть задания, вторая часть задания, вместе ( +) часть задания, а по условию часть задания.

  1. Составим и решим уравнение:
  2. +=; ОДЗ: х = 0; х = — 8
  3. 3(х+8) + 3х = х(х+8)
  4. х2 + 2х – 24 = 0
  5. По теореме Виета х1 + х2 = — 2
  6. х1х2 = — 24
  7. х1= 4; х2 = — 6 не удовлетворяет условию задачи.
  8. Первая бригада может самостоятельно выполнить задание за 4 часа, то вторая бригада за
  9. 4 + 8 =12(ч).
  10. Ответ: 4 часа и 12 часов.
  11. Уважаемые коллеги желаю успеха Вам и вашим учащимся.
  12. Литература:

Алгебра. 8 класс. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, «Просвещение»,2013.

Сборник заданий для аттестации по алгебре учащихся 7-9 классов. Литвиненко Г.Н.,

Федченко Л.Я., Донецк, 2000.

Источник: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/rieshieniie_priviedionnykh_kvadratnykh_uravnienii

Ссылка на основную публикацию